2.3　一元二次方程的根与系数的关系课件 2026-2027学年数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过因式分解与方程根的关系设问导入，衔接因式分解和求根公式知识，搭建学习支架帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以问题驱动培养抽象能力，通过例题变式训练发展推理能力，用符号语言表达定理及变形公式强化模型意识。如例2已知一根求另一根，例5代数式变形训练，随堂小测分层设计。学生能提升逻辑思维，教师可高效开展教学。

第二章一元二次方程 3一元二次方程的根与系数的关系 新课引入￥ 如果ax2十bx十c=a（x一x1)（x一x2)（a≠0，K1,x2是实 数)，那么 一元二次方程x2十bx十c=0必有两个实数根x=七，x=七，反过来， 如果 x1,x2是一元二次方程a2十bx十c=0的两个实数根，那么x2十bx十 a(x一x1)（x一x,)一定成立吗？ 新课导学￥ 根与系数的关系 如果方程x2+bx十c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么1十2= b ① a;X12=② a 注意：根与系数关系的使用条件为a≠0，b2一4c≥0. 【例1】（根据教材第49页例题改编）利用根与系数的关系求下列方程的两 根之和、两根之积. (1)x2-x-2=0; 解：方程的两根之和为1，两根之积为一2. (2)2x2+3x-5=0. 解：方程的两根之和为一多，两根之积为 5 (根据教材第49页例题改编)利用根与系数的关系，求 下列方程 的两根老和5两根道积0； 解：x1十x2=5,x12=一6. (2)3x2+5x+1=0. 解：出十龙=一，西=子 【例2】（2024秋●龙岗区校级月考)关于x的一元二次方程x2一x十3 =0的 A 在氽根是1，则该方程的一个根为( C.x=4 D.x=1或x=3 (2024秋·光明区校级月考)已知x=1是一元二次方 程x2十3x十 x=一4 m=0的一个根，则另一个根为 【例3】（2025秋深圳校级月考)已知m,n是一元二次方程x2+7x一2 =0 解两棍条孝代数戎，土2？m万的值2=一2， 1 1 ∴.m2+n2-m-n=(m+n)2-2mn-(m+n)=49+4+7=60. (2024秋●南山区校级期中)关于x的一元二次方程x2 -4x-2m 长雪去求葬瀚个聊植范，围比2，并且x,≠x2: 解：（1)，方程有两个实数根1，，并且1≠x2, ,.(-4)2-4×1X(-2m+5)>0, .m> 2 (2)满足x1x2十x1+x2=r+6,求m的值. 解：x,飞2是该方程的两个根， .x1十x2=4,2=-2m十5. .1x2十1+x2=m2+6, ,∴.一2m十5十4=m2+6,解得m=-3或m=1. m> ..m=1. 常见与两根有关的代数式变形： ①x子+x2=（1十2)2-2x12: ②1十1=1+； x1 X2 x1X2 十4=1+2)2-2x12, ③ X1 x2 X1X2 ④（x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1 【例4】已知a,b是方程2-2x一1=0的两个根，则是+名=一2· (2025秋·南山区期末)若方程x2十4x一6=0的两个实数根分别 是x1与x2,则x子十x吃=28 【例5】(2025.南山区校级开学)若a,B是方程x2十2x一2025=0的 两个实 解根.求2什是方程的植.x一2025=0的两个实数根， ∴.a2+2a-2025=0,a+B=-2, ∴.a2+2a=2025, ∴.2+3a+阝=+2a+(a+β)=2025-2=2023. （2025秋●深圳校级月考)己知a,B是方程x2一2x 一1=0的两个 解，求法+2B的值阝是方程x2一2x一1=0的两个根， .-2p=1,a+f=2,邓=-1， ∴.a2+2p=(a+阝)2-2-(P-20)=22-2×(-1)-1=5. 方法二：.a,阝是方程x2一2x一1=0的两个根， .a2-2a-1=0, .a2=2a+1, ∴.2+2p=2a+1+2p=2(a+阝)+1=2×2+1=5. 随堂小测￥ 2基础训练 1.若一元二次方程x2一2x一4=0的两根为x1,x2,则x1十飞2的值是 (C). A.4 B.-4 C.2 D.-2 2.（2024·罗湖区校级模拟)若x1,2是方程x2一2x一1=0的两个根， 则2x1 5 十2x2一xK2的值为 3.(2025·福田区校级开学)若一元二次方程x2一3x一2=0的两根为a与B, 则+行的值是 4.已知x1,x2是一元二次方程x2十x十b=0的两根，且x1十x2= 3,X12= -3 1 1,则4，b的值分别是a=一，b=一 5.（2025秋●宝安区校级期中)设m,n是一元二次方程x2十3x一5=0 的两 2 解根；则是4丰次方程x2十3x一5=0的根， '.+3m-5=0, ∴.2=一3m+5, ∴.m+4m+n=-3m+5+4m+n=m+n+5. .m,n是一元二次方程x2+3x一5=0的两个根， ∴.m+n=-3, ∴.r十4m十n=一3十5=2.故答案为2. 6.（2025秋·龙华区校级月考)若关于x的一元二次方程x2一2x十m一2 =0 有两介实数的取值范围； 解：由条件可得=（-2)2一4（m-2)≥0，解得m≤3. (2)若方程的两个根x1,x2满足x1十x2十x1x2一1=0，求m的值. 解：由条件可知x1十心2=2，x1X2=m一2. ,x1+x2+xx2-1=0, '.2十m一2一1=0，解得m=1. 2拔高训练 7.（教材第50页第5题)把4x2一x一2进行因式分解. 解：令4x2-x-2=0,则x=1v3 4--2-4（x-g）x-1） 参考答案 【新课导学】 b ② a a 【例1】解：(1)方程的两根之和为1，两根之积为一2. (2) 方程的两根之和为一，两根之积为一 变式训练1解：(1)x1十x2=5,x12=一6. (2)￥十=-3，出出=号 【例2】A 变式训练2x=一4 【例3】 解：由条件可知m+1=--7,mm=子=-2， .m2+n2-m-n=(m+n)2-2n-(m+n)=49+4+7=60. 变式训练3 解：（1)，方程有两个实数根x1,七2，并且x≠x2, ,.(-4)2-4×1×(-2m+5)>0, m>3 2 (2)x,七2是该方程的两个根， x1十x2=4,1x2=-2m+5. :xx2+x1+x2=m+6, ∴.-2m+5+4=㎡+6，解得m=-3或m =1. m> 2 '.m三1. 【例4】一2变式训练428 【例5】解：.a,B是方程x2+2x一2025=0的两个实数根， ∴.2+2a-2025=0,a+阝=-2， '.a2+2a=2025, ∴.a2+3a+阝=2+2a+(a+阝)=2025-2=2023. 变式训练5解：方法一：.'a,阝是方程x2一2x一1=0的两个根， ∴.-2p=1,a十阝=2，=-1， ∴.2+2p=(a+B)2-20-(P-2p)=22-2×（-1)-1=5. 方法二：，a,阝是方程x2一2x一1=0的两个根， .a2-2a-1=0, .a2=2a+1, ∴.a2+2p=2a+1+2p=2(a+阝)+1=2×2+1=5. 【随堂小测】 1.C2.53.-34.-31 2 5.2解析：.m是一元二次方程x2十3x一5=0的根， ,∴.m2十3m-5=0, ∴.m2=-3m十5， ∴.m2+4m+n=-3m十5+4m+n=m十n+5. m,n是一元二次方程x2十3x一5=0的两个根， .∴.m+n=一3， .∴.m2十4m十n=一3十5=2.故答案为2. 6.解：（1)由条件可得4=（一2）2一4(m一2)≥0，解得m≤3. （2)由条件可知x1十2=2，xx2=m一2. x1十x2十xx2-1=0, .2+m一2-1=0，解得m=1. 7.解：令4x2-x-2=0,则x=±v3 4-x-2=4(-g图）x-1g）