专题01 集合间的基本关系（专项训练）数学人教B版高一必修第一册.zip

**基本信息** 聚焦集合间基本关系，通过7类常考题型系统覆盖概念理解与参数应用，形成从基础到综合的递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|7类题型，每类3-6题|覆盖包含关系判断、子集（个数）求解、集合相等及参数问题，突出高频（包含关系）、重点（空集）、难点（参数）|以集合关系概念为核心，从定性判断（包含、相等）到定量计算（子集个数），再到动态应用（参数求解），构建“概念-运算-应用”逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|选择9题+填空3题+解答3题|融合多知识点，含多选、开放题及分层设问，强化知识迁移与综合应用|承接基础题型，通过复杂情境（如集合嵌套、含参讨论）提升逻辑推理与数学抽象能力，体现数学思维的严谨性|

专题01 集合间的基本关系 常考题型·精准突破 题型01 判断两个集合的包含关系（高频） 题型02 求集合的子集(真子集) 题型03 判断集合的子集(真子集)的个数 题型04 判断两个集合是否相等 题型05 利用两个集合相等求参数 题型06 利用集合的包含关系求参数（难） 题型07 空集的相关问题（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型01 判断两个集合的包含关系 1．下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列各式：①1∈{0,1,2}；②Ø{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． ◆题型02 求集合的子集(真子集) 1．已知集合，则下列集合中是集合的真子集的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京朝阳·期末）已知集合，，则的子集可以是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ ◆题型03 判断集合的子集(真子集)的个数 1．已知集合，则集合的子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．（2026·河南·统考模拟预测）已知集合，则集合的所有非空真子集的个数是（    ） A．6 B．7 C．14 D．15 3．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知集合，且满足，则集合A的子集个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足ACB的集合C的个数为（ ） A．1　　　　　　　　　　 　B．2 C．3 D．4 5．（2026河北邢台高一期末）已知集合有且仅有两个子集，则的取值集合为___________. 6.（25-26高一上·云南昭通·期中）（多选）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 ◆题型04 判断集合是否相等 1．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 3．（2026·广东·模拟预测）已知集合不为正有理数为无理数，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高二下·江西上饶·期末）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 ◆题型05 利用两个集合相等求参数 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______. ◆题型06 利用集合的包含关系求参数 1．（25-26高一上·福建宁德·期末）设，，，若，则实数a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（25-26高三下·云南玉溪·开学考试）集合，，若，则实数m的取值范围（ ） A． B． C． D． 3．（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南怀化·期末）若，则实数的值为__________. 5．（25-26高一上·广东·期末）已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． ◆题型07 空集的相关问题 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）如果集合，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一上·江苏·阶段检测）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合为空集，则实数的取值范围是___________ 6．（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（25-26高一上·甘肃白银·阶段检测）下列式子中正确的个数是（  ） （1）     （2）     （3）    （4） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三上·河北衡水·期中）设，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 4．已知集合，则M的非空子集的个数是（ ） A．15 B．16 C．7 D．8 5．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}．若BA，则实数a的所有可能取值的集合为（ ） A. {－1}　 B. {1} C. {－1,1}　 D. {－1,0,1} 6．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）（多选）下列关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 8．集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 二、填空题 10.（25-26高一上·广西河池·期中）__________________________________________________ 11．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，若，则__，__. 12．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．若A是B的真子集，则a的取值范围是____；若B是A的子集，则a的取值范围是___． 3、 解答题 13.（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 14．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合间的基本关系 常考题型·精准突破 题型01 判断两个集合的包含关系（高频） 题型02 求集合的子集(真子集) 题型03 判断集合的子集(真子集)的个数 题型04 判断两个集合是否相等 题型05 利用两个集合相等求参数 题型06 利用集合的包含关系求参数（难） 题型07 空集的相关问题（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型01 判断两个集合的包含关系 1．下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】空集是任何集合的子集，所以正确，本题正确选项：A 2．下列各式：①1∈{0,1,2}；②Ø{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】对于①，由元素与集合的关系的可得正确；对于②，由空集是任何集合的子集知正确；对于③，根据集合间的关系知不正确；对于④，由于集合的元素具有无序性知正确。故错误的结论为③。选A。 3．（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集、真子集的定义以及元素与集合的关系求解． 【详解】， ，，故A错误； 又，，故B错误； ，故C正确，D错误． 故选：C． 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 5．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将集合表示为，和即可得结果. 【详解】∵， ， 显然， 故选：B. ◆题型02 求集合的子集(真子集) 1．已知集合，则下列集合中是集合的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，两集合相等，故A选项不是集合A的真子集， 对B，由真子集定义知，是集合A的真子集， C和D选项的集合里含有不属于集合A的元素，故C,D错误， 故选：B. 2．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的子集直接求解即可. 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 3．（24-25高一上·北京朝阳·期末）已知集合，，则的子集可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再计算集合与的交集，最后逐一判断各选项是否为该交集的子集. 【详解】，所以，ABC选项均不符合题意； 选项D，因为，所以是的子集，正确. 4．（25-26高一下·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 【答案】 【详解】因为，，， 所以集合可以为 ◆题型03 判断集合的子集(真子集)的个数 1．已知集合，则集合的子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【详解】集合， 则集合A的子集有：，共8个， 所以集合A的子集的个数为8. 故选：D 2．（2026·河南·统考模拟预测）已知集合，则集合的所有非空真子集的个数是（    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【答案】A 【详解】因为， 所以集合的元素个数为， 因此集合的所有非空真子集的个数是， 故选：A 3．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知集合，且满足，则集合A的子集个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为集合，， 所以，解得， 因此，，则A的子集有(个). 故选：D. 4．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足ACB的集合C的个数为（ ） A．1　　　　　　　　　　 　B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由题可知，集合B={1，2，3，4}，满足ACB的集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，所以集合C的个数为4． 5．（2026河北邢台高一期末）已知集合有且仅有两个子集，则的取值集合为___________. 【答案】 【详解】由题意，集合有且仅有两个子集，则集合只有一个元素， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意. 综上所述，的取值集合为. 故答案为：. 6.（25-26高一上·云南昭通·期中）（多选）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 【答案】AB 【分析】利用元素与集合关系求解判断A；求出集合判断B；根据集合中元素的个数求出参数的值或取值范围，可判断CD选项. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，集合有两个子集，B正确； 对于C，若集合只有一个元素， 当时，，合乎题意， 当时，则有，解得， 故当中只有一个元素时，或，C错误； 对于D，当时，则关于的方程无实数解， 所以，解得， 故当时，，D错误. 故选：AB. ◆题型04 判断集合是否相等 1．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合与元素的关系依次判断各选项即可. 【详解】对于A，是含一个元素0的集合，不含任何元素，故A错误； 对于B，集合元素具有无序性，故正确； 对于C，是包含空集的集合（有一个元素），是空集（无元素），故错误； 对于D，表示有序数对的集合，表示有序数对的集合，有序数对与不相等，故这两集合不相等，故错误； 故选：B 2．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 3．（2026·广东·模拟预测）已知集合不为正有理数为无理数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先理解集合中的元素，从而可判定集合的关系. 【详解】由条件得，即集合由无理数、负有理数和0构成， 所以是集合的真子集. 故选：B. 4．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 5．（多选）（25-26高二下·江西上饶·期末）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 【答案】CD 【分析】根据集合的定义及集合中元素所具有的性质，即可对四个选项进行判断. 【详解】10以内的质数有2，3，5，7，所以A正确； 集合中的元素具有无序性的性质，所以B正确； 集合中元素具有互异性的性质，正确解集为，所以C选项错误； 是元素，是集合，概念不同，所以D选项错误. ◆题型05 利用两个集合相等求参数 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 2．（2026高一·全国·专题练习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【分析】两个集合相等且都有三个元素，又都含有元素 ，所以除去公共元素 后，剩余两个元素组成的集合也相等．对两个二元集合的元素对应关系分类讨论，并结合集合元素的互异性检验所得结果． 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______. 【答案】 【分析】利用集合相等可得，代值求解即可. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以. ◆题型06 利用集合的包含关系求参数 1．（25-26高一上·福建宁德·期末）设，，，若，则实数a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】，，， ，，，解得，即，，符合题意. 故选：B. 2．（25-26高三下·云南玉溪·开学考试）集合，，若，则实数m的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，集合，，可得. 所以的取值范围是. 3．（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 4．（25-26高一上·湖南怀化·期末）若，则实数的值为__________. 【答案】0 【分析】由条件结合集合包含关系的定义可得，列方程求，利用集合元素的互异性排除增根即可.. 【详解】因为，所以， 故或，解得或， 当时：，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时：，，满足条件， 故答案为： 5．（25-26高一上·广东·期末）已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次方程即可求解； （2）由可得，解得，进而得到，再根据包含关系求解即可. 【详解】（1）当时，得，解得或， 所以． （2）因为，所以，解得， 所以． 因为，所以，解得， 所以b的取值范围是． ◆题型07 空集的相关问题 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，因为，不为空集，故A错误； 对于B，因为，不为空集，故B错误； 对于C，因为，不为空集，故C错误； 对于D，因为，所以无解， 所以，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 3．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）如果集合，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式无解，即可对讨论求解. 【详解】若，则不等式无解， 当时，显然不成立，符合题意， 当时，则且，解得， 综上可得， 故选：B 4．（多选）（25-26高一上·江苏·阶段检测）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空集概念和集合间的关系求解即可. 【详解】是以空集为元素的集合有且只有一个元素就是空集，根据空集是任何集合的子集所以A，C正确. 故选：AC 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合为空集，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据集合为空集，由方程无解得解. 【详解】由可得， 当，即时，方程无解，即为空集. 故答案为： 6．（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件，列不等式求的范围； （2）分，两种情况，结合条件列不等式求的范围； 【详解】（1）由，得，解得或， 故的取值范围是. （2）当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或. 综上的取值范围是. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（25-26高一上·甘肃白银·阶段检测）下列式子中正确的个数是（  ） （1）     （2）     （3）    （4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空集的特殊性以及集合和元素，集合和集合之间的子集关系一一判断即可. 【详解】对（1），，正确； 对（2），，不对； 对（3），，正确； 对（4），，表述错误，前者为元素，后者为集合，不可以用子集符号连接； 则共有2个正确. 故选：B. 2．（25-26高三上·河北衡水·期中）设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知有，进而分析集合间的包含关系. 【详解】由题设，其中表示奇数， 而中，故. 故选：A 3．已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【分析】应用元素和集合关系及集合的包含关系判断求解. 【详解】已知，，且，所以的个数为. 4．已知集合，则M的非空子集的个数是（ ） A．15 B．16 C．7 D．8 【答案】C 【解析】M={1，2，3}，所以M的非空子集为共7个，故选C. 5．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}．若BA，则实数a的所有可能取值的集合为（ ） A. {－1}　 B. {1} C. {－1,1}　 D. {－1,0,1} 【答案】 D 【解析】 当B＝Ø时，a＝0，此时BA. 当B≠Ø时，则a≠0，所以B＝. 又BA，所以－∈A，所以a＝±1. 综上可知，实数a的所有可能取值的集合为{－1,0,1}． 6．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 7．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）（多选）下列关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合与集合的包含、相等关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，是数集，为点集，这两个集合不相等，D错. 故选：BC. 8．集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为或，， 当时，此时，符合题意； 当时， 若则，因为， 所以，解得，又，所以， 若则，因为， 所以，解得，又，所以， 综上可得，即实数的取值范围是. 故选：C 9．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABC 【分析】根据子集个数可知集合只有一个元素，分和讨论即可. 【详解】因为集合只有两个子集，所以该集合恰有1个元素， 即：方程有且仅有1个解或有两个相等的实数解， 则当时，方程有一个解； 当时，，即：时，方程有1个解， 故或时，方程有1个解. 故选：ABC. 二、填空题 10.（25-26高一上·广西河池·期中）__________________________________________________ 【答案】 【详解】空①：已知左侧集合为，右侧集合为.，故空①应填入符号. 空②：左侧是，右侧集合是，不包含任何元素，所以，故空②应填入符号. 空③：左侧集合为，右侧集合为.根据空集的性质，是任何集合的子集，所以故空③应填入符号. 空④：左侧集合为，右侧集合为.当时，有序对与不相等，因此两个集合不相等，故空④应填入符号. 空⑤：左侧元素为，右侧为自然数集.属于自然数集，因此，故空⑤应填入符号. 11．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，若，则__，__. 【答案】 5 6 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以一元二次方程的两个实数根为， 所以有. 12．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．若A是B的真子集，则a的取值范围是____；若B是A的子集，则a的取值范围是___． 【答案】{a|a＞2} {a|a≤2} 【解析】 若A是B的真子集，即A⫋B，则a>2， 即a的取值范围是{a|a＞2}． 若B是A的子集，即B⊆A，则a≤2，即a的取值范围是{a|a≤2}． 3、 解答题 13.（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)1536 (2)或 【分析】（1）由题知，进而根据集合中的每个元素包含它的子集个数为计算求解即可； （2）分与两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， 对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素， 每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为， 故的所有子集中的元素之和为． （2）解：当，即时，满足． 当，即时，要使成立，需，可得， 综上，的取值范围是或． 14．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)实数a的取值范围为 (2)实数a的取值范围为 【分析】（1）由题意可得有两个不等正根，由根与系数的关系求解即可； （2）由题意可得或或或；分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由，可得，解得或， 因为，所以或或或； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 综上所述：实数a的取值范围为. 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合间的基本关系 常考题型·精准突破 ◆题型01 判断两个集合的包含关系 1． 【答案】A 【解析】空集是任何集合的子集，所以正确，本题正确选项：A 2． 【答案】A 【解析】对于①，由元素与集合的关系的可得正确；对于②，由空集是任何集合的子集知正确；对于③，根据集合间的关系知不正确；对于④，由于集合的元素具有无序性知正确。故错误的结论为③。选A。 3． 【答案】C 【分析】根据子集、真子集的定义以及元素与集合的关系求解． 【详解】， ，，故A错误； 又，，故B错误； ，故C正确，D错误． 故选：C． 4． 【答案】B 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 5． 【答案】B 【分析】分别将集合表示为，和即可得结果. 【详解】∵， ， 显然， 故选：B. ◆题型02 求集合的子集(真子集) 1． 【答案】B 【详解】对A，两集合相等，故A选项不是集合A的真子集， 对B，由真子集定义知，是集合A的真子集， C和D选项的集合里含有不属于集合A的元素，故C,D错误， 故选：B. 2． 【答案】D 【分析】根据集合的子集直接求解即可. 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 3． 【答案】D 【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再计算集合与的交集，最后逐一判断各选项是否为该交集的子集. 【详解】，所以，ABC选项均不符合题意； 选项D，因为，所以是的子集，正确. 4． 【答案】 【详解】因为，，， 所以集合可以为 ◆题型03 判断集合的子集(真子集)的个数 1． 【答案】D 【详解】集合， 则集合A的子集有：，共8个， 所以集合A的子集的个数为8. 故选：D 2． 【答案】A 【详解】因为， 所以集合的元素个数为， 因此集合的所有非空真子集的个数是， 故选：A 3． 【答案】D 【详解】因为集合，， 所以，解得， 因此，，则A的子集有(个). 故选：D. 4． 【答案】D 【解析】由题可知，集合B={1，2，3，4}，满足ACB的集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，所以集合C的个数为4． 5． 【答案】 【详解】由题意，集合有且仅有两个子集，则集合只有一个元素， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意. 综上所述，的取值集合为. 故答案为：. 6. 【答案】AB 【分析】利用元素与集合关系求解判断A；求出集合判断B；根据集合中元素的个数求出参数的值或取值范围，可判断CD选项. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，集合有两个子集，B正确； 对于C，若集合只有一个元素， 当时，，合乎题意， 当时，则有，解得， 故当中只有一个元素时，或，C错误； 对于D，当时，则关于的方程无实数解， 所以，解得， 故当时，，D错误. 故选：AB. ◆题型04 判断集合是否相等 1． 【答案】B 【分析】根据集合与元素的关系依次判断各选项即可. 【详解】对于A，是含一个元素0的集合，不含任何元素，故A错误； 对于B，集合元素具有无序性，故正确； 对于C，是包含空集的集合（有一个元素），是空集（无元素），故错误； 对于D，表示有序数对的集合，表示有序数对的集合，有序数对与不相等，故这两集合不相等，故错误； 故选：B 2． 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 3． 【答案】B 【分析】首先理解集合中的元素，从而可判定集合的关系. 【详解】由条件得，即集合由无理数、负有理数和0构成， 所以是集合的真子集. 故选：B. 4． 【答案】B 【分析】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 5． 【答案】CD 【分析】根据集合的定义及集合中元素所具有的性质，即可对四个选项进行判断. 【详解】10以内的质数有2，3，5，7，所以A正确； 集合中的元素具有无序性的性质，所以B正确； 集合中元素具有互异性的性质，正确解集为，所以C选项错误； 是元素，是集合，概念不同，所以D选项错误. ◆题型05 利用两个集合相等求参数 1． 【答案】B 【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 2． 【答案】 【分析】两个集合相等且都有三个元素，又都含有元素 ，所以除去公共元素 后，剩余两个元素组成的集合也相等．对两个二元集合的元素对应关系分类讨论，并结合集合元素的互异性检验所得结果． 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 3． 【答案】 【分析】利用集合相等可得，代值求解即可. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以. ◆题型06 利用集合的包含关系求参数 1． 【答案】B 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】，，， ，，，解得，即，，符合题意. 故选：B. 2． 【答案】D 【详解】已知，集合，，可得. 所以的取值范围是. 3． 【答案】D 【详解】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 4． 【答案】0 【分析】由条件结合集合包含关系的定义可得，列方程求，利用集合元素的互异性排除增根即可.. 【详解】因为，所以， 故或，解得或， 当时：，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时：，，满足条件， 故答案为： 5． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次方程即可求解； （2）由可得，解得，进而得到，再根据包含关系求解即可. 【详解】（1）当时，得，解得或， 所以． （2）因为，所以，解得， 所以． 因为，所以，解得， 所以b的取值范围是． ◆题型07 空集的相关问题 1． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，因为，不为空集，故A错误； 对于B，因为，不为空集，故B错误； 对于C，因为，不为空集，故C错误； 对于D，因为，所以无解， 所以，故D正确. 故选：D. 2． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 3． 【答案】B 【分析】根据不等式无解，即可对讨论求解. 【详解】若，则不等式无解， 当时，显然不成立，符合题意， 当时，则且，解得， 综上可得， 故选：B 4． 【答案】AC 【分析】根据空集概念和集合间的关系求解即可. 【详解】是以空集为元素的集合有且只有一个元素就是空集，根据空集是任何集合的子集所以A，C正确. 故选：AC 5． 【答案】 【分析】根据集合为空集，由方程无解得解. 【详解】由可得， 当，即时，方程无解，即为空集. 故答案为： 6． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件，列不等式求的范围； （2）分，两种情况，结合条件列不等式求的范围； 【详解】（1）由，得，解得或， 故的取值范围是. （2）当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或. 综上的取值范围是. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1． 【答案】B 【分析】根据空集的特殊性以及集合和元素，集合和集合之间的子集关系一一判断即可. 【详解】对（1），，正确； 对（2），，不对； 对（3），，正确； 对（4），，表述错误，前者为元素，后者为集合，不可以用子集符号连接； 则共有2个正确. 故选：B. 2． 【答案】A 【分析】根据已知有，进而分析集合间的包含关系. 【详解】由题设，其中表示奇数， 而中，故. 故选：A 3． 【答案】B 【分析】应用元素和集合关系及集合的包含关系判断求解. 【详解】已知，，且，所以的个数为. 4． 【答案】C 【解析】M={1，2，3}，所以M的非空子集为共7个，故选C. 5． 【答案】 D 【解析】 当B＝Ø时，a＝0，此时BA. 当B≠Ø时，则a≠0，所以B＝. 又BA，所以－∈A，所以a＝±1. 综上可知，实数a的所有可能取值的集合为{－1,0,1}． 6． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 7． 【答案】BC 【分析】根据集合与集合的包含、相等关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，是数集，为点集，这两个集合不相等，D错. 故选：BC. 8． 【答案】C 【详解】因为或，， 当时，此时，符合题意； 当时， 若则，因为， 所以，解得，又，所以， 若则，因为， 所以，解得，又，所以， 综上可得，即实数的取值范围是. 故选：C 9． 【答案】ABC 【分析】根据子集个数可知集合只有一个元素，分和讨论即可. 【详解】因为集合只有两个子集，所以该集合恰有1个元素， 即：方程有且仅有1个解或有两个相等的实数解， 则当时，方程有一个解； 当时，，即：时，方程有1个解， 故或时，方程有1个解. 故选：ABC. 二、 【答案】 【详解】空①：已知左侧集合为，右侧集合为.，故空①应填入符号. 空②：左侧是，右侧集合是，不包含任何元素，所以，故空②应填入符号. 空③：左侧集合为，右侧集合为.根据空集的性质，是任何集合的子集，所以故空③应填入符号. 空④：左侧集合为，右侧集合为.当时，有序对与不相等，因此两个集合不相等，故空④应填入符号. 空⑤：左侧元素为，右侧为自然数集.属于自然数集，因此，故空⑤应填入符号. 11． 【答案】 5 6 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以一元二次方程的两个实数根为， 所以有. 12． 【答案】{a|a＞2} {a|a≤2} 【解析】 若A是B的真子集，即A⫋B，则a>2， 即a的取值范围是{a|a＞2}． 若B是A的子集，即B⊆A，则a≤2，即a的取值范围是{a|a≤2}． 3、 解答题 13. 【答案】(1)1536 (2)或 【分析】（1）由题知，进而根据集合中的每个元素包含它的子集个数为计算求解即可； （2）分与两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， 对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素， 每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为， 故的所有子集中的元素之和为． （2）解：当，即时，满足． 当，即时，要使成立，需，可得， 综上，的取值范围是或． 14． 【答案】(1)实数a的取值范围为 (2)实数a的取值范围为 【分析】（1）由题意可得有两个不等正根，由根与系数的关系求解即可； （2）由题意可得或或或；分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由，可得，解得或， 因为，所以或或或； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 综上所述：实数a的取值范围为. 15． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $