第5讲 直接开平方法与配方法 讲义 2026-2027学年苏科版数学九年级上册【暑假预习】

第5讲 直接开平方法与配方法 知识点一：直接开平方法 1. 直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 2. 直接开平方法的理论依据：平方根的定义. 3. 能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，方程有两个不等的实数根，则；表示为； 若，方程有两个相等的实数根，则；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 4. 一般步骤： (1)将方程化为x²=p或(mx+n)²=p(p≥0,m*0)的形式； (2)直接开平方化为两个一元一次方程； (3)解两个一元一次方程得到原方程的解. 知识点二：配方法 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式即将方程化为 （x+a）²=b的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解，这种通过配成完全 平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 实例（2x²+4x-6=0） 一移 移项 将常数项移到方程的右边，未知数的项移到方程的左边 2x²+4x=6 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 x²+2x=3 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 x²+2x+1=3+1 即（x+1）²=4 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 x+1=±2 五解 解一元一次方程 移项，合并同类项 x1=1，x2=-3 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点三：配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 题型一：直接开平方法解一元二次方程 【典例精讲】（2026春•乐清市期中）一元二次方程x2﹣4＝0的根是（　　） A．x1＝2，x2＝0 B．x1＝﹣2，x2＝4 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝﹣2 【分析】利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：由题知， x2﹣4＝0， x2＝4， x＝±2， 所以x1＝2，x2＝﹣2． 故选：D． 【变式训练1】（2026•台山市一模）方程（x﹣3）2＝4的解是x1＝1，x2＝5　 ． 【分析】方程的左边是一个完全平方的形式，右边是4，两边直接开平方有x﹣3＝±2，然后求出方程的两个根． 【解答】解：（x﹣3）2＝4 x﹣3＝±2 x＝3±2， ∴x1＝1，x2＝5． 故答案为：x1＝1，x2＝5． 【变式训练2】用开平方法解下列方程： （1）3x2﹣48＝0； （2）（2x﹣3）2＝7． 【分析】（1）移项后两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）开方后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）3x2﹣48＝0， 移项得：3x2＝48， 整理得：x2＝16 解得：x1＝4，x2＝﹣4； （2）（2x﹣3）2＝7， 开方得：， 故， 解得：x1，x2． 题型二：利用直接开平方法求参数 【典例精讲】（2026春•相城区期中）如果关于x的方程（x﹣9）2＝m+3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥0 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3 【分析】根据解一元二次方程﹣直接开平方法得到m+3≥0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得m+3≥0， 解得m≥﹣3． 故选：D． 【变式训练1】（2026春•西湖区校级期末）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【分析】方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数，据此可得m+1+2m﹣4＝0，求得m的值，继而可得答案． 【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2， 故选：C． 【变式训练2】（2026•工业园区校级模拟）如果关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4，那么的值为　4　 ． 【分析】先求出方程的根，得出关于m的不等式，求出m的值，代入后即可求出答案． 【解答】解：解方程ax2＝b得：x2， ∵关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4， ∴（m+1）2，（2m﹣4）2， ∴b＝a（m+1）2，b＝a（﹣2m+4）2， ∵关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4， ∴m+1＝﹣2m+4（m+1和﹣2m+4互为相反数）， 解得：m＝1， 方程的两根为±2， 即4， b＝4a， ∴4， 故答案为：4． 题型三：用配方法配系数为1的方程 【典例精讲】（2026春•鄞州区校级期中）解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣1）2＝4 【分析】根据配方法将方程x2﹣4x+2＝0变形，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵x2﹣4x+2＝0， ∴（x﹣2）2﹣2＝0， 即（x﹣2）2＝2， 故选：A． 【变式训练1】（2025秋•王益区校级期末）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【解答】解：由题知， x2﹣6x+3＝0， x2﹣6x+9＝﹣3+9， （x﹣3）2＝6， 因为该方程可化为（x+m）2＝n的形式， 所以m＝﹣3，n＝6， 则m+n＝﹣3+6＝3． 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•宝安区期末）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，左右两边需同时加上常数是（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．﹣1 【分析】两边加上一次项系数的一半的平方即可． 【解答】解：x2﹣2x＝2， x2﹣2x+1＝3， （x﹣1）2＝3． 故选：A． 题型四：用配方法配系数为2的方程 【典例精讲】（2026春•庐阳区校级期中）用配方法解一元二次方程2x2+8x﹣3＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x+4）2＝7 B．（x+4）2＝11 C．2（x+2）2＝11 D．2（x+2）2＝7 【分析】先整理原方程，再按步骤配方得到结果，即可判断选项． 【解答】解：原方程整理得 2（x2+4x）＝3， ∴2（x2+4x+4）＝3+8， ∴2（x+2）2＝11． 故选：C． 【变式训练1】（2026春•寿县月考）用配方法解方程2x2﹣4x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x+1）2＝7 B．（x+1）2＝9 C．2（x﹣1）2＝7 D．2（x﹣2）2＝9 【分析】先把常数项移到等号的右边，再把二次项的系数化为1，等式两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【解答】解：2x2﹣4x﹣5＝0， 2x2﹣4x＝5， ， ， 2（x﹣1）2＝7． 故选：C． 【变式训练2】（2026•罗庄区一模）用配方法解方程3x2﹣12x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2＝n的形式，则n的值　　 ． 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【解答】解：由题知， 3x2﹣12x+2＝0， x2﹣4x， x2﹣4x+4， （x﹣2）2． 故答案为：． 题型五：用配方法解一元二次方程 【典例精讲】用配方法解下列一元二次方程： （1）x2+6x＝1； （2）x2+5x﹣6＝0． 【分析】（1）由配方法解一元二次方程的步骤解答即可； （2）由配方法解一元二次方程的步骤解答即可． 【解答】解：（1）∵x2+6x＝1， ∴（x+3）2＝10， ∴x+3＝±， ∴x13，x23； （2）∵x2+5x﹣6＝0， ∴x2+5x＝6， ∴（x）2， ∴x±， ∴x1＝1，x2＝﹣6． 【变式训练1】（2025秋•沙县区校级期末）用配方法解下列方程： （1）3x2+6x﹣12＝0； （2）2x2﹣7x+6＝0． 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）原方程两边同除以3得x2+2x﹣4＝0， 移项得x2+2x＝4， 配方得x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5， 两边开平方，得，即或， ∴，； （2）原方程两边同除以2得， 移项得， 配方得，即， 两边开平方得，即或． ∴x1＝2，． 【变式训练2】用配方法解下列方程： （1）5y﹣84+y2＝0； （2）2x2x＝3． 【分析】（1）整理后，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解； （2）方程二次项系数化为1，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解． 【解答】解：（1）方程变形得：y2+5y＝84， 配方得：y2+5y84，即（x）2， 开方得：x± 解得：x1，x2； （2）方程变形得：x2x， 配方得：x2x，即（x）2， 开方得：x± 解得：x1，x2． 题型五：用配方法解一元二次方程之错解还原问题 【典例精讲】（2026•庆元县二模）解一元二次方程x2﹣2x＝1时，小龙同学的错误解法如图． （1）你认为x1＝1是方程的解吗？请判断并说明理由． （2）选择正确的方法解方程：x2﹣2x＝1． x2﹣2x＝1 解：x（x﹣2）＝1 所以x＝1或x﹣2＝1 所以x1＝1，x2＝3 【分析】（1）依据题意，由当x1＝1时，左边＝1﹣2＝﹣1，右边＝1，则左边≠右边，从而可以得解； （2）依据题意，由配方法解方程可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵当x1＝1时，左边＝1﹣2＝﹣1，右边＝1， ∴左边≠右边， ∴x1＝1不是方程的解； （2）由题意，∵x2﹣2x＝1， ∴x2﹣2x+1＝2， ∴（x﹣1）2＝2， ∴， ∴，． 【变式训练1】（2026春•蒙城县月考）在用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0时，小明的解法如图： 第一步：移项，得x2﹣4x＝3． 第二步：配方，得x2﹣4x+42＝3+42，即（x﹣4）2＝19． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以，． 请回答： （1）小明的解答过程从第　二　 步开始出现错误； （2）请给出这道题的正确解答过程． 【分析】（1）观察解题过程可得结论； （2）运用配方法的过程解答即可． 【解答】解：（1）小明的解答过程从第二步开始出现错误； 故答案为：二； （2）原方程移项可得： x2﹣4x＝3， （x﹣2）2＝7， ， ∴，． 【变式训练2】（2025秋•浈江区期末）阅读与思考 小明同学解一元二次方程2x2﹣8x﹣18＝0的过程如下： 解；移项，得2x2﹣8x＝18① 两边同除以2，得x2﹣4x＝9② 配方，得x2﹣4x+4＝9③ 即（x﹣2）2＝9④ ∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3⑤ ∴x1＝5，x2＝﹣1⑥ 小明解方程的方法是B ．（填字母） A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法． 他的求解过程从步骤　③　 （填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程． 【分析】运用配方法求解即可． 【解答】解：小明解方程的方法是配方法， 他的求解过程从步骤③开始出现错误， 正确的解析过程如下： 2x2﹣8x﹣18＝0， 2x2﹣8x＝18， x2﹣4x＝9， x2﹣4x+4＝13， （x﹣2）2＝13， ∴或， ∴． 故答案为：B，③． 题型六：利用配方法求最值 【典例精讲】（2026春•碑林区校级同步）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例．若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值． 解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）①x2﹣kx+16是一个完全平方式，求k＝　±8　 ； ②若y＝﹣x2+2x+131，求y的最大值； （2）当m，n为何值时，代数式2m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2026有最小值，并求出这个最小值． 【分析】（1）①利用完全平方公式进行转化即可； ②将等号右侧进行配方； （2）将代数式转化成含有完全平方式的形式． 【解答】解：（1）①∵x2﹣kx+16是一个完全平方式， ∴存在两种情况（x﹣4）2或（x+4）2， ∴k＝±8， 故答案为：±8； ②∵y＝﹣x2+2x+131＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+131＝﹣（x﹣1）2+132， ∴当x＝1时，y有最大值是132； （2）∵2m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2026 ＝（m2﹣2mn+n2）+（m2﹣2m+1）+（n2﹣4n+4）+2021 ＝（m﹣n）2+（m﹣1）2+（n﹣2）2+2021 ∴m＝n＝1或2与m＝1，n＝2代数式的最小值是2022． 【变式训练1】（2026春•双流区校级期中）读下列材料： “我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：求代数式y2+6y+14的最小值． 解：y2+6y+14＝（y2+6y+9）+5＝（y+3）2+5 ∵（y+3）2≥0， ∴（y+3）2+5≥5 ∴当y+3＝0，即y＝﹣3时，y2+6y+14的最小值是5． 【问题解决】 （1）代数式m2﹣6m+11的最小值　2　 ． （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求△ABC的最大边c的值． （3）若x﹣y＝6，xy+2t2﹣8t＝﹣17，求y2x﹣t的值． 【分析】（1）将原式变形为（m﹣3）2+2，根据非负数的意义就可以得出代数式的最小值． （2）将原式变形为（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，再进一步求解即可． （3）求解x＝y+6，代入xy+2t2﹣8t＝﹣17，可得（y+3）2+2（t﹣2）2＝0，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）m2﹣6m+11＝（m﹣3）2+2， ∵（m﹣3）2≥0， ∴（m﹣3）2+2≥2， ∴代数式m2﹣6m+11的最小值是2． 故答案为：2； （2）由条件可得：（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0， 解得：a＝3，b＝4． ∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数， ∴1＜c＜7， ∴c的最大整数值为6． （3）由条件可知x＝y+6， ∵xy+2t2﹣8t＝﹣17， ∴y（y+6）+2t2﹣8t+17＝0， ∴（y2+6y+9）+2（t2﹣4t+4）＝0， ∴（y+3）2+2（t﹣2）2＝0， ∴y+3＝0，t﹣2＝0， 解得：y＝﹣3，t＝2， ∴x＝3， ∴y2x﹣t＝（﹣3）6﹣2＝（﹣3）4＝81． 【变式训练2】（2026春•兴宁市月考）把整式通过配凑，得到完全平方式，再运用完全平方公式的逆运用a2±2ab+b2＝（a±b）2，得到平方式：（a±b）2，再利用平方的非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法． 例如：求x2+4x+5的最小值． 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）填空：x2±6x+9＝（x ±　3　 ）2； （2）求a2﹣4a+3的最小值； （3）x2+2y2+6x﹣8y+17＝0，求xy的值． 【分析】（1）依据题意，由x2±6x+9＝（x±3）2，进而可以得解； （2）依据题意得，a2﹣4a+3＝a2﹣4a+4﹣1＝（a﹣2）2﹣1，又（a﹣2）2≥0，则（a﹣2）2﹣1≥﹣1，从而a2﹣4a+3＝（a﹣2）2﹣1≥﹣1，进而可以得解； （3）依据题意，由x2+2y2+6x﹣8y+17＝0，则（x+3）2+2（y﹣2）2＝0，从而x+3＝0，y﹣2＝0，故可得x＝﹣3，y＝2，从而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵x2±6x+9＝（x±3）2， 故答案为：x；3； （2）由题意得，a2﹣4a+3＝a2﹣4a+4﹣1＝（a﹣2）2﹣1， ∵（a﹣2）2≥0， ∴（a﹣2）2﹣1≥﹣1， ∴a2﹣4a+3＝（a﹣2）2﹣1≥﹣1， ∴a2﹣4a+3的最小值为﹣1； （3）由题意，∵x2+2y2+6x﹣8y+17＝0， ∴x2+6x+9+2y2﹣8y+8＝0， ∴（x+3）2+2（y﹣2）2＝0． ∴x+3＝0，y﹣2＝0， ∴x＝﹣3，y＝2． ∴xy＝﹣3×2＝﹣6． 题型七：利用配方法比较大小 【典例精讲】（2026•宁波模拟）已知M＝a2﹣b2，N＝3a+2b，其中a，b为整数． （1）当a＝2时，求M与N的大小关系； （2）当b＝1时，求M+N的最小值； （3）是否存在使M+3＝2N的a，b的值，若有请写出a，b的值；没有则说明理由． 【分析】（1）代入a＝2求差M﹣N，配方判断符号； （2）代入b＝1，整理成关于a的二次函数，利用整数a求最值； （3）把M、N代入等式，整理配方，利用条件求解． 【解答】解：（1）当a＝2时，M﹣N＝22﹣b2﹣6﹣2b＝﹣（b+1）2﹣1＜0， ∴M＜N． （2）当b＝1时，， 又a为整数， ∴当a＝﹣1或a＝﹣2时，M+N取得最小值，为﹣1． （3）不存在，理由如下： 假设存在整数a，b， 由M+3＝2N得a2﹣b2+3＝2（3a+2b）， 移项配方得（a﹣3）2﹣（b+2）2＝2， 因式分解得（a+b﹣1）（a﹣b﹣5）＝2， a+b与a﹣b奇偶性相同， ∴a+b﹣1与a﹣b﹣5奇偶性相同， ∵2的整数因数分解中，两个因数必为一奇一偶（1和2，﹣1和﹣2）， ∴无法分解为两个同奇或同偶的数之积，故不存在满足条件的整数a，b． 【变式训练1】（2026春•双流区校级期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如x2+4x+6＝（x2+4x+4）+2＝（x+2）2+2．可知当（x+2）2＝0，即x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： （1）代数式x2﹣4x﹣7的最小值为　﹣11　 ； （2）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣6a﹣10b+34＝0，求边c的取值范围； （3）已知P＝3m2+4n+19，Q＝m2﹣n2+12m﹣4，试比较P，Q的大小． 【分析】（1）根据例题用配方法，得出x2﹣4x﹣7＝（x﹣2）2﹣11，即可求解； （2）将已知等式用完全平方公式因式分解得出（a2﹣6a+9）+（b2﹣10b+25）＝0，根据非负数的性质求得a＝3，b＝5，再根据三角形的三边关系，即可求解； （3）利用作差法得出P﹣Q＝2（m﹣3）2+（n+2）2+1＞0，即可求解． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣7＝（x2﹣4x+4）﹣11＝（x﹣2）2﹣11， 当（x﹣2）2＝0，即x＝2时，x2﹣4x﹣7的最小值为﹣11． 故答案为：﹣11； （2）由条件可知（a2﹣6a+9）+（b2﹣10b+25）＝0，即（a﹣3）2+（b﹣5）2＝0， ∵（a﹣3）2≥0，（b﹣5）2≥0， ∴a＝3，b＝5， ∵b﹣a＜c＜b+a， ∴2＜c＜8； （3）∵P＝3m2+4n+19，Q＝m2﹣n2+12m﹣4， ∴P﹣Q＝3m2+4n+19﹣（m2﹣n2+12m﹣4） ＝3m2+4n+19﹣m2+n2﹣12m+4 ＝2m2﹣12m+n2+4n+23 ＝2（m2﹣6m+9）+（n2+4n+4）+1 ＝2（m﹣3）2+（n+2）2+1， ∴P﹣Q≥0+0+1＝1＞0， ∴P＞Q． 【变式训练2】（2026春•安庆校级期中）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝（m﹣n）2+（n﹣4）2， 则多项式m2﹣2mn+2n2﹣8n+16就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）判断：多项式x2﹣2xy+2y2是不是双平方多项式． （2）若多项式x2+y2﹣2x+6y+k是双平方多项式，求整数k的值． （3）已知P＝2x2+4y+13，Q＝x2﹣y2+6x﹣1，比较P，Q的大小． 【分析】（1）利用完全平方公式配方后判断即可； （2）利用完全平方公式配方得到x2+y2﹣2x+6y+k＝（x﹣1）2+（y+3）2+k﹣10，再根据双平方多项式列方程求解即可； （3）先计算P﹣Q＝（x﹣3）2+（y+2）2+1＞0，即可比较大小． 【解答】解：（1）x2﹣2xy+2y2＝x2﹣2xy+y2+y2＝（x﹣y）2+y2 ∴多项式x2﹣2xy+2y2能够变形为两个整式的平方和，是双平方多项式． （2）x2+y2﹣2x+6y+k ＝x2﹣2x+y2+6y+k ＝x2﹣2x+1+y2+6y+9﹣1﹣9+k ＝（x﹣1）2+（y+3）2+k﹣10， 由条件可知k﹣10＝0， 解得k＝10． （3）P﹣Q＝2x2+4y+13﹣（x2﹣y2+6x﹣1） ＝x2﹣6x+y2+4y+14 ＝x2﹣6x+9+y2+4y+4+14﹣9﹣4 ＝（x﹣3）2+（y+2）2+1， ∴（x﹣3）2+（y+2）2+1≥1＞0，即P﹣Q＞0， ∴P＞Q． 题型八：利用配方法进行证明 【典例精讲】（2026春•天河区校级月考）【阅读材料】 我们曾学习过完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2．事实上，有些非二次三项式也可以写成完全平方式的形式，例如： x2+6x+9＝（x+3）2；x2﹣4x+4＝（x﹣2）2． 对于形如x2+ax+b的式子，若存在常数k使得x2+ax+b＝（x+k）2，则b＝k2，且a＝2k． 问题解决： （1）若x2+8x+m是完全平方式，则m＝　16　 ； （2）若x2﹣6x+n2是完全平方式，且n＞0，求n的值； （3）试说明：无论x取何实数，代数式x2﹣4x+7的值总为正数，并求出它的最小值． 【分析】（1）根据完全平方式的概念解答； （2）根据完全平方式的概念解答； （3）利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性解答． 【解答】解：（1）m＝（）2＝16， 故答案为：16； （2）∵x2﹣6x+n2是完全平方式， ∴， ∵n＞0， ∴n＝3； （3）x2﹣4x+7＝（x2﹣4x+4）+3＝（x﹣2）2+3， ∵（x﹣2）2≥0， ∴（x﹣2）2+3≥3＞0，即原式总为正数， 当 x＝2时，最小值为3． 【变式训练1】（2026•历城区校级自主招生）若实数a，b，c满足：a2﹣a﹣bc＝m，b+c＝5． （1）若b＝1，求m的最小值； （2）若m，且a为整数，求abc； （3）若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 【分析】（1）依据题意，由b＝1，c＝4，则，从而当a时，m的最小值为，即可得解； （2）依据题意，由m，b+c＝5，则，可得b，c是方程t2﹣5t+bc＝0的两根，从而Δ＝25﹣4bc≥0，则a（a﹣1）≤0，从而0≤a≤1，结合a为整数，可得a＝0或1，进而无论哪种情况都有bc，最后即可得解； （3）依据题意，把c＝5﹣b代入a2﹣a﹣bc＝m，得m＝a2﹣a﹣b（5﹣b）＝a（a﹣1）+b（b﹣5），又a与a﹣1奇偶性不同，b与b﹣5奇偶性不同，可得a（a﹣1）与b（b﹣5）必定同为奇数，进而a（a﹣1）+b（b﹣5）必定为偶数，即m必定为偶数，故可得解． 【解答】解：（1）由题意，∵b＝1，c＝4， ∴． ∴当a时，m的最小值为； （2）由题意，∵m，b+c＝5， ∴． ∴b，c是方程t2﹣5t+bc＝0的两根， ∴Δ＝25﹣4bc≥0， ∴a2﹣a+25≤25，则a（a﹣1）≤0， ∴0≤a≤1， ∵a为整数， ∴a＝0或1， ∴无论哪种情况都有bc， ∴abc＝0或； （3）不存在，理由如下： 把c＝5﹣b代入a2﹣a﹣bc＝m，得m＝a2﹣a﹣b（5﹣b）＝a（a﹣1）+b（b﹣5）， ∵a与a﹣1奇偶性不同，b与b﹣5奇偶性不同， ∴a（a﹣1）与b（b﹣5）必定同为奇数， ∴a（a﹣1）+b（b﹣5）必定为偶数，即m必定为偶数． 【变式训练2】（2026春•莱山区期中）数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式： M＝﹣2a2+4a，N＝﹣2（a2﹣2a+2） （1）比较M，N的大小； （2）若P+2N＝M﹣5，证明：P不可能小于0． 【分析】（1）计算M﹣N即可求解； （2）将M，N代入P＝M﹣2N﹣5求解即可． 【解答】（1）解：M﹣N ＝﹣2a2+4a﹣[﹣2（a2﹣2a+2）] ＝﹣2a2+4a+2a2﹣4a+4 ＝4＞0， ∴M＞N． （2）证明：由条件可知： P＝M﹣2N﹣5 ＝﹣2a2+4a﹣2[﹣2（a2﹣2a+2）]﹣5 ＝﹣2a2+4a+4（a2﹣2a+2）﹣5 ＝﹣2a2+4a+4a2﹣8a+8﹣5 ＝2a2﹣4a+3 ＝2（a2﹣2a+1）+1 ＝2（a﹣1）2+1， ∵（a﹣1）2≥0， ∴P＝2（a﹣1）2+1≥1＞0， ∴P不可能小于0． 题型九：用配方法进行因式分解 【典例精讲】（2026•南海区校级模拟）【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式． 配方：x2﹣6x+8 ＝x2﹣6x+32﹣32+8 ＝（x﹣3）2﹣1 分解因式：x2﹣6x+8 ＝（x﹣3）2﹣1 ＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1） ＝（x﹣2）（x﹣4） 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式． （2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式． （3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． （4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． 【分析】（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行变形即可配方法． （2）先利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35变形，再利用平方差公式分解即可． （3）△ABC为等边三角形，将a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0利用配方法变形，再根据偶次方的非负性可得答案． （4）分别对含x和含y的式子进行配方，再利用偶次方的非负性可得答案． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5 ＝x2﹣4x+22﹣22﹣5 ＝（x﹣2）2﹣9． （2）x2﹣2x﹣35 ＝x2﹣2x+1﹣1﹣35 ＝（x﹣1）2﹣62 ＝（x﹣1+6）（x﹣6） ＝（x+5）（x﹣7）． （3）△ABC为等边三角形，理由如下： ∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）+3（c2﹣2c+1）＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0， ∴a＝b，b＝1，c＝1， ∴a＝b＝c， ∴△ABC为等边三角形． （4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15 ＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2 ＝（x+2）2+（y﹣3）2+2， ∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0， ∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2， ∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． 【变式训练1】（2025秋•南康区期末）对于部分不是完全平方形式的代数式，往往可以通过配成完成平方的方式进行因式分解，比如把代数式x2﹣6x﹣7因式分解： 解：x2﹣6x﹣7＝x2﹣6x+9﹣9﹣7 ＝（x﹣3）2﹣16 ＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4） ＝（x+1）（x﹣7） （1）请你仿照上面的方法，把代数式x2﹣8x+7因式分解； （2）若代数式x2+8x﹣9＝0，则x的值为　1或﹣9　 ． 【分析】（1）把x2﹣8x+7化为（x2﹣8x+16）﹣16+7，再进一步求解即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）原式＝（x2﹣8x+16）﹣16+7 ＝（x﹣4）2﹣9 ＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3） ＝（x﹣1）（x﹣7）； （2）原方程因式分解可得： （x﹣1）（x+9）＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣9． 故答案为：1或﹣9． 【变式训练2】（2026•荷塘区校级一模）阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． ． ∵（x+2）2≥0，∴当（x+2）2＝0时，原式有最小值，最小值为﹣9． 根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法分解因式：x2+2x﹣8； （2）求多项式x2+4x﹣2020的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c满足求△ABC的周长． 【分析】（1）根据材料方法，对式子进行因式分解即可； （2）根据材料下对式子进行因式分解，再根据平方的非负性即可； （3）根据材料对a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c进行化简，求出a，b，c的值即可． 【解答】解：（1）x2+2x﹣8， ＝x2+2x+1﹣1﹣8， ＝（x+1）2﹣9， ＝（x+1+3）（x+1﹣3）， ＝（x+4）（x﹣2）． （2）x2+4x﹣2020， ＝x2+4x+22﹣22﹣2020， ＝（x+2）2﹣2024， ∵（x+2）2≥0， ∴当（x+2）2＝0时，原式有最小值，最小值为﹣2024． （3）∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c， ∴a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0， ∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴， 解得：， ∴C△ABC＝3+4+5＝12． 1．（2026•常州校级模拟）方程x2﹣4＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1，x2 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：∵x2﹣4＝0， ∴x2＝4， 则x1＝2，x2＝﹣2， 故选：C． 2．（2025秋•山丹县校级期末）一元二次方程2x2＝8的解为（　　） A．x1＝x2＝﹣2 B．x1＝x2＝2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2 【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答． 【解答】解：2x2＝8， x2＝4， x1＝2，x2＝﹣2， 故选：C． 3．（2026•海州区校级二模）解一元二次方程（x+2）2＝4时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为x+2＝2，则另一个方程为（　　） A．x﹣2＝﹣2 B．x+2＝﹣2 C．x﹣2＝2 D．x+2＝2 【分析】根据题意，利用直接开平方法进行变形即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为（x+2）2＝4， 则x+2＝±2， 所以x+2＝2或x+2＝﹣2， 即另一个方程是x+2＝﹣2． 故选：B． 4．（2026春•相城区期中）如果关于x的方程（x-9）2=m+3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥0 C． D．m≥-3 【分析】根据解一元二次方程-直接开平方法得到m+3≥0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得m+3≥0， 解得m≥-3． 故选：D． 5．（2026春•裕安区月考）用配方法解一元二次方程3x2+12x﹣5＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C．3（x+2）2＝17 D．3（x﹣2）2＝17 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再整理二次项，随后配方得到完全平方形式，对比选项即可得到正确结果． 【解答】解：∵原方程为 3x2+12x﹣5＝0， 移项得 3x2+12x＝5， 提取二次项系数得 3（x2+4x）＝5， 3（x2+4x+4）＝5+12， 整理得 3（x+2）2＝17． 故选：C． 6．（2026春•新昌县期中）用配方法解方程x2+6x＝7，应在方程两边同时加上　9　 ． 【分析】当二次项系数为1时，常数项等于一次项系数一半的平方，即可解答． 【解答】解：用配方法解方程x2+6x＝7，应在方程两边同时加上9， 故答案为：9． 7．（2025秋•松江区期末）一元二次方程x2+6x+4＝0配方得　（x+3）2＝5　 ． 【分析】先把常数项移项，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方即可解答． 【解答】解：由题意得，x2+6x＝﹣4， x2+6x+9＝﹣4+9， （x+3）2＝5， 故一元二次方程x2+6x+4＝0配方得（x+3）2＝5， 故答案为：（x+3）2＝5． 8．（2026•邗江区校级二模）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，将原方程转化为（x+m）2＝n的形式可得 　（x﹣2）2＝3　 ． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【解答】解：x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝3， （x﹣2）2＝3． 故答案为：（x﹣2）2＝3． 9．（2026春•临安区期中）已知关于x的方程x2﹣mx+n＝0通过配方可变形为，则的值为　　 ． 【分析】根据题意，将方程展开即可解决问题． 【解答】解：由得， x2， x20， 所以m， 所以． 故答案为：． 10．（2026春•香坊区校级期中）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣b，例如，5※3＝52﹣3＝22．若x※（2x﹣4）＝3，则x的值为　1　 ． 【分析】根据题目中给出的运算规则，将x※（2x﹣4）转化为常规的一元二次方程，再求解方程． 【解答】解：∵a※b＝a2﹣b，x※（2x﹣4）＝3， ∴x2﹣（2x﹣4）＝3， x﹣1＝0， 解得x＝1． 故答案为：1． 11．（2026•阜宁县模拟）已知m为实数，Q＝m2﹣1，P＝2m﹣3，则Q　＞　 P（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】通过对作差结果配方，结合平方的非负性判断差的符号，即可得到Q与P的大小关系． 【解答】解：通过对作差结果配方，结合平方的非负性判断差的符号如下： ∵Q＝m2﹣1，P＝2m﹣3， ∴Q﹣P ＝（m2﹣1）﹣（2m﹣3） ＝m2﹣1﹣2m+3 ＝m2﹣2m+2 ＝（m﹣1）2+1， ∵（m﹣1）2≥0， ∴（m﹣1）2+1≥1＞0，即Q﹣P＞0， ∴Q＞P． 故答案为：＞． 12．（2026春•西安校级期中）若A＝a2+2a+2，则A的最小值是　1　 ． 【分析】通过配方法对代数式变形，再利用完全平方式的非负性即可求出A的最小值． 【解答】解：A＝a2+2a+1+1＝（a+1）2+1， ∵对任意实数a，（a+1）2≥0， ∴当（a+1）2＝0时，A取得最小值，即最小值为0+1＝1， 故答案为1． 13．（2026春•青羊区校级期中）已知a，b，c为△ABC的三条边，若△ABC为等腰三角形，且a，b满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则△ABC的周长为　12　 ． 【分析】利用配方法把已知式子化为平方和的形式，利用非负数的性质求出a、b的值．然后根据等腰三角形的定义进行分类计算即可． 【解答】解：利用配方法把已知式子化为平方和的形式可得：（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣5＝0， ∴a＝2，b＝5， ①当a为腰时，2+2＜5，不能构成三角形； ②当b为腰时，该三角形的周长为：2+5+5＝12． 故答案为：12． 14．（2026春•西湖区校级期中）小李同学在解决问题“已知x﹣y＝4，求xy的最小值”时，给出框图中的思路： ∵x﹣y＝4， ∴x＝y+4， 则xy＝（y+4）y＝y2+4y＝（y+2）2﹣4， ∵（y+2）2≥0， ∴（y+2）2﹣4≥﹣4， ∴xy的最小值为﹣4. 结合以上小李同学的思路探究：若x+3y＝6，则式子6+xy有最　大　 （填大或小）为　9　 ． 【分析】仿照小李同学的思路，由x+3y＝6表示x＝6﹣3y，代入6+xy，然后运用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【解答】解：由条件可知x＝6﹣3y， 则xy＝（6﹣3y）y＝6y﹣3y2， ∴6+xy＝6+6y﹣3y2 ＝﹣3（y2﹣2y﹣2） ＝﹣3（y2﹣2y+1﹣3） ＝﹣3（y2﹣2y+1）+9 ＝﹣3（y﹣1）2+9， ∴﹣3（y﹣1）2+9≤9， ∴6+xy有最大值9． 故答案为：大，9． 15．（2026•陕西模拟）定义一种新运算：，若，则x的值为　﹣1　 ． 【分析】根据新定义将转化为一元二次方程，求解即可． 【解答】解：新运算：， ∵， ∴x2﹣1×（﹣2x﹣1）＝0，即x2+2x+1＝0， ∴（x+1）2＝0， 解得：x1＝x2＝﹣1， 即x的值为﹣1． 16．用配方法解下列方程： （1）x2﹣x﹣1＝0； （2）3x2＝﹣1﹣5x； 【分析】（1）常数项移到右边，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解． （2）移项，方程二次项系数化为1，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式， 右边合并，开方即可求出解； 【解答】解：（1）方程变形得：x2﹣x＝1， 配方得：x2﹣x1，即（x）2， 开方得：x﹣1＝±， 解得：x1＝1，x2＝1； （2）方程变形得：x2x， 配方得：x2x，即（x）2， 开方得：x， 解得：x1，x2； 17．（2026•江海区一模）下面是小明同学解一元二次方程2x2﹣8x﹣3＝0的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，…第一步 移项，得，…第二步 配方，得，…第三步 ，…第四步 由此可得，…第五步 解得第六步 任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ 任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 【分析】任务一：结合所给解方程的过程即可解决问题； 任务二：根据因式分解法解一元二次方程的步骤进行求解即可． 【解答】解：任务一：①由所给求解过程可知， 小明解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式； ②第三步出现错误，原因是：等式的右边忘记加上4； 任务二：2x2﹣8x﹣3＝0， x2﹣4x0， x2﹣4x， x2﹣4x+4， （x﹣2）2， 则x﹣2， 所以． 18．（2026春•锦江区校级期中）已知△ABC的三边长为a，b，c， （1）若a＝1，b＝5，写出c的范围，并化简：|c﹣4|+|c﹣7|． （2）若△ABC是等腰三角形，且a2+b2﹣14a﹣6b+58＝0，求这个等腰三角形的周长． 【分析】（1）利用三角形三边关系求出c的取值范围，再根据绝对值的性质化简式子； （2）用配方法求出a、b的值，再结合等腰三角形的性质和三边关系求周长． 【解答】解：（1）由条件可知5﹣1＜c＜5+1， 4＜c＜6． ∵4＜c＜6， ∴c﹣4＞0，c﹣7＜0， |c﹣4|+|c﹣7|＝c﹣4+7﹣c＝3． （2）由条件可知（a2﹣14a+49）+（b2﹣6b+9）＝0， （a﹣7）2+（b﹣3）2＝0． ∵（a﹣7）2≥0，（b﹣3）2≥0， ∴a﹣7＝0，b﹣3＝0， ∴a＝7，b＝3， ∵△ABC是等腰三角形， ∴分两种情况①当腰长为7时，三边长为7，7，3， ∵7+3＞7，能构成三角形， 周长为7+7+3＝17； ②当腰长为3时，三边长为3，3，7， ∵3+3＜7，不能构成三角形，舍去． 综上，这个等腰三角形的周长为17． 19．（2026•启东市模拟）七年级数学下册课本中介绍“求差法比较大小”：两个数（或代数式）的大小可以通过它们的差来判断．比如对a和b比较大小，那么，当a﹣b＞0时，则a＞b；当a﹣b＜0时，则a＜b；当a﹣b＝0时，则a＝b． （1）比较x2和2x﹣2的大小； （2）比较3与2的大小． 【分析】（1）依据题意，作差：x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，结合（x﹣1）2≥0，从而x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1≥1＞0，进而可以得解； （2）依据题意，作差：3（2）＝5﹣2，结合25＞24，可得，从而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，作差：x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， 又∵（x﹣1）2≥0， ∴x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1≥1＞0， ∴x2＞2x﹣2； （2）由题意，作差：3（2） ＝5﹣2 ， ∵25＞24， ∴． ∴3（2）0． ∴32． 20．（2026春•济阳区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0 ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0， ∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0， ∴m＝4，n＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2+4xy+5y2+2y+1＝0，则2x+3y的值为　1　 ； （2）已知△ABC的边长a，b，c是三个互不相等的正整数，且满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，求c的值；（写出求解过程） （3）已知m﹣n＝6，mn+p2﹣10p+34＝0，求m+n﹣p的值． 【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出x、y，计算即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出a、b，再根据三角形的三边关系求出c； （3）根据题意得出m＝6+n，代入原式，利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出m、n、p计算即可． 【解答】解：（1）x2+4xy+5y2+2y+1＝0， 则x2+4xy+4y2+y2+2y+1＝0， ∴（x+2y）2+（y+1）2＝0， ∴x+2y＝0，y+1＝0， 解得：x＝2，y＝﹣1， ∴2x+3y＝2×2+3×（﹣1）＝1， 故答案为：1； （2）a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0， 则a2﹣4a+4+b2﹣6b+9＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0， 解得：a＝2，b＝3， 则3﹣2＜x＜3+2，即1＜x＜5， ∵a，b，c是三个互不相等的正整数， ∴c＝4； （3）m﹣n＝6，则m＝6+n， 原式变形为：n（6+n）+p2﹣10p+34＝0， ∴n2+6n+9+p2﹣10p+25＝0， ∴（n+3）2+（p﹣5）2＝0， ∴n＝﹣3，p＝5， 则m＝3， ∴m+n﹣p＝3+（﹣3）﹣5＝﹣5． 21．（2026春•临淄区期中）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴（x+2）2+1＝1， ∴x2+4x+5≥1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：x2﹣4x+5＝（x　﹣2　 ）2+1； （2）已知x2+y2＝4x﹣2y﹣5，求x+y的值； （3）比较代数式2x2﹣1与4x﹣8的大小． 【分析】（1）根据完全平方公式进行变形，得到答案； （2）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质分别求出x、y，计算即可； （3）求出2x2﹣1与4x﹣8的差，根据完全平方公式把差变形，根据偶次方的非负性解答． 【解答】解：（1）x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1， 故答案为：﹣2； （2）x2+y2＝4x﹣2y﹣5， x2﹣4x+4+y2+2y+1＝0， （x﹣2）2+（y+1）2＝0， ∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0， ∴x﹣2＝0，y+1＝0， 解得，x＝2，y＝﹣1， 则x+y＝1； （3）2x2﹣1﹣（4x﹣8） ＝2x2﹣1﹣4x+8 ＝2x2﹣4x+2+5 ＝2（x﹣1）2+5， ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2+5＞0， ∴2x2﹣1＞4x﹣8． 22．（2026春•天宁区期中）定义：将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即：a2±2ab+b2＝（a±b）2． 例如：若将多项式x2+2x+5进行配方，则x2+2x+5＝x2+2x+12+4＝（x+1）2+4． 配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用． （1）将多项式x2﹣6x+13配方为（x+m）2+n的形式，则m＝　﹣3　 ，n＝　4　 ； （2）若多项式A＝2x（x﹣2），B＝（x+3）（x﹣3），证明：无论x取何值，A﹣B＞0均成立； （3）已知e2+f2＝62，关于y的代数式（y﹣e）（y﹣f）可变形为（y﹣4）2+k（k为常数），求k的值． 【分析】（1）由x2﹣6x+13＝x2﹣6x+32+4＝（x﹣3）2+4，得到m，n的值； （2）把A，B的式子代入A﹣B，得到A﹣B＝（x﹣2）2+5，利用完全平方式的非负性，得到结果； （3）将（y﹣e）（y﹣f）＝（y﹣4）2+k化简，然后比较系数，得到e+f＝8，ef＝16+k，利用（e+f）2＝e2+2ef+f2，将e2+f2＝62，e+f＝8，ef＝16+k代入即可求出k的值． 【解答】（1）解：∵x2﹣6x+13 ＝x2﹣6x+9+4 ＝（x﹣3）2+4 ＝（x+m）2+n， ∴m＝﹣3，n＝4， 故答案为：﹣3，4； （2）证明：∵A＝2x（x﹣2），B＝（x+3）（x﹣3）， ∴A﹣B＝2x（x﹣2）﹣（x+3）（x﹣3） ＝2x2﹣4x﹣x2+9 ＝x2﹣4x+9 ＝x2﹣4x+4+5 ＝（x﹣2）2+5． ∵不论x为何值，（x﹣2）2≥0， ∴（x﹣2）2+5≥5， ∴无论x取何值，A﹣B＞0均成立； （3）∵（y﹣e）（y﹣f）＝（y﹣4）2+k， ∴y2﹣（e+f）y+ef＝y2﹣8y+16+k， ∴e+f＝8，ef＝16+k， ∵e2+f2＝62， ∴（e+f）2＝82， ∴e2+f2+2ef＝64， ∴62+2（16+k）＝64， 解得k＝﹣2． 23．（2026春•温州期中）综合与实践 新能源汽车停车场设计与收费问题 素材1 设计要求：矩形停车场，其布局如图．已知AD＝52m，AB＝32m，阴影部分设计为停车位，面积为800m2，车位总数为60个，其余部分均为宽度为x米的道路． 素材2 收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如： 求代数式﹣2a2﹣4a+5的最大值． 方法如下：∵﹣2a2﹣4a+5＝﹣2（a2+2a+1）+7＝﹣2（a+1）2+7， 由﹣2（a+1）2≤0，得﹣2（a+1）2+7≤7， ∴代数式﹣2a2﹣4a+5的最大值是7． （1）求道路的宽是多少米？ （2）设该停车场收到的月租金为y元，当每个车位的月租金上涨m（m是5的倍数）元时，试用含m的代数式表示停车场的月租金y． （3）请求出该停车场月租金收入最高为多少元，此时每个车位月租金为多少元？ 【分析】（1）根据矩形的面积公式列出方程，解方程得到答案； （2）根据题意列出关系式即可； （3）利用素材3的思路即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：（52﹣2x）（32﹣2x）＝800， 整理得：x2﹣42x+216＝0， 解得：x1＝6，x2＝36（舍去）， 答：道路的宽是6米； （2）根据题意可得； （3）， ∴， ∴当m＝50时，的最大值是12500， 此时每个车位月租金为200+50＝250（元）． 24．（2026•合肥模拟）数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则2n，n2﹣1，n2+1为勾股数．例如：当n＝2时，2n＝4，n2﹣1＝3，n2+1＝5． ∵32+42＝52，∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵n＞1， ∴n2+1﹣2n＝（n﹣1）2＞0， ∴n2+1①　＞　 2n．（填“＞”或“＜”） ∵n2+1﹣（n2﹣1）＝2＞0， ∴n2+1＞n2﹣1． ∵（n2﹣1）2+（2n）2＝②n4﹣2n2+1+4n2 ＝③n4+2n2+1　 ，（n2+1）2＝④n4+2n2+1　 ， ∴（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， ∴2n，n2﹣1，n2+1为勾股数． （1）请补全横线上所缺的内容． （2）若数据8，a，b为勾股数，且a＜b，求a，b的值． 【分析】（1）利用不等式的性质和完全平方公式逐步进行计算即可； （2）根据三个数的大小关系分三种情况进行讨论，然后利用勾股数公式列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）根据不等式的性质和完全平方公式可知： n2+1﹣2n＝（n﹣1）2＞0， ∴n2+1＞2n， ∴①处填＞； ∵（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1， ∴②处填n4﹣2n2+1+4n2，③处填n4+2n2+1； ∵（n2+1）2＝n4+2n2+1， ∴④处填n4+2n2+1， 故答案为：＞，n4﹣2n2+1+4n2，n4+2n2+1，n4+2n2+1． （2）根据三个数的大小关系分三种情况进行讨论如下： 当8＜a＜b时，2n＝8， 解得n＝4， 则a＝n2﹣1＝15，b＝n2+1＝17； 当a＜8＜b时，n2﹣1＝8， 解得n＝3，（负值舍去）， 则a＝2n＝6，b＝n2+1＝10； 当a＜b＜8时，n2+1＝8， 解得，不符合题意，该种情况不成立； 所以，a＝15，b＝17或a＝6，b＝10． 25．（2026春•青羊区校级期中）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，应用广泛． （1）配方法因式分解：x2﹣56x﹣816； （2）已知a、b、c是△ABC的三条边长．若a、b、c满足a25＝4a+b﹣|c﹣2|，试判断△ABC的形状，并说明你的理由； （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为多少？ 【分析】（1）把x2﹣56x﹣816化为x2﹣56x+784﹣1600的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （2）移项后利用完全平方公式变形，然后根据偶次方和绝对值的非负性求出a，b和c的值即可解答； （3）由S四边形ABCDAC•BD，结合AC+BD＝8，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣56x﹣816 ＝x2﹣56x+784﹣1600 ＝（x﹣28）2﹣402 ＝（x﹣28+40）（x﹣28﹣40） ＝（x+12）（x﹣68）； （2）△ABC是等边三角形，理由如下： ∵a2b2+5＝4a+b﹣|c﹣2|， ∴，即， ∴a＝2，，c﹣2＝0， ∴a＝2，b＝2，c＝2， ∴a＝b＝c，即△ABC是等边三角形； （3）由S四边形ABCDAC•BD， ∵AC+BD＝8， ∴S四边形ABCDAC•（8﹣AC） ， ∵， ∴， ∴四边形ABCD面积的最大值为8 26．（2026春•温江区校级月考）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2 例如： 一个二次三项式有不同的配方形式：，三种不同形式的配方（即余项分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分），请根据阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+9三种不同形式的配方： x2﹣4x+9＝　　 ＝　（x﹣2）2+5　 ＝　（x﹣3）2+2x ； （2）将a2﹣ab+b2配方（至少两种形式）：a2﹣ab+b2＝　　 ＝　　 ； （3）我们由x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3和完全平方的非负性知道：代数式x2﹣2x+4的最小值为3，同时由知道：代数式﹣2x2+4x﹣1的最大值为2； 解决问题：某农场要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上建一个长方形鸡笼，鸡笼一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x米，请问：当x取何值时，鸡笼的面积最大？最大面积是多少？ （4）拓展延伸：已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求（a+c）﹣b的值． 【分析】（1）根据题中所给的已知材料可得x2﹣4x+9的多种配方形式； （2）根据题中所给的已知材料可得a2﹣ab+b2的多种配方形式； （3）设长方形鸡笼ABCD面积为S，则BC＝（20﹣2x）m，求出S＝20x﹣2x2，通过配方后，即可解答； （4）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值． 【解答】解：（1）x2﹣4x+9的三种配方分别为： x2﹣4x+9＝x2﹣4x+4﹣4+9＝（x﹣2）2+5， x2﹣4x+9＝x2﹣6x+9+2x＝（x﹣3）2+2x， ， ∴． 故答案为：； （2）a2﹣ab+b2＝a2﹣2ab+b2+ab＝（a﹣b）2+ab， ， ， ∴或或； 故答案为：或或； （3）设长方形鸡笼ABCD面积为S，则BC＝（20﹣2x）m， ∵墙长15m， ∴0＜20﹣2x≤15，即2.5≤x＜10， ∴S＝（20﹣2x）x，即S＝20x﹣2x2， ∵S＝20x﹣2x2＝﹣2（x﹣5）2+50， ∵（x﹣5）2≥0， ∴﹣2（x﹣5）2≤0， ∴﹣2（x﹣5）2+50≤50， ∴当﹣2（x﹣5）2＝0，即x＝5时，S有最大值50， 答：当x取5时，鸡笼的面积最大，最大面积为50m2； （4）∵a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0， ∴， ∴， ∴，，c﹣1＝0， ∴a＝1，b＝2，c＝1， 则． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 直接开平方法与配方法 知识点一：直接开平方法 1. 直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 2. 直接开平方法的理论依据：平方根的定义. 3. 能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，方程有两个不等的实数根，则；表示为； 若，方程有两个相等的实数根，则；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 4. 一般步骤： (1)将方程化为x²=p或(mx+n)²=p(p≥0,m*0)的形式； (2)直接开平方化为两个一元一次方程； (3)解两个一元一次方程得到原方程的解. 知识点二：配方法 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式即将方程化为 （x+a）²=b的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解，这种通过配成完全 平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 实例（2x²+4x-6=0） 一移 移项 将常数项移到方程的右边，未知数的项移到方程的左边 2x²+4x=6 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 x²+2x=3 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 x²+2x+1=3+1 即（x+1）²=4 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 x+1=±2 五解 解一元一次方程 移项，合并同类项 x1=1，x2=-3 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点三：配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 题型一：直接开平方法解一元二次方程 【典例精讲】（2026春•乐清市期中）一元二次方程x2﹣4＝0的根是（　　） A．x1＝2，x2＝0 B．x1＝﹣2，x2＝4 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝﹣2 【变式训练1】（2026•台山市一模）方程（x﹣3）2＝4的解是　 ． 【变式训练2】用开平方法解下列方程： （1）3x2﹣48＝0； （2）（2x﹣3）2＝7． 题型二：利用直接开平方法求参数 【典例精讲】（2026春•相城区期中）如果关于x的方程（x﹣9）2＝m+3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥0 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3 【变式训练1】（2026春•西湖区校级期末）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【变式训练2】（2026•工业园区校级模拟）如果关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4，那么的值为　 ． 题型三：用配方法配系数为1的方程 【典例精讲】（2026春•鄞州区校级期中）解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣1）2＝4 【变式训练1】（2025秋•王益区校级期末）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3 【变式训练2】（2025秋•宝安区期末）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，左右两边需同时加上常数是（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．﹣1 题型四：用配方法配系数为2的方程 【典例精讲】（2026春•庐阳区校级期中）用配方法解一元二次方程2x2+8x﹣3＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x+4）2＝7 B．（x+4）2＝11 C．2（x+2）2＝11 D．2（x+2）2＝7 【变式训练1】（2026春•寿县月考）用配方法解方程2x2﹣4x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x+1）2＝7 B．（x+1）2＝9 C．2（x﹣1）2＝7 D．2（x﹣2）2＝9 【变式训练2】（2026•罗庄区一模）用配方法解方程3x2﹣12x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2＝n的形式，则n的值　 ． 题型五：用配方法解一元二次方程 【典例精讲】用配方法解下列一元二次方程： （1）x2+6x＝1； （2）x2+5x﹣6＝0． 【变式训练1】（2025秋•沙县区校级期末）用配方法解下列方程： （1）3x2+6x﹣12＝0； （2）2x2﹣7x+6＝0． 【变式训练2】用配方法解下列方程： （1）5y﹣84+y2＝0； （2）2x2x＝3． 题型五：用配方法解一元二次方程之错解还原问题 【典例精讲】（2026•庆元县二模）解一元二次方程x2﹣2x＝1时，小龙同学的错误解法如图． （1）你认为x1＝1是方程的解吗？请判断并说明理由． （2）选择正确的方法解方程：x2﹣2x＝1． x2﹣2x＝1 解：x（x﹣2）＝1 所以x＝1或x﹣2＝1 所以x1＝1，x2＝3 【变式训练1】（2026春•蒙城县月考）在用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0时，小明的解法如图： 第一步：移项，得x2﹣4x＝3． 第二步：配方，得x2﹣4x+42＝3+42，即（x﹣4）2＝19． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以，． 请回答： （1）小明的解答过程从第　 步开始出现错误； （2）请给出这道题的正确解答过程． 【变式训练2】（2025秋•浈江区期末）阅读与思考 小明同学解一元二次方程2x2﹣8x﹣18＝0的过程如下： 解；移项，得2x2﹣8x＝18① 两边同除以2，得x2﹣4x＝9② 配方，得x2﹣4x+4＝9③ 即（x﹣2）2＝9④ ∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3⑤ ∴x1＝5，x2＝﹣1⑥ 小明解方程的方法是　 ．（填字母） A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法． 他的求解过程从步骤　　 （填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程． 题型六：利用配方法求最值 【典例精讲】（2026春•碑林区校级同步）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例．若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值． 解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）①x2﹣kx+16是一个完全平方式，求k＝　 ； ②若y＝﹣x2+2x+131，求y的最大值； （2）当m，n为何值时，代数式2m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2026有最小值，并求出这个最小值． 【变式训练1】（2026春•双流区校级期中）读下列材料： “我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：求代数式y2+6y+14的最小值． 解：y2+6y+14＝（y2+6y+9）+5＝（y+3）2+5 ∵（y+3）2≥0， ∴（y+3）2+5≥5 ∴当y+3＝0，即y＝﹣3时，y2+6y+14的最小值是5． 【问题解决】 （1）代数式m2﹣6m+11的最小值　 ． （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求△ABC的最大边c的值． （3）若x﹣y＝6，xy+2t2﹣8t＝﹣17，求y2x﹣t的值． 【变式训练2】（2026春•兴宁市月考）把整式通过配凑，得到完全平方式，再运用完全平方公式的逆运用a2±2ab+b2＝（a±b）2，得到平方式：（a±b）2，再利用平方的非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法． 例如：求x2+4x+5的最小值． 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）填空：x2±6x+9＝（　 ±　 ）2； （2）求a2﹣4a+3的最小值； （3）x2+2y2+6x﹣8y+17＝0，求xy的值． 题型七：利用配方法比较大小 【典例精讲】（2026•宁波模拟）已知M＝a2﹣b2，N＝3a+2b，其中a，b为整数． （1）当a＝2时，求M与N的大小关系； （2）当b＝1时，求M+N的最小值； （3）是否存在使M+3＝2N的a，b的值，若有请写出a，b的值；没有则说明理由． 【变式训练1】（2026春•双流区校级期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如x2+4x+6＝（x2+4x+4）+2＝（x+2）2+2．可知当（x+2）2＝0，即x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： （1）代数式x2﹣4x﹣7的最小值为　　 ； （2）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣6a﹣10b+34＝0，求边c的取值范围； （3）已知P＝3m2+4n+19，Q＝m2﹣n2+12m﹣4，试比较P，Q的大小． 【变式训练2】（2026春•安庆校级期中）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝（m﹣n）2+（n﹣4）2， 则多项式m2﹣2mn+2n2﹣8n+16就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）判断：多项式x2﹣2xy+2y2是不是双平方多项式． （2）若多项式x2+y2﹣2x+6y+k是双平方多项式，求整数k的值． （3）已知P＝2x2+4y+13，Q＝x2﹣y2+6x﹣1，比较P，Q的大小． 题型八：利用配方法进行证明 【典例精讲】（2026春•天河区校级月考）【阅读材料】 我们曾学习过完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2．事实上，有些非二次三项式也可以写成完全平方式的形式，例如： x2+6x+9＝（x+3）2；x2﹣4x+4＝（x﹣2）2． 对于形如x2+ax+b的式子，若存在常数k使得x2+ax+b＝（x+k）2，则b＝k2，且a＝2k． 问题解决： （1）若x2+8x+m是完全平方式，则m＝　 ； （2）若x2﹣6x+n2是完全平方式，且n＞0，求n的值； （3）试说明：无论x取何实数，代数式x2﹣4x+7的值总为正数，并求出它的最小值． 【变式训练1】（2026•历城区校级自主招生）若实数a，b，c满足：a2﹣a﹣bc＝m，b+c＝5． （1）若b＝1，求m的最小值； （2）若m，且a为整数，求abc； （3）若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 【变式训练2】（2026春•莱山区期中）数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式： M＝﹣2a2+4a，N＝﹣2（a2﹣2a+2） （1）比较M，N的大小； （2）若P+2N＝M﹣5，证明：P不可能小于0． 题型九：用配方法进行因式分解 【典例精讲】（2026•南海区校级模拟）【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式． 配方：x2﹣6x+8 ＝x2﹣6x+32﹣32+8 ＝（x﹣3）2﹣1 分解因式：x2﹣6x+8 ＝（x﹣3）2﹣1 ＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1） ＝（x﹣2）（x﹣4） 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式． （2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式． （3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． （4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． 【变式训练1】（2025秋•南康区期末）对于部分不是完全平方形式的代数式，往往可以通过配成完成平方的方式进行因式分解，比如把代数式x2﹣6x﹣7因式分解： 解：x2﹣6x﹣7＝x2﹣6x+9﹣9﹣7 ＝（x﹣3）2﹣16 ＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4） ＝（x+1）（x﹣7） （1）请你仿照上面的方法，把代数式x2﹣8x+7因式分解； （2）若代数式x2+8x﹣9＝0，则x的值为　 ． 【变式训练2】（2026•荷塘区校级一模）阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． ． ∵（x+2）2≥0，∴当（x+2）2＝0时，原式有最小值，最小值为﹣9． 根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法分解因式：x2+2x﹣8； （2）求多项式x2+4x﹣2020的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c满足求△ABC的周长． 1．（2026•常州校级模拟）方程x2﹣4＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1，x2 2．（2025秋•山丹县校级期末）一元二次方程2x2＝8的解为（　　） A．x1＝x2＝﹣2 B．x1＝x2＝2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2 3．（2026•海州区校级二模）解一元二次方程（x+2）2＝4时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为x+2＝2，则另一个方程为（　　） A．x﹣2＝﹣2 B．x+2＝﹣2 C．x﹣2＝2 D．x+2＝2 4．（2026春•相城区期中）如果关于x的方程（x-9）2=m+3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥0 C． D．m≥-3 5．（2026春•裕安区月考）用配方法解一元二次方程3x2+12x﹣5＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C．3（x+2）2＝17 D．3（x﹣2）2＝17 6．（2026春•新昌县期中）用配方法解方程x2+6x＝7，应在方程两边同时加上　 ． 7．（2025秋•松江区期末）一元二次方程x2+6x+4＝0配方得　 ． 8．（2026•邗江区校级二模）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，将原方程转化为（x+m）2＝n的形式可得 　 ． 9．（2026春•临安区期中）已知关于x的方程x2﹣mx+n＝0通过配方可变形为，则的值为　　 ． 10．（2026春•香坊区校级期中）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣b，例如，5※3＝52﹣3＝22．若x※（2x﹣4）＝3，则x的值为　 ． 11．（2026•阜宁县模拟）已知m为实数，Q＝m2﹣1，P＝2m﹣3，则Q　 P（填“＞”、“＜”或“＝”）． 12．（2026春•西安校级期中）若A＝a2+2a+2，则A的最小值是　 ． 13．（2026春•青羊区校级期中）已知a，b，c为△ABC的三条边，若△ABC为等腰三角形，且a，b满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则△ABC的周长为　 ． 14．（2026春•西湖区校级期中）小李同学在解决问题“已知x﹣y＝4，求xy的最小值”时，给出框图中的思路： ∵x﹣y＝4， ∴x＝y+4， 则xy＝（y+4）y＝y2+4y＝（y+2）2﹣4， ∵（y+2）2≥0， ∴（y+2）2﹣4≥﹣4， ∴xy的最小值为﹣4. 结合以上小李同学的思路探究：若x+3y＝6，则式子6+xy有最　大　 （填大或小）为　9　 ． 15．（2026•陕西模拟）定义一种新运算：，若，则x的值为　 ． 16．用配方法解下列方程： （1）x2﹣x﹣1＝0； （2）3x2＝﹣1﹣5x； 17．（2026•江海区一模）下面是小明同学解一元二次方程2x2﹣8x﹣3＝0的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，…第一步 移项，得，…第二步 配方，得，…第三步 ，…第四步 由此可得，…第五步 解得第六步 任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ 任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 18．（2026春•锦江区校级期中）已知△ABC的三边长为a，b，c， （1）若a＝1，b＝5，写出c的范围，并化简：|c﹣4|+|c﹣7|． （2）若△ABC是等腰三角形，且a2+b2﹣14a﹣6b+58＝0，求这个等腰三角形的周长． 19．（2026•启东市模拟）七年级数学下册课本中介绍“求差法比较大小”：两个数（或代数式）的大小可以通过它们的差来判断．比如对a和b比较大小，那么，当a﹣b＞0时，则a＞b；当a﹣b＜0时，则a＜b；当a﹣b＝0时，则a＝b． （1）比较x2和2x﹣2的大小； （2）比较3与2的大小． 20．（2026春•济阳区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0 ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0， ∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0， ∴m＝4，n＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2+4xy+5y2+2y+1＝0，则2x+3y的值为　 ； （2）已知△ABC的边长a，b，c是三个互不相等的正整数，且满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，求c的值；（写出求解过程） （3）已知m﹣n＝6，mn+p2﹣10p+34＝0，求m+n﹣p的值． 21．（2026春•临淄区期中）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴（x+2）2+1＝1， ∴x2+4x+5≥1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：x2﹣4x+5＝（x　 ）2+1； （2）已知x2+y2＝4x﹣2y﹣5，求x+y的值； （3）比较代数式2x2﹣1与4x﹣8的大小． 22．（2026春•天宁区期中）定义：将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即：a2±2ab+b2＝（a±b）2． 例如：若将多项式x2+2x+5进行配方，则x2+2x+5＝x2+2x+12+4＝（x+1）2+4． 配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用． （1）将多项式x2﹣6x+13配方为（x+m）2+n的形式，则m＝　 ，n＝　 ； （2）若多项式A＝2x（x﹣2），B＝（x+3）（x﹣3），证明：无论x取何值，A﹣B＞0均成立； （3）已知e2+f2＝62，关于y的代数式（y﹣e）（y﹣f）可变形为（y﹣4）2+k（k为常数），求k的值． 23．（2026春•温州期中）综合与实践 新能源汽车停车场设计与收费问题 素材1 设计要求：矩形停车场，其布局如图．已知AD＝52m，AB＝32m，阴影部分设计为停车位，面积为800m2，车位总数为60个，其余部分均为宽度为x米的道路． 素材2 收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如： 求代数式﹣2a2﹣4a+5的最大值． 方法如下：∵﹣2a2﹣4a+5＝﹣2（a2+2a+1）+7＝﹣2（a+1）2+7， 由﹣2（a+1）2≤0，得﹣2（a+1）2+7≤7， ∴代数式﹣2a2﹣4a+5的最大值是7． （1）求道路的宽是多少米？ （2）设该停车场收到的月租金为y元，当每个车位的月租金上涨m（m是5的倍数）元时，试用含m的代数式表示停车场的月租金y． （3）请求出该停车场月租金收入最高为多少元，此时每个车位月租金为多少元？ 24．（2026•合肥模拟）数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则2n，n2﹣1，n2+1为勾股数．例如：当n＝2时，2n＝4，n2﹣1＝3，n2+1＝5． ∵32+42＝52，∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵n＞1， ∴n2+1﹣2n＝（n﹣1）2＞0， ∴n2+1①　 2n．（填“＞”或“＜”） ∵n2+1﹣（n2﹣1）＝2＞0， ∴n2+1＞n2﹣1． ∵（n2﹣1）2+（2n）2＝②　 ＝③　 ，（n2+1）2＝④　 ， ∴（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， ∴2n，n2﹣1，n2+1为勾股数． （1）请补全横线上所缺的内容． （2）若数据8，a，b为勾股数，且a＜b，求a，b的值． 25．（2026春•青羊区校级期中）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，应用广泛． （1）配方法因式分解：x2﹣56x﹣816； （2）已知a、b、c是△ABC的三条边长．若a、b、c满足a25＝4a+b﹣|c﹣2|，试判断△ABC的形状，并说明你的理由； （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为多少？ 26．（2026春•温江区校级月考）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2 例如： 一个二次三项式有不同的配方形式：，三种不同形式的配方（即余项分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分），请根据阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+9三种不同形式的配方： x2﹣4x+9＝　 ＝　 ＝　 ； （2）将a2﹣ab+b2配方（至少两种形式）：a2﹣ab+b2＝　 ＝　 ； （3）我们由x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3和完全平方的非负性知道：代数式x2﹣2x+4的最小值为3，同时由知道：代数式﹣2x2+4x﹣1的最大值为2； 解决问题：某农场要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上建一个长方形鸡笼，鸡笼一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x米，请问：当x取何值时，鸡笼的面积最大？最大面积是多少？ （4）拓展延伸：已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求（a+c）﹣b的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $