专题04 “三个二次“与不等式（压轴题专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题04 “三个二次”与不等式题型归类 目录 专题04 “三个二次”与不等式题型归类 1 2 类型一、一元二次根的分布：0分布 2 类型二、一元二次根的分布：K分布 3 类型三、一元二次“图像”应用 4 类型四、根与系数：求范围 7 类型五、根与系数：整数解型 9 类型六、根与系数：对偶型一元二次 11 类型七、 恒成立求参：实数集内型 13 类型八、 恒成立求参：区间内型 14 类型九、 能成立求参型 17 类型十、不等式技巧：整体化思维 19 类型十一、 分式型求参 21 类型十二、综合大题1：韦达定理型最值 22 类型十三、综合大题2：一元二次值域最值求参 25 类型十四、综合大题3：一元二次型保值函数 28 压轴专练 31 一、单选题 31 二、多选题 35 三、填空题 36 结束 38 类型一、一元二次根的分布：0分布 如果一元二次方程的根是“两正，或者两负，或者一正一负”，则称之为0分布。 1. 判别式大于0 2. 两个之和是正（或者负） 两根之积是正（同号）或者是负（异号） 例1．（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 变式1-1． （20-21高一上·天津河西·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可； 【详解】∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴解得. 故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C. 故选：C. 变式1-2．．（24-25高一上·湖北·阶段练习）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的充要条件，再求解即可. 【详解】由一元二次方程的两个根为， 又方程有一个正实数根和一个负实数根， ，， 即“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件为， 则其充分不必要条件的范围应为的真子集， 结合选项可得选项C符合题意， 故选：C. 变式1-3． （23-24高一上·广西南宁·阶段练习）设：实数满足，：一元二次方程“”有两个负数解，则是（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由命题求出的范围，利用充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】命题：一元二次方程有两个负数解，所以，解得， 所以是的充分不必要条件， 故选：A. 类型二、一元二次根的分布：K分布 K分布： 如果一元二次方程根比某个非零常数K大或者小，称之为“K分布”。结合符合条件的函数图像 1.讨论开口方向 2.判别式大于0（等根可以等于0） 3.对称轴与K的位置关系 4.K对应的函数值正负 例2、（21-22高一上·甘肃庆阳·期末）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于，分为三种情况，即可得解. 【详解】方程对应的二次函数设为： 因为方程恰有一根属于，则需要满足： ①，，解得：； ②函数刚好经过点或者，另一个零点属于， 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为，，而，故符合题意； ③函数与x轴只有一个交点，，解得， 经检验，当时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内; 综上：实数m的取值范围为 故选：D 变式2-1．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设，由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 变式2-2． （23-24高一上·福建厦门·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的分布可得答案. 【详解】因为方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得且. 故选：A. 变式2-3． （20-21高一上·浙江杭州·阶段练习）关于x方程在内恰有一解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】讨论，方程根的情况，结合根的分布列不等式，即可求的范围. 【详解】当时，，不合题意； ∴，令，有，，要使在内恰有一个零点， ∴即可，则， 故选：B 【点睛】本题考查了由一元二次方程根的分布求参数范围，应用了分类讨论的方法，属于基础题. 类型三、一元二次“图像”应用 二次函数公式 ①一般式顶点式：y＝ax2＋bx＋c＝a＋. ②顶点是，对称轴是：x＝－. ③方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)求根公式：x＝ （1）一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数，． （2）二次函数的零点：一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点． （3）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 R 的解集 ____ _______ 例3．（23-24高一下·云南迪庆·期末）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴、 函数值、零点个数逐项判断即可. 【详解】抛物线的开口向下，， 抛物线的对称轴为，，， 抛物线与轴相交于正半轴，，，故A错误； 抛物线的对称轴为，，，故B错误； 由图象可知，当时，函数值小于0，即， 故C正确； 抛物线与轴有两个交点，，，故D错误. 故选：C. 变式3-1．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据韦达定理求解，即可求解函数的零点，结合开口即可求解. 【详解】由于的解集为，故是的两个实数根， 故且，解得， 故为，令，解得， 且开口向下，故B符合， 故选：B 变式3-2． （2011·辽宁沈阳·一模）已知函数，若，则的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】判断出的符号后可得正确的选项. 【详解】因为，故即， 而，故， BC中图象开口向下，不符合，而A中图象过原点，与矛盾， 故选：D. 变式3-3．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据题意利用韦达定理找到参数之间的关系，然后求解即可. 【详解】由题可知开口向下， 所以，的两个根为， 所以由，，所以， 所以函数， 因为，所以函数开口向上，两个根为或， 故选：B 类型四、根与系数：求范围 一元二次根与系数，要首先保证有根，所以判别式大于或者大于等于0，是前提条件。 例4．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式的解集恰好为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，知，因此根据和分类讨论． 【详解】令，作出的图象，如图， 可知，则有： 若，则不等式的解集是两段区域，不合题意； 所以，此时恒成立， 因为不等式的解集为，可得， 且是方程的两根，则， 由得或4， 若，由，解得或，不合题意； 若，由，解得，符合题意； 综上所述：． 故选：A． 变式4-1． （24-25高一上·广东揭阳·期中）已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将问题转化为不等式的解集是的子集，然后分类讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，解得， 因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式， 则不等式的解集是的子集， 由可得， 当时，即，不等式解集为，满足； 当时，不等式解集为，则，无解； 当时，不等式解集为，则可得， 解得，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：B 变式4-2． （24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设，不等式的解集为或，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理得出的关系，从而得出结果. 【详解】由题意可知是方程的两根， 则，∴ ∴ 故选：D 变式4-3． （24-25高一上·福建泉州·阶段练习）区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，，，进而可得，利用基本不等式中1的代换可求的最小值. 【详解】由题意知是关于的一元二次方程的两个不同的实数根， 则有，，，所以，且是两个不同的正数， 则有， 当且仅当时，，，等号成立， 故的最小值是. 故选：A. 类型五、根与系数：整数解型 整数解型求解思维： 1.尽可能数形结合 2.直接讨论法或者分参水平线法 3.要注意容易错误点：边界值时，要注意两个整数对应的函数值的取舍（开闭，是否能取等）。 例5．（24-25高一上·安徽·阶段练习）关于x的不等式恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． 或   B． 或 C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】利用因式分解法，根据一元二次不等式解集的性质，分类讨论进行求解即可. 【详解】由恰有3个整数解，即恰有3个整数解， 所以，解得或. 当时，不等式解集为， 因为，故3个整数解为1，2和3. 则，即，解得是； 当时，不等式解集为， 因为，故3个整数解为，，， 则，即，解得. 综上所述，实数a的取值范围为或. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据一元二次不等式的解集的性质得到进行求解判断即可. 变式5-1． （24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值（    ） A．3 B．4 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】画出函数的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出答案. 【详解】因为函数的图象如图所示， 不等式恰有1个整数解， 因为，所以， 因为， 结合图象观察，唯一的整数解是1，依题意得， 所以，所以实数的最大值是3． 故选：A. 变式5-2． （24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式组，分、、讨论，根据原不等式组仅有一个整数解可得答案. 【详解】由，得或， 由，得， 令，解得或， 当时，得原不等式组无解，不符合题意； 当时，由得， 若原不等式组仅有一个整数解，则， 解得，又，所以； 当时，由得， 若原不等式组仅有一个整数解，则， 解得，又，所以； 综上所述，实数的取值范围是，或. 故选：C. 变式5-3． （24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分类讨论求出不等式的解集，然后分析该集合中能含有哪两个整数，即可求出实数的取值范围． 【详解】由题意得，原不等式可转化为， 当时，解得，此时解集中的整数为2，3，则； 当时，解得，此时解集中的整数为0，，则； 当时，不等式为，无解，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：B． 类型六、根与系数：对偶型一元二次 对偶型一元二次不等式转化型： 1. 对偶型一元二次不等式，系数关系为“倒序”或者乱序。 2. 可以直接代入第一个不等式对应的一元二次方程的根，寻找系数之间的比值关系。 3. 可以借助韦达定理寻找系数之间的比值关系 例6．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 【答案】C 【分析】依题意可得是方程的两根，利用韦达定理可得与的关系，再代入目标不等式，解出即可. 【详解】不等式的解集为， 则，即， 由得， 即，解得或. 故选：C. 变式6-1． ．（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 变式6-2． （24-25高二下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先利用已知一元二次不等式的解集求得参数，，再代入所求不等式，利用分式大于零，则分子分母同号，列不等式计算即得结果. 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以的两根是和，所以，， 所以可转化为， 等价于或，解得或． 所以原不等式的解集为或. 故选：B． 变式6-3． （24-25高二下·河北沧州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式、一元二次不等式的解集性质进行求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为，则，可得， 故所求不等式即为，即，解得. 因此，关于的不等式的解集为. 故选：C. 类型七、 恒成立求参：实数集内型 不等式恒成立问题常见方法： 1 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 2 数形结合( 图象在 上方即可)； ③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数. 例7．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 变式7-1． （24-25高二下·云南昭通·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，，，据此可得答案. 【详解】由题可得，，当时，不等式显然成立. 当时，由题可得函数图象恒在x轴下方， 则.综上可得. 故选：B 变式7-2．．（24-25高二下·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次不等式恒成立得出，再应用基本不等式计算求解. 【详解】因为，不等式恒成立， 当时，不恒成立，不合题意； 当时，满足且， 即，所以，所以， 所以，， 当且仅当即，取的最小值为. 故选：B. 变式7-3． （24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 类型八、 恒成立求参：区间内型 讨论函数在所给区间的单调性及最值，只需满足或即可.区间内恒成立求参，要注意是否能参变分离。 核心思维： 1. 分类讨论型 2. 参变分离型 3. 如果参变分离牵扯到正负问题，必要时候可以分类讨论（分段恒成立） 例8．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判别式进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法、根与系数关系等知识确定正确答案. 【详解】对于函数． ①令，即，满足恒成立， 因此，只需，即，所以． ②令，即或． 设方程的两根分别为，则． 当时，方程有两个正根， 存在，使得，不符合题意，舍去； 当时，方程有两个负根， 因此，只需，即，所以， 综上所述，的取值范围为． 故选：C 变式8-1． （23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 变式8-2． （22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【详解】∵，，则， ∴， 又∵，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】结论点睛： 对，恒成立，等价于； 对，恒成立，等价于. 变式8-3． （22-23高三上·河南·期末）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设，，由一次函数以及不等式分析得时，，变形后代入，然后利用基本不等式求解. 【详解】设（），（）， 因为，所以当时，； 当时，； 当时，； 由不等式恒成立，得：或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，，则，即， 则当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 类型九、 能成立求参型 能成立，与恒成立恰好相反，恒成立求的最大（小），能成立求的是最小（大） 例9．（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简不等式，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得的取值范围. 【详解】依题意，至少存在一个，使得关于的不等式成立， 即至少存在一个，使得关于的不等式成立， 画出以及的图象如下图所示，其中. 当与相切时， 由消去并化简得， . 当与相切时， 由消去并化简得①， 由解得，代入①得， 解得，不符合题意. 当过时，. 结合图象可知的取值范围是. 故选：A 【点睛】对于含有参数的不等式问题的求解，可考虑直接研究法，也可以考虑分离参数，也可以合理转化法.如本题中的不等式，可以将其转化为一边是含有绝对值的式子，另一边是二次函数，再根据二次函数以及含有绝对值的函数的图象来对问题进行分析和求解. 变式9-1． （24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 变式9-2． （24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 变式9-3． （24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出命题的否定为真时，的范围，再求其补集即可. 【详解】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真， 则，所以， 故若存在，使则， 所以的取值集合是. 故选：A. 类型十、不等式技巧：整体化思维 整体化求参 把复合型不等式，视为整体，或者换元宝，然后利用等式方式求解，最后再代入整体式子范围 例10．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设，则， 所以，，解得，即， ，则， 因此，. 故选：D. 变式10-1． （24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 变式10-2． （24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意得，进而求得即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 变式10-3． （24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求得，再根据不等式性质即可求解. 【详解】设，所以解得 所以， 又，所以，则. 故选：B. 类型十一、 分式型求参 分式不等式解法：移项，一侧为0----通分，化商为积----转化为一元二次或者高次不等式 例11．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据不等式的解结合韦达定理可求参数的值，代入分式不等式后可求其解集. 【详解】由题意知，1为方程的两根， 所以，解得， 则不等式可化为， 解得，故解集为， 故选：A. 变式11-1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可. 【详解】由题可知的根为1和2，代入方程可得，， 不等式等价于，则解集为， 故选：D. 变式11-2． （2024·北京朝阳·模拟预测）定义区间的长度为，设，若对于任意，不等式的解集所包含区间长度之和恒为3，则k的值为（）． A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】原不等式等价于，构造函数，结合“三个”二次的关系，得到原不等式的解集，由韦达定理及题意可列出方程求解. 【详解】不妨设， 原不等式等价于， 整理得:， 因为，可设方程的两根为, 令, 则的零点为，原不等式即. 因为, 0, 结合二次函数图像，可知：. 则不等式的解集为, 则此解集的区间长度之和为, 因为由韦达定理可得，， 所以此不等式的解集的区间长度之和为, 解得， 故选：A 变式11-3． （24-25高一上·浙江台州·期中）若“”是“”的一个充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】首先求解不等式，再根据充分不必要条件，转化为集合的包含关系，即可求解. 【详解】， 解得：或， 由题意可知， 或， 得或，即或. 故选：A 类型十二、综合大题1：韦达定理型最值 例13．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 【答案】(1)不动点为和； (2). 【分析】（1）根据题意得到，解该一元二次方程即可得解； （2）根据题意，转化为有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系，得到，且，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）令，可得， 可得，解得， 所以二次函数的不动点为和. （2）二次函数有两个不相等的不动点，且， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，且， 因为，即，解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 变式13-1． （23-24高一下·云南·阶段练习）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，转化为是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，以及，即可求解. （2）根据题意，转化为方程的两个负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，函数， 因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根，可得， 则. （2）解：因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根， 又因为，即方程的两个负实数根， 则满足，解得且， 所以实数的取值范围为. 变式13-2． （23-24高一上·北京·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求的取值范围 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把代入，结合二次不等式的求解方法可得答案； （2）讨论二次型函数的系数，结合判别式可得答案； （3）利用韦达定理及限制条件可得答案. 【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得，所以的解集为. （2）当时，恒成立； 当时，恒成立，则有，解得， 当时，显然不恒成立. 综上，的取值范围是. （3）有两个实数根，所以，，解得或，， 因为，所以， 解得或， 综上可得或. 变式13-3． （23-24高一上·上海静安·期中）已知实常数a、b，满足， (1)证明：关于的方程有两个不同的实数解. (2)若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可将原方程等价为，易知恒成立，经检验可知该方程有两个不同的实数解； （2）结合（1）中的结论以及二次函数图像性质可知，即可得. 【详解】（1）原方程可化为 即方程 因为 所以有两个不同的实数解 经检验 所以，，， 所以关于的方程有两个不同的实数解. （2）令， 而二次函数图象开口向上，故， 所以. 类型十三、综合大题2：一元二次值域最值求参 例14．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数，其中. (1)若在区间上具有单调性，求的取值范围； (2)当时，函数的最大值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案； （2）根据对称轴和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是得到的值. 【详解】（1）因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性， 所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，. 所以，实数的取值范围是． （2）二次函数的图象开口向下，对称轴为， ①当时，在单调递减，此时， 因为当时，函数的最大值为，即， 解得或，所以； ②当时，在单调递增，在单调递减， 此时，无解，所以不存在 ③当时，在单调递增， 此时， 因为当时，函数的最大值为， 所以，解得或，所以 综上所述，或. 变式14-1．24-25高三上·全国·课前预习）二次函数的顶点M是直线和直线的交点． (1)用含m的代数式表示顶点M的坐标； (2)①当时，的值均随x的增大而增大，求m的取值范围； ②若，且x满足时，二次函数的最小值为2，求t的取值范围； (3)试证明：无论m取任何值，二次函数的图象与直线总有两个不同的交点． 【答案】(1) (2)①；② (3)证明见解析 【分析】（1）已知直线和直线，列出方程求出，，即可求出点的坐标； （2）①根据题意得出，解不等式求出的取值； ②当时，当时，二次函数，解不等式组即可求得的取值范围； （3）根据一元二次方程根的判别式进行判断． 【详解】（1）由题意得，解得， ； （2）①根据题意得，解得， 的取值范围为； ②当时，顶点为， 抛物线为，函数的最小值为2， 满足时，二次函数的最小值为2， ， 解得； （3）， 得， ， 抛物线的顶点坐标既可以表示为，又可以表示为． ，， ， ， ， 无论取任何值，二次函数的图象与直线总有两个不同的交点． 变式14-2． （24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知二次函数. (1)当时，求二次函数的最小值； (2)当时，二次函数有最小值，在此条件下求函数的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数的性质求最值； （2）根据函数的最小值为求出值，再利用二次函数的性质求出最大值. 【详解】（1）把代入得： 所以最小值为； （2）二次函数的开口向上对称轴为， 把代入，得，解得， 所以， 当时，，当时，， 所以函数的最大值为. 变式14-3． （24-25高一上·山西朔州·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，若在区间上的最小值为，求的值； (3)当时，若函数在区间上的图象始终在的图象的下方，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）通过，两类情况讨论即可； （2）通过，两类情况讨论即可； （3）由题意得到在上恒成立，转化成即可求解. 【详解】（1）①当时，显然不符合题意； ②当时， 解得. 综上，实数的取值范围为. （2）由知. ①当，即时，， 解得； ②当，即时，， 解得（舍去）. 综上，. （3）由题意得在上恒成立， 即在上恒成立， 又，在上恒成立， 设，则在上单调递减， . 的取值范围是. 类型十四、综合大题3：一元二次型保值函数 与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的函数的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 例15．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知二次函数在时有最小值2． (1)求的值； (2)已知，且当时，的取值范围是，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1)根据已知条件求得二次函数的顶点式，化简后与原函数解析式对比即可得解； (2)利用二次函数的最值和单调性，可得，为方程的两正根，解方程并结合的范围即可求解. 【详解】（1）由二次函数的图象可知， 展开可得， 故． （2）因为的最小值为2， 所以，即， 所以， 又因为二次函数的对称轴为， 故当时，单调递减， 故， 即为方程的两正根，且； 解一元三次方程：， 容易观察是该方程的一根， 故因式分解得， 利用求根公式对方程 求解得， 考虑到， 故． 变式15-1． （24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知． (1)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)存在， (2)存在， 【分析】（1）换元令，代入后利用一元二次函数的图象和性质分类讨论即可； （2）根据的单调性联立方程组可得，从而得到，再利用换元法结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意，令，因为，所以， 则令，，对称轴为， ①当，即时，函数在为增函数， ，解得， ②当，即时， ，解得，不符合题意，舍去， ③当，即时，函数在为减函数， ，解得，不符合题意，舍去， 综上所述：存在使得的最小值为． （2）由题意，则在定义域范围内为减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， ②-①得：， 所以，即③， 将③代入②得， 令，所以， 因为，，所以， 所以，在区间单调递减，所以， 故存在实数，使函数在上的值域为， 实数的取值范围且为． 变式15-2． （23-24高一上·河南·阶段练习）已知二次函数的图象关于直线对称，且经过点： (1)求函数的解析式； (2)若函数在上的值域为，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意，可设，代入的坐标，列出方程组，求得的值，即可得到函数的解析式； （2）由，得到，根据二次函数的性质可知，得到在上单调递增，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：因为二次函数的图象关于直线对称，设， 把点代入可得，解得， 所以，即二次函数的解析式为. （2）解：因为，且在上的值域为， 所以，可得， 由二次函数的性质可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 因为在上的值域为，所以，即， 即是方程的两个根， 又因为，解得. 变式15-3． （21-22高二上·广东·期中）在①，，②当时，取得最大值3，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答. 问题：已知函数，且_______. (1)求的解析式； (2)若在上的值域为，求的值. 【答案】(1)条件选择见解析，； (2)1. 【分析】（1）选择对应的条件，利用待定系数法求出的解析式； （2）先判断出在上单调递增，列方程组即可求得. 【详解】（1）若选①， 由题意可得 ，解得，， 故； 若选②， 由题意可得 ，解得，， 故； 若选③， 因为，所以图象的对称轴方程为， 则，即，因为，所以， 故. （2）解：因为在上的值域为， 所以，即， 因为图象的对称轴方程为，且， 所以在上单调递增， 则 整理得，即， 因为，所以，即. 压轴专练 一、单选题 1．（2023高一·全国·课后作业）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布以及判别式、韦达定理得关系求解. 【详解】当方程没有根时，，即， 解得； 当方程有根，且根都不为负根时，， 解得， 综上，， 即关于x的方程没有一个负根时，， 所以关于x的方程至少有一个负根的充要条件是， 故选:B. 2．（2024高二·全国·课后作业）已知关于的方程的一个实根在区间内，另一个实根大于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】求出方程的两根，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】由可得，解得，，显然， 由题意可得，解得. 故选：B. 3．（2023陕西·阶段练习）已知实数满足,且.若为方程的两个实数根,则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，知方程有一个实根为1，不妨设. 则由韦达定理知， 而故， 则. 故. 从而，. 故答案为： 4．（23-24高三上·湖北武汉·模拟）设函数，，若，使得和同时成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】就分类讨论后可得正确的选项. 【详解】当时，，不合题意； 当时，时，恒成立，时，恒成立，时，， 故当在上有解，即在上有解， 所以或，故. 当时，时，恒成立，时恒成立，时，， 故当在上有解，即在上有解， 所以，无解. 故选：A． 5．（23-24高二上·江西抚州·阶段练习）对一切实数，当时，二次函数的值恒为非负数，则 最大值 A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先配方，然后利用基本不等式和放缩法求b﹣2a﹣的最大值． 【详解】解：f（x）＝ax2+bx+c＝a（x+）2+， ∵二次函数f（x）＝ax2+bx+c的值恒为非负数， ∴a＞0且△＝b2﹣4ac≤0， ∵a＜b，∴b＞0，c＞0， ∴b2≤4ac，即， 又因为4a+c≥（当且仅当4a＝c时，等号成立） ∴b﹣2a﹣＝（2b﹣4a﹣c）＝ [2b﹣（4a+c）] ≤ [2b﹣]≤[2b﹣2b]=0 b﹣2a﹣最大时0，（当且仅当4a＝c时，等号成立） ∴2b﹣4a﹣c的最大值的最大值是0，（当且仅当4a＝c时，等号成立）. 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，基本不等式和放缩法求最值，属于综合题，有一定难度． 6．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，若非空集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合A非空，得出在R上有解，进而解得a的范围，再根据两集合相等，得出在R上恒成立，利用判别式求得a的范围，综合即可求得a的范围. 【详解】集合是非空集合，所以在R上有解， 则，解得或①， 由可得， 即， 由，可得在R上恒成立， 即，解得②， 综合①②可得：. 故选：A 7．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合二次不等式的求法分别求出各不等式的解集，即可求解. 【详解】由，即， 解得或，由， 即，因为， 不等式的解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以. 故选：B. 8．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，求出的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可. 【详解】 如图所示，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 并且，，； 因为，令，则； 不等式恒成立等价于在恒成立； 当，单调递减；当，单调递增，显然满足条件， 故有，即，解得； 且有，，即， 则，解得； ，则， 解得，故； 综上，由，； 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二下·吉林·期末）下列说法中正确的为（   ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．若不等式的解集为，则的取值范围为 C．设集合，，则“”是“”的充分不必要条件 D．若正实数，，满足，则 【答案】BCD 【分析】举例说明判断A；按结合一元二次不等式恒成立求解判断B；利用充分不必要条件的定义判断C；利用“1”的妙用求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，有且仅有2个子集，A错误； 对于B，当时，恒成立，则；当时，， 解得，因此的取值范围为，B正确； 对于C，当时，；当时，或，则或， 因此“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D，由正实数满足，得， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 10．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知函数，若存在使得，则a的范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】若存在使得，即函数的对称轴在即可求解. 【详解】若存在使得，所以函数的对称轴在即可， 由的对称轴为，所以，所以满足是的子区间即可，故AD错误，BC正确， 故选：BC. 11．（24-25高二下·浙江温州·期中）已知函数，若非空集合，且，则下列说法中正确的是（   ） A．的取值与有关 B．为定值 C． D． 【答案】BD 【分析】令，从而化为，不妨设的解集为，可得，由，从而得，且，化简，解得或，又是方程的两个根，利用韦达定理可得，则，进而求得的取值范围. 【详解】令， 则可化为， 不妨设的解集为，即，，即， 故，又，且，，且， ，且，由，解得， 故选项A错误，选项B正确； ，，有解， ，即或，又是方程的两个根，即是方程的两个根，故，即，， 又，则，解得：，又或， ，故选项C错误，选项D正确. 故答案选：BD. 三、填空题 12．（24-25高一上·安徽黄山·期末）已知函数的两个零点分别为和，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据韦达定理求出参数与的关系，由分式不等式的解法求解即可. 【详解】由函数的两个零点分别为和等价于一元二次方程的根为和， 由韦达定理可得：，即， 所以不等式的解集等价于的解集，即的解集， 由于，所以，其解为：，所以不等式的解集为 故答案为： 13．（22-23高一上·福建厦门·开学考试）已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 【答案】或 【分析】依题意可得和是方程的两个实根，再根据根与系数的关系得，在分和两种情况讨论即可求解答案． 【详解】由关于的不等式的解是， 则和是方程的两个实根， 由根与系数的关系得，整理得， 则当时，关于的不等式转化为，解得； 当时，关于的不等式转化为，解得． 综上关于的不等式的解为或． 故答案为：或． 14．（24-25高一上·河南南阳·期中）若，对，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论t的范围，结合因式解高次不等式计算即可. 【详解】若，则恒成立，此时不等式的解集为， 与矛盾，舍去； 若，则不等式， ①当，即时， 此时原不等式的解集为， 要满足题意需（区间恒正），即； ②当，即，此时原不等式的解集为， 要满足题意需，即， ； ③当，即时， 此时不等式的解集为， 要满足题意需（区间恒正）， 即时，， 易知单调递减，可知，即， ； ④当，即，此时不等式的解集为， 而要满足题意需，显然不符合题意，舍去， ； ⑤，即，此时不等式的解集为， 同上需满足，仍不符合题意，舍去， ； 综上：实数m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据高次不等式的解法，分类讨论三个根的大小关系，结合题意分析即可，要注意讨论不重不漏. 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04“三个二次”与不等式题型归类 目录 专题04“三个二次”与不等式题型归类… 典例详解 ,2 类型一、一元二次根的分布：0分布 .2 类型二、一元二次根的分布：K分布 .3 类型三、一元二次“图像”应用 4 类型四、根与系数：求范围 类型五、根与系数：整数解型…。 9 类型六、根与系数：对偶型一元二次 11 类型七、 恒成立求参：实数集内型 云 类型八、恒成立求参：区间内型 14 类型九、能成立求参型… 17 类型十、不等式技巧：整体化思维 9 类型十一、 分式型求参 21 类型十二、综合大题1：韦达定理型最值… 2 类型十三、综合大题2：一元二次值域最值求参 25 类型十四、综合大题3：一元二次型保值函数 28 压轴专练 压轴专练 31 一、单选题 .31 二、多选题 0.35 三、 填空颗 .36 结束… 38 1/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 典例详解 类型一、一元二次根的分布：0分布 如果一元二次方程的根是“两正，或者两负，或者一正一负”，则称之为0分布。 1. 判别式大于0 2.两个之和是正（或者负） 两根之积是正（同号）或者是负（异号） 例1.(24-25高一上重庆期中)“m>2”是”一元二次方程x2-mx+m+1=0有两个正实根”的（) A.,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 变式1-1.(20-21高一上·天津河西阶段练习)一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根的充分 不必要条件是() A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a>1 变式1-2.·(24-25高一上湖北阶段练习)“一元二次方程(x-a(x-a-1)=0有一个正实数根和一个负实数 根”的一个充分不必要条件是() A.-2<a<0 B.-1<a<0 C.uc0 D.-1≤a≤0 变式1-3.(23-24高一上广西南宁阶段练习)设p:实数m满足-1<m<0,9:一元二次方程 “x2+3x+m+1=0”有两个负数解，则p是9() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 类型二、一元二次根的分布：K分布 K分布： 如果一元二次方程根比某个非零常数K大或者小，称之为“K分布”。结合符合条件的函数图像 1.讨论开口方向 2.判别式大于0（等根可以等于0） 3.对称轴与K的位置关系 4.K对应的函数值正负 例2、(21-22高一上甘肃庆阳期末)关于x的方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实 数m的取值范围是() A. 13 12 22 3 23 0.6-27 变式2-1.(22-23高一上江苏扬州阶段练习)已知一元二次方程x2-mx+1=0的两根都在(0,2)内，则实数 m的取值范围是() c.,2u[20(,2u2 变式22. (23-24高一上福建厦门阶段练习)关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0有两个不相等 的正实数根，则m的取值范围是() A.(-0,-2)U(-2,0) B.(-0,2) C.(0,2)U(2,+0)D.(-2,+0) 2/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式2-3.(20-21高一上浙江杭州阶段练习)关于×方程2ax2-x-1=0在0<x<1内恰有一解，则() A.a<-1 B.a>1 C.-1<a<1 D.0<a≤1 类型三、一元二次“图像”应用 二次函数公式 ①一般式J顶点式：y=r2+bx+c=aaws4 allcol十/b2a)2+4ac-b24a ②顶点是alvs4acol(-fb4ac-b24a),对称轴是：x=-b2a. ③方程a2+bx+c=0(a≠0)求根公式：x=b2-4ac)2a (1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数， a≠0. (2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二 次函数y=ax2+bx+c的零点. (3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 4<0 个y y=ax2+bx+c(a>0)的图 象 0和主 可主 有两个相等的实数根 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 没有实数 X=x:=-2a x1,x2x1<2 根 ax2+br+c>0(a>0)的解 {x(x,或xx} 个 集 ax2+bx+c<0(a>0)的解 xx<x<x 0 0 集 例3.(23-24高一下.云南迪庆期末)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，下列说法正确的是 () x=1 2 A.abc>0 B.b=2a C.3a+c<0 D.b2<4ac 3/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式3-1.(24-25高一上山东菏泽阶段练习)已知关于x的不等式ax2-x+c>0的解集为{x-2&x<1},则 函数y=ax2+x+c的图象为() y A. 2 变式3-2.(2011辽宁沈阳.一模)已知函数f(x=ax2+bx+c,若a>b>c,a+b+c=0,则f(x的图象 可能是() 变式3-3.(2425高-上广东佛山阶段练习)若关于x的不等式a2-x+c>0的解集为x-<r<,则 函数y=a-br+cx2的图象大致为() V 类型四、根与系数：求范围 一元二次根与系数，要首先保证有根，所以判别式大于或者大于等于0，是前提条件。 例4.(24-25高一上江苏常州阶段练习)已知关于x的不等式a≤3x-3x+4≤b的解集恰好为 4 {xa≤x≤b},则b的值为() A.4 B c.3 4 0. 变式4-1.(24-25高一上·广东揭阳期中)已知使不等式x2+(2a+1)x+2a≤0成立的任意一个x,都满足 不等式x2-4x-5≤0，则实数a的取值范围为() 4/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A. B 51 2'2 C. （,分+o D 变式4-2.(24-25高一上江苏南通阶段练习)设a,b,ceR,不等式ax2+bx+c>0的解集为{xx<1或 x>3},则a:b:c=(). A.1:4:3 B.1:-4:-3 C.1:4:-3 D.1:-4):3 变式4-3.(24-25高一上·福建泉州阶段练习)区间(a,b)是关于x的一元二次不等式x2-2x+1<0的解集， 则3a+b的最小值是() A.2+5 B.3+2V2 c.5t6 D.1+V3 2 类型五、根与系数：整数解型 整数解型求解思维： 1.尽可能数形结合 2.直接讨论法或者分参水平线法 3要注意容易错误点：边界值时，要注意两个整数对应的函数值的取舍（开闭，是否能取等）。 例5.(24-25高一上安徽阶段练习)关于x的不等式(ax-1)2<4x2恰有3个整数解，则实数a的取值范围 是() A.{a- a<- 7 9 或9 7 9 7 a≤ B. a ≤as .9 4 4 3 或2≤a≤ 4 3 9 .9 9 C.a-<as- 或2≤a< D. a <a< 4 4 3 2<a<3 4 4 变式5-1.(24-25高一上黑龙江齐齐哈尔阶段练习)已知函数f(x)= -x2+2x,x≥0 若关于x的不等式 x2-2x,x<0 [f(x]-a时(x<0(a>0)恰有1个整数解，则实数a的最大值() A.3 B.4 C.1 D.-1 x2-2x-15≥0 变式5-2.(24-25高一上·上海阶段练习)已知关于x的不等式组 2x2+(2k+9)x+9k<0仅有一个整数解， 则k的取值范围为() A.[-6,4)U(5,61B.（-6,4U川5,6) C.[3,4)U(5,6] D.(3,4U[5,6 变式5-3.(24-25高一上江苏苏州阶段练习)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有2个整数， 则实数a的取值范围() A.-1<a≤0或2≤a<3 B.-2≤a<-1或3<a≤4 .-2<a≤-1或3≤a<4 D.-1≤a<0或2<a≤3 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型六、根与系数：对偶型一元二次 对偶型一元二次不等式转化型： 1. 对偶型一元二次不等式，系数关系为“倒序”或者乱序。 可以直接代入第一个不等式对应的一元二次方程的根，寻找系数之间的比值关系。 可以借助韦达定理寻找系数之间的比值关系 例6.(24-25高二下.福建漳州期末)已知关于x不等式ax2+bx+c>0的解集为{x1<x<2，则关于x不等 式bx2+ax+c>0的解集为() A.0 B.R C.(x1x<-或r>1 o. 变式6-1.·(24-25高一上天津期中)已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x1<x<2},则关于x 的不等式bx2+ax+1>0的解集为() A.(1,+) B. C.(1) 0.w,-luw 变式6-2. (24-25高二下·云南阶段练习)若关于x的不等式x2+px+g>0的解集为{xx<-1或x>2}, 则不等式+9-8>0的解集为（) x+p A.{x|-4<x<1或x>2} B.{x-2<x<1或x>4} C.{xx<-2或1<x<4} D.{x|x<4或1<x<2} 变式6-3.(24-25高二下·河北沧州阶段练习)若关于x的不等式ax+b>0的解集为(-0,1)，则关于x的 不等式(x+2)(ax-b)>0的解集为() A.（-2,1 B.(-0,-2)U(1,+o) C.（-2,-1 D.（-0,-2)U-1,+0】 类型七、恒成立求参：实数集内型 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数a≥f(x恒成立(a≥f(xn即可)或a≤f(x恒成立(a≤f(x)mn即可)： ②数形结合(y=f(x)图象在y=gx)上方即可)： ⑧讨论最值f(xn≥0或f(x≤0恒成立，④讨论参数. 例7.(24-25高一上山东淄博阶段练习)若不等式(a-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范 6/13 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 围为() A.{a-3<a<1 B.{a-3<a≤1 C.{aa<-3或a≥1 D.{a|a<-3或a>1 变式7-1.(24-25高二下·云南昭通期末)若命题“3x∈R,2kx-2kx。-1≥0”是假命题，则实数k的取值 范围是() A.(-2,0 B.（-2,0 C.（-0,-2U0,+∞) D.-0,-2)U0,+o) 变式7-2.·(24-25高二下.山西长治期中)xeR,不等式mx2-(2+mn)x+2n≥0恒成立，则9m+n的最小 值为() A.6 B.6N2 C.4w6 D.4W2 变式7-3. (24-25高一下.贵州，期中)若不等式mx2+mx-4<2x2+2x对任意实数x均成立，则实数m的取 值范围是() A.（-2,2 B.-14,2 C.（-0,-2)U[2,+0D.（-14,2] 类型八、恒成立求参：区间内型 讨论函数∫(x)在所给区间的单调性及最值，只需满足x(x)<0或mn(x)>0即可.区间内恒成立求参， 要注意是否能参变分离。 核心思维： 1.分类讨论型 2. 参变分离型 如果参变分离牵扯到正负问题，必要时候可以分类讨论（分段恒成立) 例8.(24-25高三上·全国阶段练习)已知关于x的不等式(x-2a)[x2-(2a+1)x+1]≥0对任意x∈(0，+0)恒 成立，则实数a的取值范围是() 3 「317 A. 20 B. 22」 C.(-0,0] 变式8-1. (23-24高一上贵州铜仁期末)当x∈(-1,1时，不等式2x2-:-3<0恒成立，则k的取值范 P 围是() A.（-3,0 B.[-3,0 变式8-2.(22-23高一上安徽马鞍山期末)已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2-y+y2≥0恒成 立，则实数m的取值范围是() A.m≤6 B.-6≤m≤0 C.m20 D.0≤m≤6 变式8-3.(22-23高三上·河南期末)已知a>0,beR,若x>0时，关于x的不等式 7/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (ax-2x+br-5≥0恒成立，则b+4的最小值为(） 0 A.2 B.25 c.45 D.32 类型九、能成立求参型 能成立，与恒成立恰好相反，恒成立求的最大（小），能成立求的是最小（大） 例9.(23-24高一上福建期中)若至少存在一个x<0,使得关于x的不等式3-3x-a>x2+2x成立，则实 数a的取值范围是() 3 D.-3,3) 变式9-1.(24-25高一上·福建莆田阶段练习)若3x∈{x1≤x≤3，使得x2-2ar+a+2≤0成立，则实数a 的范围是() A.a21 B.a22 C.a23 11 D.a≥ 5 变式9-2. (24-25高一上广东佛山阶段练习)若存在x∈ 33 使不等式x2-ax+1≥0成立，则实数a 取值范围是() B.4 .5 A.-2≤a≤2 C.as3 10 0.-2sa≤3 变式9-3.(24-25高一上·湖北荆州阶段练习)若存在-1≤x≤1，使4x2-2(m-2)x+3m+1>0,则m的取 值集合是() A.{mm>-9} B.{mm≤1} C.(m|-9<m<1 D.{mm≤-9} 类型十、不等式技巧：整体化思维 整体化求参 把复合型不等式，视为整体，或者换元宝，然后利用等式方式求解，最后再代入整体式子范围 例10.(24-25高一上陕西渭南阶段练习)已知实数x,y满足1≤x+y≤4，-1≤x-y≤2，则4x-2y的取 值范围是() A.[-4,10] B.[-3,6 c.[-5,13] D.[-2,10 变式10-1.(24-25高一上·安微芜湖期末)己知-3≤a+b≤-2,1≤a-b≤4，则3a+b的取值范围是() 8/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.[-3,0] B.[-5,3] C.[-5,0] D.[-2,5] 变式10-2. (24-25高一上广东汕尾期末)已知3<a+b<4,1<a-b<2,则2ab的取值范围是() 515 A.4,18 B.2,9 C.(5,15） D. 22 变式10-3.(24-25高一上云南曲靖阶段练习)己知0≤a-b≤2,1≤a+b≤4，则4a-2b的取值范围是() A.1≤4a-2b≤4 B.1≤4a-2b≤10 C.0≤4a-2b≤6 D.1≤4a-2b≤9 类型十一、分式型求参 分式不等式解法：移项，一侧为0-通分，化商为积-转化为一元二次或者高次不等式 例11.(24-25高二下.江苏徐州阶段练习)已知不等式ax2+bx-3>0的解集为{xx>1或x<-3},则不等式 b-x≥0的解集为() x+a A.{x|-1<x≤2}B.{x|-2<x<2} C.{x-1≤x≤2} D.{xx>1或x<-2} 变式11-1.(24-25高一上.安微合肥期末)己知关于x的不等式ax2+bx-2>0的解集为{x1<x<2,则不 等式x-“<0的解集是() x-b A.{1Kx<2 C.{x-3<x<1 D.{x-1<x<3 变式11-2.(2024北京朝阳·模拟预测)定义区间(m,n)(m<n)的长度为n-m,设k>0,若对于任意a≠b ，不等式1+2 >k的解集所包含区间长度之和恒为3，则k的值为(). x-a x-b A.1 B. C.2 D.3 变式11-3.(24-25高一上浙江台州期中)若0-1<x<3”是“，-a<0"的一个充分不必要条件，则a的 1+a-x 取值范围是() A.a≤-2或a≥3B.a<-1或a>3C.-2<a<3 D.-1<a<3 类型十二、综合大题1：韦达定理型最值 例13.(24-25高一上辽宁沈阳·阶段练习)对于二次函数y=ar2+bx+c(a≠0)，若3x∈R,使得 ax+bx。+c=x。成立，则称x为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的不动点. 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求二次函数y=x2+2x-2的不动点： 2)若二次函数y=2r2-(2+x+a-1有两个不相等的不动点x,2,且x,x,>0,求点+的最小值， X x2 变式13-1.(23-24高一下.云南阶段练习)己知二次函数f(x)=x2+(2k+5)x+k2,f(x>0的解集为 (-0,x)Ux2,+00）,x1≠x2. 但若：-1，求+￡的值， XX2 (2)若x<0,:<0,求实数k的取值范围， 变式13-2.(23-24高一上北京期中)函数f(x)=mx2+4mx+3 (1)若m=1,求f(x≤0的解集： (2)当f(x)>0恒成立时，求m的取值范围； (3)若方程∫(x)=0有两个实数根x,x2,且x+x-3xx2>0,求m的取值范围 变式13-3.(23-24高一上·上海静安期中)已知实常数a、b,满足a<b, (4证明：关于x的方程L十1，=1有两个不同的实数解， x-a x-b 2若关于x的方程、1+=1有两个不同的实数解，，(：<x,),求k-+k,-b的值. x-a x-b 类型十三、综合大题2：一元二次值域最值求参 例14.(24-25高一上广东汕头期中)已知函数∫(x)=-x2+2mx+1-m2,其中m∈R. (1)若∫(x)在区间4,6上具有单调性，求m的取值范围； (2)当xe[1,3]时，函数f(x的最大值为-8，求实数m的值 变式141.24-25高三上全国：课前预习)二次函数y=2+r+g的顶点M是直线y=- 三x和直线y=x+m 的交点. (1)用含m的代数式表示顶点M的坐标； (2①当x≥2时，y=x2+px+g的值均随x的增大而增大，求m的取值范围； ②若m=6,且x满足t-1≤x≤1+3时，二次函数的最小值为2，求t的取值范围； (3)试证明：无论m取任何值，二次函数y=x2+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点. 变式14-2.(24-25高一上河南郑州阶段练习)已知二次函数y=x2-4x+m. (1)当m=2时，求二次函数的最小值； (2)当-2≤x≤7时，二次函数y=x2-4x+m有最小值-5，在此条件下求函数的最大值。 变式14-3.(24-25高一上山西朔州期中)已知函数f(x=ax2-3x+4. (1)若不等式∫x)>0的解集为R,求实数a的取值范围； 10/13