27.4 二次函数与一元二次方程（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的内在联系，系统梳理抛物线与坐标轴交点的判定及坐标求法、交点式解析式的应用、利用图像解一元二次方程与不等式等核心知识点，形成从基础到综合的递进学习支架。 该资料通过“知识点+题型+随学随练”设计，结合图像分析培养几何直观（数学眼光），通过解题贴士和分类题型提升推理能力（数学思维），综合应用问题构建模型意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后学生可通过基础与素养练习查漏补缺，强化知识应用。

第二十七章 二次函数 27.4 二次函数与一元二次方程 课标要点 1. 理解二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程之间的内在联系； 2. 掌握抛物线与坐标轴交点个数的判定与交点坐标的求法； 3. 会利用二次函数图像估算一元二次方程近似根，求不等式的解集； 4. 掌握交点式求二次函数解析式。 学习重难点 重点： 掌握抛物线与坐标轴交点个数的判定与交点坐标的求法； 难点： 理解二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程之间的内在联系； 知识点 二次函数与坐标轴的交点 1. 抛物线与坐标轴的交点坐标 （1）抛物线与y轴交点——令x=0,y=c⇒（0，c） （2）抛物线与x轴交点——令y=0,=0⇒（）、（0） 2. 抛物线与x轴的交点坐标个数 △>0⇒抛物线与 x 轴有两个不同交点:（）、（0） △=0⇒抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴）：（） △<0⇒抛物线与 x 轴无交点。 3. 二次函数的交点式—— 特别提醒 1. “抛物线与坐标的交点个数”与“抛物线与x轴交点个数”不能混淆； 2. 用交点式时不要漏掉系数a. 随学随练 1．下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（   ） A．与x轴的交点个数不确定 B．与y轴的交点坐标为 C．与坐标轴有两个交点 D．与坐标轴有3个交点 2.已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 知识点 利用图象法解一元二次方程、不等式 判别式 △= △>0 △=0 △<0 二次函数 （以a>0为例） 一元二次方程 =0 为一元二次方程的两个根 一元二次方程有两个重根 一元二次方程 没有实数根 一元二次不等式 >0 不等式的解集为x< 不等式的解集为 x 不等式的解集为 x为任意数 一元二次不等式 <0 不等式的解集为 不等式的解集为 空集 不等式的解集为 空集 随学随练 1. 小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 2. 已知函数，请按要求填空或解答问题： (1)函数图象的对称轴是直线__________，顶点坐标是__________． (2)画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当取何值时，函数值； (3)利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程的解． 题型 求抛物线与坐标轴的交点坐标 解题贴士 1.抛物线与y轴交点——令x=0,y=c 2. 抛物线与x轴交点——令y=0,解一元二次方程=0 ▌例1 已知抛物线． (1)指出它的开口方向，并求它的顶点坐标和对称轴； (2)求抛物线与x轴及y轴的交点坐标． ▌对点练1. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 ▌对点练2. 已知二次函数． (1)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (2)当时，求的取值范围． ▌对点练3. 若抛物线与x轴分别交于A、B两点，则线段的长为____________． 题型 抛物线与坐标轴交点个数 解题贴士 △>0⇒抛物线与 x 轴有两个不同交点:（）、（0） △=0⇒抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴）：（） △<0⇒抛物线与 x 轴无交点。 抛物线与y轴只有一个交点（0，c） ▌例1 关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．与坐标轴只有两个交点 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 ▌例2 已知二次函数． (1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； (2)若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． ▌对点练1. 二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 ▌对点练2.已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 题型 利用交点式求二次函数表达式 解题贴士 已知抛物线与x轴交点坐标时可利用交点式求二次函数的表达式。 ▌例1 已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． ▌对点练1. 抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． ▌对点练2. 已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． ▌对点练3. 如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 题型 利用图像法求一元二次方程的近似根 解题贴士 1. 抛物线y=ax²+bx+c沿x轴翻折后的表达式为y=-ax²-bx-c； 2. 抛物线y=ax²+bx+c沿y轴翻折后的表达式为y=ax²-bx+c； ▌例1 小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． ▌对点练1. 已知，依据下表，它的其中一个解的范围是________． x …… 0 0.5 1 …… …… 0.75 3 …… ▌对点练2. 九下数学课本“二次函数与一元二次方程”，由函数图像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力． 【问题再现】 你能利用函数的图像（如图），探索方程=0的根的取值范围吗？ 从图可以看出，函数的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，与的点之间，所以一元二次方程有两个根，它们分别介于实数1与2，与之间 下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值 【解决问题】 解：当时， 当时， ． x的近似值可能为1或2 当时， ∴ （精确到1）． (1)补充以上解题过程； (2)继续探索：方程介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为 ，所以 ． ▌对点练3. 小芳通过函数图象探究方程的实数根时，想到了如下几种方法： 方法1：方程的根可以看作是抛物线与直线（即x轴）交点的横坐标； 方法2：将方程变形成，那么方程的根也可以看作是抛物线与直线交点的横坐标； 方法3：由于，将方程变形成，那么方程的根也可以看作是直线与双曲线交点的横坐标． 她类比上述方法，借助函数图象交点的横坐标对方程的实数根进行了探究． 下面是小芳的探究过程，请补充完成： (1) 方程的根；（填“是”或“不是”） (2)方程的根可以看作是函数 与函数 的图象交点的横坐标； (3)在同一坐标系中画出两个函数的图象； (4)观察图象可得：方程的实数根约为 ．（结果精确到0.1） 题型 综合应用 解题贴士 1）利用二次函数的图像可以求一元二次不等式的解集； 2）由二次函数与一次函数表达式联立成方程组可解决抛物线与直线的交点问题。 ▌例1 二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 ▌例2 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． (1)求一次函数与二次函数的解析式． 根据图象直接回答下列问题： (2)当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大． (3)当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． ▌例3如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)若是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值． 【变式练习】 ▌对点练1. 如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 ▌对点练2. 如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． ▌对点练3. 如图，抛物线与轴交于和两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______． ▌对点练4. 如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，设点在抛物线上． (1)求已知抛物线的解析式； (2)如图，当点位于第四象限时，若面积的最大，求点坐标； 基础通关 1．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）二次函数的图像与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·海南儋州·阶段检测）已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 4．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 6．（2025·河南南阳·二模）二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 7．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 8．（20-21九年级上·河南新乡·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 10．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 素养提升 1．（2025·广西崇左·三模）如图是二次函数 的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程 的一个根可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线，与x轴交点是A、B，与y轴交与点C，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 6．（2025·吉林长春·二模）二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为______． 7．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）二次函数的图像过点，其部分图像如图所示，则关于的方程的根是___________． 8．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数． (1)该二次函数的图像与x轴的交点坐标是 、 ，顶点坐标是 ； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图像；（要求至少描出5个格点） (3)当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围 ． 9．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，抛物线 经过点和，与y轴交于点C． (1)求出抛物线的解析式； (2)当时，求函数y的取值范围 (3)设直线的解析式为，请直接写出当时，x的取值范围． 10. （25-26九年级上·上海·阶段检测）已知关于的方程（为实数） (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若是方程的一个根，求其另一个根； (3)在（2）的条件下，抛物线与轴交于、两点． ①结合图形，写出时自变量的取值范围； ②若抛物线顶点为，求的面积． 迁移创新 1．（2026·上海·模拟预测）已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 2．（2026·江苏南通·，模拟）如图，抛物线交轴于，两点在左边，交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图1，连接，过点作直线轴，交于点D．当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)如图，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 二次函数 27.4 二次函数与一元二次方程 课标要点 1. 理解二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程之间的内在联系； 2. 掌握抛物线与坐标轴交点个数的判定与交点坐标的求法； 3. 会利用二次函数图像估算一元二次方程近似根，求不等式的解集； 4. 掌握交点式求二次函数解析式。 学习重难点 重点： 掌握抛物线与坐标轴交点个数的判定与交点坐标的求法； 难点： 理解二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程之间的内在联系； 知识点 二次函数与坐标轴的交点 1. 抛物线与坐标轴的交点坐标 （1）抛物线与y轴交点——令x=0,y=c⇒（0，c） （2）抛物线与x轴交点——令y=0,=0⇒（）、（0） 2. 抛物线与x轴的交点坐标个数 △>0⇒抛物线与 x 轴有两个不同交点:（）、（0） △=0⇒抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴）：（） △<0⇒抛物线与 x 轴无交点。 3. 二次函数的交点式—— 特别提醒 1. “抛物线与坐标的交点个数”与“抛物线与x轴交点个数”不能混淆； 2. 用交点式时不要漏掉系数a. 随学随练 1．下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（   ） A．与x轴的交点个数不确定 B．与y轴的交点坐标为 C．与坐标轴有两个交点 D．与坐标轴有3个交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了求二次函数图象与坐标轴的交点知识点，解题的关键是理解和灵活运用知识解题．通过计算二次函数与坐标轴的交点情况判断选项．与y轴的交点由求得；与x轴的交点个数由判别式决定． 【详解】∵与y轴交点：当时，， ∴交点为，故B错误． ∵与x轴交点：令，得方程，判别式， ∴方程有两个不相等的实数根，即与x轴有两个交点，故A错误． ∵与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且交点不重合（因为当时）， ∴与坐标轴共有三个交点，故C错误，D正确． 故选：D． 2.已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)点在此抛物线上 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设二次函数的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）由（1）得，则把代入，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与x轴的交点是，， ∵设二次函数的解析式为， 依题意，把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 当时，， 点在此抛物线上． 知识点 利用图象法解一元二次方程、不等式 判别式 △= △>0 △=0 △<0 二次函数 （以a>0为例） 一元二次方程 =0 为一元二次方程的两个根 一元二次方程有两个重根 一元二次方程 没有实数根 一元二次不等式 >0 不等式的解集为x< 不等式的解集为 x 不等式的解集为 x为任意数 一元二次不等式 <0 不等式的解集为 不等式的解集为 空集 不等式的解集为 空集 随学随练 1. 小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解． 由图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，再利用对称性即可求解． 【详解】解：函数图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，且对称轴为， 函数图象与轴的另一个公共点的横坐标大约是， 由此可以估计方程的实数根为，． 故答案为：，． 2. 已知函数，请按要求填空或解答问题： (1)函数图象的对称轴是直线__________，顶点坐标是__________． (2)画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当取何值时，函数值； (3)利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程的解． 【答案】(1)， (2)图象见解析，当时，函数值 (3) 【分析】根据二次函数的图象与性质，画二次函数图象，利用函数图象求函数值． （1）直接根据二次函数的性质求解即可； （2）用五点法画图，再根据图象作答即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是． 故答案为：，； （2）解：列表， x 0 1 y 0 0 如图， 由图象可知，当时，函数值； （3）解：方程的解即为与的交点横坐标， 由图象可知，． 题型 求抛物线与坐标轴的交点坐标 解题贴士 1.抛物线与y轴交点——令x=0,y=c 2. 抛物线与x轴交点——令y=0,解一元二次方程=0 ▌例1 已知抛物线． (1)指出它的开口方向，并求它的顶点坐标和对称轴； (2)求抛物线与x轴及y轴的交点坐标． 【详解】（1）解： 抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：令，则， 解得：，． 抛物线与轴的交点坐标为，； 令，则， 抛物线与y轴的交点坐标为． ▌对点练1. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 【详解】解：当时，，解得，， ∴点，． 当时，， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． ▌对点练2. 已知二次函数． (1)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与坐标轴的交点问题，求得交点坐标是解题的关键． （1）令，求出y的值，即可得到与y轴的交点坐标，令，求出x的值，即可得到与x轴的交点坐标； （2）求得抛物线的对称轴，进而求得和时的函数值，即可求得结果． 【详解】（1）抛物线与坐标轴的相交 有以下情况 ①与轴相交，解得：． 此时交点为：， ②与轴相交，此时交点为： 抛物线与坐标轴的交点坐标：，，． （2）∵的对称轴为 当时，y有最大值， 当时， ， 当时， ∴当时，的取值范围为： ▌对点练3. 若抛物线与x轴分别交于A、B两点，则线段的长为____________． 【详解】解：当时， ∴， ∴， 解得：，， ∴两个交点的横坐标分别为，； ∴． 故答案是：4． 题型 抛物线与坐标轴交点个数 解题贴士 △>0⇒抛物线与 x 轴有两个不同交点:（）、（0） △=0⇒抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴）：（） △<0⇒抛物线与 x 轴无交点。 抛物线与y轴只有一个交点（0，c） ▌例1 关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．与坐标轴只有两个交点 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．通过将抛物线化为顶点式，判断其开口方向、对称轴、增减性及与坐标轴的交点个数． 【详解】解：∵， ∵△=0， ∴二次项系数图像与轴有一个交点； 令，得， ∴二次项系数图像与轴有一个交点， ∴与坐标轴有两个交点，B正确； 对称轴为，C正确； ∵开口向上，对称轴， ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 故选：D． ▌例2 已知二次函数． (1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； (2)若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∵无论k为何值时，， ∴， 即无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点． （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数图像的对称轴为直线， ∴， 即， 依题意，令则， ∴， 解得， ∴它与x轴的交点坐标分别为． ▌对点练1. 二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可得出结论． 【详解】解：当时，， 解得， 故图象与轴的交点为； 当时，， 故图象与轴的交点为， ∴图象与坐标轴的交点为和，共两个交点， 故选：C． ▌对点练2.已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． 【详解】（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 题型 利用交点式求二次函数表达式 解题贴士 已知抛物线与x轴交点坐标时可利用交点式求二次函数的表达式。 ▌例1 已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 故抛物线解析式为，即． （2）， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）抛物线开口向下，对称轴为直线， 故当，y随x的增大而减小， 在范围内，时，函数y有最大值， 最大值为． ▌对点练1. 抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． 【答案】 【详解】解：有题意得二次函数解析式为， ∴， 故答案为：． ▌对点练2. 已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)点在此抛物线上 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设二次函数的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）由（1）得，则把代入，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与x轴的交点是，， ∵设二次函数的解析式为， 依题意，把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 当时，， 点在此抛物线上． ▌对点练3. 如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵顶点在函数的图象上， ∴可设点M的坐标为， ∴可设二次函数的表达式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得：点M到x轴的距离为2， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． 题型 利用图像法求一元二次方程的近似根 解题贴士 1. 抛物线y=ax²+bx+c沿x轴翻折后的表达式为y=-ax²-bx-c； 2. 抛物线y=ax²+bx+c沿y轴翻折后的表达式为y=ax²-bx+c； ▌例1 小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解． 由图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，再利用对称性即可求解． 【详解】解：函数图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，且对称轴为， 函数图象与轴的另一个公共点的横坐标大约是， 由此可以估计方程的实数根为，． 故答案为：，． ▌对点练1. 已知，依据下表，它的其中一个解的范围是________． x …… 0 0.5 1 …… …… 0.75 3 …… 【答案】 【分析】本本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图表信息确定出代数式的值为0的x的取值范围是解题的关键．观察表格可以发现的值和0.75最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：当时，； 当时，， 当在的范围内取某一值时，， 方程的一个解的范围是为． 故答案为． ▌对点练2. 九下数学课本“二次函数与一元二次方程”，由函数图像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力． 【问题再现】 你能利用函数的图像（如图），探索方程=0的根的取值范围吗？ 从图可以看出，函数的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，与的点之间，所以一元二次方程有两个根，它们分别介于实数1与2，与之间 下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值 【解决问题】 解：当时， 当时， ． x的近似值可能为1或2 当时， ∴ （精确到1）． (1)补充以上解题过程； (2)继续探索：方程介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为 ，所以 ． 【答案】(1)，3，1，，1 (2)，， 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程，一元二次方程的近似根． （1）观察画出的抛物线，取1和2的中间数代入表达式中试值； （2）根据所求的函数值缩小取值范围，依次取两个端点值的中间数，代入表达式中试值，进而求得根的近似值． 【详解】（1）解：当时，， 当时，． ． x的近似值可能为1或2 当时， ． （精确到1）． 故答案为：，3，1，，1． （2）解：由（1）可知． 当时，， 当时，． ． 取中间值，当时，， 当时 ，，． ． 精确到0.1，． ▌对点练3. 小芳通过函数图象探究方程的实数根时，想到了如下几种方法： 方法1：方程的根可以看作是抛物线与直线（即x轴）交点的横坐标； 方法2：将方程变形成，那么方程的根也可以看作是抛物线与直线交点的横坐标； 方法3：由于，将方程变形成，那么方程的根也可以看作是直线与双曲线交点的横坐标． 她类比上述方法，借助函数图象交点的横坐标对方程的实数根进行了探究． 下面是小芳的探究过程，请补充完成： (1) 方程的根；（填“是”或“不是”） (2)方程的根可以看作是函数 与函数 的图象交点的横坐标； (3)在同一坐标系中画出两个函数的图象； (4)观察图象可得：方程的实数根约为 ．（结果精确到0.1） 【答案】(1)不是 (2)， (3) 如图，                (4) 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数图象、二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）代入原方程验证方程两边是否相等；（2）将原方程变形为；（3）画出函数与函数的图象；（4）观察函数图象，确定方程的解． （1）将代入中，可知不是方程的根； （2）将原方程变形为，由此即可得出结论； （3）画出函数与函数的图象； （4）根据两函数图象交点，确定方程的解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴不是方程的根． 故答案为：不是． （2）解：∵方程可变形为， ∴方程的根可以看作是函数与函数的图象交点的横坐标． 故答案为：；． （3）解：画出两函数图象，如图所示． 画的图象 列表： x ⋯ 0 1 2 ⋯ y ⋯ 3 0 0 3 ⋯ 画函数的图象 列表： x ⋯    1 2 4 ⋯ y ⋯ 4 2 1 ⋯ （4）解：观察图象可得：方程的实数根约为． 故答案为：． 题型 综合应用 解题贴士 1）利用二次函数的图像可以求一元二次不等式的解集； 2）由二次函数与一次函数表达式联立成方程组可解决抛物线与直线的交点问题。 ▌例1 二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【详解】观察图象知，当函数值时，图像为在x轴上方的部分。自变量x的取值范围是或， 故选：D． ▌例2 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． (1)求一次函数与二次函数的解析式． 根据图象直接回答下列问题： (2)当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大． (3)当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）根据两函数图象即可得出结论； （3）根据图象可知当时，一次函数的图象在二次函数图象的上方即可得出结论． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，代入、， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 设二次函数的解析式为，代入、、， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，时，两函数的函数值都随x增大而增大， 故答案为：； （3）解：由函数图象可知，当时，一次函数的图象在二次函数图象的上方， ∴当时，一次函数值大于二次函数值， 故答案为：． ▌例3如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)若是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值． 【详解】（1）对于抛物线， 令，则 点， 令，则，解得，点， 设直线的函数解析式为， 将点代入，得，解得， 直线的函数解析式为； （2）设点的坐标为， 点的坐标为，， 当时，有最大值，的最大值为1． 【变式练习】 ▌对点练1. 如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． ▌对点练2. 如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． ▌对点练3. 如图，抛物线与轴交于和两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：观察图象可知当或时，当， 故答案为：或． ▌对点练4. 如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，设点在抛物线上． (1)求已知抛物线的解析式； (2)如图，当点位于第四象限时，若面积的最大，求点坐标； 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、两点， ， 解得， 抛物线的解析式； （2）解：令，则， ， 设直线的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， 过点P作y轴的平行线交于H， 设点P的坐标为，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为，此时， ∴面积的最大时，点坐标为； 基础通关 1．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）二次函数的图像与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与轴交点的求法，熟练掌握“求函数与轴交点时，令计算值”是解题的关键．求二次函数与轴的交点，只需令，计算对应的值即可求解． 【详解】解：∵二次函数与轴交点的横坐标为 ∴令，代入，得 ∴交点坐标为 故选：． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式，代入系数，可直接求解． 【详解】解：∵的图象与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴． 故选：D． 3．（24-25九年级下·海南儋州·阶段检测）已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点情况、根的判别式以及二次函数的性质，解题关键是牢记“当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴没有交点”，根据抛物线与轴的交点情况的含义判断即可． 【详解】解： ∵二次函数与轴只有唯一的一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：A． 4．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与轴交点的横坐标，就是当时，一元二次方程的根，所以只需找出抛物线与轴交点横坐标即可．本题考查二次函数与一元二次方程的关系这一知识点．解题关键在于理解抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，通过已知抛物线与轴交点坐标，直接得出方程的根． 【详解】解：∵当时，抛物线对应的方程为， ∴方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． ∴点和点的横坐标分别为和， ∴关于的一元二次方程的根是，， 答案选A． 5．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与轴的交点问题，先得出，再结合二次函数的图象与轴有交点，得出，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴，， 解得且， 故选：D． 6．（2025·河南南阳·二模）二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解轴上点的坐标特征是解题关键． 令横坐标，代入函数解析式求出的值，即可得到与轴的交点坐标． 【详解】解：当时， ， 故与轴的交点坐标为， 故答案为：． 8．（20-21九年级上·河南新乡·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为， 设另一个交点为， ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 9．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数与轴有两个不同交点，则，代入数值计算，即可作答． （2）先由得，分析函数的图象性质得开口向上，在对称轴处，有最小值，即，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点， ∴， 解得； （2）解：依题意，把代入， 得， ∴对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， 在对称轴处，有最小值，即， 把代入， 把代入， ∴当时，该函数的范围为． 10．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 素养提升 1．（2025·广西崇左·三模）如图是二次函数 的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程 的一个根可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线和x轴交点，理解抛物线和一元二次方程的关系是解答关键． 观察函数图象可得的点对应的横坐标在和之间，进而求解． 【详解】解：从函数图象看，的点对应的横坐标在和之间， 而在和之间被选项中的数为， ∴的方程的一个根可能为． 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线，与x轴交点是A、B，与y轴交与点C，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题、等腰三角形的定义，勾股定理，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，分三种情况：当时，当时，当时，分别讨论． 【详解】解：， 当时，或，则，设，， 当时，，则， 由勾股定理可得：，，， ∵为等腰三角形 则当时，即， ∴，解得：， 当时，与点重合，不符合题意，舍去； 当时，即， ∴，解得：； 当时，即， ∴，解得：； 综上，当或或时，是等腰三角形， 即：能使为等腰三角形的抛物线共有4条． 故选：B． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． 由函数图象可知，当或时，函数在的图象的上方，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知， 当或时，函数在的图象的上方， ∴， 故选：C． 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系． 根据二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，对各结论进行分析判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴， ∴结论①正确； ∵抛物线对称轴为直线，且当时，， ∴时，， ∴， ∴结论②正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴结论③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且，则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴， ∴结论④正确， ∴正确结论的个数是． 故选：C． 5．（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 6．（2025·吉林长春·二模）二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为______． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． 首先根据抛物线与x轴有两个交点求的根的判别式的符号．设，，由根与系数的关系得到，，然后由列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点A，B， 令，即， ∴ 设，， ，， ， ， 解得，． 综上所述，m的值为4或． 故答案为：4或 7．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）二次函数的图像过点，其部分图像如图所示，则关于的方程的根是___________． 【答案】， 【分析】本题考查了根据函数图像求一元二次方程的根． 根据对称轴得到关于直线的对称点为，结合函数图像作答即可． 【详解】解：由图可知对称轴为直线， 则关于直线的对称点为， 可知的根是，． 故答案为：，． 8．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数． (1)该二次函数的图像与x轴的交点坐标是 、 ，顶点坐标是 ； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图像；（要求至少描出5个格点） (3)当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围 ． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，画二次函数图像． （1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标即可； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图像； （3）结合二次函数图像，写出当时对应的y的取值范围． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ∴二次函数图像与轴的交点坐标是，， ∵， ∴该二次函数图像顶点坐标为． （2）解：列表： 描点，连线，如图： ． （3）解：由图像可知，当时，． 9．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，抛物线 经过点和，与y轴交于点C． (1)求出抛物线的解析式； (2)当时，求函数y的取值范围 (3)设直线的解析式为，请直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）写出两点式即可得出结果； （2）根据增减性，进行求解即可； （3）直接根据图象法确定范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点和， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为； ∴； （3）解：由图象可知，时，或． 10. （25-26九年级上·上海·阶段检测）已知关于的方程（为实数） (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若是方程的一个根，求其另一个根； (3)在（2）的条件下，抛物线与轴交于、两点． ①结合图形，写出时自变量的取值范围； ②若抛物线顶点为，求的面积． 【答案】(1)且 (2)另一个根是 (3)①或；②的面积为． 【分析】本题考查了二次函数综合应用，涉及二次函数与一元二次方程的关系，三角形面积，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系； （1）由方程有两个实数根，可得不等式，然后求解即可； （2）由是方程的一个根，知，解得，解方程，可得另一个根； （3）①画出函数大致图象，通过观察时，自变量的取值范围是或； ②求出，，再根据三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， 且，即， 解得且； （2）解：是方程的一个根， ， 解得， 关于的方程为， 解得：或， 另一个根是； （3）解：①由（2）知抛物线解析式为，其图象经过，，，图象如下： 由图象可知，时自变量的取值范围是：或； ②，， ， ， ， ， 的面积为． 迁移创新 1．（2026·上海·模拟预测）已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数系数与图象的关系，二次函数与三角形面积的结合，掌握计算方法是解题的关键． （1）令，利用根的判别式进行判断即可； （2）令，利用根与系数的关系得出，，，根据，代入得到关于的方程，解方程即可求解； （3）根据两点间的距离公式求出，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）证明：令，则， ， ， ． ∴无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点． （2）解：令，则， 由根与系数的关系得，，， ， 整理得：，解得． （3）当时，， 点． 由（2）得， ， ， 即． 令，则， 整理得：，解得． 当时，解得． 当时，此时方程无实数根． ． 2．（2026·江苏南通·，模拟）如图，抛物线交轴于，两点在左边，交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图1，连接，过点作直线轴，交于点D．当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)如图，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式． 【详解】（1）解：在中，令得， 令得， 解得或， ； （2）解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 点在第二象限的抛物线上，点在直线上， ，，， ， 当时，最大， 此时点的坐标为； （3）解：设直线的解析式为，将代入得， 解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为，将代入得， ， ， 直线的解析式为， ， 线段的中点坐标为， 平分线段， 线段的中点在直线上， 将代入得， 解得：，，（舍去） 直线的解析式为； 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $