第二章 等式与不等式（复习讲义）数学人教B版2019必修第一册

第二章 等式与不等式（复习讲义） 基础目标 ①学生能理解等式的基本性质，熟练进行一元一次方程的求解； ②掌握不等式的 7 条基本性质，能判断简单不等式的正误，会用性质比较两个数（式）的大小； ③学会解一元一次不等式（组），并能在数轴上表示解集，为后续学习打下坚实的知识基础，初步形成代数变形意识。 进阶目标 ①能运用等式性质解决含参数的一元一次方程问题，分析参数对解的影响； ②灵活运用不等式性质证明简单的不等式，求解一元二次不等式，掌握 “因式分解法”“配方法” 等解题技巧； ③能结合实际问题，建立等式或不等式模型，解决简单的最值、范围问题，提升逻辑推理与数学运算能力。 拓展目标 ①探索等式与不等式的内在联系，如利用不等式性质推导等式成立的条件； ②尝试解决含绝对值的不等式、分式不等式等复杂问题，总结解题规律； ③能将不等式与集合等知识结合，判断集合间的关系，培养知识迁移能力与综合应用意识，体会数学知识的系统性。 1．利用不等式判断正误的2种方法： ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 2．解一元二次不等式的一般步骤： （1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 3．解含参数的一元二次不等式： （1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； （2）若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论； （3）若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 4．一元二次不等式恒成立问题 （1）恒成立的充要条件是：或 （2）恒成立的充要条件是：或 （3）含参数的不等式恒成立，若能够分离参数成或形式．则可以转化为函数最值求解．设的最大值为，最小值为. ①恒成立⇔，恒成立⇔. ②恒成立⇔，恒成立⇔. 5．基本不等式求最值的常用方法： （1）添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式； （2）形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值。 （3）出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． （4）条件等式中有和有积，寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值 题型一 一元二次方程根与系数的关系 例1．设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】由题设，可得， 结合已知有，且，， ， 当时，取得最大值10. 故选：C 变式1-1．关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则 ． 【答案】 【详解】设是一元二次方程的两个实数根， 则，解得，所以， 所以12，解得或， 又，所以． 故答案为： 变式1-2．若关于x的一元二次方程有两个不等实根.则 . 【答案】 【详解】根据题意得，， . 故答案为：. 变式1-3．已知实数满足，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】由已知，得． 于是是关于的一元二次方程的两个实数根． 所以， 又恒成立，则， 所以，则有． 题型二 多元方程组的解集问题 例2．下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 【答案】D 【详解】由题意得，， 即， 当时，不成立，方程组无解； 当时，，方程组有唯一解. 故选：D. 变式2-1．若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为 ． 【答案】0或1 【详解】由消去整理可得． 当时，解得，此时方程组的解为符合题意； 当时，则，解得，此时方程组的解为符合题意． 综上可得或． 故答案为：0或1. 变式2-2．已知是方程组的解，则方程组的解是 ． 【答案】 【详解】由题意，代入方程组可得， 所以当时，代入方程组， 可得，成立， 所以方程组的解是， 故答案为： 变式2-3．求下列方程组的解集 (1)． (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）将②代入①，整理得，解得或． 利用②可知，时，；时，． 所以原方程组的解集为． （2）由①②，整理得．③ 由③解得．代入①，并整理，得，解得或． 利用③可知，时，；时，． 因此，原方程组的解集为． 题型三 不等式的性质及应用 例3．（多选）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，不等式两边同乘，不等号改变方向，所以， 又，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； 因为，所以， 由等价于，由题中条件无法得到此式， 例如取，则，C错误； 因为，所以，所以， 所以，又，所以，D正确． 故选：ABD 变式3-1．下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】因为，所以，因为，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； C错误，比如，而； 因为，，所以，所以，D正确. 故选：C 变式3-2．（多选）已知实数，，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】当，，，时，满足条件， 此时，A项错误； 由，得， 则，，所以，B项正确； 由，，得，C项正确； 由，得，所以，则， 又，所以，D项正确． 故选：BCD． 变式3-3．设，使和同时成立的一个充分条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】根据不等式的性质可知，当时，和同时成立的， 所以“”是“和同时成立”的充分条件， 即只要满足，就均是“和同时成立”的充分条件， 所以充分条件可以是． 故答案为：（答案不唯一） 题型四 作差法与作商法比较大小 例4．（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）方法一：作差法． ． 因为，所以，所以， 所以． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 所以． （2）方法一：作差法． ．因为且，所以． 又因为，所以，则 又因为，所以，即． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 因为，由倒数法则可知， 又，所以由不等式的性质得， 则由同向可加性得知， 则，即． 变式4-1．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 故选：C. 变式4-2．比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 则. （2）， 则 变式4-3．设，比较与的大小 【答案】 【详解】， ， ， . 题型五 利用不等式求取值范围 例5．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方法一：设，则， 所以解得即， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D 变式5-1．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：由不等式的同向可加性得，即，对； B：同乘，不等式变号，得，又， 由不等式的同向可加性得，即，对； C：由B项结论及，利用不等式的同向同正可乘性得，即，对； D：因为，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则，错. 故选：D 变式5-2．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 变式5-3．已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】令，则解得， 故，由，得， 又，故，即． 故答案为： 题型六 一元一次不等式（组）的解集问题 例6．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，故得. 故选：C. 变式6-1．解下列不等式（组）： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）去分母，得， 去括号，得， 移项化简，得， 所以不等式的解集为． （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图． 由图可知，不等式组的解集为． 变式6-2．如图，已知函数和的图象交于点的解集是 . 【答案】 【详解】因为函数和的图象交于点， 所以， ， 所以不等式为， 解得：， 故答案为：. 变式6-3．关于的不等式组的最小整数解为，则符合条件的的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由解得， 由解得， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组的最小整数解为， 所以，解得， 所以符合条件的的取值范围为， 故答案为： 题型七 含绝对值的不等式的解集 例7．下面是的解集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】等价于或者， 解得或者， 故选：D 变式7-1．不等式的解集是 . 【答案】 【详解】 故答案为： 变式7-2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，． 故选：A． 变式7-3．已知集合，集合或，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，对于集合，当时，，满足条件； 当时，，满足条件；当时，， . 综上：. 故答案为：. 题型八 一元二次不等式的解集 例8．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)． (3)或． (4)． 【详解】（1）对于方程， 所以由求根公式可得方程的两个实数根为，， 所以不等式的解集为． （2）恒成立，则不等式的解集为． （3），移项得， 整理得，即， 解得或，则不等式的解集为或． （4）因为，即， 解不等式，即，解得； 解不等式，即， 又因为恒成立， 所以不等式的解集为． 综上，不等式的解集为． 变式8-1．集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 故选：A. 变式8-2．若要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】要使有意义，则有且，解得或，所以的取值范围是或． 故选C． 变式8-3．解下列关于x的不等式 【答案】答案见解析 【详解】，即. 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或. 题型九 由一元二次不等式的解集求参 例9．若不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题，可得和是方程的两根，且， ，解得， 则不等式可化为，即， 解得，故不等式的解集为. 故选：A. 变式9-1．已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3， 则由韦达定理：，解得． 故选：B 变式9-2．已知关于的不等式的解集中恰有1个整数，则正整数 ． 【答案】1 【详解】不等式， 因为为正整数，所以不等式的解集为， 又因为解集中恰有1个整数，所以中只含一个整数1， 所以，即，所以正整数. 故答案为：1 变式9-3．已知关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集为， 当时，不等式为，满足题意； 当时，则，解得； 综上，的取值范围是． 题型十 一元二次不等式恒成立（有解）问题 例10．“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 变式10-1．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 故选：A 变式10-2．“，”恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，，则对恒成立，即， 由可得， 所以，所以， 由于是的真子集，故符合题意. 选项AB是必要不充分条件，C是充要条件. 故选：D. 变式10-3． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 则，解得． （2）当时，， 若，不等式转化为对一切实数恒成立，显然满足题意； 若，不等式转化为对一切实数恒成立，易知不满足题意； 当时，由题意可知， 解得或． 综上，实数的取值范围为． 题型十一 利用均值不等式判断不等式 例11．（多选）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，对任意的、，，即， 当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，当，时，由A选项可知， 则，故， 当且仅当时，等号成立， 故，B对； 对于C选项，当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，C错； 对于D选项，因为，，则， 故，D对. 故选：ABD. 变式11-1．设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 变式11-2．（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】用替代中的，得到，当且仅当时取等号，故A正确； 取，则，故B错误； ，当且仅当时取等号，故C正确； 因为，所以， 即，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD 变式11-3．（多选）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由，则，故， 综上，有，B对，A、C、D错. 故选：ACD 题型十二 利用均值不等式求最值 例12．已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以，即的最小值是4． 故选：A． 变式12-1．已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 变式12-2．（多选）已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 【答案】AC 【详解】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确； 因为，故，当且仅当时，等号成立， 即最小值是，选项B错误； ， 当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确； ，故， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，选项D错误， 故选：AC． 变式12-3．若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为， 设，则，整理得：， 解二次不等式得：，（舍负解），即， 即，当且仅当时，等号成立． 故答案为：. 题型十三 均值不等式恒成立问题 例13．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 变式13-1．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：A． 变式13-2．不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 变式13-3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，，且， 所以，所以， 当且仅当，即，时取等号， 又恒成立，所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 基础巩固通关测 一、单选题 1．设，若有两个不相等的根，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于的方程有两个不相等的实数根， ，解得:， 则. 故选：C. 2．若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【答案】C 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 3．若，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，可得或， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4．若命题“”是假命题，则可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为时，，当且仅当时取等， 则当命题“”为真命题时， 所以命题为假命题时. 故选：D. 5．若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为关于的方程的两个不相等实数根满足， 所以，由根与系数的关系得：， 结合题意得： 即， 解得或， 即实数的取值范围是， 故选：C. 6．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】已知，得， 代入得： 由于，， 得： 当且仅当，即：，时等号成立. 故的最小值为. 故选：A 7．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么使不等式成立的的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 由题中定义可知的可能取值有、， 当时，；当时，. 综上所述，使不等式成立的的范围是. 故选：C. 8．若，，则下列能成为“的最小值为16”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 又的最小值为16， ， 当且仅当，即时，等号成立，即取到最小值16． 所以，即． 若，显然的最小值为16． 故选：A． 二、多选题 9．已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】BD 【详解】对于A，因为关于的不等式的解集为， 所以和3是关于的方程的两根，且，故A错误； 对于B，由已知得和3是关于的方程的两根， 由韦达定理得，解得， 对于不等式，即化为，解得，故B正确； 对于C，可得，故C错误； 对于D，对于不等式，可化为， 而，则化为，解得，故D正确． 故选：BD 10．对于实数，，，下列命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】根据，取，，则不成立，故A错误； ，由不等式的基本性质知成立，故B正确； 由，取，，则不成立，故C错误； ，，， 即，，，，故D正确． 故选：BD 11．下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若正实数，满足，则的最小值为2 D．若正实数，满足，则的最大值为2 【答案】ABD 【详解】A选项，当时，， 当且仅当时等号成立. 当时，， 当且仅当时等号成立. 综上所述，成立，A选项正确. B选项，， 令，则在上单调递增， 故， 当，即时取等号，则， 而成立，所以B选项正确. C选项，， ， ，不符合题意，所以C选项错误. D选项，，， ， 当且仅当时等号成立，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题 12．若关于x，y的方程组有无数组解，则 ． 【答案】 【详解】因为关于x，y的方程组有无数组解， 则直线重合，所以， 则． 故答案为： 13．已知，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】，，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 故答案为：. 14．已知集合，，，若，，则 . 【答案】 【详解】由题意得集合， 因为，，所以， 则，，解得，，所以. 故答案为： 四、解答题 15．（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 16．设全集，集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，即. 当时，由，即. 所以. （2）因为， 若，则，由得：； 若，则，成立； 若，则，由得：. 综上，实数的取值范围是：. 17．已知关于的不等式的解集为或. (1)求，的值； (2)当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）不等式的解集为或 和是方程的两个实数根且 ，解得 （2）由（1）知，于是有， 故， 当且仅当时，等号成立， 依题意有，即， 得，解得， 的取值范围为 18．为了减少碳排放，某公司革新技术，将其生产过程中产生的二氧化碳加工成副产品.已知该公司每月处理二氧化碳的量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式为，且每处理1吨二氧化碳所得的副产品价值为元. (1)该公司月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低？ (2)该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能否获利？若能，求出每月最大利润；若不能，求出每月最小亏损. 【答案】(1) (2)能获利，最大利润为 【详解】（1）由已知月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式， 则每吨的平均处理成本为， 当且仅当，即时取等号， 即当月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； （2）设利润为，则， 又， 则当时，取最大值为， 该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能获利，且最大利润为. 19．已知，关于的一元二次不等式的解集为. (1)求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【详解】（1）因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以关于的一元二次方程的两解为和， 所以，解得. 所以一元二次方程的解为，， 所以不等式的解集为或. （2）由（1）得关于的不等式，即， 因式分解得. ①当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为； ②当时，原不等式为， 解得或， 所以不等式的解为； ③当时，原不等式为， 解得，即不等式无解； ④当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为； ⑤当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为. 综上可得：当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 能力提升进阶练 1．（ 2024·25高一上·浙江杭州·期末）已知关于x的方程（其中均为实数）有两个不等实根. (1)若，求m的取值范围； (2)若满足，且，求p的取值范围. (3)若为两个整数根，p为整数，且，求. 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）当时，由题意，若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根， 若方程有两个不等的实数解， 则，解得且， 所以的范围是 . （2），方程为，， 则，又，即 ∴，即， 所以，解得． 所以的取值范围为． （3）依题意：，且， ，， 因为均为整数， 所以也是整数， ∴或， 时，，又且，∴， 时，，又且，∴． 综上，或． 2．如图，在长方形中，，，点在上，且，点，分别是边，上的动点，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】设，因为四边形是长方形，，，. 在中，根据勾股定理，可得. 因为，，所以， 又因为，则，所以（两角分别相等的两个三角形相似）. 由可得，已知，， 则，那么，所以. 在中，根据勾股定理，可得. 因为，所以. 根据均值不等式，对于，， 有： ,（当且仅当，即时等号成立）. 因为，，所以，那么. 所以面积的最小值为. 故选：B. 3．已知，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由于，故， ，当且仅当时，取等号， ，当且仅当时，原式取得最小值， 故选：D. 4．（ 2024·25高一上·江苏南通·期末）在中，，，则（   ） A． B．的长可能为 C．的面积的最大值为 D． 【答案】ACD 【详解】对A：由，故A正确； 对B：因为，. 当时，取得最小值，所以，所以，所以不可能成立，故B错误； 对C：因为（当且仅当，即，时取等号）. 所以.故C正确； 对D：因为为直角三角形，且，所以，. 又因为. 因为，.（当且仅当时取等号） 所以成立.故D正确. 故选：ACD 5．已知，，且，则的最小值是 . 【答案】8 【详解】因为，所以，则. 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是8. 故答案为：8. 6．（ 2025·广西南宁·模拟预测）设，我们常用来表示不超过的最大整数．如：．若，则 ，若是方程的实数解，则 ． 【答案】 或或 【详解】若，则，故 因为，故， 因为，故，故，故， 若，则，又，故符合； 若，则，故，又，不符合，均舍； 若，则，故，又，故符合； 若，则，故，又，故符合； 综上，或或． 故答案为：，或或 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 等式与不等式（复习讲义） 基础目标 ①学生能理解等式的基本性质，熟练进行一元一次方程的求解； ②掌握不等式的 7 条基本性质，能判断简单不等式的正误，会用性质比较两个数（式）的大小； ③学会解一元一次不等式（组），并能在数轴上表示解集，为后续学习打下坚实的知识基础，初步形成代数变形意识。 进阶目标 ①能运用等式性质解决含参数的一元一次方程问题，分析参数对解的影响； ②灵活运用不等式性质证明简单的不等式，求解一元二次不等式，掌握 “因式分解法”“配方法” 等解题技巧； ③能结合实际问题，建立等式或不等式模型，解决简单的最值、范围问题，提升逻辑推理与数学运算能力。 拓展目标 ①探索等式与不等式的内在联系，如利用不等式性质推导等式成立的条件； ②尝试解决含绝对值的不等式、分式不等式等复杂问题，总结解题规律； ③能将不等式与集合等知识结合，判断集合间的关系，培养知识迁移能力与综合应用意识，体会数学知识的系统性。 1．利用不等式判断正误的2种方法： ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 2．解一元二次不等式的一般步骤： （1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 3．解含参数的一元二次不等式： （1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； （2）若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论； （3）若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 4．一元二次不等式恒成立问题 （1）恒成立的充要条件是：或 （2）恒成立的充要条件是：或 （3）含参数的不等式恒成立，若能够分离参数成或形式．则可以转化为函数最值求解．设的最大值为，最小值为. ①恒成立⇔，恒成立⇔. ②恒成立⇔，恒成立⇔. 5．基本不等式求最值的常用方法： （1）添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式； （2）形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值。 （3）出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． （4）条件等式中有和有积，寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值 题型一 一元二次方程根与系数的关系 例1．设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 变式1-1．关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则 ． 变式1-2．若关于x的一元二次方程有两个不等实根.则 . 变式1-3．已知实数满足，求证：． 题型二 多元方程组的解集问题 例2．下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 变式2-1．若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为 ． 变式2-2．已知是方程组的解，则方程组的解是 ． 变式2-3．求下列方程组的解集 (1)． (2) 题型三 不等式的性质及应用 例3．（多选）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变式3-1．下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 变式3-2．（多选）已知实数，，，满足，则（    ） A． B． C． D． 变式3-3．设，使和同时成立的一个充分条件是 ． 题型四 作差法与作商法比较大小 例4．（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 变式4-1．若，，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 变式4-3．设，比较与的大小 题型五 利用不等式求取值范围 例5．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知，，则的取值范围为 ． 题型六 一元一次不等式（组）的解集问题 例6．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式6-1．解下列不等式（组）： (1)； (2). 变式6-2．如图，已知函数和的图象交于点的解集是 . 变式6-3．关于的不等式组的最小整数解为，则符合条件的的取值范围为 ． 题型七 含绝对值的不等式的解集 例7．下面是的解集的是（    ） A． B． C． D． 变式7-1．不等式的解集是 . 变式7-2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式7-3．已知集合，集合或，若，则的取值范围为 ． 题型八 一元二次不等式的解集 例8．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式8-1．集合则（    ） A． B． C． D． 变式8-2．若要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 变式8-3．解下列关于x的不等式 题型九 由一元二次不等式的解集求参 例9．若不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式9-1．已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式9-2．已知关于的不等式的解集中恰有1个整数，则正整数 ． 变式9-3．已知关于的不等式的解集为，求的取值范围． 题型十 一元二次不等式恒成立（有解）问题 例10．“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 变式10-1．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式10-2．“，”恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 变式10-3． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 题型十一 利用均值不等式判断不等式 例11．（多选）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 变式11-1．设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 变式11-2．（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 变式11-3．（多选）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 题型十二 利用均值不等式求最值 例12．已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 变式12-1．已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 变式12-2．（多选）已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 变式12-3．若，且，则的最小值为 ． 题型十三 均值不等式恒成立问题 例13．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 变式13-1．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式13-2．不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 变式13-3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 基础巩固通关测 一、单选题 1．设，若有两个不相等的根，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 3．若，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若命题“”是假命题，则可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 7．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么使不等式成立的的范围是（    ） A． B． C． D． 8．若，，则下列能成为“的最小值为16”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 10．对于实数，，，下列命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若正实数，满足，则的最小值为2 D．若正实数，满足，则的最大值为2 三、填空题 12．若关于x，y的方程组有无数组解，则 ． 13．已知，则的最小值为 ． 14．已知集合，，，若，，则 . 四、解答题 15．（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 16．设全集，集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 17．已知关于的不等式的解集为或. (1)求，的值； (2)当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 18．为了减少碳排放，某公司革新技术，将其生产过程中产生的二氧化碳加工成副产品.已知该公司每月处理二氧化碳的量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式为，且每处理1吨二氧化碳所得的副产品价值为元. (1)该公司月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低？ (2)该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能否获利？若能，求出每月最大利润；若不能，求出每月最小亏损. 19．已知，关于的一元二次不等式的解集为. (1)求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 能力提升进阶练 1．（2024·25高一上·浙江杭州·期末）已知关于x的方程（其中均为实数）有两个不等实根. (1)若，求m的取值范围； (2)若满足，且，求p的取值范围. (3)若为两个整数根，p为整数，且，求. 2．如图，在长方形中，，，点在上，且，点，分别是边，上的动点，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 3．已知，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 4．（2024·25高一上·江苏南通·期末）在中，，，则（   ） A． B．的长可能为 C．的面积的最大值为 D． 5．已知，，且，则的最小值是 . 6．（2025·广西南宁·模拟预测）设，我们常用来表示不超过的最大整数．如：．若，则 ，若是方程的实数解，则 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$