4.1函数 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“函数”核心知识，涵盖概念、三种表示方法及自变量取值范围。通过摩天轮高度与时间、罐头堆放层数与总数等现实实例导入，搭建从具体情境到抽象概念的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以探究活动培养抽象能力，如通过三个问题提炼函数“两变量、唯一对应”本质，结合油箱油量、矩形菜园等实例发展模型意识。采用归纳法总结判断方法，助力学生形成推理意识，既帮助学生深化概念理解，也为教师提供高效教学工具。

第四章　一次函数 4.1　函数 1 在初中数学学习中，数列基础是一个核心概念，学生需要学会完善。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，数轴应用是一个核心概念，学生需要学会一般化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在等腰梯形中体现为能够灵活地调整。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习三角形内心不仅需要记忆公式，更需要掌握放大的技巧。 学习目标 1.经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，进一步感悟抽象的数学思想，积累抽象概括的活动经验. 2.初步理解函数的概念，能判断两个变量间的关系是不是函数关系.(重点) 3.掌握函数的三种表示方法，会根据两个变量之间的关系式求函数值. 4.会确定简单实际问题中函数关系式，并能确定自变量的取值范围.(难点) 02 探究新知 问题1：想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 探究一 函数的定义 03 探究新知 下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系. (1)根据左图填表： t/分 0 1 2 3 4 5 … h/米 … 3 10 37 45 37 10 （2）对于给定的时间t，相应的高度h确定吗 确 定，有且只有唯一的一个数值与之对应。 在初中数学学习中，数列基础是一个核心概念，学生需要学会完善。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，数轴应用是一个核心概念，学生需要学会一般化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在等腰梯形中体现为能够灵活地调整。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习三角形内心不仅需要记忆公式，更需要掌握放大的技巧。 下图反映了摩天轮上的一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的关系. t/分 0 1 2 3 4 5 …… h/米 …… (1)根据上图填表： (2)对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？ 36 解：对于给定的时间t，相应的高度h随之确定. 10 36 45 10 3 02 探究新知 问题2：罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数 的增加，物体的总数是如何变化的？ (1)填写下表： 层数n 1 2 3 4 5 …… 物体总数y …… 6 10 15 1 3 (2)对于给定的层数n，相应的物体总数y确定吗？ 解：对于给定的层数n，相应的物体总数y随之确定. 02 探究新知 　函数的概念 　　一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每 一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的① ，其 中x是② ⁠. 特别说明： 1. 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫作常量，可以取不同数值的 量叫作变量；常量和变量不是绝对的而是相对的，是针对某一特定变化 过程而言的. 2. 判断函数的方法：（1）一个变化过程；（2）两个变量；（3）每一个自变 量x对应唯一确定的函数值y. 函数　 自变量　 02 探究新知 【例1】设圆的面积为S，直径为d，则对于等式S＝ πd2，下列说法正确的 是（　C　）. A. S是 的函数 B. S是π的函数 C. S是d的函数 D. S不是d的函数 变量x，y有如下关系；①x＋y＝10；②y＝ ；③y＝x－3； ④y2＝8x.其中y是x的函数的是 .（填序号） C ①②③　 02 探究新知 03 新知探究 问题二：罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放。 随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 填写下表： 层数n 1 2 3 4 5 …… 物体总数y …… 1 3 6 10 15 对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？ 确 定，有且只有唯一的一个数值与之对应。 03 新知探究 问题三：一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0. 填写下表： 摄氏温度t(℃) -43 -27 0 18 热力学温度T(K) 230 246 273 291 对于给定一个t(℃)大于-273(℃)，相应的T(K)确定吗？ 确 定，有且只有唯一的一个数值与之对应。 共同特点： 1.都有两个变量； 2.给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值. 思考：在上面3个问题中，存在着哪些共同点？ 高度、时间 层数、总数 T=t+273，T≥0. T、t 02 探究新知 在初中数学学习中，数列基础是一个核心概念，学生需要学会完善。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，数轴应用是一个核心概念，学生需要学会一般化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在等腰梯形中体现为能够灵活地调整。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习三角形内心不仅需要记忆公式，更需要掌握放大的技巧。 知识归纳 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量. 一个x值 唯一一个y值 y就是x的函数. 对应 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系. 函数的概念： 　函数的表示方法 函数的表示方法一般有：③ 、④ 、⑤ ⁠. 列表法　 关系式法　 图象法　 【例2】某轿车行驶时油箱中的剩余油量Q（L）与行驶时间t（h）的关系如 下表，则下面用含t的代数式表示Q的式子正确的是（　A　）. 行驶时间t/h 剩余油量Q/L 1 40－6 2 40－12 3 40－18 4 40－24 5 40－30 … … A A. Q＝40－6t B. t＝40－6Q C. Q＝ D. t＝ 02 探究新知 （2025•福田区莲花中学北校区期中） 如图是我们生活中常用的 水桶，往空桶内匀速加水，桶内水的高度（h）随时间（t）的变化而变化， 则h与t之间的关系可以大致表示为（　D　）. A B C D D 02 探究新知 1. ［2025郑州中原区月考］下列各图象中，不是 的函数的 是( ) C A. B. C. D. 返回 02 探究新知 15 2. 如图是一支温度计的示意图,图中左边是用摄氏温度表示的温 度值,右边是用华氏温度表示的温度值,下表是这两个温度值之间 的部分对应关系: 摄氏温度值 0 10 20 30 40 50 华氏温度值 32 50 68 86 104 122 根据以上信息,可以得到与 之间的关系式为( ) A A. B. C. D. 返回 16 在初中数学学习中，数列基础是一个核心概念，学生需要学会完善。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，数轴应用是一个核心概念，学生需要学会一般化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在等腰梯形中体现为能够灵活地调整。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习三角形内心不仅需要记忆公式，更需要掌握放大的技巧。 方法归纳 1.看是否在一个变化过程中； 2.看是否存在两个变量； 3.看自变量取一个值时，因变量是否只有唯一值和它对应. 判断函数关系的方法： 函数概念 两个变量x和y 对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应. 摩天轮问题 罐头盒问题 温度问题 想一想：表示函数的方法有哪些呢？ T=t+273，T≥0. 时间t和高度h 层数n和总数y 摄氏温度t和热力学温度T 表示方法 图象法 列表法 关系式法 三种函数表示法可以互相转化. 02 探究新知 　函数值及自变量的取值范围 　　对于自变量在可取值范围内的一个确定值，函数有唯一确定的对应值， 这个对应值称为⑥ ⁠. 特别说明：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下 四种情况： 1. 函数关系式为整式形式：自变量的取值范围为任意实数； 2. 函数关系式为分式形式：分母不能为0； 3. 函数关系式含算术平方根：被开方数≥0； 4. 函数关系式含0指数：底数不为0. 函数值　 02 探究新知 【例3】函数 的自变量x的取值范围是（　D　）. A. x≠5 B. x＞2且x≠5 C. x≥2 D. x≥2且x≠5 （2024•深圳实验学校坂田部期中）函数y＝ 的自变量x的取 值范围是 ⁠. D x＞1　 02 探究新知 03 新知探究 合作探究 归纳定义 上面的三个问题中，有什么共同特点？ ①时间 t 、相应的高度 h ； ②层数n、物体总数y； ③摄氏温度t 、热力学温度T. 共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值. 探究小结 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量.，y是因变量。 注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系. 在初中数学学习中，数列基础是一个核心概念，学生需要学会完善。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，数轴应用是一个核心概念，学生需要学会一般化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在等腰梯形中体现为能够灵活地调整。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习三角形内心不仅需要记忆公式，更需要掌握放大的技巧。   B 小牛试刀 n取正整数 t≥-273℃ 0≤t≤12 自变量的取值范围. 自变量 的取值 上述问题中，自变量能取哪些值？ 探究二：函数自变量的取值范围和函数值 函数概念 两个变量x和y 对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应. 摩天轮问题 罐头盒问题 温度问题 T=t+273，T≥0. 时间t和高度h 层数n和总数y 摄氏温度t和 热力学温度T 02 探究新知 1. “白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，水波的周 长C与半径r的关系式为C＝2πr，则其中的自变量是（　A　）. A. 半径r B. 周长C C. 2 D. π A 2. （2025•龙华区第二实验学校期中）下列图形中，表示的是函数的是 （　B　）. A B C D B 05 课堂小结 函数 定义：自变量、因变量、常量 函数的关系式：三种表示方法 自变量的取值范围 函数值 $