第二章 等式与不等式（复习讲义）数学人教B版高一必修第一册

该高中数学第二章“等式与不等式”复习讲义以“知识梳理-题型突破-难点攻坚”为主线，通过表格对比呈现等式与不等式性质、一元二次方程根与系数关系等核心内容，用要点速测串联知识脉络，清晰标注重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型+难点”双维度训练，如均值不等式应用题型强调“一正二定三相等”的思维方法，含参不等式解法突出分类讨论的逻辑推理，培养数学思维与运算能力。迁移练与难点精练分层设计，基础生可掌握通法，优生能突破综合问题，为教师实施精准复习提供系统支持。

第二章 等式与不等式 复习要点 （1）掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． （2）进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小． （3）掌握一元二次不等式及其根与系数的关系、 （4）掌握和理解均值不等式 复习重难点 重点：两个实数大小关系的基本事实的理解和运用，掌握不等式性质及其应用，一元二次不等式解法，基本不等式． 难点：从不等关系中抽象出不等式与不等式性质的应用，一元二次不等式含参数解法，基本不等式的灵活应用． 知识点 等式的性质与方程的解集 （1）等式的性质：①如果，则对任意c，都有； ②如果，则对任意不为 的c，都有. （2）恒等式的定义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意 时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 注：常见的代数恒等式：①， ② ③， （3）方程的解集 ①方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值. ②解集：方程所有解组成的集合 易错提醒：①误用同除性：两边同除以含字母的代数式时，务必先判断其不为零，避免漏根或增根. ②恒等式与方程的区别：恒等式对所有实数成立，方程仅对特定未知数的值成立. 要点速测 1．下列各数中，不属于方程的解集的是（    ） A．2 B． C．0 D． 知识点 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 （1）一元二次方程的解集 一元二次方程，其判别式，一元二次方程的解法： 直接开平方法 形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程 配方法 把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝ 因式分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝－m，x2＝－n （2）一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程的解不是空集时，这个方程的解可以记为，则有 易错提醒：①二次项系数：必须先判断a≠0，，否则不是一元二次方程，需按一次方程处理； ②判别式前提：应用韦达定理时，务必先验证 Δ≥0，否则无实数根，定理不适用； ③符号与变形； ④解集表示：重根只写一次，无实根写∅，必须用集合形式. 要点速测 2．已知，是方程的两个不等实根，则 . 知识点 方程组的解集 （1）方程组：多个方程联立组成的整体，各方程需同时成立. （2）方程组的解集：方程组中所有方程解集的交集，即同时满足每个方程的解的集合.解是有序实数对（二元）、三元有序实数组等，解集用点集形式表示. （3）两种消元方式：代入消元法、加减消元法 易错提醒：①解集形式：是点集而非数集，二元写 (x,y)，三元写 (x,y,z)，避免漏写集合符号. ②消元易错：代入时符号易错；加减消元时漏乘常数项；三元消元时选错消元对象导致计算复杂. ③解的检验：二元二次方程组代入后需检验，避免增根. ④参数处理：方程个数少于未知数个数时，用参数表示无穷解，明确参数范围. 要点速测 3．（25-26高一上·安徽·月考）方程组.的解是 知识点 不等式及其性质 （1）两个实数大小的比较：如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果 是负数,那么.反过来也对. （2）不等式的性质：①对称性：；②传递性： ③可加性：， ④可乘性：， ⑤同向可加性： ⑥同向同正可乘性： ⑦可乘方性： （3）不等式(组)解集 概念：一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的 称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． 易错提醒：①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值，不等式的解集指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的解是不等式解集中的一个； ②不等式的解集必须满足两个条件：一是解集内的数都是不等式的解，而是解集外的数都不是不等式的解。 要点速测 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有 的不等式称为绝对值不等式．例如，都是绝对值不等式． 注：①数轴上表示数的点与原点的 称为数的绝对值，记作. ②绝对值不等式的几何意义为数轴上与原点的距离 的点． （2）绝对值不等式的解集： 当时，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， 要点速测 5．不等式的解集是 . 知识点一元二次不等式与分式不等式 （1）定义：使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个 ，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的 . （2）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：①对于一元二次不等式的二次项系数为 且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取 ,小于取 ． ②对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． （3） 分式不等式 (Ⅰ)定义： 与分式方程类似， 中含有 的不等式称为 ，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 (Ⅱ)分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 要点速测 6.（25-26高一上·天津和平·月考）求下列不等式的解集： (1) (2) 知识点均值不等式及其应用 （1）两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 均值不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的 ，叫做正数的 ． 均值不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 （2）均值不等式与最值 已知都是正数，则①如果积等于定值，那么当时，和有 ； ②如果和等于定值，那么当时，积有 注意：从上面可以看出，利用均值不等式求最值时，必须有：①，②和(积)为定值，③存在取等号的条件，简称“ ” 要点速测 7.（25-26高一上·江苏南通·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型1 等式的性质与方程的解 ▌例1 （2026高一·全国专题）下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 解题技巧 1. 熟练运用等式两边同加减乘除（非零）的性质进行等价变形；2. 掌握常见恒等式与十字相乘法，灵活进行因式分解与代数式化简；3. 依据方程结构特点，灵活选用因式分解、配方或公式法求解，并用集合准确表示解集。 ▌迁移练1-1已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． ▌迁移练1-2已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． ▌迁移练1-4阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如，，求证． 证明：． 结合阅读材料解答下列问题：已知，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 ▌例2 （25-26高一下·云南昭通·期末）关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 解题技巧 1. 牢记韦达定理，熟练掌握两根之和与积的公式；2. 运用整体代入思想，将对称代数式转化为和与积的形式进行化简求值；3. 求解时务必优先检验判别式是否大于等于零，确保方程有实数根，避免漏掉隐含条件。 ▌迁移练2-1（25-26高一上·吉林·期末）方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练2-2（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）已知一元二次方程的两个实根为和3，则（    ） A．7 B． C． D． ▌迁移练2-3设，是方程的两个根，则的值为______． ▌迁移练2-4 （25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）设关于x的方程有两个不同实根，，且，则实数n的取值范围是______． 题型3 不等式性质及其应用 ▌例3 　（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C．若，则 D． 易错点拨 1. 两边同乘除负数时，必须改变不等号方向，正数则不变；2. 同向不等式可相加，但不可随意相减或相除；3. 涉及倒数或平方时，务必先判断符号与是否为零，避免盲目变形导致解集扩大或缩小。 ▌迁移练3-1 （25-26高一下·广西柳州·期末）已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练3-2 （多选）（25-26高一下·陕西咸阳·期末）已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练3-3 （2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 ▌迁移练3-4 （25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 题型4 一元二次不等式的求解问题 ▌例4 （25-26高一下·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 解题技巧 不含参型一元二次不等式求解“三步法”：第一步“化标准”；第二步计算判别式、“求根”；第三步“定解集”，遵循开口朝上时“大于取两边，小于取中间”原则确定解集. ▌迁移练4-1 （25-26高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练4-2 （25-26高一下·河南·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练4-3 （25-26高一下·四川泸州·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． ▌迁移练4-4 不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 题型5 分式不等式的求解问题 ▌例5 （25-26高一下·贵州铜仁·期末）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 解题技巧 求解分式不等式的核心技巧在于“等价转化”与“数轴标根”。首先，切忌直接去分母，应先将不等式移项使一端为0，再通分化为标准形式。其次，利用同解原理将其转化为整式不等式，注意分母不能为0，且需保证各因式最高次项系数为正。最后，求出各因式的根并标在数轴上，运用“奇穿偶不穿”原则从右上方开始画线，根据不等号方向直观确定解集区间. ▌迁移练5-1 （25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． ▌迁移练5-2 （25-26高一下·浙江·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练5-3 （25-26高一上·甘肃兰州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练5-4 （25-26高一下·云南红河·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型6 根据不等式的解求参数 ▌例6 2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 解题技巧 此类问题核心在于“逆向思维”与“端点验证”。首先，根据已知解集（如开区间）反推对应方程的根，结合二次项系数正负，利用韦达定理建立关于参数的方程组求解。其次，必须高度警惕端点取舍，将边界值代入原不等式进行验证，以精准判断参数范围是否包含等号。最后，切勿盲目套公式，若含参项可能为0导致降次，务必分类讨论，避免漏解或错解。 ▌迁移练6-1 （25-26高二下·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练6-2 （25-26高一下·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 ▌迁移练6-3 （2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． ▌迁移练6-4 （25-26高一下·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． ▌迁移练6-5 （2026高一·全国·专题练习）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 题型7 一元二次不等式恒成立问题 ▌例7 （24-25高一上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 解决恒成立问题，首选“分离参数法”，将参数与变量分离，转化为求函数最值问题，避免繁琐的分类讨论。若直接处理，需紧扣二次函数图像与判别式：恒大于0时，开口向上且判别式小于0；恒小于0时，开口向下且判别式小于0。同时，务必警惕二次项系数含参的情况，单独讨论系数为0时的退化为一次函数的情形，确保逻辑严密、不重不漏. ▌迁移练7-1 （25-26高一下·上海宝山·期末）若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． ▌迁移练7-2 （25-26高二下·北京朝阳·期中）“”是“不等式的解集为空集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌迁移练7-3 （25-26高一下·四川成都·期中）已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 ▌迁移练7-4 （25-26高一下·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． ▌迁移练7-5 下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 题型8 均值不等式及其应用 ▌例8 （25-26高一上·福建厦门·期末）下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 解题技巧 当不等式的表达式不满足“一正、二定、三相等”时，通过添项、减项、乘项、除项等配凑技巧，构造出符合基本不等式条件的形式 ▌迁移练8-1 （2026高三·全国·专题练习）设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练8-2 （多选）（2026·贵州毕节·三模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练8-3 （25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌迁移练8-4 （25-26高一下·云南普洱·期末）已知，则的最小值为_________． ▌迁移练8-5 （25-26高一下·广东广州·期末）已知，，且，则的最小值为____________. 难点一 含参不等式的解法 1.含参型不等式求解“分类讨论四维度”：①先讨论二次项系数a的符号，a=0时转化为一次不等式单独求解；②再讨论判别式Δ的大小（Δ>0、Δ=0、Δ<0），Δ<0时根据a的符号直接判断解集；③Δ≥0时，求解方程根后，讨论两根的大小关系，避免因根的大小不确定导致解集错误；④最后结合a的符号和根的大小，确定最终解集； 2.“解集还原根”核心思路：先根据不等式解集的形式，确定对应一元二次方程的根（解集边界值即为方程的实根）； 3.韦达定理建等式求参：确定方程的根后，利用根与系数的关系建立关于参数的方程组，求解参数值； 4.“分类验证”补全范围：若解集含参数，需结合Δ≥0（保证有实根）、根的大小关系（m<n）、二次项系数符号，建立不等式组，确定参数的取值范围； 5.特殊情形快速判断：若不等式解集为R（a>0时），则需满足a>0且Δ<0；若解集为∅（a>0时），则需满足a>0且Δ≤0；若解集为单元素集或无边界，优先考虑Δ=0（重根）或a=0（一次不等式）的情况. 难点精练 1．当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）关于x的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（   ） A． B． C． D．R 4．（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 5．（25-26高一下·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 6．解关于的不等式：． 7．解关于的不等式：. 难点二 均值不等式求最值 难点1：直接套用型：已知条件中各项均为正数，且和或积为定值。技巧是直接套用公式，但务必验证等号成立条件是否满足。 难点2：配凑型：和或积非定值。技巧是通过拆项、添项或乘以系数进行变形，人为凑出和或积为定值的结构，同时注意系数的平衡。 难点3：代换型：已知条件为和或积的定值（如 x+y=1 ）。技巧是巧妙利用“1的代换”或整体代换，将目标式转化为可应用基本不等式的形式。 难点精练 1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广西贵港·期末）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一下·浙江衢州·期末）若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 5．（多选）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 6．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则的最小值为_____． 7．（2026高一下·四川宜宾·竞赛）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 8．已知，，，则的最小值为____． 9．已知，且，则的最小值为_____________． 10．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 11．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 难点三 均值不等式的恒成立问题 解决基本不等式的恒成立问题，核心策略是“分离参数”与“转化最值”。首先，尽量将参数与变量分离，把不等式转化为求函数最值问题。其次，根据恒成立的方向确定最值类型：若 a≤f(x) 恒成立，则 a 小于等于f(x) 的最小值；若 a≥f(x) 恒成立，则 a 大于等于f(x) 的最大值。最后，利用基本不等式或函数单调性求出最值，并务必检验等号成立的条件是否满足。 难点精练 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·期末）已知正数x，y满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 3．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 6．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 难点四 一元二次方程根的分布问题 求解一元二次方程根的分布问题，核心在于“数形结合”，通过二次函数的图像特征转化为不等式组。 首先，必须检验二次项系数是否为零，以防方程退化为一次方程。其次，紧扣三个关键要素：一是判别式 Δ ，用于判断实根的有无；二是区间端点的函数值符号，利用零点存在定理确定根是否跨越特定区间；三是抛物线对称轴的位置，确保根落在目标范围内。 解题时，切忌死记硬背公式。建议画出草图，直观分析开口方向、顶点位置及端点函数值，将几何特征精准转化为代数不等式组，从而严密求解。 难点精练 1．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏泰州·期中）方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 6．已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 7．关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 8．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 9．已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 基础达标 一、单选题 1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 3．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 5．（25-26高一上·湖南长沙·期末）关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南红河·期末）若m，n是关于的方程的两个正实数根，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·陕西安康·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 11．（25-26高一上·四川成都·期末）下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 三、填空题 12．（25-26高二下·浙江舟山·期末）已知二次函数有两个正零点，，则的最小值为___. 13．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 四、解答题 14．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 能力进阶 1．（25-26高一上·山东威海·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中（m）为安全距离，v（m/s）为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（   ） A．116 B．118 C．119 D．122 4．（25-26高一下·湖北·期中）若满足，则下列结论正确的有（     ） ①    ②    ③    ④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 6．（多选）（25-26高一上·四川成都·期中）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高二下·河北承德·期末）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D． 8．（专题拓展：一元二次方程的根的分布问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 9．（25-26高一下·江苏盐城·期末）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 等式与不等式 复习要点 （1）掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． （2）进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小． （3）掌握一元二次不等式及其根与系数的关系、 （4）掌握和理解均值不等式 复习重难点 重点：两个实数大小关系的基本事实的理解和运用，掌握不等式性质及其应用，一元二次不等式解法，基本不等式． 难点：从不等关系中抽象出不等式与不等式性质的应用，一元二次不等式含参数解法，基本不等式的灵活应用． 知识点 等式的性质与方程的解集 （1）等式的性质：①如果，则对任意c，都有； ②如果，则对任意不为零的c，都有. （2）恒等式的定义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 注：常见的代数恒等式：①， ② ③， （3）方程的解集 ①方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值. ②解集：方程所有解组成的集合 易错提醒：①误用同除性：两边同除以含字母的代数式时，务必先判断其不为零，避免漏根或增根. ②恒等式与方程的区别：恒等式对所有实数成立，方程仅对特定未知数的值成立. 要点速测 1．下列各数中，不属于方程的解集的是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】结合定义域解方程即可. 【详解】可得且或, ,, 故选:B. 知识点 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 （1）一元二次方程的解集 一元二次方程，其判别式，一元二次方程的解法： 直接开平方法 形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程 配方法 把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝ 因式分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝－m，x2＝－n （2）一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程的解不是空集时，这个方程的解可以记为，则有 易错提醒：①二次项系数：必须先判断a≠0，，否则不是一元二次方程，需按一次方程处理； ②判别式前提：应用韦达定理时，务必先验证 Δ≥0，否则无实数根，定理不适用； ③符号与变形； ④解集表示：重根只写一次，无实根写∅，必须用集合形式. 要点速测 2．已知，是方程的两个不等实根，则 . 【答案】 【分析】利用韦达定理即可得解. 【详解】因为，是方程的两个根， 所以，， 则. 故答案为：. 知识点 方程组的解集 （1）方程组：多个方程联立组成的整体，各方程需同时成立. （2）方程组的解集：方程组中所有方程解集的交集，即同时满足每个方程的解的集合.解是有序实数对（二元）、三元有序实数组等，解集用点集形式表示. （3）两种消元方式：代入消元法、加减消元法 易错提醒：①解集形式：是点集而非数集，二元写 (x,y)，三元写 (x,y,z)，避免漏写集合符号. ②消元易错：代入时符号易错；加减消元时漏乘常数项；三元消元时选错消元对象导致计算复杂. ③解的检验：二元二次方程组代入后需检验，避免增根. ④参数处理：方程个数少于未知数个数时，用参数表示无穷解，明确参数范围. 要点速测 3．（25-26高一上·安徽·月考）方程组.的解是 【答案】 【分析】联立方程组，消元法解. 【详解】 ①②，得，解得， 把代入①，得，解得， 所以方程组的解为. 知识点 不等式及其性质 （1）两个实数大小的比较：如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果 是负数,那么.反过来也对. （2）不等式的性质：①对称性：；②传递性： ③可加性：， ④可乘性：， ⑤同向可加性： ⑥同向同正可乘性： ⑦可乘方性： （3）不等式(组)解集 概念：一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． 易错提醒：①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值，不等式的解集指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的解是不等式解集中的一个； ②不等式的解集必须满足两个条件：一是解集内的数都是不等式的解，而是解集外的数都不是不等式的解。 要点速测 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】对于A选项，当时，即可判断；对于B选项，通过不等式的性质判断即可； 对于C选项，通过特殊值法判断即可；对于D选项，通过作差法判断即可. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，当，时，，故C错误； 对于D选项，，因为，所以，所以，故D正确. 故选：D. 知识点绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．例如，都是绝对值不等式． 注：①数轴上表示数的点与原点的距离称为数的绝对值，记作. ②绝对值不等式的几何意义为数轴上与原点的距离大于的点． （2）绝对值不等式的解集： 当时，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， 要点速测 5．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据题意，结合绝对值的不等式的解法，准确计算，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 知识点一元二次不等式与分式不等式 （1）定义：使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. （2）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：①对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． ②对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． （3） 分式不等式 (Ⅰ)定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 (Ⅱ)分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 要点速测 6.（25-26高一上·天津和平·月考）求下列不等式的解集： (1) (2) 【答案】(1) (2)，或 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）运用一元二次不等式的解法，结合不等式组的性质进行求解即可； （2）根据分式的运算性质，结合根轴法进行求解即可. 【详解】（1） ， 所以原不等式的解集为； （2） ，或， 所以原不等式的解集为，或. 知识点均值不等式及其应用 （1）两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 均值不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 均值不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 （2）均值不等式与最值 已知都是正数，则①如果积等于定值，那么当时，和有最小值； ②如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用均值不等式求最值时，必须有：①，②和(积)为定值，③存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 要点速测 7.（25-26高一上·江苏南通·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求最值. 【详解】因为正数a，b满足，所以， 即，当且仅当时取“＝”，所以的最大值为. 故选： 题型1 等式的性质与方程的解 ▌例1 （2026高一·全国专题）下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 【答案】D 【分析】利用等式的性质逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，在等式两边同乘以，可得，故A错误； 对于B，在等式两边同除以2，可得，故B错误； 对于C，若，则不一定相等，故C错误； 对于D，在等式两边同除以，可得，故D正确. 故选：D. 解题技巧 1. 熟练运用等式两边同加减乘除（非零）的性质进行等价变形；2. 掌握常见恒等式与十字相乘法，灵活进行因式分解与代数式化简；3. 依据方程结构特点，灵活选用因式分解、配方或公式法求解，并用集合准确表示解集。 ▌迁移练1-1已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得a的值 【详解】因为，所以，解得，， 故选：A． ▌迁移练1-2已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等式的性质和举反例对每个选项进行判断即可 【详解】解：对于A，满足，但无意义，故错误； 对于B，两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确； 对于C，当，，满足，但得不到，故错误； 对于D，当时，无法得到，故错误； 故选：B ▌迁移练1-3设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，求解即可． 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得 综上，方程的解集为 故选：D ▌迁移练1-4阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如，，求证． 证明：． 结合阅读材料解答下列问题：已知，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据材料，将2换成，约分后，求和即可. 【详解】因为，所以， 故选：B. 题型2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 ▌例2 （25-26高一下·云南昭通·期末）关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 【答案】A 【详解】设一元二次方程的两个实数根为，， 因为，互为相反数， 所以根据韦达定理可得， 解得或， 当时，方程为无解，舍去； 当时，方程为，两根为符合题意， 的值为，故选项A正确. 解题技巧 1. 牢记韦达定理，熟练掌握两根之和与积的公式；2. 运用整体代入思想，将对称代数式转化为和与积的形式进行化简求值；3. 求解时务必优先检验判别式是否大于等于零，确保方程有实数根，避免漏掉隐含条件。 ▌迁移练2-1（25-26高一上·吉林·期末）方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先解方程，将根用列举法表示即可. 【详解】解方程，得或， 所以方程的所有实数根组成的集合用列举法表示为. 故选：A． ▌迁移练2-2（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）已知一元二次方程的两个实根为和3，则（    ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，利用根与系数的关系分别求出，进而计算． 【详解】和3是一元二次方程的两个实根， ，解得， ． 故选：C． ▌迁移练2-3设，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【详解】，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 代入得：． ▌迁移练2-4 （25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）设关于x的方程有两个不同实根，，且，则实数n的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为关于x的方程有两个不同实根，， 所以，，， 由，得：， 所以，解得：或 则实数n的取值范围是 题型3 不等式性质及其应用 ▌例3 　（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】取特值可判断AD不正确，利用不等式的基本性质可判断BC，即可求解. 【详解】对于A，由，当时，可得，所以A不正确； 对于B，由，则，所以，所以B不正确； 对于C，由，可得，因为，所以，则，所以C正确； 对于D，取，可得，此时，所以D不正确. 故选：C. 易错点拨 1. 两边同乘除负数时，必须改变不等号方向，正数则不变；2. 同向不等式可相加，但不可随意相减或相除；3. 涉及倒数或平方时，务必先判断符号与是否为零，避免盲目变形导致解集扩大或缩小。 ▌迁移练3-1 （25-26高一下·广西柳州·期末）已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用举反例判断ACD，分和判断B. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，由于，则， 当时，由于，则，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，，D错误. ▌迁移练3-2 （多选）（25-26高一下·陕西咸阳·期末）已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的基本性质即可得 【详解】选项A ，已知，（由得），根据同向不等式的可加性： ，因此恒成立，A正确； 选项B ，已知，两边同时除以正数，不等号方向不变：，化简得，即恒成立，B正确； 选项C ，举反例：取，满足，此时，，，C错误； 选项D ，作差比较： ， 分析符号：，（，故），分母为正； ，，分子，因此差为正，即恒成立，D正确. ▌迁移练3-3 （2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. ▌迁移练3-4 （25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 题型4 一元二次不等式的求解问题 ▌例4 （25-26高一下·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】的解为或5， 故不等式的解集为或 解题技巧 不含参型一元二次不等式求解“三步法”：第一步“化标准”；第二步计算判别式、“求根”；第三步“定解集”，遵循开口朝上时“大于取两边，小于取中间”原则确定解集. ▌迁移练4-1 （25-26高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，所以不等式的解集为 ▌迁移练4-2 （25-26高一下·河南·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. ▌迁移练4-3 （25-26高一下·四川泸州·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】不等式，即，解得或. 因此不等式的解集是或. ▌迁移练4-4 不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】由不等式，得， 解得，所以原不等式的解集为. 题型5 分式不等式的求解问题 ▌例5 （25-26高一下·贵州铜仁·期末）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，整理得， 等价于且，解得， 综上得原不等式的解集为，故B正确. 解题技巧 求解分式不等式的核心技巧在于“等价转化”与“数轴标根”。首先，切忌直接去分母，应先将不等式移项使一端为0，再通分化为标准形式。其次，利用同解原理将其转化为整式不等式，注意分母不能为0，且需保证各因式最高次项系数为正。最后，求出各因式的根并标在数轴上，运用“奇穿偶不穿”原则从右上方开始画线，根据不等号方向直观确定解集区间. ▌迁移练5-1 （25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】不等式等价为， 对于，令，则或， 二次函数，二次项系数，图象开口向上， 不等式的解为或， 又因为，即， 综上可得，不等式的解集为或. ▌迁移练5-2 （25-26高一下·浙江·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为且，求解即可 【详解】等价于，解得 所以不等式的解集是 ▌迁移练5-3 （25-26高一上·甘肃兰州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式化简为，即，且. 解得或. 即不等式的解集. ▌迁移练5-4 （25-26高一下·云南红河·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，解得， 因是的真子集， 故“”是“”的必要不充分条件． 题型6 根据不等式的解求参数 ▌例6 2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 解题技巧 此类问题核心在于“逆向思维”与“端点验证”。首先，根据已知解集（如开区间）反推对应方程的根，结合二次项系数正负，利用韦达定理建立关于参数的方程组求解。其次，必须高度警惕端点取舍，将边界值代入原不等式进行验证，以精准判断参数范围是否包含等号。最后，切勿盲目套公式，若含参项可能为0导致降次，务必分类讨论，避免漏解或错解。 ▌迁移练6-1 （25-26高二下·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为，结合进而，求解即可. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． ▌迁移练6-2 （25-26高一下·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. ▌迁移练6-3 （2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于x的不等式的解集为， 当时，即a＝2时，不等式即，显然不成立，满足条件； 当时，应满足且，解得． 综上知，实数a的取值范围是． ▌迁移练6-4 （25-26高一下·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【答案】 【分析】先化简分式不等式，由解集为空集，可知与的根必须重合，否则不等式总能在两零点之间取到异号区间． 【详解】不等式，移项得， 解得，且， 若解集为空集，则与的根必须重合， 故，的根应为，于是解得 ▌迁移练6-5 （2026高一·全国·专题练习）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】解，得解集为；分类讨论与的大小关系，解不等式，再根据不等式组的解集中所含整数解只有，列式可求出结果． 【详解】由，得，得或， 所以的解集为， 由，得， 当，即时，得， 所以的解集为，此解集中不含，不符合题意； 当，即时，化为， 所以的解集为空集，不符合题意； 当，即时，得， 所以的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 结合数轴分析可知，得． 题型7 一元二次不等式恒成立问题 ▌例7 （24-25高一上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. 解题技巧 解决恒成立问题，首选“分离参数法”，将参数与变量分离，转化为求函数最值问题，避免繁琐的分类讨论。若直接处理，需紧扣二次函数图像与判别式：恒大于0时，开口向上且判别式小于0；恒小于0时，开口向下且判别式小于0。同时，务必警惕二次项系数含参的情况，单独讨论系数为0时的退化为一次函数的情形，确保逻辑严密、不重不漏. ▌迁移练7-1 （25-26高一下·上海宝山·期末）若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. ▌迁移练7-2 （25-26高二下·北京朝阳·期中）“”是“不等式的解集为空集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】“不等式的解集为空集”等价于“不等式在上恒成立”， 其充要条件为，即. 因为能推出，推不出， 所以“”是“不等式的解集为空集”的充分不必要条件. ▌迁移练7-3 （25-26高一下·四川成都·期中）已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】命题为真：，，则，即. 命题为真：方程有实根， 化简得得，解得或. 均为真，取交集得或. ▌迁移练7-4 （25-26高一下·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由，使得为假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足， 综上，. ▌迁移练7-5 下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】D 【分析】利用判别式法来判断二次不等式恒成立，可判断A，利用二次式因式分解法，即可判断B，利用分离参变量再结合基本不等式求最值来判断二次不等式恒成立，即可判断CD． 【详解】对于A，当时，恒成立， 当时，由题意可知：，解得， 综上得，k的取值范围是，故A正确； 对于B，由得， 因该不等式在上恒成立，则需使，即在上恒成立， 故得，即实数k的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），则得，故C正确； 对于D，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），可知，故D错误. 题型8 均值不等式及其应用 ▌例8 （25-26高一上·福建厦门·期末）下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 【答案】D 【分析】对A，根据完全平方公式即可判断；对B，举反例即可判断；对C，利用基本不等式即可判断；对D，平方后作差即可判断. 【详解】对A，因为，即，即，故A错误； 对B，当时，此时，故B错误； 对C，若，则，当且仅当，即时等号成立，故错误； 对D，因为， 又因为，故成立，故D正确. 故选：D. 解题技巧 当不等式的表达式不满足“一正、二定、三相等”时，通过添项、减项、乘项、除项等配凑技巧，构造出符合基本不等式条件的形式 ▌迁移练8-1 （2026高三·全国·专题练习）设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，，即； ，得，即，故A正确； 对于B，，由均值不等式得，即，，故B正确； 对于C、D ，，由均值不等式得，； ，即，故C错误，D正确. ▌迁移练8-2 （多选）（2026·贵州毕节·三模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可. 【详解】选项A. 由基本不等式，则，平方得，当且仅当时等号成立，A正确. 选项B.对平方得，由A知， 因此， 因为，开方得， 当且仅当时等号成立，B正确. 选项C.，由，所以，即，C错误. 选项D.，因此，所以，D错误. ▌迁移练8-3 （25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． ▌迁移练8-4 （25-26高一下·云南普洱·期末）已知，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】利用基本不等式对正项和放缩，验证等号成立条件即可求得最小值. 【详解】已知，因此，， 根据基本不等式可得： 当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为. ▌迁移练8-5 （25-26高一下·广东广州·期末）已知，，且，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】由题可得，令，所以再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题可得， 所以， 令，即， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值为13. 难点一 含参不等式的解法 1.含参型不等式求解“分类讨论四维度”：①先讨论二次项系数a的符号，a=0时转化为一次不等式单独求解；②再讨论判别式Δ的大小（Δ>0、Δ=0、Δ<0），Δ<0时根据a的符号直接判断解集；③Δ≥0时，求解方程根后，讨论两根的大小关系，避免因根的大小不确定导致解集错误；④最后结合a的符号和根的大小，确定最终解集； 2.“解集还原根”核心思路：先根据不等式解集的形式，确定对应一元二次方程的根（解集边界值即为方程的实根）； 3.韦达定理建等式求参：确定方程的根后，利用根与系数的关系建立关于参数的方程组，求解参数值； 4.“分类验证”补全范围：若解集含参数，需结合Δ≥0（保证有实根）、根的大小关系（m<n）、二次项系数符号，建立不等式组，确定参数的取值范围； 5.特殊情形快速判断：若不等式解集为R（a>0时），则需满足a>0且Δ<0；若解集为∅（a>0时），则需满足a>0且Δ≤0；若解集为单元素集或无边界，优先考虑Δ=0（重根）或a=0（一次不等式）的情况. 难点精练 1．当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简得，作差比较与的大小，利用一元二次不等式即可求解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 则，故有， 则原不等式等价于， 所以原不等式的解集为. 2．（多选）关于x的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分类讨论的大小，利用二次不等式的解法即可得解. 【详解】由，得. 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为. 故选：ACD. 3．（多选）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（   ） A． B． C． D．R 【答案】AB 【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误． 【详解】由，分类讨论a如下： 当时，； 当时，； 当时，或； 当时，； 当时，或． 故选：AB． 4．（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 5．（25-26高一下·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 【答案】当时，；当时，；当时，． 【分析】结合不等式的性质，讨论的取值，即可求得答案. 【详解】对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 6．解关于的不等式：． 【答案】时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为. 【分析】根据一元二次不等式的性质，按分类讨论求解． 【详解】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． 7．解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】由题意，原不等式可变形为，分类讨论的取值情况，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】， 当时，，解得，此时原不等式的解集为； 当时，令，得， 当即时，，此时原不等式的解集为； 当且即时，此时原不等式的解集为； 当且即时，此时原不等式的解集为； 当且即时，此时原不等式的解集为. 综上，时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 难点二 均值不等式求最值 难点1：直接套用型：已知条件中各项均为正数，且和或积为定值。技巧是直接套用公式，但务必验证等号成立条件是否满足。 难点2：配凑型：和或积非定值。技巧是通过拆项、添项或乘以系数进行变形，人为凑出和或积为定值的结构，同时注意系数的平衡。 难点3：代换型：已知条件为和或积的定值（如 x+y=1 ）。技巧是巧妙利用“1的代换”或整体代换，将目标式转化为可应用基本不等式的形式。 难点精练 1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件进行常数代换化简所求式，再结合基本不等式求解最小值并验证取等条件． 【详解】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 2．（25-26高一下·广西贵港·期末）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：C. 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 4．（多选）（25-26高一下·浙江衢州·期末）若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】利用（为正实数）和基本不等式逐一分析判断各选项即可. 【详解】对于A，由正实数，满足，易得，故A正确； 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，由B项知，则， 即有最小值为，无最大值，故C错误； 对于D，因为，且为正实数，所以， 当且仅当时，有最小值，故D正确. 5．（多选）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式即可判断ABC，根据二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，由，得，即，所以，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，由，则， 当且仅当，即，时，等号成立，C正确； 对于D，由，则，所以，即， ，无最大值，D错误． 6．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 7．（2026高一下·四川宜宾·竞赛）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的代换即可解答. 【详解】令，所以，且， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，即，所以 所以，又因为，此时， 所以当时，的最小值为. 8．已知，，，则的最小值为____． 【答案】 【详解】由可得 ， 当且仅当，即，也即，时等号成立， 即的最小值为． 9．已知，且，则的最小值为_____________． 【答案】/ 【详解】因为， 即①， 当且仅当，即时取等号，结合解得，， 又，等量替换不等式①中的，得， 解不等式得，或， 已知，，则， 故的最小值为． 10．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 11．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 难点三 均值不等式的恒成立问题 解决基本不等式的恒成立问题，核心策略是“分离参数”与“转化最值”。首先，尽量将参数与变量分离，把不等式转化为求函数最值问题。其次，根据恒成立的方向确定最值类型：若 a≤f(x) 恒成立，则 a 小于等于f(x) 的最小值；若 a≥f(x) 恒成立，则 a 大于等于f(x) 的最大值。最后，利用基本不等式或函数单调性求出最值，并务必检验等号成立的条件是否满足。 难点精练 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·期末）已知正数x，y满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过均值不等式求解出范围后通过恒成立条件求解范围. 【详解】因为，所以. 所以对于，可以看作， 因为，当且仅当时成立，所以， 解得. 2．（25-26高二下·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】化简，，结合基本不等式求其最小值，结合条件求的范围可得结论. 【详解】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 3．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用乘“1”法和基本不等式可得最小值，即可得与有关不等式，解出即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 4．已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 【答案】 【分析】先由基本不等式“1”的妙用求出，进而得到不等式，求出答案 【详解】，且， 故， 当且仅当，即，时成立， 要使原式恒成立只需， ，解得 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据 “乘1法”可求 的最小值，进而求解即可. 【详解】由得，且 ， 故， 当且仅当即时等号成立. 故问题转化为，即， 解得，故实数m的取值范围为. 6．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 难点四 一元二次方程根的分布问题 求解一元二次方程根的分布问题，核心在于“数形结合”，通过二次函数的图像特征转化为不等式组。 首先，必须检验二次项系数是否为零，以防方程退化为一次方程。其次，紧扣三个关键要素：一是判别式 Δ ，用于判断实根的有无；二是区间端点的函数值符号，利用零点存在定理确定根是否跨越特定区间；三是抛物线对称轴的位置，确保根落在目标范围内。 解题时，切忌死记硬背公式。建议画出草图，直观分析开口方向、顶点位置及端点函数值，将几何特征精准转化为代数不等式组，从而严密求解。 难点精练 1．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 2．（25-26高一上·江苏泰州·期中）方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由题意得，解出的范围，再逐一验证即得. 【详解】令，其图象对称轴为， 由方程 的两根都大于 1，等价于， 即，解得即 对于A：因是的真子集，故是方程 的两根都大于 1 的充分不必要条件，故A正确； 对于B：由上分析知，是方程 的两根都大于 1 的充要条件，故B错误； 对于C：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故C错误； 对于D：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故D错误. 故选：A. 3．（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 4．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对的符号分类讨论，结合图象特点求解. 【详解】若，则方程为，解得，满足条件； 设， 若，因为， 所以函数与轴在原点两侧各有一个交点， 所以方程恰有一个正根和一个负根，满足条件； 若，因为， 所以若方程至少有一个正根， 则函数的图象与轴相交，且对称轴在原点右侧， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是， 故选：C. 5．（多选）（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】AB 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可判断各选项. 【详解】因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误； 故选：AB. 6．已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 7．关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【答案】 【分析】直接构造二次函数，由三个二次的关系及数形结合可得. 【详解】设，函数是开口向上的一个二次函数， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，即，解得， 再验证当时，，方程一定有两个不同的根. 所以实数的取值范围为． 8．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 9．已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 基础达标 一、单选题 1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，A错误； 对于B，因为，，所以，同乘以 ，所以，B正确； 对于C，因为，，所以，C错误； 对于D，因为，，所以，D错误. 2．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 3．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得出判断. 【详解】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误； 故选：C 4．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为. 5．（25-26高一上·湖南长沙·期末）关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析不等式恒成立需满足的条件，再计算求解． 【详解】不等式对恒成立，需满足对应函数开口向上，且判别式小于零： 开口向上，满足条件； ，解得， 的取值范围是，故A正确． 故选：A． 6．（25-26高一上·云南红河·期末）若m，n是关于的方程的两个正实数根，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为m，n是关于的方程的两个正实数根， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立． 所以，所以的最小值为． 故选：D． 7．（25-26高一下·陕西安康·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求出参数的值，再代入分式不等式，移项通分转化为整式不等式求解，注意排除分母为0的情况。 【详解】由不等式的解集为，可知，且、是方程的两个实根， 根据韦达定理：，解得，，代入得，解得， 将、代入，得 ， 移项通分： ， 该不等式等价于，即，解二次不等式，得或， 结合，最终解集为. 8．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对k分三种情况讨论，逐个分析求出对应x满足的范围，再结合整数解的集合为确定k的范围． 【详解】由，可得或，由，可得， ①若，即时，则由（*），可得，此时原不等式的解集为，显然不符合题意； ②若时，则由（*），x无解，显然不符合题意； ③若时，则由（*），可得，此时要使不等式组的整数解的集合为，须使，即， 综上可得，实数的取值范围． 故选：B． 二、多选题 9．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】已知，，则， ，故，A正确； ，则， ， ， ，故B正确； 取，满足，， 此时，即， 故不恒成立，故C错误； ，则， ， 则，故，故D正确． 10．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 【答案】BD 【分析】根据题意，利用不等式的性质，作差比较法，以及基本不等式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，，则，所以A不正确； 对于B，由 因为，可得，所以， 可得，所以，所以B正确； 对于C，若，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C错误； 对于D，若且， 由，即，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以， 即的最大值为，所以D正确. 11．（25-26高一上·四川成都·期末）下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 【答案】ABD 【详解】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故 A正确； 当时，，当，即时，等号成立，故B正确； 当时，， 当，即时，等号成立，故C错误； 当时，， 当，即时，等号成立，故D正确. 三、填空题 12．（25-26高二下·浙江舟山·期末）已知二次函数有两个正零点，，则的最小值为___. 【答案】 【分析】根据二次函数的零点与系数的关系得到和的表达式，再将进行变形，最后利用基本不等式求解其最小值. 【详解】二次函数有两个正零点， ，解得. 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 13．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】构造对应二次函数，结合一元二次方程根的分布特征列不等式组，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 四、解答题 14．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 能力进阶 1．（25-26高一上·山东威海·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 2．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解. 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 3．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中（m）为安全距离，v（m/s）为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（   ） A．116 B．118 C．119 D．122 【答案】A 【详解】由题知 ， 当且仅当，即时取“＝”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116． 4．（25-26高一下·湖北·期中）若满足，则下列结论正确的有（     ） ①    ②    ③    ④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】利用完全平方公式结合已知等式，先求出的取值范围，再代入各结论进行判断即可. 【详解】因为，即，代入， 得，即，故③正确， 因为，即，代入， 得，即， ， 结合得， 则，且,故①正确②错误， ，故④错误. 5．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 6．（多选）（25-26高一上·四川成都·期中）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 7．（多选）（25-26高二下·河北承德·期末）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D． 【答案】ACD 【分析】对于选项A，利用基本不等式可判断的最大值；对于选项B，根据基本不等式，求出，再利用基本不等式求的最小值，判断B的正误；对于选项C，先对变形，再利用求其范围；对于选项D，由，通过换元，利用函数的单调性求其最小值. 【详解】因为，，且，所以由基本不等式，得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A正确； 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是8，故B错误； 因为，，所以， 所以，即的取值范围是，故C正确； ，令，则．函数在上单调递减， 所以在上的最小值为． 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确． 8．（专题拓展：一元二次方程的根的分布问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】考查二次函数根的分布问题，由题意得出且，从而求出的取值范围. 【详解】令， 因为方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则大致图象是： 所以，解得或， 所以实数的取值范围为． 9．（25-26高一下·江苏盐城·期末）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 【答案】 【详解】甲写错了，但是正确的，由的解为，则1和2是方程的两个根，得； 乙写错了，但是正确的，由的解为，则和1是方程的两个根，得，即. 由，得，即，解得. 不等式的解为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $