1.3 集合的基本运算（分层作业练题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 1.3 集合的基本运算 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 集合的交集运算 题型02 根据交集结果求集合或参数 题型03 集合的并集运算 题型04 根据并集结果求集合或参数 题型05 集合的补集运算 题型06 根据补集运算确定集合或参数 题型07 交并补混合运算 题型08 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型09 容斥原理 题型10 利用Venn图求集合 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 集合的交集运算题型01 1．（25-26高一下·湖南岳阳·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 根据交集结果求集合或参数题型02 4．（25-26高一上·山西吕梁·期末）集合，集合，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广东广州·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知集合，，若，则实数的所有取值之和为（    ） A．2 B． C．4 D． 7．（多选）（25-26高一上·河北唐山·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A．3 B． C．2 D．1 集合的并集运算题型03 8．（25-26高一下·云南普洱·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·广东广州·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 10．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 根据并集结果求集合或参数题型04 11．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 12．已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．已知集合，若，则实数的值为（ ） A． B．0 C．2 D．2或 集合的补集运算题型05 14．已知全集，集合则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一下·湖南永州·开学考试）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·湖南·期中）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 根据补集运算确定集合或参数题型06 17．（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 18．（25-26高一上·福建·阶段检测）设，若，则实数________． 19．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 交并补混合运算题型07 20．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 21．若全集，，，则集合等于（ ） A． B． C． D． 22．（25-26高一下·重庆·期中）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 根据交并补混合运算确定集合或参数题型08 23．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）已知集合，，则集合（ ） A． B． C． D． 24．已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 25. 已知集合，，若∅，则a的取值范围是_______ 容斥原理题型09 26．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 27．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 28．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 用Venn图求集合题型10 29．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·云南昭通·期末）如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 31．（25-26高一上·湖北武汉·期中）若全集，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·北京房山·期中）设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（   ） A．15 B．24 C．27 D．32 2．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 3．（25-26高一上·天津和平·期中）设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 6．（多选）（25-26高一上·河南信阳·期中）全集 ，，，， ，若∅，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 7．（易错）（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知，或，若，则实数的取值范围是______. 8．（易错）（25-26高一上·江苏淮安·期末）设，已知集合， (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 9．（易错）（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 10．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 1．【新定义问题】已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”，则下列说法中不正确的是（   ） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不是“可分集合” 2．【新文化题】（24-25高一上·福建漳州·期中）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（    ） A．23 B．68 C．128 D．233 3．【开放题】（24-25高一上·湖南益阳·期末）如果对于非空集合中的任意两个不同元素，都有且，那么这样的集合称为封闭集合，例如集合就是一个封闭集合.用列举法写出一个至少有三个元素且只有有限个元素的封闭集合_________. 4．【逻辑推理】（25-26高一上·上海·期末）已知集合且，定义，则的元素个数的最小值是__________. 5．【劣构性题】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③∅这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 6．【探究性题】（25-26高一上·云南·阶段检测）已知集合A满足：若，则，集合中的元素个数为m，中的元素个数为n． (1)若，求集合M，N； (2)若A中有5个元素，求m； (3)证明：． 7．【开放题】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”. (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的； (3)若集合是由4个正整数构成，请写出一个集合，使得其差倍集的元素个数为4，并说明理由. 8．【新定义问题】（25-26高一上·四川广安·期中）已知集合为非空数集，规定：，. (1)若集合，直接写出集合； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 9．【新定义问题】（25-26高一上·河北·阶段检测）设是一个非空有限集合，定义其加权密度函数为，其中表示集合中的元素个数，表示集合中所有元素的和.进一步地，若集合可以划分为两个非空子集和（即且）且满足，则称为可平衡集合. (1)计算集合的加权密度函数； (2)判断集合是否为可平衡集合，并说明理由； (3)已知集合（其中，为正整数，且）是可平衡集合，且划分后的两个非空子集的加权密度函数均为3，求，的值. 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·北京·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 8．（2024·全国甲卷（理）·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国甲卷（理）·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 10．（2023·全国乙卷（理）·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.3 集合的基本运算 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 集合的交集运算 题型02 根据交集结果求集合或参数 题型03 集合的并集运算 题型04 根据并集结果求集合或参数 题型05 集合的补集运算 题型06 根据补集运算确定集合或参数 题型07 交并补混合运算 题型08 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型09 容斥原理 题型10 利用Venn图求集合 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 集合的交集运算题型01 1．（25-26高一下·湖南岳阳·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合， 集合，故． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 则. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 所以． 根据交集结果求集合或参数题型02 4．（25-26高一上·山西吕梁·期末）集合，集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，集合，，则，解得， 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，符合题意. 故选：A. 5．（25-26高一下·广东广州·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， . 6．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知集合，，若，则实数的所有取值之和为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】已知集合，，， 则或. 若，因式分解为，解得或. 两种解都满足集合元素互异性. 若，整理得，判别式，无实数解. 故实数的所有取值之和为. 7．（多选）（25-26高一上·河北唐山·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】AC 【详解】由，得，所以或， 若，则，此时，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，集合不满足互异性，不合题意； 综上，的值可以为或2. 故选：AC. 集合的并集运算题型03 8．（25-26高一下·云南普洱·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据并集的定义,，，可得. 9．（25-26高一下·广东广州·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，，所以. 10．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以． 根据并集结果求集合或参数题型04 11．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 12．已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，即实数的取值范围为. 13．已知集合，若，则实数的值为（ ） A． B．0 C．2 D．2或 【答案】C 【详解】由，即，则或，可得或， 当，在集合中，不满足集合元素的互异性， 当，则，满足题设. 故选：C 集合的补集运算题型05 14．已知全集，集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得集合包含所有大于等于的实数，因此剩余实数范围为， 即. 15．（25-26高一下·湖南永州·开学考试）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，则， 所以. 16．（25-26高一上·湖南·期中）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，， ，所以. 故选：B. 根据补集运算确定集合或参数题型06 17．（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】全集，集合，， ，，故选项D正确. 18．（25-26高一上·福建·阶段检测）设，若，则实数________． 【答案】1 【详解】解：由得，解得或， 而， 可得，故， 故答案为：1 19．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 【答案】7 【详解】由有：，所以和为一元二次方程的根， 所以，所以， 故答案为：. 交并补混合运算题型07 20．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则. 21．若全集，，，则集合等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为全集，，， 所以，，，， ，， 故A、B、C错误，D正确. 22．（25-26高一下·重庆·期中）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，又，所以， 因为全集，所以. 根据交并补混合运算确定集合或参数题型08 23．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）已知集合，，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则， 而，则， 若，则，，此时，不满足题意，故， 同理可得，又，则. 24．已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】全集U的两个非空真子集A，B满足，， 如图，当时，，故A错误； 由图知，，集合不是集合的子集，故BC错误； ，，，故D正确. 故选：D. 25. 已知集合，，若∅，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为∅，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 容斥原理题型09 26．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 27．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 28．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 【答案】18 【详解】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目， 因此参加比赛项目的总人数为, 因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人， 设只参加集体项目比赛一项的有人， 则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人. 故答案为：18. 用Venn图求集合题型10 29．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 30．（25-26高一上·云南昭通·期末）如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全集， 可得，又图中阴影部分表示， 故选：C． 31．（25-26高一上·湖北武汉·期中）若全集，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图阴影部分表示在中，且在集合的补集中， 即， 故选：C 1．（25-26高一上·北京房山·期中）设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（   ） A．15 B．24 C．27 D．32 【答案】C 【详解】依题意，元素1同时属于集合和集合，元素中每个元素不能同时属于集合和属于， 因此中每个元素只能属于集合中的一个， 即中每个元素有3种选择情况，则它们共有种选择情况， 所以所有优集的个数为27. 故选：C 2．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 【答案】D 【详解】设学生中同时参加径赛和射击的有人， 由题意， 所以，则只参加一项比赛的有人. 故选：D 3．（25-26高一上·天津和平·期中）设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当，即时，，此时，符合题意； 当，即时，， 由，得，或. 解得，或. 综上所述，实数m的取值范围为，或，或, 即. 故选：D. 4．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在韦恩图中，表示长方形内圆A外的所有阴影， 表示圆B内除去外的阴影部分，韦恩图如下图所示， 观察各选项，排除C、D； 表示圆A和圆C相交的阴影部分，韦恩图表示如下： 则表示上述两部分阴影的并集，韦恩图表示为： A选项不符合，选项B中的阴影部分符合． 故选：B． 5．（多选）（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】ABD 【详解】由题设，又，，，，所以，，，则的不同子集的个数为个，B对， 由，则，故， 所以，C错，A、D对. 故选：ABD 6．（多选）（25-26高一上·河南信阳·期中）全集 ，，，， ，若∅，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，，， ，， 由∅且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 7．（易错）（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知，或，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为集合，或. 若，则， ∴或，即或. ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（易错）（25-26高一上·江苏淮安·期末）设，已知集合， (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 【答案】(1);(2) 【详解】（1）因为 所以， 即，解得， 所以的取值范围是 （2）因为中整数元素为， 且， 所以中有且仅有3个整数元素，也必是， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 9．（易错）（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1);(2);(3) 【详解】（1）当时，， 又集合 ，则； （2）由得，所以， 即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即. 当时，有或，解得， 综上，实数的取值范围为． 10．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)，;(2)或 【详解】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 1．【新定义问题】已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”，则下列说法中不正确的是（   ） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不是“可分集合” 【答案】C 【详解】对于A，去掉后，不满足定义，不是“可分集合”，A正确； 对于B，集合所有元素之和为， 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意， 因此集合是“可分集合”，B正确； 对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾，因此一定不是“可分集合”，C错误； 对于D，不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③或②④得，矛盾；由①④或②③得，矛盾， 因此集合不是“可分集合”，D正确． 故选：C 2．【新文化题】（24-25高一上·福建漳州·期中）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（    ） A．23 B．68 C．128 D．233 【答案】ACD 【详解】根据题意可知，代表的是除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2的整数； 对于A，可知，即A正确； 对于B，可得，不合题意，即B错误； 对于C，可得，即C正确； 对于D，易知.可知D正确. 故选：ACD 3．【开放题】（24-25高一上·湖南益阳·期末）如果对于非空集合中的任意两个不同元素，都有且，那么这样的集合称为封闭集合，例如集合就是一个封闭集合.用列举法写出一个至少有三个元素且只有有限个元素的封闭集合_________. 【答案】（答案不唯一） 【详解】若，，则满足且， 取时，且，则且，即， 若令，则，此时取，经检验符合要求， 故答案为：（答案不唯一）. 4．【逻辑推理】（25-26高一上·上海·期末）已知集合且，定义，则的元素个数的最小值是__________. 【答案】 【详解】因为将中的所有元素均变为原来的相反数时，不变， 所以不妨设中正数个数不少于负数个数． ①当中没有负数时，设，其中， 则． 上式从小到大的数共有个，它们都是的元素，说明最少有10个元素． ②当中至少有一个负数时，设是中的全部负元素，是中的全部非负元素， 不妨设，其中为正整数，． 因为，其中从小到大的数共有个， 所以中至少有6个非正元素． 因为，所以中至少有3个正元素， 所以中至少有9个元素． 综上所述，中至少有9个元素． 故答案为： 5．【劣构性题】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③∅这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为∅，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 6．【探究性题】（25-26高一上·云南·阶段检测）已知集合A满足：若，则，集合中的元素个数为m，中的元素个数为n． (1)若，求集合M，N； (2)若A中有5个元素，求m； (3)证明：． 【答案】(1)，；(2)19或13；(3)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以， ． （2）设中5个元素为，，，，，且． 因为若，则，所以，，，即． 对于M中的元素，若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为． 若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为，． 若，则，即．若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，，，． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为，． 若，则，即．若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为．若，则，即． 综上，若，则，若则．即m的值为19或13． （3）证明：设，则，，且． 因为若，则，所以，，所以， 即对于M中任意一个元素，都有对应的，所以． 设，则，，且． 因为若，则，所以，，所以， 即对于N中任意一个元素，都有对应的，所以．综上，． 7．【开放题】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”. (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的； (3)若集合是由4个正整数构成，请写出一个集合，使得其差倍集的元素个数为4，并说明理由. 【答案】(1)；(2)或；(3)(答案不唯一)，理由见解析 【详解】（1）根据差倍集的定义，， 当时，； 当时，； 当时，. 由集合中元素的互异性，可得. （2）已知，，由集合中元素的互异性可知，且， 当时，的可能取值为或， 当时，， ， ，， 此时，满足差倍集中恰有两个元素，故. 当时，， ， 此时，不满足差倍集中恰有两个元素，故. 当时， ，，， 由于且，所以且，且， 因为差倍集中恰有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时，满足差倍集中恰有两个元素， 综上，若差倍集中恰有两个元素，则的值为或. （3）为满足题意的一个集合，理由如下； ，，，，，， 由集合中元素的互异性可得，元素个数为4，所以满足题意. 8．【新定义问题】（25-26高一上·四川广安·期中）已知集合为非空数集，规定：，. (1)若集合，直接写出集合； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【详解】（1）由，根据定义：，， 所以. （2）因为，所以， 若，则，而， 故，又， 而均为中元素，故，即， 又因为，故，得证. （3）设，其中， 不妨设， 则， 所以， 因为，所以， 又因为，所以， 中最小的元素为0，最大的元素为， 所以，解得，即， 实际上当时满足题意. 证明如下： 设， 则， 依题意有，解得， 故的最小值为676，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为. 9．【新定义问题】（25-26高一上·河北·阶段检测）设是一个非空有限集合，定义其加权密度函数为，其中表示集合中的元素个数，表示集合中所有元素的和.进一步地，若集合可以划分为两个非空子集和（即且）且满足，则称为可平衡集合. (1)计算集合的加权密度函数； (2)判断集合是否为可平衡集合，并说明理由； (3)已知集合（其中，为正整数，且）是可平衡集合，且划分后的两个非空子集的加权密度函数均为3，求，的值. 【答案】(1)5；(2)集合是可平衡集合，理由见解析；(3)，. 【详解】（1）已知：，则. （2）集合是可平衡集合. 理由：假设集合是可平衡集合，则集合可划分为两个非空子集，（且）且， 尝试所有可能划分可知，当，时，，，满足条件. 所以集合是可平衡集合. （3）解法一：由题意知，可划分为两个非空子集和（即，），且每个子集的加权密度函数均为3. 若，，则需满足且， 此时不满足集合中元素的互异性； 若，，则需满足且. 此时不满足集合中元素的互异性； 若，，则需满足且，显然此时不满足； 若，，需满足且，即，又，为正整数，且，还需满足集合中元素的互异性，故，； 若，，则且，，此时不满足及集合中元素的互异性； 若，，则且，，此时满足，但不满足集合中元素的互异性； 若，，则，，显然此时不满足. 综上，，. 解法二：由题意，可划分为两个子集，且每个子集的加权密度函数均为3. 设划分方式为和. 设，则，，. ， 所以，得， 又，为正整数，且，还需满足集合中元素的互异性， 当，时，集合不满足集合的互异性， 故，. 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，所以 2．（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得,又因， 则. 3．（2026·北京·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则. 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故， 故选：D. 6．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 7．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 故选：D. 8．（2024·全国甲卷（理）·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 9．（2023·全国甲卷（理）·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 10．（2023·全国乙卷（理）·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则，选项C错误； ，则，选项D错误； 故选：A. 11．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【答案】(1)或;(2)不能，理由见解析;(3)证明过程见解析 【详解】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； （2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. （3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设，. 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在，使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得. 从而有. 这就得到. 再设，. 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.3集合的基本运算 参考答案 集合的交集运算题型01 1．A 2．C 3． A 子集、真子集的个数问题题型02 4．A 5．D 6.A 7.AC 集合的并集运算题型03 8．D 9．B 10．A 根据并集结果求集合或参数题型04 11．B 12．D 13. C 集合的补集运算题型05 14．A 15．D 16．B 根据补集运算确定集合或参数题型06 17.D 18．1 19. 7 交并补混合运算题型07 20．B 21．D 22．D 根据交并补混合运算确定集合或参数题型08 23． C 24．D 25. 容斥原理题型09 26. A 27. 18 28. 18 用Venn图求集合题型10 29. A 30. C 31.C 1．C 2．D 3．D 4．B 5．ABD 6.ACD 7． 8．【答案】(1);(2) 【详解】（1）因为 所以， 即，解得， 所以的取值范围是 （2）因为中整数元素为， 且， 所以中有且仅有3个整数元素，也必是， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 9.【答案】(1);(2);(3) 【详解】（1）当时，， 又集合 ，则； （2）由得，所以， 即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即. 当时，有或，解得， 综上，实数的取值范围为． 10. 【答案】(1)，;(2)或 【详解】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 1． C 2．ACD 3.（答案不唯一） 4. 5. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为∅，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 6. 【答案】(1)，；(2)19或13；(3)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以， ． （2）设中5个元素为，，，，，且． 因为若，则，所以，，，即． 对于M中的元素，若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为． 若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为，． 若，则，即．若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，，，． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为，． 若，则，即．若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为．若，则，即． 综上，若，则，若则．即m的值为19或13． （3）证明：设，则，，且． 因为若，则，所以，，所以， 即对于M中任意一个元素，都有对应的，所以． 设，则，，且． 因为若，则，所以，，所以， 即对于N中任意一个元素，都有对应的，所以．综上，． 7.【答案】(1)；(2)或；(3)(答案不唯一)，理由见解析 【详解】（1）根据差倍集的定义，， 当时，； 当时，； 当时，. 由集合中元素的互异性，可得. （2）已知，，由集合中元素的互异性可知，且， 当时，的可能取值为或， 当时，， ， ，， 此时，满足差倍集中恰有两个元素，故. 当时，， ， 此时，不满足差倍集中恰有两个元素，故. 当时， ，，， 由于且，所以且，且， 因为差倍集中恰有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时，满足差倍集中恰有两个元素， 综上，若差倍集中恰有两个元素，则的值为或. （3）为满足题意的一个集合，理由如下； ，，，，，， 由集合中元素的互异性可得，元素个数为4，所以满足题意. 8.【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【详解】（1）由，根据定义：，， 所以. （2）因为，所以， 若，则，而， 故，又， 而均为中元素，故，即， 又因为，故，得证. （3）设，其中， 不妨设， 则， 所以， 因为，所以， 又因为，所以， 中最小的元素为0，最大的元素为， 所以，解得，即， 实际上当时满足题意. 证明如下： 设， 则， 依题意有，解得， 故的最小值为676，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为. 9. 【答案】(1)5；(2)集合是可平衡集合，理由见解析；(3)，. 【详解】（1）已知：，则. （2）集合是可平衡集合. 理由：假设集合是可平衡集合，则集合可划分为两个非空子集，（且）且， 尝试所有可能划分可知，当，时，，，满足条件. 所以集合是可平衡集合. （3）解法一：由题意知，可划分为两个非空子集和（即，），且每个子集的加权密度函数均为3. 若，，则需满足且， 此时不满足集合中元素的互异性； 若，，则需满足且. 此时不满足集合中元素的互异性； 若，，则需满足且，显然此时不满足； 若，，需满足且，即，又，为正整数，且，还需满足集合中元素的互异性，故，； 若，，则且，，此时不满足及集合中元素的互异性； 若，，则且，，此时满足，但不满足集合中元素的互异性； 若，，则，，显然此时不满足. 综上，，. 解法二：由题意，可划分为两个子集，且每个子集的加权密度函数均为3. 设划分方式为和. 设，则，，. ， 所以，得， 又，为正整数，且，还需满足集合中元素的互异性， 当，时，集合不满足集合的互异性， 故，. 1. A 2.D 3.B 4.C 5.D 6.D 7.D 8.D 9.A 10.A 11.【答案】(1)或;(2)不能，理由见解析;(3)证明过程见解析 【详解】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； （2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. （3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设，. 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在，使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得. 从而有. 这就得到. 再设，. 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $