6.3.2二项式系数的性质 课件-2025-2026学年高二数学下学期人教A版选择性必修第三册

6.3.2　二项式系数的性质 目 标 素 养 1.学会运用函数观点分析处理二项式系数的性质. 2.理解和掌握二项式系数的性质,并能够求解与二项式系数有关的问题. 3.通过学习,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.从函数的观点分析二项式系数 2.二项式系数的性质 (1)对称性 (2)增减性与最大值 微思考 二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项相同吗? 提示:系数最大的项不一定是二项式系数最大的项,只有当二项式系数与各项系数相等时,两者才一致. 答案:4,5 课堂·重难突破 一 求展开式的系数和 典例剖析 1.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求: (1)a5; (2)a0+a1+a2+…+a5; (3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|; (4)a1+a3+a5; (5)a0+a2+a4. 解:(1)令x=0,a5=-1. (2)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1. (3)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5. 因此|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243. (4)由a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35, 得2(a1+a3+a5)=1-35. (5)a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35, 互动探究 (变问法)求:(1)a1+a2+a3+a4+a5;(2)5a0+4a1+3a2+2a3+a4. 解:(1)因为a0是(2x-1)5展开式中x5的系数, 所以a0=25=32. 又a0+a1+a2+…+a5=1, 所以a1+a2+a3+a4+a5=-31. (2)因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5, 所以两边求导数得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4. 令x=1,得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10. 规律总结 1.解决二项式系数和问题的思维流程. 2.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可. 3.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),a0=f(0), 学以致用 1.在(2x-3y)9的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和. 解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9. (2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1, 得a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1. (3)令x=1,y=-1, 可得a0-a1+a2-…-a9=59,① 又a0+a1+a2+…+a9=-1,② 即所有奇数项系数之和为976 562. 二 求展开式中系数或二项式系数最大的项 典例剖析 2.已知( +3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 解:令x=1,则展开式的各项系数的和为(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数和为2n, 由题意知,4n-2n=992. ∴(2n)2-2n-992=0,∴(2n+31)(2n-32)=0, ∴2n=-31(舍去)或2n=32,∴n=5. 规律总结 1.求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论. (1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大. (2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大. 2.展开式中系数的最大项的求法,求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的,需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数的最大项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0,A1,A2,…,An,且第(k+1)项最大,应用 解出k,即得出系数的最大项. 学以致用 2.在(x-y)11的展开式中,求: (1)二项式系数最大的项; (2)项的系数绝对值最大的项; (3)项的系数最大的项和系数最小的项. 解:(1)二项式系数最大的项为中间两项: (2)∵(x-y)11展开式的通项为 (3)由(2)知中间两项系数绝对值相等, 又第6项系数为负,第7项系数为正, 三 整除及余数问题 典例剖析 3.用二项式定理证明: (1)(n+1)n-1能被n2整除(n∈N*); (2)32n+2-8n-9能被64整除(n∈N). 规律总结 利用二项式定理可以解决余数和整除问题.通常需要将底数化成两数的和与差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系. 整除问题或余数问题的处理方法: (1)解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式. (2)用二项式定理处理这类问题时,通常把被除数的底数写成除数(或与除数有密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了. 学以致用 3.设a∈Z,且0≤a≤13,若512 021+a能被13整除,则a=(　　) A.0 B.1 C.11 D.12 答案:B 随堂训练 1.在(a+b)n的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则n=(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案:C 解析:在(a+b)n的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则展开式共有7项,即n=6,故选C. 2.5555除以8,所得余数是(　　) A.7 B.1 C.0 D.-1 答案:A 展开式中含有56的因式能被8整除.当不能被8整除, 即k=55时,为(-1)55=-1. 因为余数要为正数,所以加8,得-1+8=7.故选A. A.n=5 B.展开式的第四项的二项式系数等于-40 C.展开式中不含常数项 D.展开式中所有项的系数之和等于32 答案:AC 5.( -x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+a5+…+a9)2的值为　　　　　.  答案:1 解析:∵(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+a5+…+a9)2=[(a0+a2+a4+…+a10)+(a1+a3+a5+…+a9)]× [(a0+a2+a4+…+a10)-(a1+a3+a5+…+a9)], ∴令x=1, 则a0+a1+a2+…+a10=[(a0+a2+a4+…+a10)+(a1+a3+a5+…+a9)] =( -1)10,① 6.(1+2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. $