4.1 函数 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕“函数”核心概念，通过汽车行驶里程实例导入，引导学生观察变量关系，再以摩天轮高度与时间、圆柱形物体堆放总数与层数、热力学温度与摄氏温度三个情景，搭建从具体到抽象的学习支架，逐步构建函数概念及三种表示方式。 其亮点在于以生活实例为载体，通过问题链引导探究，培养数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理意识）和数学语言（模型意识）。如摩天轮高度图象分析、物体总数表格归纳，帮助学生理解函数本质。总结强调自变量取值实际意义，学生能提升应用意识，教师可高效落实概念教学。

第四章　一次函数 4.1 函数 导入新课 一辆汽车以60 km/h的速度行驶，行驶的里程为s km，设行驶时间为t h.请同学们根据题意填写下表： t/h 1 2 3 4 5 s/km 在以上过程中，有没有变化的量？有没有始终不变的量？ 变化的量是时间和里程，不变的量是速度． 60 120 180 240 300 2 如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 情景一 探究新知 下图反映了摩天轮上的一点的高度 h (m) 与旋转时间 t (min) 之间的关系. t/分 0 1 2 3 4 5 … h/米 … (1) 根据图填表： (2) 对于给定的时间 t ，相应的高度 h 确定吗？ 14 36 47 36 3 14 瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 情景二 填写下表： 1 2 3 4 5 … … 1 3 6 10 15 层数 n 物体总数 y 对于给定任一层数 n，相应的物体总数 y 确定吗？有几个 y 值和它对应？ 唯一一个 y 值 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273 ℃，则气体的压强为零. 因此，物理学把 -273 ℃ 作为热力学温度的零度. 热力学温度 T (K) 与摄氏温度 t (℃) 之间有如下数量关系：T = t + 273，T≥0. 情景三 (1) 当 t 分别等于 -43℃，-27℃，0℃，18℃ 时，相应的热力学温度 T 是多少？ (2) 给定任一个大于 -273 ℃ 的摄氏温度 t 值，相应的热力学温度 T 确定吗？有几个 T 值和它对应？ 解：当 t＝-43 ℃ 时，T＝ -43＋273＝230 (K)； 数量关系：T＝t + 273，T≥0. 当 t＝-27 ℃ 时，T＝ -27＋273＝246 (K)； 当 t＝0 ℃ 时，T＝0＋273＝273 (K)； 当 t＝18 ℃ 时，T＝18＋273＝291 (K). (1) 当 t 分别为 -43 ℃，-27 ℃，0 ℃，18 ℃ 时，相应的热力学温度 T 是多少？ (2) 给定一个大于 -273 ℃的 t 值，你都能求出相应的 T 值吗？ 解：能. 因为 t＞-273 时，T＞0，满足条件且 T 是唯一确定. 上面的三个问题中，有什么共同特点？ ①时间 t 、相应的高度 h ； ②层数 n、物体总数 y； ③摄氏温度 t 、热力学温度 T. 共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值. 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量。 归纳总结 注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 理解函数概念应把握三点： (1)有两个变量； (2)一个变量的值随着另一个变量的值的变化而变化； (3)自变量每确定一个值，另一个变量就有唯一确定的值与之对应． 方式 概念 表格 把自变量的一系列值和对应另一个变量的值列成表格来表示两个变量之间函数关系的方式 关系式 用含自变量的代数式表示函数的方式 图象 用图象来表示两个变量之间的函数关系的方式 表格、关系式、图象是函数的三种表示方式。 （1）函数的三种表示方式有时可以相互转化。在实际应用中，应根据具体情况，选择适当的表示方式，或者把三种方式结合起来使用。 （2）并不是所有函数都可以用三种方式表示，如某地某天的气温变化与时间的关系就很难用关系式进行表示。 特别提醒 练一练 1.圆的周长公式 C = 2πR 中，有______个变量，是______和________； 2.汽车在公路上匀速行驶，速度为每小时 30 km，则汽车行驶的路程 s (km)与行驶的时间 t ( h ) 之间的关系式为________； 2 C R s = 30t 3. 圆的面积 S 与半径 R 的函数关系式为_______ 4.某 30 层的大厦底层高 4 m，以上每层高 3 m，从底层数起，则前 n 层的高度 h (m) 与 n 的函数关系式为___________. S = πR2 h = 3n + 1 问题：上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？ 自变量 t 的取值范围:____. t≥0 情景一 情景二 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 1 2 3 4 5 … … 1 3 6 10 15 层数 n 物体总数 y 自变量 n 的取值范围：____________. n 取正整数 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273 ℃，则气体的压强为零. 因此，物理学把 -273 ℃作为热力学温度的零度. 热力学温度 T (K) 与摄氏温度 t (℃) 之间有如下数量关系：T = t + 273，T≥0. 情景三 自变量 t 的取值范围：___________. t≥-273 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值 即:如果 y 是 x 的函数, 当 x = a 时，y = b， 那么 b 叫作当 x = a 时的函数值。 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的函数的值。 函数值 汽车的油箱中有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L) 随行驶里程 x (单位：km) 的增加而减少，平均耗油量为 0.1 L/km。 （1）写出表示 y 与 x 的函数关系的式子。 油箱中的剩油量、汽车耗油量与油箱中原有油量之间有怎样的数量关系？ 典例精析 解：(1) 函数关系式为： y = 50－0.1x 0.1x 表示的意义是什么？ (2) 由 x≥0 及 50－0.1x≥0　 得　0≤x≤500， ∴自变量的取值范围是 0≤x≤500。 汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！ (2) 指出自变量 x 的取值范围； 总 结 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义。 (3) 汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？ (3) 当 x = 200 时，函数 y 的值为 y = 50－0.1×200 = 30。 因此，当汽车行驶 200 km 时，油箱中还有油 30 L。 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的_________，变量 y 都有_________与它对应，那么我们称 y 是 x 的______ ，其中 x 是________ 如果 y 是 x 的函数，当 x = a 时 y = b，那么 b 叫作当自变量的值为_____时的_______ 函数 每一个值 唯一的值 函数 自变量 a 函数值 课堂小结 随堂练习 1. 下列图象中，表示y是x的函数的是(　B　) B 2. 若一支铅笔 2 元，小敏用 11 元钱买了x支铅笔，余款为 y 元，则 y 与 x 之间的关系式为(　C　) A. y＝2x B. y＝2x＋11 C. y＝11－2x D. y＝11x－2 C 3. 函数y＝3－ 中，自变量x可取的值是(　A) A. 5 B. 3 C. 0 D. －5 A 4. 在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度(T)随加热时间(t)变化的函数图象大致是(　B　) B 5. 已知变量s与t的函数关系式是s＝3t＋2t2，则当t＝－1时，函数值s＝ . －1　 6. 观察下表，y与x的关系式为 . x 1 2 3 4 5 … y 2 4 6 8 10 … y＝2x　 7．下列图象不能反映y是x的函数的是（ ） C 8．长方体的底面积为3 cm2，高x(cm)可变化，则其体积V＝3x.关系式中有____个变量，当x＝4 cm时，V＝____cm3.我们可以把______看成是__________的函数． 2 12 高x 体积V 9．一蓄满水的水池正在放水，剩余水量y与时间t的关系式为y＝500－40t.其中自变量是____，____是____的函数． 给定了t值，请你完成下表： 时间t 0 1 2 3 4 … 剩余水量y 500 460 420 380 340 … t y t $