2.3 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，课堂导入通过复习方程一般形式、判别式、求根公式等旧知，搭建学习支架，引导学生从已有知识自然过渡到新知探究，梳理前后知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过因式分解验证、小组合作推导关系，培养学生推理意识与抽象能力。例题和练习涵盖基础计算、综合应用等题型，帮助学生用数学语言表达数量关系，提升应用意识。学生能深化理解，教师可丰富教学手段，提高课堂效率。

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 北师版九年级上册 第二章 一元二次方程 1 复习导入 1. 一元二次方程的一般形式？ ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 ) 2.一元二次方程有实数根的条件是什么？ Δ = b2-4ac ≥ 0 3. 当Δ＞0，Δ=0，Δ＜0 根的情况如何？ Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； Δ < 0 时，方程没有实数根； 4. 一元二次方程的求根公式是什么？ 探究新知 用因式分解法解方程 ax2 + bx + c （a ≠ 0）。 ax2 + bx + c a (x－ x1) (x－ x2) 一元二次方程有两个实数根 x = x1，x = x2。 思考： 如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么 ax2 + bx + c = a (x－ x1) (x－ x2) 一定成立吗？ 2x2 - 3x + 1 = 公式法 解方程： 2x2 - 3x + 1 = 0 a=2，b=－3，c=1 △= b2－4ac = 1>0 2 (x － )(x － ) 是否成立？ = 2x2 - 3x + 1 4人一组，各自随意写出一个有实数根的一元二次方程，求出它的两个根，并验证 a(x－x1)(x－x2) 展开后是否等于原方程。 x2－5x + 6 = 0  x1 = 2  x2 = 3 验证：1·(x－2)(x－3) = x2－5x + 6。 成立 3x2 + x－2 = 0  x2 = －1 成立 （2）你认为 ax2 + bx + c = a (x－ x1) (x－ x2) 是否一定成立？与同伴进行交流。 如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么 ax2 + bx + c = a (x－ x1) (x－ x2) 。 尝试·交流 根据上面的结论，你能发现一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的系数与它的两个根 x1、x2 之间有怎样的关系吗？与同伴进行交流。 ax2 + bx + c = a (x－ x1) (x－ x2) ax2 + bx + c = ax2－a(x1 + x2) + ax1x2 b =－a(x1 + x2) c = ax1x2 所以 于是 一元二次方程根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0（a≠0）的两个实数根分别是x1 、x2，那么： x1 + x2 = ______，x1 · x2 = ______。 前提条件：1.一元二次方程为__________； 2.方程必须要有实数根，即______。 Δ ≥ 0 一般形式 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2 + 7x + 6 = 0 ； （2）2x2－3x－2 = 0。 解：（1）这里 a = 1，b = 7，c = 6。 △ = b2－4ac = 72 + 4×1×6 = 49－24 = 25 > 0， 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2= －7， x1x2 = 6。 （2）这里 a = 2，b =－3，c =－2。 △ = b2－4ac = (－3)2－4×2×(－2) = 9 + 16 = 25 > 0 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1+ x2= ， x1x2 = －1。 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2 + 7x + 6 = 0 ； （2）2x2－3x－2 = 0。 已知一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) 有两个不相等的非零实数根。 △ > 0 两根同号 两根异号 两根同为正数 两根同为负数 正根的绝对值较大 两根互为相反数 负根的绝对值较大 课堂小结 一元二次方程根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0（a≠0）的两个实数根分别是x1 、x2，那么： x1 + x2 = ______，x1 · x2 = ______。 ax2 + bx + c = a (x－ x1) (x－ x2) 1. 已知x1，x2是方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根，则x1＋x2 的值为（　B　） B —— 课堂练习 —— A层基础练 2. 若一元二次方程x2＋x－5＝0的两个根为m，n，则mn的 值为（　C　） A. －1 B. 1 C. －5 D. 5 C A层基础练 3. 已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则x1＋x2－x1x2 的值为（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C A层基础练 4. 已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为 根的一元二次方程是（　A　） A. x2－7x＋12＝0 B. x2＋7x＋12＝0 C. x2＋7x－12＝0 D. x2－7x－12＝0 A A层基础练 5. 一元二次方程x2＋mx＋2m＝0的两个实数根分别为x1， x2，若x1＋x2＝1，则x1x2＝ ⁠。 －2　 A层基础练 6. 已知关于x的方程x2＋mx－10＝0的一个根是－5，则方程的另一个根是 ⁠。 2　 A层基础练 7. （教材P49练习T2）小明和小华分别求出了方程9x2＋6x－1＝0 的根。 小明：x1＝x2＝－ ； 小华：x1＝－3＋3 ，x2＝－3－3 。 他们的答案正确吗？说说你的判断方法。 解：对于方程9x2＋6x－1＝0，可知x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ 。 小明：x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ≠－ ， ∴小明的答案错误。 小华：x1＋x2＝－6≠－ ，x1x2＝－9≠－ ，∴小华的答案错误。 解：对于方程9x2＋6x－1＝0，可知x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ 。 小明：x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ≠－ ， ∴小明的答案错误。 小华：x1＋x2＝－6≠－ ，x1x2＝－9≠－ ，∴小华的答案错误。 A层基础练 8. 已知x1，x2是方程x2－3x＋1＝0的两个实数根，求下列各 式的值： （1）（x1－x2）2； （1）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝32－4×1＝5。 （2）x1 ＋x2 。 解：根据一元二次方程的根与系数的关系， 得x1＋x2＝3，x1x2＝1。 （1）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝32－4×1＝5。 （2）x1 ＋x2 ＝x1x2（x1＋x2）＝1×3＝3。 解：根据一元二次方程的根与系数的关系， 得x1＋x2＝3，x1x2＝1。 A层基础练 9. 关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根分别是－2和1，则 nm的值为（　C　） A. 8 B. －8 C. 16 D. －16 C B层 提升练 10. 已知关于x的一元二次方程x2＋mx－4＝0有两个实数根， 两根之和为负数，则m的值可以是 ⁠ （填一个值即可）。 11. 已知关于x的方程x2＋（k2－4）x＋k－1＝0的两个根互 为相反数，则k的值为 ⁠。 1（答案不唯一，m＞0即 可）　 －2　 B层 提升练 12. 欣欣和程程分别求解同一个数学问题：若（x－1）（x＋m）＝x2－nx－5，求m＋n的值。 欣欣从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等 号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，求出m与n的值； 程程积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解x＝1入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出m＋n的值。 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程。 解：选择欣欣的解题思路，解答过程如下： （x－1）（x＋m）＝x2＋（m－1）x－m＝x2－nx－5， ∴－m＝－5，m－1＝－n。解得m＝5，n＝－4。 ∴m＋n＝5－4＝1。 解：选择欣欣的解题思路，解答过程如下： （x－1）（x＋m）＝x2＋（m－1）x－m＝x2－nx－5， ∴－m＝－5，m－1＝－n。解得m＝5，n＝－4。 ∴m＋n＝5－4＝1。 B层 提升练 选择程程的解题思路，解答过程如下： ∵（x－1）（x＋m）＝0的一个解为x＝1， ∴x＝1是方程x2－nx－5＝0的解。 ∴1－n－5＝0。解得n＝－4。 ∴x2＋4x－5＝（x－1）（x＋m）＝x2＋（m－1）x－m。 ∴m＝5。∴m＋n＝5－4＝1。 选择程程的解题思路，解答过程如下： ∵（x－1）（x＋m）＝0的一个解为x＝1， ∴x＝1是方程x2－nx－5＝0的解。 ∴1－n－5＝0。解得n＝－4。 ∴x2＋4x－5＝（x－1）（x＋m）＝x2＋（m－1）x－m。 ∴m＝5。∴m＋n＝5－4＝1。 12. 欣欣和程程分别求解同一个数学问题：若（x－1）（x＋m）＝x2－nx－5，求m＋n的值。 欣欣从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等 号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，求出m与n的值； 程程积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解x＝1入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出m＋n的值。 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程。 解：选择欣欣的解题思路，解答过程如下： （x－1）（x＋m）＝x2＋（m－1）x－m＝x2－nx－5， ∴－m＝－5，m－1＝－n。解得m＝5，n＝－4。 ∴m＋n＝5－4＝1。 B层 提升练 13. 已知：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根。 求证：ax2＋bx＋c＝a（x－x1）（x－x2）。 证明：∵x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴x1＋x2＝－ ，x1x2＝ 。∴a（x－x1）（x－x2） ＝a（x2－x2x－x1x＋x1x2） ＝a ＝a［x2－x·（ － ）＋ ］ ＝a（ x2＋ ＋ ）＝ax2＋bx＋c。 证明：∵x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴x1＋x2＝－ ，x1x2＝ 。∴a（x－x1）（x－x2） ＝a（x2－x2x－x1x＋x1x2） ＝a ＝a［x2－x·（ － ）＋ ］ ＝a（ x2＋ ＋ ）＝ax2＋bx＋c。 C层 拓展练 $