第1章 图形的相似 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（湘教版·新教材）

第1章综合评价 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出 謹 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 3 5 6 7 9 10 默 答案 1.下列各组图形中，是相似图形的是 0Ob品交☆ B 黛2.下列四组线段中，是成比例线段的是 批 A.4 cm,1 cm,3 cm,8 cm B.3 cm,4 cm,5 cm,6 cm C.4 cm,8 cm,3 cm,5 cm D.15 cm,5 cm,6 cm,2 cm 3.如图，4//，瓷-号，DF=24,则EF的长为 A.8 B.9 C.12 D.15 MA D/ 翠 B (第3题图) (第4题图) （第5题图) 4.如图，△ABC△DCA,∠B=33°，∠D=117°，则∠BAD的度 明 数是 ( ) A.150° B.147° C.135° D.120° 5.如图，在四边形ABCD中，已知∠D=∠BAC,补充下列条件 后，仍不能判定△ADCp△BAC的是 ( A.CA平分∠BCD B.∠DAC=∠ABC C.AC2=BC·CD 批 n船是 6.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且OD=2AD. 若BC=6,则EF的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 D (第6题图) (第7题图) 7.如图，∠ABC=∠E,S△ABC:S四边形BDEC=1:2.若CB=√2，则 DE的长为 A.√6 B.22 C.3√2 D.6 8.凸透镜成像的原理示意图如图所示，且AD∥L∥BC,光屏上显 示的缩小的实像高CG=8cm.若物体AH到焦点F1的距离 HF1与焦点F1到凸透镜中心线BD的距离OF1之比为5：4， 则物体的高AH为 ( A.10 cm B.8 cm C.12 cm D.9 cm 缩小的 H 实像 物体焦点F 焦点F G B B EV (第8题图) (第9题图) (第10题图) 9.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点 AE⊥EF,连接AF.若CF=2,则AF的长是 () A.6 B.8 C.10 D.12 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以点A为圆心，AB长为半 径作弧，交AC于点D,连接BD,再分别以点B,D为圆心，大 于BD的长为半径作弧，两弧交于点P,作射线AP,交BC 于点E,连接DE,则下列结论正确的是 A.DE垂直平分AC B.△ABE∽△CBA C.BD2=BC·BE D.CE·AB=DE·AC 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11.已知a:b=5：7,则(a+b):b= 12.某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计 在整个车身黄金分割点的位置.如图，若车头与倒车镜的水平 距离为1.58m,则该车车身总长约为 m.（结果精确到 0.01m) D 11.58m E A B (第12题图) (第13题图) (第14题图) 13.如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是它们的位似中 心，且BC=2B'C'.若点A的坐标是(4,2)，则点A'的坐标是 2 14.如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都 在格点上，则∠A十∠E的度数为 15.我国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中 都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停， 切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如 下：如图，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南 门D直行8里到宝塔A处（即AD=8里，AD⊥CD),出西门 E直行2里到B处（即BE=2里，BE⊥CE),此时视线恰好经 过城墙角C看见宝塔A(即A,C,B三，点共线)，则正方形城池 的边长是多少里？根据以上信息，算出这座正方形城池的边 长是 里 (第15题图) (第16题图) 16.如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠CAD=∠B,DC=3, S△ACD:S△ADB=1：2. (1)线段AC的长为 (2)将△ACD沿直线AD翻折，使点C落在点E处，AE交边 BC于点F.若AB∥DE,△EFD与△CDA的周长的比值 为 三、解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 17.(6分)如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,∠A=80°， ∠B=75°，∠C=125°，求x的值和∠D1的度数. D —3 18.(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分 别为A(0,1),B(2,2),C(3,1),已知点A1的坐标为(0,3). (1)画出△ABC以原点O为位似中心的位似图形△A1B1C1, 并写出点B,C的对应点B1,C1的坐标； (2)△A1B1C1与△ABC的周长比为 19.(8分)如图，AD,BC相交于点E,AB∥CD∥EF,点B,F,D 在同一条直线上，AB=10,CD=15. (1)求 BF D 的值； (2)求EF的长. 20.(9分)如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE, DE,∠AED=∠B. (1)求证：△ABE∽△DEA; (2)若AE=4,AB=6,求△ABE与△DEA的面积比. 一4 21.(9分)如图，△ABC和△AED的边AB,DE交于点F,点D 在BC上，AD平分∠BAC,AP平分∠EAD,A铝-A把 (1)求证：△AED∽△ABC; (2)若BD=3,BF=2,求AB的长. 22.(10分)如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度EF.在河对 岸有一棵高4m的树GF,树GF在河里的倒影为HF,GF= HF,小斌在岸边调整自己的位置，当站在点B处时恰好看到 岸边点C和倒影顶点H在一条直线上，点C到水面EF的距 离CE=0.8m.已知小斌的身高AB=1.6m,BC=2.4m,视 线AH与水面EF的交点为D.请根据以上测量方法及数据， 求河的宽度EF. —5 23.(10分)如图，AB∥CD,AC与BD交于点E,且∠ACB=90°， AB=6√5，BC=6,CE=3. (1)求CD的长； (2)求证：△CDE∽△BDC. 24.(12分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD,E是 AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M,连 接DE. (1)求证：△EDM∽△FBM. (2)若F是BC的中点，BD=12,求BM的长. (3)若AD=BC,BD平分∠ABC,P是线段BD上的动点，是 否存在点P,使DP·BP=BF·CD?若存在，求∠CPF 的度数；若不存在，请说明理由 —6—513.,578>513,.未来40天中，第14天的日销售利润最大，最大销售利润为578元. 专题十七与抛物线有关的最值、公共交点、存在性问题【热点·选做】 (-9-3b+c=0, 1.解：(1)把A(-3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c,得 解得 c=3, 1b=-2, 抛物线的函数表达式为y=一x2-2x十3.(2)·y=一x2-2x+3=一（x十 c=3. 1)2+4,.抛物线的对称轴为直线x=一1.连接AC交对称轴于点M,则AM=BM. .CM+BM=CM+AM=AC.此时CM+BM的值最小，最小值为线段AC的长.设直 一3k十n=0, 线AC的函数表达式为y=kx十n.把A(-3,0),C(0,3)代入，得 解得 n=3, (k=1, .直线AC的函数表达式为y=x十3.当x=一1时，y=一1十3=2，∴.M(一1,2). n=3. 2.解：1)把E(6,0)代入y-x+mz,得号×36+6m=0,解得m=-3.抛物线的 函数表达式为y=号2-3x,(2②B,0,C,-3.BC=-合+3易 得点C,D关于抛物线的对称轴直线x=3对称，∴.CD=2(3一t)=6-2.∴.矩形ABCD 的周长=2(Bc+CD)=2(-2+3+6-2=-e+2+12=-(-1D+13.:-1 <0,.当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是13. 3解：1)将A(-2,0),B(4,0)代入y=ar2+x-4,得a-264=0, 解得 16a+4b-4=0, 1 a=云'：该抛物线的函数表达式为y=弓-x-4.(2)过点P作PQLx轴交BC b=-1. 于点Q.在y=号2-2-4中，当z=0时y=-4,C0,-40.:B(4,0),D为BC的 中点，∴D(2,-2).由B(4,0),C(0,一4)易得直线BC的函数表达式为y=x-4.设 P(m,2m-m-4）,且0<m<4,则Q(m,m-).∴PQ=m-4-(合m-m-4） -7m2+2m.∴Sam=号PQ(-n)=号×(-号m+2m）×(4-2)= 1 名m2+2m=一号(m-22+2.:-号<0,0<m<4,当m=2时，5有最大 1 值，最大值为2. 4解.1①把A3,0,B4,40代人y=a2十bc,得9a+3b=0:解得a1, 16a+4b=4, b=-3. ·抛物线 的函数表达式为y=x2一3x.(2)设直线OB的函数表达式为y=kx.把B(4,4)代入，得 4k=4,解得k=1.直线OB的函数表达式为y=x.∴直线OB向下平移m个单位长 度后，得到的直线的函数表达式为y=x一m.,直线y=x一m与抛物线y=x2一3x只 有一个公共点，.方程x2一3x=x一m有两个相等的实数根.整理，得x2一4x十m=0, ∴.△=(-4)2-4m=0,解得m=4. 【延伸问】m>4 (1-b+c=10, 5.解：(1)把P(-1,10),Q(4,0)代人y=x2+bx+c,得 解得 16+4b+c=0, 1b=-5, (2)当c=-1时，y=x2+bx-1,.当x=0时，y=一1.∴.该抛物线过点(0， c=4. -1).分两种情况讨论：当x=-1时，y=1-6-1=-b,.当点(-1，-b)在点P上 34 方，或与点P重合时，抛物线与线段PQ有公共点，即一b≥10，解得b≤一10：当x=4 时，y=16+4b-1=46+15,.当点(4,46+15)在点Q上方，或与点Q重合时，抛物线 与线段PQ有公共点，即4b+15≥0，解得6≥-只，综上所述，6的取值范围是6≤-10 或2兴 6原嘴K-301代入a+红么0.9g2 物线的函数表达式为y=x2十2x一3.(2)存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三 角形，点N的坐标为(-1，√14)或(-1，-√14)或(-1，-3+√17)或（一1，-1）.【解 析】：y=x2+2x-3=(x十1)2一4，∴.C(0,一3)，D(-1,-4),抛物线的对称轴为直线 x=-1..OC=3.A(-3,0),.OA=3..AC=√OA2+0C=3√2.设N(-1,n), 且n>-4.分三种情况讨论：①当AN=AC时，√(-3+1)2+(0-n)z=3√2，解得n =±√14..N(-1,√14)或N(-1,-√14).②当AC=CN时，√1+(-3-n)7= 3√2，解得m=-3+√17，m2=-3-√17（舍去），.N(-1,-3+√17).③当AN= CN时，√(-3+1)2+(0-n)=√12+(-3-n)2,解得n=-1,∴.N(-1,-1).综上 所述，存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角形，点N的坐标为(-1，√14)或 (-1,-√/14)或(-1，-3+W17)或(-1，-1). a+b+2√2=0， 7.解：(1)将A(1,0),B(4,0)代人y=ax2+bx+2√2，得 解得 16a+4b+2√2=0， a 2, 能物线的函数表达式为)号-5+2亿.(2存在：范物线)y /6=52 2 9g x+2V2与y轴相交于点C,C(0,2V②).∴0C=22.:A(1,0),04= 1=号9+2-(）广-2（号￥2）N(停） 2 2 MN=分两种情视讨论：⑩当QNM/△C0A时，8器=祭，即= 8 81 2√2 1 9W2 ÷QN=号Q7,0)或(-2,0.国当△MnN0△00A时，-8器即2-N 2√2 1 QN=品Q(铝0）或（器0），综上所述，存在以Q,M,N为顶点的三角形与 △40C相似，点Q的坐标为1,0)或(-2,0)或（铝0）或（器0）： 第4章章末复习 思维导图 上下 2a (一品，如。）加诚小大 考点整合 1.C2.C3.D4.A5.D6.2≤t4 4-2b+c=0, 7.解：(1)把A(-2,0),C(0,-2)代人y=x2+bx+c,得 解得 c=-2, b=1, ∴二次函数的表达式为y=x2十x一2.(2)：△PDB的面积是△CDB的面积 c=-2. 一 35 号BD·” 的2倍，÷SAO8二BD,OC 瓷=2.00=2m=4,把y=4代入y=2+x 2,得x2十x-2=4,解得x1=一3，x2=2（舍去).∴点P的坐标为(-3,4). 8.c>49.-3.310.2011.D12.C 13.解：(1)y=(x一15)[60+4(36一x)]=一4x2+264x-3060.,每星期最多能卖120 件，∴.60+4(36一x)≤120，解得x≥21..x的取值范围是21≤x≤36.，.y与x之间的 函数表达式为y=-4x2+264x-3060(21≤x≤36).(2)y=-4x2+264x-3060= -4(x-33)2+1296.一4<0,21≤x≤36，∴.当x=33时，y有最大值，最大值为 1296.答：当每件盲盒的售价定为33元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是 1296元， 14.解：1)把(2,2.3)，(3,2.6)代人y=ax+x十1.1，得红+261.1-=2.3”解得 9a+3b+1.1=2.6, /a=-0.1, y与x之间的函数表达式为y=一0.1x2+0.8x十1.1.(2)不能.理由如 b=0.8. 下：y=-0.1x2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)2+2.7.-0.1<0,∴.当x=4时，y有最 大值，最大值为2.7.：2.8>2.7，∴.羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到 2.8m.(3),羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，∴a=一0.1.∴改变发球方式 后的抛物线的函数表达式为y=-0.1x2十x十1.1.当x=5时，y=-0.1×52十5k十 1.1>2.1,解得k>0.7;当x=5+6=11时，y=一0.1×112+11k+1.1<0,解得<1. ∴k的取值范围为0.7<<1. 综合与实践汽车能通过隧道吗【落实课标】 【数学建模·解决问题】解：根据题意，得M(-2,3),N(2,3),C(0,4),F(1.2,0).把 1 |4a十c=3,. N(2,3),C(0,4)代入y=ax2+c,得 解得 c=4, 。=一'抛物线的函数表达式 c=4. 为y=-2+4.当x=1.2时，y=-子X1.2+4=3.64,DF=3.64mEF= DF一DE=3.64一0.6=3.04(m).,.卡车载物后限高EF应是3.04m. 【学以致用】解：(1)由题意，得抛物线经过点E(0,6),D(4,2),A(一4,2).设抛物线的函 数表达式为y=ax十6(a≠0).把A(-4,2)代人，得2=16a十6，解得a=一子.∴抛物 线的函数表达式为y=一子+6.(2)能理由如下：由(1)知抛物线的函数表达式为y 2+6.当x=1.2时，y=-子×1.2+6=5.64.：5.64>4.5，该货运卡车能 通过隧道.(3)不能，理由如下：2.4+0.4×号=2.6当x=2.6时，y=-×2.62+6 =4.31.,4.31<4.5,.该货运卡车不能通过隧道， 综合评价 第1章综合评价 1.B2.D3.B4.B5.C6.C7.A8.A9.C10.D 11.12:712.4.1413.(-2,-1)14.45°15.816.(1)3V5(2)9 3 17.解：∠A=80°，∠B=75°，∠C=125°，∠D=360°-∠A-∠B-∠C=80°.四 边形ABCD四边形ABGD∠D=∠D=s0,报-品∴音-解得： 一 36 =10. 18.解：(1)如图，△AB1C即为所求.点B1,C的坐标分别为B1(6,6),C(9,3).(2)31 1解：：AB/CD△ABEn△DCE器-品-8-号：CD/EP,÷8器 器=号(2②器=号器=是.：CD∥E球，△BEFABCD,需-= 景EF=号CD=6 20.(1)证明：.四边形ABCD是菱形，∴.BC∥AD..∠AEB=∠DAE.,∠B= ∠AED,△ABE△DEA.(2)解：：四边形ABCD是菱形，.AD=AB=6.由(1)知 AABEOA△DEBA,S=(5)'-(告）'-手 S△DEA 21.(1)证明：，AD平分∠BAC,AF平分∠EAD,.∠BAC=2∠BAD,∠EAD= 2∠BAD,∠BAC=∠EAD又：能-是△AEDO△ABC,(2)解：由(I)知 △AEDx∽△ABC,.∠E=∠B.∠EFA=∠BFD,..∠EAB=∠EDB..∠EAB= ∠BAD,∴∠EDB=∠BAD.又F∠B=∠B,△BDFO△BAD.昭=S,即4 -子AB=是 2.解：由题意，得∠ACB=∠CDE,∠ABC=∠CED=90°，∴△ABC∽△CED, =器即哈8-能DE=1.2nCE/FH,△CED△HFD.器-8器即 是g-P5DF=6mEF=DB+DF=,2m答：河的宽度EF为7,2m 23.(1)解：∠ACB=90°，AB=6√5，BC=6,∴AC=√AB2-BC=12.CE=3, ∴AE=AC-CE=9.AB/CD,心△CDEn△ABE.8-,即C0-CD =26.(2)证明：BC=6,CE=3,AC=12器=%=合器=怒又 :∠BCE=∠ACB=90°，∴△BCE∽△ACB..∠CBE=∠A.AB∥CD,∠A= ∠DCE.∴∠DCE=∠CBE.又∠D=∠D,∴.△CDE∽△BDC. 24.(1)证明：E是AB的中点，.AB=2BE.AB=2CD,.CD=BE.又AB∥CD, ∴四边形BCDE是平行四边形.∴.DE∥BC.∴△EDM△FBM.(2)解：：F是BC的 中点，.BC=2BF.由(1)知四边形BCDE是平行四边形，.DE=BC=2BF.由(1)知 △EDM△FBM,-B器=2.BM=号BD=合×12=(3)解：存在.如图， :AB∥CD,∴∠CDB=∠ABD.:BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD.∴∠CDB= ∠CBD.∴.CD=BC.由(I)知四边形BCDE是平行四边形，.四边形BCDE是菱形. ∴.DE=BE=AE.AD=BC,.AD=DE=AE.△ADE是等边三角形.∴∠AED= 60,:AB∥CD,∴∠CDE=∠AED=60.∴∠BDC=号∠CDE=30.:DP·BP BF.CD,B器-S器又：∠CDB=∠CBD,∴△PDCAFBP.∠PCD=∠BPR 37 ,∠BPC=∠BDC+∠PCD=∠CPF+∠BPF,∴∠CPF=∠BDC=3O°. 1 第2章综合评价 1.B2.B3.D4.A5.B6.B7.D8.A9.A10.A 1412.1013号42g15号 16.(1)35(2)(50V2-30) 17.解：原式=2×号+号+()°=2， 18.解：在△ABC中，：∠C=90°，a=10,b=10W3,∴c=Va+6=20,tanA= b 3.六∠A=30.∠B=90°-∠A=60 19.解：过点C作CH⊥AB于点H.在Rt△ACH中，∠A=30°，AC=4√3，.CH= AC-2,AH-AC.cos A-6.AB-10.BH-AB-AH-4.'.tan B- 令：污潢部分的内容是受 2 20.解：由题意，得∠A=∠ACE=37°，∠ADB=53°..∠CBD=∠A+∠ADB=90°. .∠ABD=180°-∠CBD=90°.在Rt△BCD中，CD=100m,∠BDC=90°-∠ADB= 37°，∴.BD=CD·cos∠BDC≈100X0.80=80(m).在Rt△ABD中，∠A=37°，∴AB =D%≈107m.答A,B两点间的距离约为107n 21.解：(1)在Rt△ABC中，AC=BC·tanB=4.(2)设BD=AD=x,则CD=BC-BD =8-x.在Rt△ADC中，AD2=AC+CD2,即x2=42+(8-x)2,解得x=5.∴.CD=8 -z=&.在R△ADC中，sn∠DAC-器-号. 22.解：延长DA,交PE于点F.由题意，得DF⊥PE,AD=BC=2m,EF=AB= 1.6m设PFm在R△PAF中，a58,AF=。号mDF=AF+AD -(停+2)m在R△PnF中，g0DF=-xm营+2=，解得 x≈1.81..PF=1.81m..PE=PF+EF≈3.4m.答：路灯顶部P到地面的距离PE 约为3.4m. 23.解：(1)过点D作DF⊥BC于点F.:AE⊥BC,∴.DF∥AE..△CDFD△CAE. ÷E是：CD=2AD,器=号：AE=9,Pg=号∴DF=6在R△BDF 9 中，n∠CBD=S-是即品=∴BD=8.(2)由1D知DF=6,BD=8,∠DFB =90°，∴BF=√BD2-DF=2√7.BD=CD,DF⊥BC,∴.CF=BF=2W7.DF∥ AE,CD=2AD,.CF=2EF.EF=CF=7..BE-BF-EF-/7.'.tan /BAE _BE_7 ΓAE9 24.解：)当∠A=90'时，AB=AC,BC=VAB+AC=EAB,∴sad90°=9 EAB=2.(20<sadA<2(3)延长AC到点D,使得AD=AB,连接BD.”sinA= AB 38 器-号设BC=3,AB=5k在R△ABC中，由勾殷定理：得AC=VAS一BC 4k,∴.CD=AD-AC=AB-AC=5k-4k=k.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD= √CD+BC=V+(3严=√0k.∴在等腰三角形ABD中，sadA=D=四 LAD 5 期中综合评价 1.C2.B3.C4.C5.C6.A7.A8.B9.D10.D 1.-3 12.△BCE△FDE(答案不唯一)13.>14.(130+90√3)15.2 16.1号 28 17.解：原式=23×+1-4×() =3+1-3=1. 18.解：(1)如图，△A1B1C即为所求.(2)A1(-2,-8),B1(-6,-2),C1(-8,-6). 19.解：DE⊥AB,∴∠DEB=∠DEA=90.在Rt△BDE中，BD=5,cosB=5, 4 ∴.BE=BD·cosB=4..DE=√BD-BE=3.:AD平分∠BAC,∠C=90, ∠DEA=90,CD=DE=3.∴BC=BD+CD=8.在Rt△ABC中，cosB=号，AB -BC cos B-10.AC-/AB-BC=6. 20.(1)证明：：∠ABE=∠ACB,∠A=∠A,∴.△ABED△ACB.(2)解：△ABE∽ △ACB,是-怎即是=音：AC=9.CE=AC-AE=5:AB/CD,△ABE ∽△cDE部能即品-台CD-号 21.(1)证明：AE⊥AD,∴∠DAE=90°=∠BAC.∴∠BAC-∠CAD=∠DAE- ∠CAD,即∠BAD=∠CAE“铝-e能=0△ABDn△ACE,(2)解： △ABDn△ACE,∴.∠B=∠ACE.:∠B+∠BCA=90°，∴∠ACE+∠BCA=90. .∠BCE=90°.在Rt△ABC中，BC=√/AC+AB=10,.DC=BC-BD=6. :AABDAACE,÷00,即告-是CE=8∴在R△DEC中，m∠EDC 瓷2 2.1证明：8%-踢-号80-号8胎8%：∠A0c=∠B0D,△A0c☑ △BOD.∠A=∠OBD.∴.AC∥BD.(2)解：小红的连衣裙会碰到地面.理由如下： EF/BD△0EFon△0BD.÷8光-8器：20E=EB,85-子÷8装 0G=30H=72cm设点0到AC的距离为么，由(I)可知△A0C0△BOD,“无= —39