第20章 二次根式（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 新教材华东师大版八年级下册二次根式单元拔尖卷，120分钟120分，23题覆盖单选、填空、解答，选题兼具各地期中期末真题与创新探究，适配单元复习，可精准量化学生知识掌握与能力发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|二次根式条件、运算、估值等|结合几何直观（如第5题正方形面积），考查抽象能力| |填空|6/18|整数解、大小比较等|设置开放探究（如第11题自然数a的可能值），发展推理意识| |解答|7/72|化简求值、几何应用、新定义等|综合实践题（如第19题长方形裁剪）与跨知识整合（如第22题相关代数式），体现模型意识与创新应用|

第20章 二次根式·拔尖卷 【新教材华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·四川广元·期中）若，则x应满足的条件为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·云南曲靖·阶段检测）估计的值应在（） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 4．下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图（单位：），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 7．（25-26八年级下·河北邢台·期末）若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·安徽宣城·期末）若，则的取值范围是（     ） A．取任意实数 B． C． D． 9．（25-26八年级下·广西贺州·期中）若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 10．（25-26八年级下·云南楚雄·期中）已知 ，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．15 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）已知二次根式是整数，则自然数a的所有可能结果为________． 12．（25-26八年级下·新疆哈密·期中）若，，则________．（用含、的代数式表示） 13．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）比较大小：______（填“”“”或“”）． 14．（25-26九年级下·重庆开州·期中）若n为正整数，且满足，则______． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则_____． 16．（2026·河南洛阳·一模）如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形，的面积均为，重叠部分的小正方形为的面积为，则的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）计算： (1)； (2)． 18．（8分）（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）先化简，再求值：，其中． 19．（10分）（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 20．（10分）（25-26八年级下·河南商丘·期中）判断大小并说明理由 (1)用“＝”“＞”或“＜”填空：_______________． (2)由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由． 21．（12分）（25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 22．（12分）（25-26八年级下·江西新余·期末）若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与互为“相关代数式”． (1)若与是互为“相关代数式”，则______ ； (2)若是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值； (3)若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值． 23．（14分）（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：_____． (2)计算：． (3)已知，，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式·拔尖卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·四川广元·期中）若，则x应满足的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得：， ∴． 2．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原式计算正确，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，符合题意； C、由二次根式有意义的条件可知，则，原式计算正确，不符合题意； D、由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，则，原式计算正确，不符合题意； 3．（25-26九年级下·云南曲靖·阶段检测）估计的值应在（） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】先利用二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算，即可得到原式的取值区间． 【详解】解： ， 又∵，，且， ∴， ∴即， ∴的值在和之间． 4．下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题根据有理化因式的定义解题，即两个含有根式的代数式相乘，若乘积不含有根式，则两个代数式互为有理化因式，计算各选项中两个代数式的乘积，判断乘积是否含有根式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，乘积仍含有根式，因此A不符合题意； 对选项B， ，乘积是不含根式的整式，因此B符合题意； 对选项C，，乘积仍含有根式，因此C不符合题意； 对选项D，，乘积仍含有根式，因此D不符合题意． 5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图（单位：），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式以及平方差公式的应用，解题的关键是根据正方形的边长关系求出、的值，并灵活运用平方差公式进行计算． 先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出、,再利用平方差公式计算． 【详解】解：因为中间正方形纸片的面积为， 所以中间正方形的边长为， 由图可知，最大正方形的边长， 最小正方形的边长； 根据平方差公式， 将代入，可得， 所以． 故选：D． 6．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 7．（25-26八年级下·河北邢台·期末）若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断x的取值范围，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·安徽宣城·期末）若，则的取值范围是（     ） A．取任意实数 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用二次根式的性质将原式转化为绝对值和的形式，再根据绝对值的化简规则在a的不同取值范围内讨论，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵根据二次根式性质，， ∴原等式可化为． 分三种情况讨论： ① 当时，，， ∴， 令，解得，不满足，故此取值范围不成立； ②当时，，， ∴，等式恒成立，故此取值范围满足条件； ③ 当时，，， ∴， 令，解得，不满足，故此取值范围不成立． 综上，的取值范围是，故选D． 9．（25-26八年级下·广西贺州·期中）若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件与二次根式的性质，先根据二次根式有意义确定的取值范围，再利用化简原式，最后解方程得到的值． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，即， 根据二次根式性质，化简原式 原等式左边 ∵，∴，∴ ， 原等式右边，∵，∴， 将化简结果代入原等式得 ， 移项得 ， 两边平方得 ， 解得． 10．（25-26八年级下·云南楚雄·期中）已知 ，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．15 【答案】B 【分析】设，得，通过平方差公式展开化简，再代入即可求出结果； 【详解】解：设， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， ∴ 解得， 故 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）已知二次根式是整数，则自然数a的所有可能结果为________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合是整数，得到为不超过的非负完全平方数，计算即可得到自然数的所有可能结果． 【详解】解：二次根式有意义， ， 即， 是自然数，是整数， 为不大于的非负完全平方数， ∵不大于的非负完全平方数为 ∴当时，，符合要求； ∴当 时，，符合要求； ∴当 时，，符合要求； 若 ，则，不是自然数，舍去； ∴自然数a的所有可能结果为． 12．（25-26八年级下·新疆哈密·期中）若，，则________．（用含、的代数式表示） 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，将拆分为，再代入已知条件计算即可. 【详解】解：，， . 13．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比较大小”是解题的关键． 通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系． 【详解】解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 14．（25-26九年级下·重庆开州·期中）若n为正整数，且满足，则______． 【答案】6 【分析】先利用二次根式的除法运算法则化简原式，再估算化简后式子的取值范围，结合不等式确定正整数的值． 【详解】解：化简 ， ， ， 不等式两边同时加得， 即满足的正整数为． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则_____． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质及二次根式的运算，熟练掌握根据被开方数非负确定字母取值范围并化简绝对值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再依据绝对值的性质化简方程，通过移项、两边平方求出的表达式，最终计算出目标代数式的值． 【详解】解：由有意义，得， 所以． 代入方程得 ，即． 两边平方得， 所以． 因此， 故答案为：2026． 16．（2026·河南洛阳·一模）如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形，的面积均为，重叠部分的小正方形为的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】首先根据正方形面积公式求出大正方形和小正方形的边长，再结合图形中线段的和差关系，用大正方形的边长减去小正方形的边长，即可得到的长度． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴大正方形的边长； ∵重叠部分的小正方形的面积为， ∴小正方形的边长， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（8分）（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【详解】解： ， 当时，原式． 19．（10分）（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)阴影部分的长为，宽为，面积为6 (3)不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．理由见解析 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合正方形的面积即可计算正方形纸片A的边长，正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答； （2）先找出图①中阴影部分的长和宽，再结合面积公式列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，裁出的正方形纸片A的边长为； 裁出的正方形纸片B的边长为， 则原长方形纸片的长为，宽为， ∴周长为. （2）解：阴影部分的长正方形纸片A的边长， 即阴影部分的长为， 宽为 ∴阴影部分的宽为， ∴阴影部分的面积． （3）解：不能裁出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 20．（10分）（25-26八年级下·河南商丘·期中）判断大小并说明理由 (1)用“＝”“＞”或“＜”填空：_______________． (2)由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由． 【答案】(1)＞；＞；＝ (2)，见解析 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则、算术平方根解题即可．（2）根据完全平方公式、算术平方根、偶次方的非负性解题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． （2）解：，理由如下： 当时，， ， ． 【点睛】本题主要考查二次根式的乘法、算术平方根、完全平方公式、偶次方的非负性，熟练掌握二次根式的乘法法则、算术平方根、完全平方公式、偶次方的非负性是解决本题的关键． 21．（12分）（25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（12分）（25-26八年级下·江西新余·期末）若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与互为“相关代数式”． (1)若与是互为“相关代数式”，则______ ； (2)若是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值； (3)若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据“相关代数式”的定义列式求解即可； （2）先根据“相关代数式”的定义列式，再结合，都是有理数，求解即可； （3）根据“相关代数式”的定义列式，再结合平方差公式，以及二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“相关代数式”， ， 则； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， ，， ， 则， 即， ，都是有理数， ， 解得， ； （3）解：代数式与互为“相关代数式” ， 则， ，即， 则有，解得， 时二次根式有意义， ． 23．（14分）（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：_____． (2)计算：． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)2026 (3)10 【分析】（1）根据分母有理化的方法，进行求解即可； （2）先分母有理化，然后根据实数混合运算法则，进行计算即可； （3）先变形为，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：∵，， ∴ ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $