第一章 集合与常用逻辑用语（复习讲义）数学人教B版高一必修第一册

该高中数学单元复习讲义通过表格系统梳理集合与常用逻辑用语的复习要点和重难点，分层呈现元素与集合、集合间关系等五大知识点，结合易错提醒和数形结合等数学思想，构建清晰的知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于题型化方法指导，如含参集合问题强调分类讨论优先空集，新定义问题通过“找看代解”四步法培养数学思维。迁移练分层设计，基础题巩固概念，综合题提升逻辑推理能力，助力不同层次学生发展，为教师精准教学提供支持。

第一章 集合与常用逻辑用语 复习要点 1.集合语言：理解元素三大特征，掌握集合表示法及关系认知，借助数轴与Venn图准确进行交、并、补运算。 2.逻辑联结词：掌握命题结构，准确判断充分、必要及充要条件；理解全称与存在量词，熟练否定含单一量词的命题，明晰“命题的否定”与“否命题”的区别。 3.数学思想：解决含参集合问题时强化分类讨论（优先考量空集）；在条件判断与集合运算中运用数形结合与等价转化，实现文字、符号与图形语言的相互转换。 复习重难点 重点：1. 集合的基本运算（交、并、补）及其几何直观表示。 2. 充分条件、必要条件、充要条件的准确判断。 3. 全称量词命题与存在量词命题的否定形式及其真假判断． 难点：1. 含参集合问题中的分类讨论：在处理集合间的关系（如子集、交集非空等）时，极易忽略空集这一特殊情况，以及在数轴上处理区间端点“开闭”取舍时的逻辑严密性。 2. 逻辑概念的深度辨析：在实际问题中准确界定充分与必要关系；将抽象的逻辑条件转化为具体的集合包含关系进行求解． 知识点 元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：①确定性；② ；③无序性； （2）元素与集合的关系：属于或不属于； （3）集合的表示方法： ①列举法（把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来） ②描述法（在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征） ③韦恩图； （4）常见数集和数学符号：自然数集 ；正整数集或；整数集；有理数集；实数集 （5）区间：可写成闭区间 ；可写成开区间 ； 可写成半闭半开区间 ；可写成半闭半开区间 易错提醒：1．描述法表示集合的格式为，核心错误是混淆代表元素的类型，导致对集合范围的误判。例如：（代表元素为，本质是函数中的取值范围，即）；（代表元素为，本质是函数中的取值范围，即）；（代表元素为点，本质是抛物线上的所有点组成的集合）。三者代表元素不同，集合完全不同，易被误认为是同一集合。 2．集合中元素必须满足互异性（即所有元素互不相等），但在含参数的集合问题中，易忽略对参数的检验，导致解出的参数使集合出现重复元素。 要点速测 1．（25-26高一上·四川成都·期中）下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 知识点 集合间的关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中 一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作 ，读作“包含于”； （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作，读作“真包含于 ”； （3）相等：如果，且，则集合与集合相等，记作. （4）空集的性质：不含 元素的集合叫做空集，记作； 注意：是任何集合的 ，是任何非空集合的 ； （5） 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 易错提醒：涉及包含关系的时候，忽略了空集：空集是任何集合的子集（），但在含参数的集合包含关系，如中，易忽略为空集的特殊情况，导致漏解 要点速测 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 知识点 集合间的运算 （1）交集：一般地，由属于集合 属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，图示：； （2）并集：一般地，由所有属于集合 属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，图示：； （3）补集：对于一个集合，由全集中 集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，图示： （4）集合运算的性质：①，，； ②，，； ③，，； ④； ⑤,． 要点速测 3．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D． 知识点 量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示. （2）存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示. （3）全称量词命题及其否定： ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立，即. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定： ①存在量词命题：存在中的元素，有成立，即：. ②存在量词命题的否定：. （5）常用的正面叙述词语和它的否定词语： ①等于（=）与不等于（≠）；②大于（>）与不大于（≤）；③小于（<）与不小于（≥）； ④是与不是；⑤都是与不都是；⑥任意的与某个；⑦所有的与某些； ⑧至多一个与至少两个；⑨至少一个与一个都没有 要点速测 4．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 知识点充分与必要条件 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4）若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 要点速测 5．（25-26高一下·山东潍坊·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型1 集合的含义与表示 ▌例1 （25-26高一上·河北沧州·期末）已知，则实数的值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．3或1 解题技巧 解决集合的概念问题应关注两点： 研究一个集合，首先要看集合中的元素的构成，然后再看元素的限制条件；对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. ▌迁移练1-1（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 ▌迁移练1-4（25-26高一上·福建福州·期中）已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 题型2 集合间的关系 ▌例2 （25-26高一·河北保定·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． ▌迁移练2-1（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练2-2（25-26高一下·云南普洱·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 ▌迁移练2-3满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 ▌例3 （2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解题技巧 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析. ▌迁移练3-1（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练3-2（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． ▌迁移练3-3已知集合A={x|x<-1或x≥1}，B={x|2a<x≤a+1}，a<1，若B⊆A，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 题型3 集合间的运算 ▌例4 　(多选)已知集合A={x|x<2}，B={x|3-2x>0}，则(　　) A.A∩B= B.A∩(∁RB)= C.A∪B= D.(∁RA)∪B=R 解题技巧 (1)定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解. (2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解. ▌迁移练4-1（25-26高一下·湖南邵阳·期末）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练4-2已知集合，，则（ ） A． B． C． D． ▌迁移练4-3（2026高一·全国·专题练习）若全集，，，则集合等于（ ） A． B． C． D． ▌迁移练4-4（2026·福建厦门·二模）设M，N为全集的两个非空子集，若，则（   ） A． B． C． D． ▌迁移练4-5（25-26高一上·陕西·期中）设为全集，集合是的真子集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练4-6（25-26高一上·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 ▌例5 已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练5-1设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． ▌迁移练5-2（2026·河南濮阳·一模）已知全集，则__________. ▌迁移练5-3（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 题型4 全称量词与特称量词 ▌例6 （25-26高一下·河南新乡·期末）命题：的否定为（    ） A．， B． C． D． 解题技巧 对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论. ▌迁移练6-1（25-26高一上·广东东莞·期中）已知命题：，则为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练6-2（2026高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． ▌迁移练6-3（多选）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． ▌例7 （25-26高一下·四川内江·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 解题技巧 根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决. ▌迁移练7-1（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 ▌迁移练7-2（2026高一·全国·专题练习）若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____. ▌迁移练7-3（2026高一·全国·专题练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 题型5 充分条件与必要条件 ▌例8 （25-26高一下·河南新乡·期末）命题：的否定为（    ） A．， B． C． D． 解题技巧 充分条件与必要条件判断方法 定义法：若 成立，则 是 的充分条件；若 成立，则 是 的必要条件。核心在于验证推导方向。 集合法：设 对应集合 。若 ，则 是 的充分条件；若 ，则 是 的必要条件。遵循“小范围推大范围”原则。 等价转化法：利用原命题与逆否命题等价性进行判断，或通过“只要…就…”（充分）、“只有…才…”（必要）等联结词辅助识别。 ▌迁移练8-1（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ▌迁移练8-2（25-26高一下·广东河源·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌迁移练8-3（2026·湖南长沙·模拟预测）不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． ▌例9 （25-26高二下·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练9-1（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练9-2（2026高一·全国·专题练习）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. ▌迁移练9-3（2026高一·全国·专题练习）集合，．若是的必要条件，求实数的取值范围． ▌迁移练9-4已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. ▌迁移练9-5（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 难点一 集合与逻辑中的参数问题 难点1：根据集合的包含关系求参数 处理子集问题第一步一定要分类讨论空集，若B⊆A，先分析B=∅时参数满足的条件，再讨论B为非空集合的情形，借助数轴标注区间边界，严格区分实心、空心端点，列出对应不等式组。 数轴作图时保证子集区间完全包含在母集内部，规范判断端点能否取等，最后合并空集与非空集合两种情况的参数范围，遗漏空集讨论会直接丢失部分正确答案 难点2：根据交并补运算求参数 先把交集、并集、补集的文字条件转化为集合范围关系，像A∪B=A可等价转化为B⊆A，A∩B=∅代表两集合无公共取值，补集条件要结合全集反向推导原集合区间。 利用数轴划分取值范围，根据运算约束列出不等式，算出参数后代入原式验算，涉及补集运算时先锁定全集范围，防止混淆原集合与补集的区间边界。 难点3：根据量词命题的真假求参数 全称命题为真等价于不等式在给定区间恒成立，存在命题为真等价于不等式在区间内能成立，两类题型核心都可以分离参数，转化为函数最值问题，恒成立取边界最值，能成立取反向最值。 若直接判定原命题为假难度较大，可先写出命题的否定，将假命题转化为对应真量词命题求解范围，再取对应区间，计算过程更简洁，也能减少逻辑判断失误。 难点4：根据充分、必要条件求参数 先分别求出条件p、q对应的取值集合A、B，利用集合包含关系转化逻辑关系，小范围集合对应充分条件，大范围集合对应必要条件，两集合范围完全相等时互为充要条件。 在数轴上对比两个区间的大小，根据题干逻辑要求列出区间包含不等式组，谨慎判断端点等号是否同时成立，算出参数范围后反向验证，避免把两个集合的包含关系写反。 难点精练 1．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，若为的真子集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 4．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 5．（25-26高一上·天津·期末）设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 8．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 难点二 集合中的新定义问题 高中数学集合新定义问题主要分为三种基本题型： 新元素题型：重点考查对新概念的理解，解题关键在于准确提取信息，并结合集合元素的“互异性”进行求解。 新运算题型：给出全新的运算规则，要求结合原有运算法则进行逻辑推理或计算。 新性质题型：通过创新定义衍生出新的性质，需结合相应的数学思想方法来确定所求集合的元素。 解题技巧： 破解此类问题的核心在于“剥去外表，转化知识”。建议遵循“找、看、代、解”四步法：首先找出新定义的核心要素，明确所求目标，接着将已知条件代入要素，最后结合数学知识解答。此外，合理利用集合性质是破题关键；对于选择题，还可结合选项，通过特值法、验证排除法或举反例来高效求解。 难点精练 1．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 4．（25-26高一下·河南·期末）若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 5．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 基础达标 1．（25-26高一下·云南昭通·期末）已知命题，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一下·广西南宁·期末）设全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·上海宝山·期末）已知，则“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知集合，，则之间的关系为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高一上·辽宁大连·期中）下列说法正确的有（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．已知命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的范围是 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．“”是“”的充分不必要条件 7．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2026高一·全国·专题练习）已知集合,若,则的取值是___. 9．（25-26高二·全国·暑假作业）已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 10．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 能力进阶 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．设全集，集合，则的子集个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．16 3．（2026·新疆·模拟预测）已知、，集合，，若，则（    ） A． B． C．或 D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）命题是命题成立的（    ） 条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 5．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 6．（多选）（25-26高一上·福建泉州·期中）下列说法中正确为（     ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．集合，集合，若，则的值为 C．集合，，则“”是“"的充分不必要条件 D．集合，集合，则集合B中含有4个元素 7．（多选）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 8．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 9．已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 复习要点 1.集合语言：理解元素三大特征，掌握集合表示法及关系认知，借助数轴与Venn图准确进行交、并、补运算。 2.逻辑联结词：掌握命题结构，准确判断充分、必要及充要条件；理解全称与存在量词，熟练否定含单一量词的命题，明晰“命题的否定”与“否命题”的区别。 3.数学思想：解决含参集合问题时强化分类讨论（优先考量空集）；在条件判断与集合运算中运用数形结合与等价转化，实现文字、符号与图形语言的相互转换。 复习重难点 重点：1. 集合的基本运算（交、并、补）及其几何直观表示。 2. 充分条件、必要条件、充要条件的准确判断。 3. 全称量词命题与存在量词命题的否定形式及其真假判断． 难点：1. 含参集合问题中的分类讨论：在处理集合间的关系（如子集、交集非空等）时，极易忽略空集这一特殊情况，以及在数轴上处理区间端点“开闭”取舍时的逻辑严密性。 2. 逻辑概念的深度辨析：在实际问题中准确界定充分与必要关系；将抽象的逻辑条件转化为具体的集合包含关系进行求解． 知识点 元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：①确定性；②互异性；③无序性； （2）元素与集合的关系：属于或不属于； （3）集合的表示方法： ①列举法（把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来） ②描述法（在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征） ③韦恩图； （4）常见数集和数学符号：自然数集 ；正整数集或；整数集；有理数集；实数集 （5）区间：可写成闭区间；可写成开区间； 可写成半闭半开区间；可写成半闭半开区间 易错提醒：1．描述法表示集合的格式为，核心错误是混淆代表元素的类型，导致对集合范围的误判。例如：（代表元素为，本质是函数中的取值范围，即）；（代表元素为，本质是函数中的取值范围，即）；（代表元素为点，本质是抛物线上的所有点组成的集合）。三者代表元素不同，集合完全不同，易被误认为是同一集合。 2．集合中元素必须满足互异性（即所有元素互不相等），但在含参数的集合问题中，易忽略对参数的检验，导致解出的参数使集合出现重复元素。 要点速测 1．（25-26高一上·四川成都·期中）下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，结合各数集的定义来判断各选项中集合符号的运用是否正确. 【详解】A选项，集合中的元素和都是自然数，所以集合是自然数集的子集，即，A选项集合符号运用正确； B选项，对于方程，在实数范围内，，则，方程无解，所以集合是空集，空集是集合的子集， B选项集合符号运用正确； ​C选项， 是一个无限不循环小数，是无理数，不是整数，所以不属于整数集，即，C选项集合符号运用不正确； ​D选项，分数属于有理数，所以属于有理数集，即，D选项集合符号运用正确. 故选：C. 知识点 集合间的关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作，读作“包含于”； （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作，读作“真包含于 ”； （3）相等：如果，且，则集合与集合相等，记作. （4）空集的性质：不含任何元素的集合叫做空集，记作； 注意：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； （5） 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 易错提醒：涉及包含关系的时候，忽略了空集：空集是任何集合的子集（），但在含参数的集合包含关系，如中，易忽略为空集的特殊情况，导致漏解 要点速测 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 知识点 集合间的运算 （1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，图示：； （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，图示：； （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，图示： （4）集合运算的性质：①，，； ②，，； ③，，； ④； ⑤,． 要点速测 3．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】， . 知识点 量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （3）全称量词命题及其否定： ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立，即. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定： ①存在量词命题：存在中的元素，有成立，即：. ②存在量词命题的否定：. （5）常用的正面叙述词语和它的否定词语： ①等于（=）与不等于（≠）；②大于（>）与不大于（≤）；③小于（<）与不小于（≥）； ④是与不是；⑤都是与不都是；⑥任意的与某个；⑦所有的与某些； ⑧至多一个与至少两个；⑨至少一个与一个都没有 要点速测 4．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”的否定为，. 知识点充分与必要条件 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4）若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 要点速测 5．（25-26高一下·山东潍坊·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】记“”为条件，“”为条件， 因为，所以成立； 当时，，但，此时不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 题型1 集合的含义与表示 ▌例1 （25-26高一上·河北沧州·期末）已知，则实数的值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．3或1 【答案】C 【分析】由元素与集合的关系结合集合的互异性即可求解. 【详解】由题意可知或，解得，或. 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足互异性，所以. 故选：C. 解题技巧 解决集合的概念问题应关注两点： 研究一个集合，首先要看集合中的元素的构成，然后再看元素的限制条件；对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. ▌迁移练1-1（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，故B正确． ▌迁移练1-2已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且， 则得(I)或(II)， 由(I)解得，由(II)解得， 故实数的取值范围是. ▌迁移练1-3（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. ▌迁移练1-4（25-26高一上·福建福州·期中）已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据集合相等的定义，以及集合中元素的互异性，求得的值，代入计算，即可求解. 【详解】由集合，可得，即，所以， 若，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得或（舍去）， 综上可得，，， 所以 故选：C. 题型2 集合间的关系 ▌例2 （25-26高一·河北保定·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助集合间基本关系判断即可得. 【详解】因为，所以． ▌迁移练2-1（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． ▌迁移练2-2（25-26高一下·云南普洱·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】C 【详解】由题意得，其元素个数为3，子集个数为． ▌迁移练2-3满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. ▌例3 （2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 解题技巧 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析. ▌迁移练3-1（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. ▌迁移练3-2（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． ▌迁移练3-3已知集合A={x|x<-1或x≥1}，B={x|2a<x≤a+1}，a<1，若B⊆A，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 【答案】　 【详解】因为a<1，所以2a<a+1，所以B≠∅. 画数轴如图所示. 由B⊆A知， a+1<-1或2a≥1. 即a<-2或a≥. 由已知a<1，所以a<-2或≤a<1， 即所求a的取值范围是. 题型3 集合间的运算 ▌例4 　(多选)已知集合A={x|x<2}，B={x|3-2x>0}，则(　　) A.A∩B= B.A∩(∁RB)= C.A∪B= D.(∁RA)∪B=R 【答案】　AB 【解析】　因为A={x|x<2}，B={x|3-2x>0}=∁RA={x|x≥2}，∁RB= 所以A∩B= A∩(∁RB)=A∪B={x|x<2}， (∁RA)∪B=. 解题技巧 (1)定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解. (2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解. ▌迁移练4-1（25-26高一下·湖南邵阳·期末）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以， 又，则. ▌迁移练4-2已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得， 所以． ▌迁移练4-3（2026高一·全国·专题练习）若全集，，，则集合等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为全集，，， 因为，，，， ，， 则集合 ， 故A、B、C错误，D正确. ▌迁移练4-4（2026·福建厦门·二模）设M，N为全集的两个非空子集，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，且 M，N为全集的两个非空子集，可得韦恩图，如图： 则. ▌迁移练4-5（25-26高一上·陕西·期中）设为全集，集合是的真子集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据韦恩图直接得出结果. 【详解】由图可知，图中阴影的部分表示集合. 故选：A ▌迁移练4-6（25-26高一上·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 【答案】D 【分析】设学生中同时参加径赛和射击的有人，应用容斥原理列方程求，进而求出只参加一项比赛的人数. 【详解】设学生中同时参加径赛和射击的有人， 由题意， 所以，则只参加一项比赛的有人. 故选：D ▌例5 已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求得的取值范围. 【详解】因为集合， 所以， 由于， 所以. 故选：A. ▌迁移练5-1设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先求出，根据，可求得结果. 【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或. 故选：B. ▌迁移练5-2（2026·河南濮阳·一模）已知全集，则__________. 【答案】 【分析】由交、并、补集的定义求解即可. 【详解】 ，所以. 故答案为： ▌迁移练5-3（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 题型4 全称量词与特称量词 ▌例6 （25-26高一下·河南新乡·期末）命题：的否定为（    ） A．， B． C． D． 【答案】B 【详解】由全称量词命题的否定可知，命题的否定为. 解题技巧 对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论. ▌迁移练6-1（25-26高一上·广东东莞·期中）已知命题：，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为存在量词命题的否定为， 所以命题的否定为，． ▌迁移练6-2（2026高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 【详解】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 对于A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可， 例如，满足且，故A正确； 对于B，，这是存在性命题，因集合是集合的真子集， 故不存在集合中的元素不属于集合，故B错误； 对于C，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合， 而属于集合，也属于集合，故C错误； 对于D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合， 而属于集合，但不属于集合，故D错误． ▌迁移练6-3（多选）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 【答案】ACD 【分析】根据韦恩图（Venn diagram）可知，集合 与集合 有公共部分，但互不包含.结合集合的交集、补集、并集的定义及运算性质，逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：由图可知，集合 与集合 有重叠部分，即公共元素，所以 ，故选项A正确； 选项B： 表示集合 在全集 中的补集，即图中 圆圈外部的区域. 由图可知，集合 中有一部分元素在 的外部（即 独有的部分）， 这部分元素属于 但也属于 ，因此“”意味着 中没有元素在 外，即 ， 这与图形不符，故选项B错误； 选项C：命题“，使得”等价于 . 由图可知两集合有交集，故存在这样的元素，选项C正确； 选项D：根据集合运算的德·摩根定律， 恒成立， 表示既不在 中也不在 中的元素集合等于不在 与 并集中的元素集合，故选项D正确. ▌例7 （25-26高一下·四川内江·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 解题技巧 根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决. ▌迁移练7-1（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. ▌迁移练7-2（2026高一·全国·专题练习）若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据存在性问题为真，可推得，利用函数单调性即可求出的取值范围. 【详解】，使得，等价于在上有解,即， 又因为在上单调递增，则可得. ▌迁移练7-3（2026高一·全国·专题练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 题型5 充分条件与必要条件 ▌例8 （25-26高一下·河南新乡·期末）命题：的否定为（    ） A．， B． C． D． 【答案】B 【详解】由全称量词命题的否定可知，命题的否定为. 解题技巧 充分条件与必要条件判断方法 定义法：若 成立，则 是 的充分条件；若 成立，则 是 的必要条件。核心在于验证推导方向。 集合法：设 对应集合 。若 ，则 是 的充分条件；若 ，则 是 的必要条件。遵循“小范围推大范围”原则。 等价转化法：利用原命题与逆否命题等价性进行判断，或通过“只要…就…”（充分）、“只有…才…”（必要）等联结词辅助识别。 ▌迁移练8-1（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. ▌迁移练8-2（25-26高一下·广东河源·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式后由充分必要条件的概念即可求解. 【详解】解得， 可以推出，但不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. ▌迁移练8-3（2026·湖南长沙·模拟预测）不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，解得，即不等式的解集为， 选项A：因为与解集完全相等，所以是不等式成立的充要条件； 选项B：因为，所以是不等式成立的必要不充分条件； 选项C：因为，所以是不等式成立的充分不必要条件； 选项D：因为与为交叉关系，所以是既不充分也不必要条件. ▌例9 （25-26高二下·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由“”是“”的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. ▌迁移练9-1（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. ▌迁移练9-2（2026高一·全国·专题练习）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【答案】 【详解】当时，显然，使得； 当时，，解得，即， 综上，命题为真命题的充要条件是. ▌迁移练9-3（2026高一·全国·专题练习）集合，．若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】利用是的必要条件，得出，进而构造不等式求解． 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以，解得，故实数的取值范围为． ▌迁移练9-4已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数的取值范围为. ▌迁移练9-5（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 难点一 集合与逻辑中的参数问题 难点1：根据集合的包含关系求参数 处理子集问题第一步一定要分类讨论空集，若B⊆A，先分析B=∅时参数满足的条件，再讨论B为非空集合的情形，借助数轴标注区间边界，严格区分实心、空心端点，列出对应不等式组。 数轴作图时保证子集区间完全包含在母集内部，规范判断端点能否取等，最后合并空集与非空集合两种情况的参数范围，遗漏空集讨论会直接丢失部分正确答案 难点2：根据交并补运算求参数 先把交集、并集、补集的文字条件转化为集合范围关系，像A∪B=A可等价转化为B⊆A，A∩B=∅代表两集合无公共取值，补集条件要结合全集反向推导原集合区间。 利用数轴划分取值范围，根据运算约束列出不等式，算出参数后代入原式验算，涉及补集运算时先锁定全集范围，防止混淆原集合与补集的区间边界。 难点3：根据量词命题的真假求参数 全称命题为真等价于不等式在给定区间恒成立，存在命题为真等价于不等式在区间内能成立，两类题型核心都可以分离参数，转化为函数最值问题，恒成立取边界最值，能成立取反向最值。 若直接判定原命题为假难度较大，可先写出命题的否定，将假命题转化为对应真量词命题求解范围，再取对应区间，计算过程更简洁，也能减少逻辑判断失误。 难点4：根据充分、必要条件求参数 先分别求出条件p、q对应的取值集合A、B，利用集合包含关系转化逻辑关系，小范围集合对应充分条件，大范围集合对应必要条件，两集合范围完全相等时互为充要条件。 在数轴上对比两个区间的大小，根据题干逻辑要求列出区间包含不等式组，谨慎判断端点等号是否同时成立，算出参数范围后反向验证，避免把两个集合的包含关系写反。 难点精练 1．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，若为的真子集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则,而后面两不等式等号不会同时成立，故解得. 综上，，即的取值范围是. 故选：C. 2．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 3．（多选）（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】先根据题意得到，再分类讨论是空集、不是空集，利用集合的包含关系得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】因为是的充分条件，所以， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，由得，解得， 综上，或， 对比选项可知，ACD符合题意． 故选：ACD． 4．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用特称命题为假，分 和 ，结合一元二次方程无实根的判别式条件求解即可. （2）先求出集合，再根据必要条件对应集合包含关系，分为空集和非空两类讨论求解即可. 【详解】（1）命题 ： ， 为假命题， 当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意； 当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根， 所以 ，解得 . 故实数的取值集合. （2）由 ，得 ，即. 因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 . 当 时， ，解得 ； 当 时，，解得 . 综上所述，实数的取值集合为或. 5．（25-26高一上·天津·期末）设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）代入条件后用补集与并集的运算即可求解； （2）根据条件得，进而可求的取值范围. 【详解】（1）当时，， 或 或 所以或 （2）因为，所以. ①当时，有， ②当时，有，即 综上可得， 故实数的取值范围 8．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 难点二 集合中的新定义问题 高中数学集合新定义问题主要分为三种基本题型： 新元素题型：重点考查对新概念的理解，解题关键在于准确提取信息，并结合集合元素的“互异性”进行求解。 新运算题型：给出全新的运算规则，要求结合原有运算法则进行逻辑推理或计算。 新性质题型：通过创新定义衍生出新的性质，需结合相应的数学思想方法来确定所求集合的元素。 解题技巧： 破解此类问题的核心在于“剥去外表，转化知识”。建议遵循“找、看、代、解”四步法：首先找出新定义的核心要素，明确所求目标，接着将已知条件代入要素，最后结合数学知识解答。此外，合理利用集合性质是破题关键；对于选择题，还可结合选项，通过特值法、验证排除法或举反例来高效求解。 难点精练 1．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 2．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 3．（多选）（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 【答案】C 【详解】由数环的定义可知，设，则，则，， 故0是任何数环的元素，A正确； 偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确； 设，则， 因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误； 设，因为为数环，则，又为数环， 则，所以，D正确．故选C． 4．（25-26高一下·河南·期末）若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 【答案】 【分析】首先确定非空子集的个数；根据“完美集合”的定义，可列举出所有“完美集合”，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】集合共有9个元素， 则集合有个非空子集. 根据“完美集合”的定义，若对任意的，都有. 若中含有元素，由于无意义，不满足定义，故不是完美集合； 若中含有元素，则要求，但不在原集合中，故不满足定义； 同理，含有或的集合也不是完美集合， 因此，完美集合只能是集合的非空子集， 其中满足完美集合的有、、、、、、，共7个， 所以集合的所有非空子集中不是完美集合的个数为个， 所以非空子集中不是完美集合的概率是. 5．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 【答案】 【详解】由“孤立元素”的定义知，对任意，要成为的孤立元素， 必须是集合中既没有，也没有． 因此只需逐一排查中的元素即可． 而0有1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”， 从而集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为． 基础达标 1．（25-26高一下·云南昭通·期末）已知命题，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由命题的否定的概念知，改量词否结论，条件不变即可 【详解】由命题的否定的概念知，改量词否结论，条件不变， 所以命题的否定形式为：，. 2．（25-26高一下·广西南宁·期末）设全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，全集，而集合， 所以 3．（25-26高一下·上海宝山·期末）已知，则“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】先求解不等式得到对应解集，再通过两个取值范围的包含关系判断充分性和必要性是否成立. 【详解】首先求解不等式： 将不等式变形为，因式分解得，解得. 充分性验证：若则成立，即成立. 必要性验证：若则，但不一定成立. 所以“”是“”的充分非必要条件. 4．（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知集合，，则之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以集合中的元素是的奇数倍， ， 所以集合中的元素是的整数倍， 所以. 5．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 6．（多选）（25-26高一上·辽宁大连·期中）下列说法正确的有（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．已知命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的范围是 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】AD 【分析】根据命题的否定、不等式恒成立问题、充要条件的判断，逐一分析各选项. 【详解】在A选项中，根据存在量词命题的否定可得： 原命题“，”的否定为“，”，A正确， 在B 选项中，当时，不等式变为，对任意恒成立， 当时，需满足，解得：， 综上所述，实数的范围是，B错误， 在C选项中，当时，无论取何值，， 所以，由推不出， 若，，所以， 所以，由能推出，C错误， 在D选项中，若，不等式两边同除以正数，得，充分性成立，必要性： 当时，化简可得：，即，解得或， 无法推出，必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件，D正确. 7．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合的子集，补集，交集，并集的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 8．（2026高一·全国·专题练习）已知集合,若,则的取值是___. 【答案】2或3 【详解】因为，且，所以. 由集合中元素的互异性可知，所以或. 9．（25-26高二·全国·暑假作业）已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充要条件与命题间的推出关系的对应表示，易得结论. 【详解】由已知得，，，. 但由于推不出，所以推不出， 故是的充分不必要条件. 10．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)讨论两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； (2)由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围. 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 能力进阶 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，所以 2．设全集，集合，则的子集个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据集合的交并补运算求出，结合子集个数的计算公式求解即可. 【详解】因为， 所以，所以的子集个数为. 3．（2026·新疆·模拟预测）已知、，集合，，若，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据交集运算可得出，即可得出，然后分和两种情况讨论，结合交集运算进行检验，即可得解. 【详解】已知集合，，且，所以，即. 若，则，此时，，与矛盾，舍去. 若，则，此时，，符合条件. 综上所述，. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）命题是命题成立的（    ） 条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据判断充分性，取判断必要性即可得答案. 【详解】当时，且成立，即成立，则一定成立，充分性成立； 反之，取，满足且成立，但不满足，即成立时，不一定成立，必要性不成立， 所以命题是命题成立的充分不必要条件. 5．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 6．（多选）（25-26高一上·福建泉州·期中）下列说法中正确为（     ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．集合，集合，若，则的值为 C．集合，，则“”是“"的充分不必要条件 D．集合，集合，则集合B中含有4个元素 【答案】BC 【详解】对于A，因集合有且仅有2个子集，则集合中只有一个元素， 于是有或，即或，A不正确； 对于B，因为，则，即，所以，根据集合相等及互异性， 所以，解得或（舍），所以，B正确； 对于C，当时，；当时，或，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D， 故有6个元素 ， D不正确. 7．（多选）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合是否为空集分类讨论，结合列不等式，求得的取值范围逐一判断即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或， 故选：BC 8．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 9．已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 【答案】(1)任意奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素． (2)，且同是奇数或同是偶数， 所以集合中的元素是奇数，或者是的倍数. 一定是偶数，但不是的倍数，所以数字不是集合中的元素. (3)不妨任意取，则， 所以 ， 由得，，所以. 即属于集合的两个元素之积仍属于集合. (4) 【分析】⑴由任意奇数，可证； ⑵由可知集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析的特点可证； ⑶取，则，计算，并结合完全平方公式可得； ⑷由集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析可得中第个正整数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）因为相邻的个整数中必有两个奇数和一个的倍数，由（2）知这个数中有个是集合的元素. 因为，所以中第个正整数是． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $