6.3.1二项式定理课件-2026-2027学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件围绕二项式定理展开，通过《详解九章算法》中的古代开方问题导入，连接多项式运算法则与计数原理，以n=2,3,4的特殊展开式及摸球实验为支架，引导学生从具体到抽象推导定理。 其亮点在于融合历史回眸与探究式教学，借助摸球实验（数学抽象）和归纳推理（逻辑推理）揭示二项式系数本质，通过例题明确二项式系数与项的系数区别（数学运算），小结表格清晰归纳规律，既提升学生思维能力，又为教师提供完整教学链条。

二项式定理 1 1 逻辑推理 利用多项式运算法则和计数原理推导并证明二项式定理。 3 数学运算 运用二项式定理解决相关的简单问题。 学习目标 2 数学抽象 理解二项式定理及二项展开式的特征，能记住二项式定理和二项展开式的通项。 2 在《详解九章算法》中有这么一个问题： 积一百三十三万六千三百三十六尺，问为三乘方几何? 在我国清中叶以前，称平方为自乘，立方为再自乘，四次方为三乘方。因此，这个问题相当于解： 在没有计算器的古代，人们又是如何解决这个问题的呢？ 分析：估计，记 ，问题就变为求解： 一、创设情境，引入课题 《九章算术》 1世纪 帕斯卡三角 《论算术三角形》 ， 17世纪 推广 推广 莱布尼茨 约翰 1695年 牛顿 1665年 13世纪 《详解九章算法》 杨辉三角 11世纪 《释锁算书》 贾宪三角 历史回眸 二项式定理的起源 问题1：我们知道， （1）你能写出的展开式吗？ （2）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律? （3）你能否借助组合数原理，发现上述展开式的运算规律，并写出 的展开式呢? 二、提出问题，探索新知 问题2：请设计一个探究的展开式的思路? 由特殊到一般 当 ; 追问：观察特例展开式的哪些信息，有助于我们得到一般展 开式的规律? 结构 系数 项数 次数 三、感知体验，探究归纳 由多项式乘法原理可知，展开式的每一项都是从这两个因式中各取一个字母相乘得到的。由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项，以字母的个数来分类，每一项的一般形式是 三、感知体验，探究归纳 问题3：利用多项式相乘的运算法则，分析得到的运算过程。 追问：你能结合多项式相乘的过程，利用组合知识 解释项的系数为什么等于2吗？ 摸球实验：结合问题3的启发，我们把每个括号看成一个盒子，括号里面的每一个单项式看成一个小球，从每个盒子里各摸出一个球，探究摸球可能出现的组合以及每种组合的个数是多少？分析得到公式展开式的项是如何形成的？ 三、感知体验，探究归纳 以b的个数为标准分类 1个 1个 2个 三、感知体验，探究归纳 的展开式中每一项的一般形式是 摸球结果 追问：仿照上述摸球过程，你能推导出的展开式吗？ 同理： 三、感知体验，探究归纳 问题4：归纳展开式的共性，你能得到哪些结论？你能由此猜想出的展开式吗？ 三、感知体验，探究归纳 多项式 结构 系数 项数 次数 3 2 4 3 4 5 ...... ...... ...... ...... ...... ...... 项 系数 ... ... 摸球结果 证明： 三、感知体验，探究归纳 二项展开式的特点： （1）项数：它有 项； （2）次数：各项的次数都等于二项式的次数 ； 字母按 排列，次数由递减到0； 字母按 排列，次数由0递增到 （1） 二项式定理 二项展开式 降幂 升幂 四、知识建构，形成定理 公式（1）叫做______________， 右边的多项式叫做的____________. （1） 二项式定理： 二项展开式的特点： （3）二项式系数： 这是一组仅与二项式的次数有关的个组合数，而与的值无关. （4）通项：展开式的第_______项叫做二项展开式的通项，记作＝_____________． 字母是一种“符号”，实际上它们可以是数或者代数式，只要具备 的形式，就可以用二项式定理写出展开式及其通项. 例如:在二项式定理中，若设则得到公式： 四、知识建构，形成定理 分析：根据二项式定理： 令 展开式共有7项，每项的次数都是6，每项的结构为： 例1.求的展开式. 五、巩固新知，提升能力 例1.求的展开式. 解：根据二项式定理 五、巩固新知，提升能力 二项式定理的展开式 其字母是一种符号，可以把a看作正方形，b看作三角形，它们可以是任意的数或代数式.一般地，我们可以把公式里的两个字母看成两个框，改变框里的内容并不会影响公式的结构，也就是说字母是可变的，但公式结构却不变。 反思感悟 例2. （1）求的展开式的第4项的系数; （2）求的展开式中的系数. 解：(1) 的展开式的通项是 由题，的展开式的第4项是 因此，展开式第4项的系数是=280 思考：的展开式的第4项的二项式系数是多少？ =35 由此可见，一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念。 五、巩固新知，提升能力 例2. （2）求的展开式中的系数. 解： 的展开式的通项是 根据题意，得，因此，的系数是 五、巩固新知，提升能力 反思感悟 求二项展开式的特定项问题 一般需要建立方程求 <m></m> ，再将 <m></m> 的值代回通项求解，注意 <m></m> 的取值范围 <m></m> . 二项式系数与项的系数的求解策略 (1)二项式系数都是组合数，它与二项展开式中某一项的系数 不一定相等. (2)第项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为. 六、小结提升，归纳总结 七、课后作业 [复习巩固]课本第31页练习第1、3、5题. [综合运用]课本第34页习题6.3第1、2、3、4、5、6题 [拓展探索]查阅资料，了解数学家在二项式定理的基础上，还进行了哪些方面的拓展探究？ $