6.3.1二项式定理课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.1 二项式定理 第六章 计数原理 作者编号：32100 1 新课引入 初中的时候，我们学过 (a＋b)2 的展开式： (a＋b)2 ＝ (a＋b) (a＋b) ＋b×b ＝a×a ＋a×b ＋b×a ＝a2 ＋2ab＋b2 从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择：选a或选b。如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？ ►课本P29 作者编号：32100 新知讲解 我们可以把(a＋b)2看成是： 在两个装有a、b两小球的盒里各取一个球，将取出来的两个球字母相乘，有多少种不同的结果？ (a＋b) (a＋b) × 作者编号：32100 新知讲解 情况一：b号球 一个都不选即 情况二：选择1个b号球即 情况三：选择 2个b号球即 两个球的字母相乘为 a2 两个球的字母相乘为 ab 两个球的字母相乘为 b2 (a＋b)2＝___a2＋___ab＋___b2＝a2 ＋2ab＋b2 作者编号：32100 新知讲解 取 0 个 b → 项 系数 取 1 个 b → 取 2 个 b → 取 3 个 b → (a＋b)3 ＝(a＋b) (a＋b) (a＋b) a3 a2b ab2 b3 则(a＋b)3 ＝ 再来分析(a＋b)3展开后有哪些项？各项的系数分别是什么？ C3 1 C3 0 C3 2 C3 3 观察各项的次数是多少？ 各字母的指数之和是 3 作者编号：32100 新知讲解 (a＋b)2 ＝ . (a＋b)3 ＝ . 根椐你发现的规律，你能写出(a＋b)4的展开式吗？ (a＋b)4 ＝ . C4 0 a4 ＋C4 1 a3b ＋C4 2 a2b2 ＋C4 3 ab3 ＋C4 4 b4 结论：(a＋b)n展开式的每一项都是 Cnan-kbk 的形式。 k 作者编号：32100 新知讲解 进一步地，你能使用上述方法写出(a＋b)n的展开式吗？ 系数 (a＋b)n ＝(a＋b) (a＋b) ··· (a＋b) Cn 0 项 an Cn 1 an-1b Cn k an-kbk bn Cn n 则 (a＋b)n＝ ··· ··· ··· ··· 二项展开式 ►课本P30 作者编号：32100 二项式定理 二项展开式 (a＋b)n ＝ Cn an＋Cn an-1b1＋Cn an-2b2＋···＋Cn an-kbk＋···＋Cn bn 0 1 2 k n ①二项展开式有 n＋1 项，而不是 n 项； ②每一项中a、b的指数和为 n，且a、b不能随便调换位置； ③字母 a 按降幂排列，次数由 n→0， 字母 b 按升幂排列，次数由 0→n. ►课本P30 作者编号：32100 (a＋b)n ＝ Cn an＋Cn an-1b1＋Cn an-2b2＋···＋Cn an-kbk＋···＋Cn bn 0 1 2 k n ★ 二项式系数： 要点剖析 ★ 二项展开式的通项： 在二项式定理中，若令a＝1，b＝x，则得到： 依次为： (展开式的第 k＋1项) 二项式系数的和等于2n，即 ►课本P30 作者编号：32100 数学文化 二项式定理虽是由牛顿16世纪提出的，但是我们中国杨辉早在11世纪发现，比西方早近500年左右。在古代，很多问题的解决需要开方，例如开河、筑堤等水利工程的设计与建造，就会涉及开三次方等计算。 就古代的开方算法而言，二项式系数是极为重要的。为了研究各项系数所遵循的规律，就有了各种算术三角形，在我国称为杨辉三角形，在西方称为“帕斯卡三角”。利用算术三角形，发现了二项式系数的各种性质，乃至一般规律，由此建立了二项式定理. ►课本P39 作者编号：32100 典例剖析 ►课本P30 例1 求 的展开式. 解析：根据二项式定理， 追问：常数项是第几项？ 第 4 项 分式或者根式一般化成指数幂的形式. 对应公式中的a ~~ 对应公式中的b 变式训练 ►课本P31 练习1 写出(p＋q)5的展开式. 解析： (p＋q)5＝C5 p5q0＋C5 p4q1＋C5 p3q2＋C5 p2q3＋C5 p1q4＋C5 p0q5 0 1 2 3 4 5 ＝p5＋5p4q1＋10p3q2＋10p2q3＋5p1q4＋q5 变式训练 练习2 求 的展开式. 解析： 例2 (1)求 (1＋2x)7 的展开式的第 4 项； (2)求 (1＋2x)7 的展开式的第 4 项的系数； (3)求 (1＋2x)7 的展开式的第 4 项的二项式系数. 解析：(1)(1＋2x)7的展开式的第4项是T3+1＝C7 ·14·(2x)3＝C7 ·23·x3 ＝35×8×x3＝280x3 3 3 典例剖析 (2)(1＋2x)7的展开式的第4项的系数为280. (3)(1＋2x)7的展开式的第4项的二项式系数为C7＝35. 3 通项公式 注意：二项式展开式的某一项二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念 ►课本P30 变式训练 练习3 求(x－1)10 的展开式的第6项的系数是( ). 解析：由通项公式，可得T6＝C10 x5(－1)5 5 因此，(x－1)10 的展开式第6项的系数是 ►课本P31 A. B. C. D. C10 6 C10 5 -C10 6 -C10 5 ＝-C10 x5 5 -C10 5 D 变式训练 练习4 求(2a＋3b)6 的展开式的第3项. 解析：由通项公式，可得T3＝C6 ·(2a)4(3b)2 2 ＝2160a4b2 因此(2a＋3b)6 的展开式的第3项是2160a4b2. ＝15×24×32×a4b2 ►课本P31 变式训练 练习5 求(x＋a)12 的展开式的第10项的系数. 解析：T9+1＝C12 x12-9a9 9 ＝220 x3a9 因此，展开式第10项的系数是220. 典例剖析 例3 求 的展开式中 x2 的系数. 解析：根据二项式定理， 的展开式的通项是 Tk +1＝ 根据题意，令 3－k＝2，k＝1 因此，x2的系数是 (-1)×25×C6＝-192 1 ►课本P30 变式训练 练习6 在 的展开式中， 的系数是( ) A. B. C. D. D 变式训练 练习7 在二项式 的展开式中， (1)求展开式中含 x3 项的系数； (2)如果第3k项和第k＋2项的二项式系数相等，试求k的值. 解析：(1)展开式的通项为 Tk +1＝C12 (-2)k x k 令 ，解得k＝2 所以展开式中含 x3 项的系数为C12 (-2)2＝264 2 变式训练 练习7 在二项式 的展开式中， (1)求展开式中含 x3 项的系数； (2)如果第 3k 项和第 k＋2 项的二项式系数相等，试求 k 的值. 解得 k＝1或 k＝3. 解析：(2)∵第 3k 项的二项式系数为C12 3k-1 第 k＋2 项的二项式系数为 C12 k+1 因为 ＝ C12 k+1 C12 3k-1 所以3k－1＝k＋1或3k－1＋k＋1＝12 典例剖析 ►课本P30 A. 第673项 B. 第674项 C. 第675项 D. 第676项 ， 例4 的展开式中的常数项是( ) 解：由二项式 的展开式为 令，解得，此时， 所以二项式的展开式的常数项为第676项. D 变式训练 练习8 求 的展开式中的常数项和中间两项. 解析：因为通项公式为 当 为常数项， ，则常数项为 由题意知，展开式共10项，中间项分别为 ， 则 ， 变式训练 练习9 已知在 的展开式中，第6项为常数项. (1)求 n； (2)求含 的项. 所以含 的项为 . 解析：(1)因为通项公式为 因为第6项为常数项，所以 时，有 ，即 (2)令 ，得 变式训练 练习10 ►课本P31 求 的展开式的第r＋1项. 解析： 变式训练 练习11 在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含 x4 的项的系数是 . 解析：含 x4 的项是由 5 个单项式中任意取 4 个 x，剩余 1 个单项式取常数相乘得到的，因此含 x4 的项的系数是 (－1)＋(－2)＋(－3)＋(－4)＋(－5)＝-15 ►课本P31 课堂总结 3. 二项式系数： 1. 二项式定理： 2. 二项展开式的通项： 作者编号：32100 课后练习 1. (x＋2)n的展开式共有12项，则 n＝(　　) A. 9 B. 10 C. 11 D. 8 C A B 10 3. 若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为(　　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是_____. 2. (x－ y)10的展开式中x6y4的系数是(　　) A. 840 B. －840 C. 210 D. －210 $