3.1.1 函数及其表示方法 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数概念及表示方法，从初中“变量说”引入，通过“|x|是否为函数”等问题引发认知冲突，衔接集合知识支架，引导学生从“集合-对应”角度构建新知，承前启后梳理函数学习脉络。 此设计以四情境（列车路程、工资计算等）抽象函数定义，培养数学抽象；辨析三要素及相等函数，发展逻辑推理；结合GeoGebra作图与生活实例，强化数学建模。分层作业适配差异，助力学生提升核心素养，也为教师提供高效教学范式。

《函数及其表示方法》教学设计 教学内容 教材版本 人教版高中数学(B版)（共7册） 册数 必修第一册 页码 P 83—P 94 课题名称 3.1.1函数及其表示方法 课程类型 新授课 授课对象 高一年级学生 课时 1课时 教材分析 课标分析 【课标要求】（2017年版2020年修订） 1.函数是现代数学最基本的理念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用，函数是贯穿高中数学课程的主线. 2.本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系，能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质. 3.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合的语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 4.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用. 【课程标准解读】 1.数学来源于生活，数学学习的意义是什么？回答好这个问题可以帮助学生增强学习内驱力，提升学习的兴趣，所以教学中选择恰当的真实情境，利用问题驱动，让学生明白学习有用的数学. 2.函数作为高中数学学习的主线，我们应在教学中强调知识发展的必要性，让学生明白学习函数的价值，重视基本概念及定义的理解，一切问题的本质回归定义，为后续函数性质及应用的研究打下坚实的基础，注重整体性学习的必要性. 3.函数是数学课程具有典型模型之一，数学的学习重视根据数学模型的问题表征抽象出问题的本质，所以在函数概念的学习时，重视定义的理解，对问题本质的剖析是至关重要的. 4.注重创造性数学思维的培养，函数概念是学生学习的载体，通过具体内容的学习，获得思维与能力的提升才是数学课堂真正的价值，所以我们应把如何提升学生思维能力，发展学科核心素养作为教学的关键. 新课标体现了对培养学生在数学抽象、逻辑推理、数学建模等综合能力方面的重视，在实际教学中需要以学生为中心，设置具体问题情境引导学生进行自主分析和解决，给学生提供适当的脚手架，让学生自行探索出问题的答案，培养学生发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题的能力，逐步落实发展学生数学学科核心素养. 结构分析 第三章《函数》安排在第一章《集合与常用逻辑用语》和第二章《等式与不等式》之后，在已经学习过“集合与对应关系”以及解不等式的图像法之后再进行函数的学习，可以为学生提供适当的脚手架，帮助学生将函数思维由变量迁移到对应关系上去，也为后续函数的单调、奇偶性以及与方程、不等式之间的关系奠定了坚实的基础，而本节课的内容则是起到了承上启下的作用，不仅利用集合拓宽学生对函数的理解，也为后续提高学生的抽象思维能力提供一个全新的最近发展区，作为高中函数学习的第一课，无论是知识的研究还是学习思想方法的形成，本节内容的教学都有举足轻重的地位. 内容分析 本课程内容选自人民教育出版社高中数学（B版）必修第一册（P83-94）第三章《函数》第一节《函数的概念与性质》中的《函数及其表示方法》，本节内容教学安排为2课时，本教学设计为第1课时，本课旨在引导学生在初中已学过函数知识的基础上，建立新的认知角度研究函数，借助具体生活情景问题构建“非常规函数”这一认知冲突及其消解，并借助集合、逻辑来研究函数的概念，学习过程强调对数学魅力的感知以及数学符号工具的使用，利用坐标系和信息技术工具快速绘制函数图像，引导学生深入感受函数建模的一般步骤。 在本节课的学习中，我们将助力学生构建全面的函数观念。学生不仅会将函数视为描述变量依赖关系的数学语言和工具，还将认识到函数是实数集合间的一种对应关系，这将为后续探讨函数的性质和应用打下坚实的基础。函数作为一种关键的数学模型，用于描绘现实世界的变化规律，它在高中数学教学中占据核心地位，是高中数学的核心主题之一。函数的研究方法将贯穿整个高中数学课程。本课程的目标是借助多样的实例，让学生深刻感受到函数作为描述变量依赖关系数学模型的重要性，并学会运用集合与对应的语言来精确刻画函数，领悟对应关系在定义函数概念中的关键作用，深入理解“对应说”在定义函数中的价值与意义。此外，函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等数学内容紧密相连。函数的基础知识在日常生活和其他学科领域有着广泛的应用，因此，学习函数概念至关重要。 学情分析 学生年龄思维 特点 高一学生年龄约15—16岁，积极、热情，有较强的求知欲，学习处于一个知识过渡阶段，他们的自我意识明显增强，独立思考和处理事物能力加速发展，在心理和行为上表现出强烈的自主性，思维从形象思维逐渐向抽象思维过渡，辩证逻辑思维日趋发展，他们开始能够更熟练地运用概念、判断和推理来解决问题，能够理解更加抽象和复杂的概念，并进行更深层次的逻辑推理.对知识充满好奇、善于思考,自尊心较强，学生之间基础差异较大. 学生已有知识兴趣分析 【前置知识】 在小学阶段，学生接触了一些函数模型的实例，例如“路程、速度与时间的关系”以及“总价、单价与数量的关系”，尽管当时并未明确引入函数的概念，但他们的学习是基于直观感知的。尽管函数的定义没有被明确提出，学生已经开始体会到函数模型的存在。 到了初中阶段，学生已经接触了几种基本初等函数，并对函数有了一定的感性理解，认识到函数是两个变量之间的依赖关系。在初中，函数是从“变量”的角度定义的：通常在一个变化过程中，如果存在两个变量x和y，对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，那么称x为自变量，y为x的函数。当x取值为a时，对应的y值称为自变量为a时的函数值。此外，学生在第一章已经学习了集合的相关知识，可以尝试使用新的语言来描述两个变量之间的关系。学生们可以根据新的教学要求，通过合作探究，对函数的理解更上一层楼，从而为掌握函数的“对应说”概念和理解打下坚实的基础。 【兴趣爱好】 高中生好奇心强，对未知事物兴趣浓厚，能进行主动地探索和发现，有一定的生活情景体验，对数字计算较为敏感，对使用数学软件（如Mathematica、MATLAB、GeoGebra等）和编程语言（如Python、Java等）来解决数学问题较为感兴趣. 学生学习需求及其障碍 高一年级的学生日常课程较多，思维活跃，具有一定的逻辑推理能力，有很多自己的想法，探索能力强，对一些实操性较弱的课程提不起兴趣，课堂上也很容易分心，注意力容易发散，需要一定的情境创设和积极的师生互动以及特定的矛盾冲突认知等方式提升学习内驱力. 同初中函数的概念比较直观相比，本节课函数的概念较为抽象，高一学生的思维水平还不善于把抽象概念和具体实例联系起来，从具体实例中归纳概括出函数的一般概念的能力较弱. 解决方案 首先，通过具体案例的展示，使学生意识到初中阶段所学的函数概念已不足以精确描述这些函数，从而引发学生内心的认知冲突，点燃他们的学习热情。接着，利用多样化的具体情境实例，引导学生进行归纳、概括和抽象，从而提炼出函数的概念，并使用集合与对应的语言来精确描述这一概念的本质。通过这一过程，让学生体验函数模型的建立过程和方法。同时，设计一连串的问题，与学生进行紧密的互动，确保学生在课堂上保持高度参与，并在这一过程中锻炼学生的抽象思维和语言表达能力，从而深化对函数概念的理解。 教学目标与核心素养 【学习目标】 1.学生能在问题探究中从“集合对应”的角度认识函数的概念，正确理解函数的定义并将函数概念符号化，能用集合与对应语言刻画具体函数，理解函数三要素，会判断两个函数是否相等. 2.能够观察一些简单的函数定义域值域并计算具体的函数值. 3.理解符号“”的含义，能解释“”与“”的区别与联系，体会函数模型的重要性，能在具体情境中选择恰当的方法表示函数. 4.能够通过从实例中抽象概括函数概念的过程，提高抽象概括能力. 5.了解常用的函数图像绘制方法，能够熟练掌握图像法的运用. 【学科德育目标】 通过参与函数概念的形成过程，学生们将提升他们的数学抽象能力和归纳概括技巧，体验运用集合与对应语言描绘函数的优雅。同时，通过探究函数概念的发展历程，学生们将感受到知识形成的不易和数学家们的卓越贡献。 【核心素养】 1.数学抽象:通过教材中四个实例概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力. 2.逻辑推理:通过函数概念的理解后进行相等函数的判断，归纳总结出函数的三要素并能灵活应用. 3.数学运算:求函数定义域及函数值. 教学重难点 教学重点 1. 通过对具体实例的共通特征进行总结，引导学生使用集合与对应的语言来定义函数概念，以此培养学生在数学抽象和归纳概括方面的素养。 2. 对函数概念进行深入分析，并提取函数的三要素，同时归纳函数的三种表达方式及其应用。 教学难点 从多样化的情境中提炼函数的核心要素，进而抽象出函数的定义，并将函数概念转化为符号表达，深入理解函数符号“f(x)”所代表的含义。 教学策略 教法 采用“问题导向”的启发式教学方法(问题情境、启发引导、合作交流、归纳抽象)，采用希沃白板+科大讯飞平台、多媒体辅助教学. 学法 自主探究+小组合作学习，引导每个学生进行自主学习和小组合作学习. 设计理念 本节课主要聚焦于函数的概念，但与完全陌生的概念学习不同，学生们在初中阶段已经对函数有了基本的认识.因此，本节课的目标不仅是让学生接受高中阶段的“集合-对应说”函数定义，更重要的是帮助他们理解初中的“变量说”与高中的“集合-对应说”之间的联系和差异，并认识到为何需要重新定义函数的概念.如果这个问题处理不当，可能会导致学生在理解函数概念时感到困惑,为此，可以从学生们熟悉的基于变量关系的函数概念出发，引导他们通过分析生活中的例子或数学问题，使用“变量说”来探讨课本中的四个典型案例，从而体会引入“集合-对应说”的必要性.通过归纳这些具体实例的共性，我将帮助学生抽象概括出函数的普遍定义，让他们感受数学抽象的层次.同时，我会引导学生从变量间的依赖关系、实数集合间的对应关系以及函数图像的直观几何这三个维度全面理解函数概念，以此提升学生的数学抽象素养，本节课以课程标准为指导，以“问题探究性学习”为导向，致力于从“知识为本”转化为“素养为本”. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 1. 引入问题 1.教师引入问题：我们在初中已经学习过了函数，大家对函数的内容还有哪些印象呢？说一说函数的类型及其一般表达式并举几个例子？初中对函数是如何定义的呢？ 2. 在学生回答的基础上继续追问：你可以用函数的定义来阐述一下你说的这个例子吗？ 3．设置冲突：同学们，你们认为是一个函数吗？与是同一个函数吗？与呢？ 师生进行互动，学生在回答问题过程中，根据具体函数模型，发现初中函数定义的局限性，从而产生学习新知识的欲望. 学生回答情况预设： 1.有一次函数、正比例函数、反比例函数等等，因变量随着自变量的变化而变化. 2.学生根据自己的理解回答可能多样化，定义的阐述可能不够简洁精炼. 3.学生犹豫回答，教师提示. 针对性设置问题，通过学生的回忆的具体案例，唤起学生已有的知识储备，激发他们进行“再创造”的欲望.掌握学生初中阶段对函数概念的理解水平，引导学生深入体验函数概念的核心，即对于每一个确定的值，都存在一个唯一对应的值.利用这一问题来激发学生的思维，调动课堂氛围，同时锻炼学生的逻辑思考能力，引起认知冲突，从而激发学生的学习兴趣. 2. 构建新知 教师展示情境1: 请根据如下情境回答问题，某高速列车朝一个方向行驶，加速到，然后保持匀速运行半小时. (1)匀速运行这段时间内，如何表示列车行驶的路程(单位:)，与运行时间(单位:)的关系?这是一个函数关系吗?为什么? (2)有人说:“根据对应关系 ，这趟列车加速到后,运行就前进了”你认为这种说法正确吗? (3)能否确定这趟列车匀速行驶多久时前进？ (4)如何描述与的对应关系才更精确? 学生根据初中函数概念，用独立思考+小组合作的方式回答. 学生回答情况预设： 学生能回答是函数关系式，但对加速阶段的解析式无法描述. （问题(3)的回答可能存在困难，教师可引导学生在黑板提前画好的表格里写出自变量范围和函数值范围，并用集合表示.教师及时做出适当的引导和点评，提示学生用集合对应的语言精确的描述这个函数关系，进而让学生学会自主解决问题.） 通过四个问题，形成问题链引发思考，特别是第二和三个问题，引起思维和认知冲突，发现初中概念的不足之处，尝试用更为精确的语言来描述函数，初步形成新的函数概念.同时培养学生发现问题，分析问题的能力，对于困难问题，通过填写表格引导学生往自变量及函数值范围上思考，可为学生降解认知冲突问题. 教师展示情境 2: 某电器维修公司要求工人每周至少工作一天，至多不超过六天，如果公司确定的工资标准是每人每天 350 元，而且每周付一次工资，那么: (1)你认为该怎样确定一个工人的每周的工资? (2)一个工人的工资是他工作天数的函数吗? (3)模仿情境1的方法，描述 与的对应关系. (4)情境1和情境2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗?为什么? 学生回答情况预设： 有情景1的探究作铺垫，这四个问题大部分同学能完整解决，学生思考教师提出的问题并口述回答，层层递进，领会函数的内涵，在比较情境1和情境2的区别中总结出自变量的集合，函数值集合的区别. 引导学生感悟函数概念的核心是对应关系，并引导学生认识到自变量集合、函数值集合可以是连续的，也可以是离散的，通过对两个问题的思考，让学生感性地认识用集合与对应的语言描述函数关系，进一步让学生尝试对函数做精确语言的描述，初步感受到函数的定义域、值域和对应关系. 教师展示情境 3: 下图所示是北京市2020 年1月的空气质量指数(简称:)变化图: (1)如何根据该图确定这个月内某一天的空气质量指数的值呢? (2)你认为这里的是的函数吗?如果是，请仿照前面的方法描述与的对应关系. (3)能根据图找到1月11 日的值吗?这个值是否唯一存在? (4)你能根据图中的信息确定当时，的取值范围吗? (5)假如当时，的取值范围是，显然，试用精确的语言描述与的对应关系，如果改为，还符合函数定义吗? 改为呢? 教师给学生充足时间思考，有针对性的抽取学生回答并追问，在黑板提前画好的表格里面写出自变量范围和函数值范围，并用集合表示. 学生先独立思考，然后进行小组探究合作，讨论交流结果，将结果用平板、扫描器等工具进行上传，上传完成后回答老师根据学生解答情况提出问题. 学生回答情况预设： 大部分同学能完成具体的问题，但在关键信息总结和归纳上相对欠缺，需加以引导，一小部分同学能完整解决问题，精确表达函数概念的关键词，并从具体问题中提取出老师旨在探究函数值范围，挖掘函数值所在集合及给定集合范围之间的关系，教师可发动优质学生的力量促进该问题的解决. 函数值范围的描述是学习过程中的一个难点，因此教师引导学生进行深入探讨，最终引出了函数值所在集合的概念，并帮助学生理解函数值集合与函数值所在集合之间的关系。 教师指导学生认识到，函数的对应关系不仅可以通过解析式来表达，也可以通过图像来描绘。 在这个问题中，确定函数值集合的完整性是一个挑战。通过引入一个包含所有函数值的更大范围的集合，教师引导学生思考这样的集合是否符合函数的定义，从而自然而然地导出函数关系的精确描述。 教师给出情境 4: 中国发展指数 反映了我国社会经济发展的趋势、特征、群众的发展信心和所关注的热点问题，下表是2013-2022年中国发展指数总指数变化情况，可从中看出我国正在经历一个快速发展时期，我们为我们的国家感到无比自豪。 (1)你认为根据表格给出的对应关系，中国发展总指数是年份的函数吗?如果是，请仿照前面的方法给出精确的刻画. (2)如果，还符合函数定义吗? 学生回答情况预设： 学生能大胆地说出函数概念的精确定义，并说出自变量的集合和函数值的集合. 引导学生认知除了可以用解析式、图像来描述函数的对应关系外，还可以用表格来描述，该情境中，引入函数值所在集合 是不合理的，可从根据表格中具体数据来解释，再次从“对应”的角度探究函数模型，有利于学生加深对函数概念的理解及归纳. 3. 归纳概括 教师提问上述情境 1-情境4中的函数有哪些共同特征?由此你能概括出函数的本质特征吗? 完善表格，尝试从“对应”角度描述函数的概念. 详细板书概念： 一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数.记作:, 其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 引导学生回顾集合对应语言刻画函数的过程，引导学生归纳概括出函数的三要素，通过表格引导学生归纳总结，深化认识函数的概念. 【概念剖析辨函数】 例：集合与对应关系如图所示 图1 图2 图3 是否为从集合到集合的函数?定义域、对应关系、值域各是什么？ 1.认真阅读教材函数的定义，找出关键词，并与初中函数定义进行比较，找到不同点和相同点。 2.在老师的引导下理解符号“”的含义，解释“”与“的区别与联系. 3.小组合作讨论交流辨析函数的概念. 【概念剖析辨函数】 学生回答： 如图1是从集合到集合的函数，定义域为集合，值域为集合，对应关系为， 如图2和图3所示就不是函数了，有中数在中没有数与之对应，有中的一个数对应中多个数的情况出现。 引导学生通过分析四个不同情境中函数的共性，体验数学抽象的步骤，从而提炼出函数概念的精确表述，把握函数概念的核心。同时，利用一些容易判断错误的例子，帮助学生通过辨析来深入理解函数的三个基本要素：定义域、对应关系和值域，进而增强学生对函数概念的理解。 4. 拓展阶段 老师通过视频播放辅助配音给学生讲述函数概念的发展历史，简单介绍做出贡献的数家，比如狄利克雷、莱布尼茨、介绍“函”字在中国汉字的意义，以及李善兰“”翻译成“函数”的原因. 学生观看视频，倾听老师对函数历史的讲解. 引导学生学习数学历史和数学文化，让他们体会到文化发展的艰辛与价值，从而自然地产生对伟大数学家的崇敬之情，崇尚数学、敬畏数学，并进一步领略函数概念的美妙。 5. 巩固练习 例1：求下列函数的定义域： (1) (2) 例2：若函数的定义域为,值域为则的图象可能是 例3. 函数的解析式是通过忽略具体问题的实际背景而抽象出来的，它所揭示的两个变量间的对应关系能够广泛地应用于描述某类事物中变量间的关系和规律.你能构建一个问题情境，使其中的对应关系为吗? 【学生活动】 独立完成1和2两个例题，学生通过适当的练习，巩固新知识，，然后由老师请同学展示解决过程，在习题完成中提升思想方法的总结及语言表达能力，体会获得学习的成就感. 小组合作完成第3个例题，本题属于开放情景，可充分让学生挖掘实际生活与数学的联系，体会数学真正的应用，在实践探究中提升学生思维能力，感悟建模的思想方法及一般步骤. 用刚学的函数定义解决具体问题，加深对一般函数定义的理解,老师请同学分析解题思路及思想方法，提升学生思路整理及语言表达能力，体会学习中快乐的源泉是获得新知，另外，让学生真切体会函数模型应用的广泛性，加深对函数定义的理解. 6. 理解深化 1.根据函数的三要素思考两个函数是相同的函数需具备哪些条件? 2.冲突消解：请同学们尝试回答课堂开始提出的问题：与是同一个函数吗？与是否相同呢？ 学生独立思考自由回答问题，深化函数三要素的理解，形成共识. 深入理解函数的概念及其三个要素，并能够运用更新的函数定义来解决初始问题，使学生体会到函数概念的本质之美。 7. 知识提升 1.同学们我们这时候在回过头来观察一下上述的四个情境，同学们发现这些函数的表示方法有哪些呢？每个方法有什么有缺点呢？ 2.列表法和解析式都很好理解，那同学们知道什么是图像法吗？请同学们自学课本P89-P92，深入理解函数图象的定义. （用函数的图象表示函数的方法称为图象法.由于很多函数的图象都由无穷多个点组成，描出所有点并不现实.因此，实际作图时，经常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图象，这就是描点作图法）. 3. 借助多媒体数学软件（如Mathematica、MATLAB、GeoGebra.）作出下列函数图象： 例1中函数，，请同学上台用多媒体尝试作图. 【学生活动】 1.学生独立完成，以小组为单位思考函数的表示方法的优缺点，并展示小组讨论结果，各小组检查完善表格： 2.学生探索课本自主学习描点作图法,上台体验多媒体数学软件助力画函数图象的优点，对比两种作图方式，感悟函数图象的直观性和优美性，为描点法画图提供思路及参考. 1.通过案例观察和课本自学，给学生一定的独立学习空间，让学生有动手实操的机会，能够很好的参与到课堂. 2.通过让学生实际操作多媒体数学软件（Mathematica、MATLAB、GeoGebra）画一些函数的图象，感悟信息技术与数学的融合，体会跨学科知识的关联性与相辅性，让学生体会到高中重要数学思想“数形结合”促进思维品质的飞越. 8. 课堂总结与作业布置 1.初中函数定义与高中函数 定义的区别和共同点是什么? 初中:运动变化; 高中:数集中元素的对应关系. 2.本节课我们是如何得到函 数概念的?结合本节课的学习，你能谈谈如何建立数学概念吗? 具体问题→共同特征→抽象概括→概念表达 → 运用概念 课后作业： 1.课本P93，P94练习和练习组1-4题 2.习题单作业设计 学生认真体会函数概念的本质，加深理解.归纳数学概念学习的一般方法. 通过老师和学生一起总结，增强对函数概念本 质的理解,学会数学概念学习的一般方法，从具体到一般的数学思想. 9. 课后思考 请同学们重回情境1：某高速列车朝同一个方向行驶，加速到，后保持匀速运行半小时，其全过程速度-时间的函数图像如下图所示，同学们想想该如何来表达汽车位移与时间关系的函数表达式？从函数概念出发分析这个表达式？ (1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 学生结合新学函数的概念，认识一个特殊函数（分段函数），并从函数三要素上深入辨析理解. 利用案例情境1引出分段函数，让学生对函数的认识更上一层楼，大脑中不断建构新的知识,同时教师不断引导学生总结分段函数的特点和注意事项：[点睛](1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． (2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的. 板书设计 函数的概念及其表示 1.四个情景特征归纳 4.例题分析 5.思想方法归纳与提炼 2. 函数的概念(三要素剖析） 3.函数的表示方法 作业设计 基础题 角度1 给出三要素判断是否为函数 1.（多选）下列对应关系是集合到集合的函数的是（） A. B. C. D. 2.已知函数 （1）求, , 的值； （2）求, ,的值 3.已知集合给出下列四个对应关系： ①②③④，其中能构成到的函数的是 A.① B.② C.③ D.④ 4.请用这节课所学的函数的定义重新描述一次函数、二次函数和反比例函数。 5.求下列函数的定义域： （1） （2） 提高题 1. 已知函数的定义域为，求函数的定义域. 2.下列函数中，与是相同函数的是 A. B. C. D. 3.已知函数，求的值. 4.设函数 ①求的值； ②求满足的的取值范围. 拓展 创新题 已知函数满足：,且,则 设计意图：分三个层次设置作业，由浅及深，使所有学生巩固所学知识，使不同层次的学生都能得到提高，让学生在完成各层次作业中提升思维能力，发展数学学科核心素养，根据因材施教的原则，布置基础、提高题和拓展创新题，基础、提高题要求学生全部完成，拓展创新题要求学有余力者完成即可，鼓励所有同学勇于尝试. 教学反思 1.针对学生合作讨论环节活动，应将问题进一步针对性和具体化，把时间真正交给学生，让学生在基本活动中获得体验，充分给予学生展示和回答的时间，利用他们同龄的思维方式，带动全体同学投入思考，达到相互合作促进的目的，老师只是帮助引导提炼解决问题的思想方法，真正落实课堂学生主体地位. 2.函数是刻画现实世界中一类重要变化规律的模型，在教学中要结合实际问题，让学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法.要将函数思想方法贯穿到整个高中的教学中，与方程、不等式、数列等内容横向联系，让学生多次反复接触、反复体会、螺旋上升、逐步加深对函数概念的认识和理解. 3.通过本节课的学习，让学生认识到函数概念产生和发展的过程，意识到知识来源于生活，是从生活中具体实例抽象出“归纳概括”等数学概念来的，通过研究，发现规律，然后又将它服务于人类的生产生活.让学生学会“由具体到一般”、的学习方法. 学科网（北京）股份有限公司 $