第四章一次函数复习-定义与关系式（教学课件）-2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一次函数复习，涵盖函数定义、一次函数与正比例函数概念及关系、表达式求解等核心内容。通过函数起源视频及数学家贡献介绍导入，从函数基础过渡到一次函数，构建知识支架帮助学生梳理脉络。 其亮点在于融合数学史与核心素养，通过函数起源视频和数学家故事培养抽象能力与创新意识，借助辨析练习和参数例题发展推理意识，结合水池蓄水等实际问题强化模型意识。学生能提升数学思维与应用能力，教师可直接利用系统内容提高教学效率。

《一次函数 》 ——回顾与思考 第一课时 定义与关系式 学习目标 1.复习函数的概念和表示形式。 2.复习一次函数和正比例函数的概念，知道一次函数与正比例函数的区别与联系；（重点） 3.掌握求一次函数表达式的方法和步骤；（难点） 4. 找出实际问题中存在的函数关系，培养分析问题和解决问题的能力。 【想一想】 如图所示的图象分别给出了x与y的对应关系，其中表示y是x的函数的是_____________________(填写序号) 函数必须满足给定一个自变量的值，有唯一的因变量的值和它对应。 知识点一：函数的定义 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。 我们通过短片了解一下函数的起源 函数的起源 知识点二：函数的表示方式 在视频中你得到了哪些知识？ 函数的表示方式 列表法 关系式法 图象法 莱布尼茨 函数的定义 达朗贝尔 解析表达式 欧拉 图象 柯西，黎曼，狄利克雷 完善函数的定义 【练习1】 1.下列关于x、y的关系式中，表示y是x的函数的是（ ） ① ；② ； ③ ； ④ ， ⑤ A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 2.已知y和x的部分数据如图所示，那么y和x是函数关系吗？ x … -1 0 1 2 … y … -5 -3 -1 1 … 例1．一个弹簧不挂重物时长12cm，在弹性限度范围内（即所挂重物不超过20kg），每挂上1kg的物体后，弹簧会伸长0.5cm，那么弹簧总长y（单位：cm）和所挂物体质量x（单位：kg）是函数吗？如果是，请用你喜欢的方法来表示弹簧总长y（单位：cm）和所挂物体质量x（单位：kg）之间的关系，并写出x的取值范围。 知识点三：初中阶段学习的函数 八年级上册 九年级上册 九年级下册 10 知识点四：学习函数的基本思路 11 1.定义 2.表达式 3.图象 4.应用 知识点五：一次函数的定义 若两个变量 x，y间的对应关系可以表示成(k, b为常数，）的形式，则称 y是x的一次函数. 特别地，当时，此时，称y是x的正比例函数。 一般形式 一次函数 (） 正比例函数 【练习2】 1.下列关系式中，是一次函数的有 ，是正比例函数的有 . ① ②；③;④; ⑤; ⑥ 注意： 1）先化简再判断 2）所有的正比例函数都是一次函数 例2．已知函数 （1）当m为何值时，这个函数是一次函数?       （2）当m为何值时，这个函数是正比例函数? 【练习3】 若是一次函数，则m=_____________，当时，_____________。   知识点六：求一次函数关系式 x … -1 0 1 2 … y … -5 -3 -1 1 … 例3．根据下表写出y和x的一个关系式。 【练习4】： 在正比例关系中，，，则系数k等于（　　） A． B．2 C．6 D．8 例4．一水池的容积是90m3，现蓄水10 m3，用水管以5 m3/h的速度向水池中注水，直到注满为止。 （1）写出水池蓄水量V(m3)与注水时间t(h)之间的关系式，并指出自变量t的取值范图; （2）当时，V的值是多少? （3）若水池蓄水75 m3，则注水多少时间？ 提示： 1）求函数的关系式 2）分析本题是已知自变量的值，借助关系式求因变量的值？还是已知因变量的值，借助关系式求自变量的值。 解：（1） （2） （3） 【练习5】 为了增强居民节约用水的意识,某市制定了新的水费标准:每户每月用水量不超过 5 吨的部分，自来水公司按每吨2元收费;超过5吨的部分,按每吨2.6元收费.设某用户月用水量为x吨,自来水公司应收水费y元. (1)试写出y(元)与x(吨)之间的函数关系式； (2)某用户今年 5月份的用水量为8吨,自来水公司应收水费多少元?   一次函数与正比例函数 一次函数 正比例函数 求一次函数关系式 形如y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的函数. 形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数. 特例 b=0 (1)找出题干中的自变量和因变量； (2)设关系式y=kx+b (k,b为常数，k≠0) ； (3)找两组x，y的值，代入得方程组； (4)求k，b的值，写结论. 函数 定义 表示形式 列表法，图象法，关系式法. 课堂小结 在一个变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，称y是x的函数。 本节课我们复习了哪些内容？   1．下列函数①；②；③；④，是关于x的一次函数的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知函数是一次函数，则m的值是 　 ． 本节检测 第1、2、3题必做题，第4题选做题。 3．若变量x和y之间的关系可以用来表示，且当时，时，。 （1）请求出函数关系式 （2）当时，y的值是几？ （2）若y的值是8，则x的值是几？ 4.某中学要添置某种教学仪器，方案一：到商店购买，每件需要8元；方案二：学校自己制作，每件需要4元，但另外需要制作工具的租用费120元.设需要仪器 x 件，方案一的费用为 y1元，方案二的费用为 y2元. (1)请直接写出 y1， y2关于 x 的关系式.(不用写自变量的取值范围) (2)请直接写出添置多少件时，两种方案所需的费用相同. (3)若学校计划添置仪器50件，则采用哪种方案便宜？ 绘制一次函数的思维导图。 2.完成课后检测题。 作业 数学名言： 数学是科学不可动摇的基石，是促进人类事业进步的丰富源泉。 数学是人类知识活动留下来最具威力的知识工具，是一些现象的根源。 Lavf58.20.100 $$