专题03 集合、常用逻辑用语中的参数问题及新定义问题9大题型（专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题03 集合、常用逻辑用语中的参数问题及新定义问题9大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据元素与集合的关系求参数 1 题型二、根据集合中的元素个数求参数 2 题型三、根据集合的包含关系求参数 4 题型四、根据集合的交、并、补集求参数 6 题型五、根据交并补混合运算求参数 9 题型六、根据量词命题的真假求参数 11 题型七、根据充分、必要条件求参数 13 题型八、集合新定义问题——定义新运算 15 题型九、集合新定义问题——定义新性质 17 B综合攻坚·能力跃升 18 题型一、根据元素与集合的关系求参数 1．（ 2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据集合中元素的互异性可得：，且. 当集合时，集合的最大元素为；当集合时，集合的最大元素为； 根据题意可得：集合的所有元素之和为. 且或， 解得：. 故选：B. 2．已知集合，且，则 ． 【答案】 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 3．已知集合A表示直线上的点的集合，且，则a的值为 ． 【答案】/ 【详解】由题意，，所以，解得： 故答案为：． 4．若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 【答案】 【详解】由于集合等于集合，所以， 此时可得，则，可得， 当，不满足集合元素互异性,故舍， 所以， 所以， 故答案为： 5．若集合A由三个元素组成，且，则 . 【答案】2 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 题型二、根据集合中的元素个数求参数 6．设集合若集合为单元素集，则实数的值为 . 【答案】或 【详解】①当时，，此时集合，符合题意； ②当时，要使方程只有一解， 则，此时集合，符合题意； 综上，实数的值为或. 故答案为：或 7．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为集合中的元素恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是根据集合中整数元素的个数，确定集合对应区间长度的取值范围，列出不等式求解，同时一定要注意确定集合中的整数元素，进而对集合的左端点和右端点值进行限制求解. 8．设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则 . 【答案】/ 【详解】设，原方程变为， 设此方程有实根，， 则原方程的四个实根为，， 由于它们在数轴上等距排列， 即①，又，， 由此求得，满足，∴， 故答案为： 9．已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （2）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 10．已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 【答案】 【详解】方程化为：， 由已知集合只有一个元素， ①，解得， 此时方程的解为，符合题意； ②是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； ③是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； 所以k的取值集合为. 故答案为： 题型三、根据集合的包含关系求参数 11．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C 12．若，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：． 13．设集合，，且，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得. 当时，，； 当时，，由，可得或. 综上，实数的取值集合为. 故选：D. 14．设集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以且. 由； 由. 综上可知：. 故选：A 15．（多选）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AB 【详解】因为，所以或，解得或或或． 当时，，，此时，则不符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则不符合题意． 故选：AB 题型四、根据集合的交、并、补集求参数 16．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意集合，， 又因为，且全集， 所以，解得， 但当时，集合违背了元素之间的互异性， 而当时，集合，，满足题意, 综上所述：. 故选：A. 17．设集合，若，则实数的值有（   ）个 A．0 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为，所以， 若，由知，满足； 若，则， 由可知，或，解得或， 综上，的取值为. 故选：B. 18．设，，若，则实数a的值为 . 【答案】或或 【详解】集合， 由可得， 若，，满足， 若，，若， 则或 得或． 综上，实数a的取值为或0或1． 故答案为：或0或1． 19．集合或，，. (1)； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由或，得，而， 所以. （2）由，得， 当，即时，，满足，因此； 当时，由，得，解得，因此， 所以实数的取值范围是. 20．已知集合或. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 又因为或，所以； （2）若， 当，即时，，满足； 当，即时，， 要满足，只需， 解得，又因为，所以. 综上可知，实数的取值范围为. 21．设集合，非空集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)1或 (2) 【详解】（1），即，解得或， 所以， 又，， 则， 即，解得或， 当时，，即，符合， 当时，， ，解得，，符合， 故或. （2），则， ①当为单元素集时，，化简得， 即，解得或， 当时，由（1）知，符合题意； 当时，， ，解得， 所以，不符合题意，舍去. ②当为双元素集时，， 所以，无解， 综上：实数的取值范围为. 题型五、根据交并补混合运算求参数 22．已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【详解】（1）解：由集合，或， 可得或，则或. （2）解：由（1）知，，或， 所以或，可得， 当时，即时，，此时满足； 当时，即时，要使得， 则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 23．已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【详解】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 24．已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，0，1，2，3； (2). 【详解】（1）不等式，解得，得 ∴集合中的所有整数为，0，1，2，3； （2）∵，∴， ①当时，，即，成立； ②当时，由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 25．已知集合，． (1)求集合； (2)当时，求； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）由题意， 故或 （2）当时， 故 （3）由（1）或 若，则 解得 26．已知集合A，集合B. （1）若，求实数m的取值范围； （2）试判断是否存在R，使得，并说明理由. 【答案】（1）或；（2）不存在，理由见解析. 【详解】解：（1）， 若，则； 若，则， 综上或； （2）， ∴， ∴不存在，使得成立. 题型六、根据量词命题的真假求参数 27．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由命题“，”为假命题，则由“，”为真命题， 则，因，所以，所以可得， 所以原命题为假命题的一个充分不必要条件是，故A正确. 故选：A. 28．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴. 若命题“，”是真命题，则，即. 命题“，”是真命题的充分不必要条件对应的范围是的真子集，根据选项可知D选项符合题意. 故选：D. 29．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 30．已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以， 即a的最大值为. （2）若q是真命题，，解得或， 若q是假命题，，解得， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若q真p假，则， 综上： 或 31．已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若方程有两个不等的负根，则，解得； 因为命题为真，所以实数的取值范围为. （2）若方程无实根，则，解得. 若真假时，，解得； 若假真时，，解得. 综上，得. 题型七、根据充分、必要条件求参数 32．设命题，命题，若是成立的必要条件，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】因为是成立的必要条件，所以是成立的充分条件，因此, 当时满足题意，此时，解得； 当时，有，解得； 综上所述：. 故答案为：. 33．已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 34．设集合，，命题，命题. (1)当时，求集合A与集合B的并集； (2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题设，，当时，所以； （2）由题设，，且，若P是q的必要不充分条件，则 又a为正实数，即，解得， 故a的取值范围为. 35．已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由题意可知， 若，则， 故，则或； （2）由题意可得集合B是集合A的真子集， 当时，，解得， 当时，则有，解得， 且（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 36．已知集合，. (1)若“命题”是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知， 因为“命题”是真命题，所以， 又因为，所以，解得. （2）由（1）可知，， 因为是的充分不必要条件，所以⫋， ①当时，，成立， ②当时，，解得，经验证等号成立，所以， 综上，的取值范围为. 题型八、集合新定义问题——定义新运算 37．（多选）定义集合A与的运算：且．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，，， 所以，， ，. 故选：AD． 38．设U为全集，对集合X、Y，定义运算“*”，.对于集合，，，，则 . 【答案】 【详解】由题意可得，所以 所以，故， 所以. 故答案为：. 39．（多选）定义集合运算:，设，则正确的说法有（   ） A．中有4个元素 B．的非空的真子集有6个 C．的所有非空子集的元素之和是12 D． 【答案】BCD 【详解】解:由题意可知，则非空真子集有个，， 非空子集有， 所有元素之和为正确 故选：BCD 40．（多选）集合，定义运算“”为，则（    ） A． B．a⊕bb⊕a C． D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，，故A正确； 对于BC，，故B错误C正确； 对于D，若，则，， 要证，只需要证，即证， 即证，即证，即证， 因为，，所以上式成立，所以，故D正确. 故选：ACD. 41．（多选）对于的两个非空子集．定义运算，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BD 【详解】解：对于A，，故选项A错误； 对于B，，故选项B正确； 对于C，若，则， 故，故选项C错误； 对于D，， 又，则，故选项D正确． 故选：BD． 题型九、集合新定义问题——定义新性质 42．已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为 . 【答案】14 【详解】不妨设， ①当时，由，不满足题意； ②当时，由性质定义知： ，且， 所以m的最小值为，经检验符合题意. 故答案为：14. 43．若数集具有性质：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（   ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素个数一定是有限个 D．“权集”中一定有1 【答案】B 【详解】对A，因为与均不属于数集，所以A错误； 对B，因为，，，，，都属于数集，所以B正确； 对C，举例，由“权集”的定义易知其为“权集”，所以C错误； 对D：举例，因为，都属于数集，则其是“权集”， 所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 44．对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质. (1)判断集合，是否具有孪生性质，请说明理由； (2)设集合，且，若C具有孪生性质，求n的最小值. 【答案】(1)A不具有孪生性质，具有孪生性质，理由见解析 (2)675 【详解】（1）由题意，，，， ，， 所以A不具有孪生性质，具有孪生性质； （2）由题意，，，则，， 又，所以的最小值是675 1．（2024·25高一上·四川达州·期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为，且满足，， 所以当时满足， 此时，解得， 当时，则有， 解得,综上，， 即实数的取值范围为． 故选：A． 2．（2024·25高二上·浙江宁波·期末）已知集合，集合，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件可知，解得：. 故选：C 3．（2023·24高一上·北京丰台·期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由定义得，又，则或， 由方程，得或， 当时，方程只有一个实数根， 而方程有一根为0，则另一根必为0，，此时无实根，因此； 当时，必有，方程有两个不相等的实数根， 并且都不是方程的根， 显然方程有两个相等的实数根，且异于， 于是，解得或， 当时，方程的根为，满足题意， 当时，方程的根为，满足题意， 因此或，所以，. 故选：C 4．（2021·22高一上·重庆九龙坡·阶段练习）（多选）对任意，定义.例如，若，则，下列命题中为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】根据定义. 对于A：若,则,,,,∴,故A正确; 对于B：若,则,,,,∴,故B正确; 对于C：若 ,则,,则.故C错; 对于D：左边,右边所以左=右.故D正确. 故选：ABD. 【点睛】数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移. 5．（2024·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，可得， 由于，且，则， 所以，则实数的取值范围是， 故答案为： 6．（2023·24高二下·浙江宁波·期末）已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】的真子集个数是3， 共有个元素，所以，. 若，则有，； 若，则有，无解. 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（2023·24高一上·北京·阶段练习）已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】对于集合，不失一般性我们不妨设， 此时由的定义可知，有， 所以， 若是的充分不必要条件，则 ， 所以的取值范围是. 故答案为：. 8．（2024·25高一上·广东汕尾·期末）设集合，若，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】，由题设可得为的子集. 当时，解得. 当时， 若，即时， 此时的解为， 即，符合题意. 若，即时， ①，即时，此时， 即，解得，即，不符合题意. ②，即时，由此时集合. 则，解得， 与矛盾，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 9．（2023·24高一上·湖北襄阳·阶段练习）设集合，集合． (1)若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由“”是“”的必要不充分条件，得是的真子集， 又，，因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由，得或， 由中只有一个整数，得，因此，解得， 所以实数m的取值范围是. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 集合、常用逻辑用语中的参数问题及新定义问题9大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据元素与集合的关系求参数 1 题型二、根据集合中的元素个数求参数 1 题型三、根据集合的包含关系求参数 2 题型四、根据集合的交、并、补集求参数 2 题型五、根据交并补混合运算求参数 3 题型六、根据量词命题的真假求参数 4 题型七、根据充分、必要条件求参数 5 题型八、集合新定义问题——定义新运算 6 题型九、集合新定义问题——定义新性质 6 B综合攻坚·能力跃升 7 题型一、根据元素与集合的关系求参数 1．（ 2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，且，则 ． 3．已知集合A表示直线上的点的集合，且，则a的值为 ． 4．若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 5．若集合A由三个元素组成，且，则 . 题型二、根据集合中的元素个数求参数 6．设集合若集合为单元素集，则实数的值为 . 7．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 8．设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则 . 9．已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 10．已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 题型三、根据集合的包含关系求参数 11．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．若，则 ． 13．设集合，，且，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 14．设集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（多选）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 题型四、根据集合的交、并、补集求参数 16．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 17．设集合，若，则实数的值有（   ）个 A．0 B．3 C．2 D．1 18．设，，若，则实数a的值为 . 19．集合或，，. (1)； (2)若，求实数的取值范围. 20．已知集合或. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 21．设集合，非空集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 题型五、根据交并补混合运算求参数 22．已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 23．已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 24．已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 25．已知集合，． (1)求集合； (2)当时，求； (3)若，求的取值范围． 26．已知集合A，集合B. （1）若，求实数m的取值范围； （2）试判断是否存在R，使得，并说明理由. 题型六、根据量词命题的真假求参数 27．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 28．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 29．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 30．已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 31．已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 题型七、根据充分、必要条件求参数 32．设命题，命题，若是成立的必要条件，则实数的取值范围是 33．已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 34．设集合，，命题，命题. (1)当时，求集合A与集合B的并集； (2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 35．已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 36．已知集合，. (1)若“命题”是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型八、集合新定义问题——定义新运算 37．（多选）定义集合A与的运算：且．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 38．设U为全集，对集合X、Y，定义运算“*”，.对于集合，，，，则 . 39．（多选）定义集合运算:，设，则正确的说法有（   ） A．中有4个元素 B．的非空的真子集有6个 C．的所有非空子集的元素之和是12 D． 40．（多选）集合，定义运算“”为，则（    ） A． B．a⊕bb⊕a C． D．若，则 41．（多选）对于的两个非空子集．定义运算，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 题型九、集合新定义问题——定义新性质 42．已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为 . 43．若数集具有性质：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（   ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素个数一定是有限个 D．“权集”中一定有1 44．对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质. (1)判断集合，是否具有孪生性质，请说明理由； (2)设集合，且，若C具有孪生性质，求n的最小值. 1．（2024·25高一上·四川达州·期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·25高二上·浙江宁波·期末）已知集合，集合，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·24高一上·北京丰台·期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2021·22高一上·重庆九龙坡·阶段练习）（多选）对任意，定义.例如，若，则，下列命题中为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 5．（2024·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 6．（2023·24高二下·浙江宁波·期末）已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是 . 7．（2023·24高一上·北京·阶段练习）已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 8．（2024·25高一上·广东汕尾·期末）设集合，若，求实数的取值范围. 9．（2023·24高一上·湖北襄阳·阶段练习）设集合，集合． (1)若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$