第二十章 二次根式（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学第二十章二次根式单元自测卷，基础通关定位，90分钟120分，覆盖二次根式概念、运算及应用，梯度设计适配单元复习，体现抽象能力、运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|最简二次根式（1题）、运算（2题）、有意义条件（4题）|注重概念辨析与基础巩固| |填空题|5/15|化简（11题）、大小比较（12题）、代入求值（14题）|强化基本技能训练| |解答题|8/75|黄金矩形周长（19题，文化情境）、几何求边长（20题，几何直观）、海伦公式求面积（22题，跨知识应用）、“t相关代数式”新定义（23题，创新意识）|梯度从计算到综合应用，体现运算能力与推理意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十章 二次根式·基础通关 建议用时：90分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．若二次根式有意义，则的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 5．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则是（     ） A．7 B．5 C．2 D．1 8．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 9．若的计算结果为整数，则a的值可以是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 10．已知，化简的结果为（     ） A． B．1 C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．化简的结果为_________． 12．比较大小： _______(填“”“”或“”) 13．计算：________． 14．当时，二次根式的值为________． 15．已知，请写出一个满足上式的正整数x取值____________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．计算 (1)； (2)． 17．计算：已知，求的值． 18．若二次根式有意义，求x的取值范围，并求出当时，二次根式的值． 19．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．小凡在美术课上设计了一个黄金矩形图片（即宽与长的比是），已知该黄金矩形图片的长，求该黄金矩形图片的周长． 20．如图，在中，．若，，求的长． 21．阅读材料，解答问题： （1）计算下列各式： ①________，________， ②________，________； 推理：运用（1）中的结果可以得到：；； （2）通过（1），完成下列问题： ①化简：________，②化简：________． 22．初中数学书中给我们介绍了“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么，这个三角形的面积．如图，在中，，，，求的面积． 23．若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十章二次根式·基础通关 建议用时：90分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列二次根式中属于最简二次根式的是() A.0.1 B.V8 c D.2 2.计算-4的结果为(） A.4 B.-4 C.2 D.-2 3.下列二次根式中，与5是同类二次根式的是() A./10 B.3 c.25 D./20 4.若二次根式x-4有意义，则x的值可以是() A.1 B.2 C.3 D.6 5.若x<0:则化简eXy的结果是（） A.-xVy B.xy C.x-y D.-x-y 6.下列运算正确的是() A.3+5=y8B.V2x5=V10C./24÷3=8 D.-57=-5 7.若最简二次根式a+1与V12是可以合并的二次根式，则a是() A.7 B.5 C.2 D.1 8.已知x=1+5,则代数式x-2x-6的值是() A.-2 B.-10 c.-2V5 D.2V5 9.若V2×a的计算结果为整数，则a的值可以是() A.2 B.3 C.5 D.6 10.已知2<x<3化简x-2P+x-3的结果为（） A.-1 B.1 C.2x-5 D.3-2x 1/3 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.化简V4a的结果为 12.比较大小：2V7 5V2(填“>”“<”或“=”) 13.计算：3-23+2= 14.当x=1时，二次根式11-2x的值为 15.已知x-3=3-X请写出一个满足上式的正整数x取值 三、解答题（共8小题，共75分） 16.计算 (/18-32+2 (2/50:2-V8×V21 17.计算：已知x=V5+2,求x2-4x+5的值. 18.若二次根式V2-3x有意义，求x的取值范围，并求出当X=-2时，二次根式的值. 19.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.小凡在美术课上设计了一个黄金矩形图片ABCD(即宽与长的 5-L),已知该黄金矩形图片的长AB=10cm,求该黄金矩形图片的周长， 比是 20.如图，在△ABC中，∠C=90°.若BC=2V15,AB=63,求AC的长. C B 21.阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： 0-/4×16= -’V4×9V16= ②/9×25= 9×只25= 213 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 推理：运用(1)中的结果可以得到：√8=4×2=2V2:√24=V4×V6=2√6： (2)通过(1)，完成下列问题： ①化简：V12= ②化简：V18= 22.初中数学书中给我们介绍了“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式，即 如果一个三角形的三边长分别为a,b,C,记P=0+b+C,那么，这个三角形的面积 2 S=p(p-a(p-b)(p-c.如图，在△ABC中，a=3,b=6,c=7,求△ABC的面积. 23.若两个含有二次根式的代数式M,N满足MN=t,其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数 式”. (1)若M与3是互为“6相关代数式”，则M=: (2)若其中M=a-V5(a是有理数)，N=8+25,且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值. 313 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十章 二次根式·基础通关 建议用时：90分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数，根据两个条件逐一判断即可． 【详解】选项A：中，被开方数，含分母，∴ 它不是最简二次根式，故A不符合题意； 选项B：中，被开方数，含能开得尽方的因数，，∴ 它不是最简二次根式，故B不符合题意； 选项C：中，被开方数含分母，∴ 不是最简二次根式，故C不符合题意； 选项D：满足被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴ 它是最简二次根式，故D符合题意． 2．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： 3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； B选项：，化简后被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； C选项：，化简后不是二次根式，不是同类二次根式； D选项：，化简后被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式. 4．若二次根式有意义，则的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列出不等式，求解后判断符合条件的选项即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数需满足， 解得， 故选项中只有满足，符合要求． 5．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算法则与性质，根据二次根式的相关规则逐一判断选项即可． 【详解】解:对于选项，与不是同类二次根式，不能直接合并，，∴该选项错误； 对于选项，根据二次根式乘法法则，，∴该选项正确； 对于选项，，∴该选项错误； 对于选项，，∴该选项错误； 7．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则是（     ） A．7 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先将化为最简二次根式，再根据能合并的最简二次根式的被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：，是最简二次根式，且与可以合并， 两个最简二次根式的被开方数相等，即，解得． 8．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可对已知条件变形，结合完全平方公式先求出的值，再代入所求代数式计算，简化运算过程． 【详解】解：， ， 两边同时平方得： 展开得： 整理得： 将代入得 原式． 9．若的计算结果为整数，则a的值可以是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】求出计算结果为，则为整数，即是完全平方数，据此解答即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∵的计算结果为整数， ∴为整数，即是完全平方数， 观察四个选项可知，只有当时，，符合题意． 10．已知，化简的结果为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据给出的的取值范围，判断出和的正负，再利用二次根式和绝对值的性质化简，再合并同类项得到化简结果． 【详解】解：， ∴， 原式． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．化简的结果为_________． 【答案】 【详解】解：． 12．比较大小： _______(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】对于比较两个正无理数的大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小． 【详解】解：， ． ，且，， ． 13．计算：________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 14．当时，二次根式的值为________． 【答案】 【分析】将的值代入二次根式计算化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 15．已知，请写出一个满足上式的正整数x取值____________． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】利用二次根式的性质化简等式，再根据绝对值的性质确定的取值范围，从中选取符合要求的正整数即可． 【详解】解：根据二次根式的性质，将化简得， 根据绝对值的性质，当时，， 因此可得不等式， 解得， 满足条件的正整数为，，，任取一个即可． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ；（4分） （2）解： ．（8分） 17．（8分）计算：已知，求的值． 【答案】 【分析】将代数式化为，再代入数值计算即可. 【详解】解：∵， ∴（2分） （4分） （6分） .（8分） 18．（8分）若二次根式有意义，求x的取值范围，并求出当时，二次根式的值． 【答案】x的取值范围：；当时，值为 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，二次根式的化简，根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数计算即可得出x的取值范围，将代入二次根式计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 当时，， 故x的取值范围：；当时，值为． 19．（8分）黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．小凡在美术课上设计了一个黄金矩形图片（即宽与长的比是），已知该黄金矩形图片的长，求该黄金矩形图片的周长． 【答案】 【分析】先根据黄金矩形宽与长的比值，结合已知的边长求出矩形的宽，再利用矩形周长公式计算即可得到结果． 【详解】解：设该黄金矩形的宽为， 由题意得：， 解得：， ∴矩形周长为：， 即该黄金矩形图片的周长为． 20．（8分）如图，在中，．若，，求的长． 【答案】 【分析】根据勾股定理和二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】在中，，， 由勾股定理得：． 21．（10分）阅读材料，解答问题： （1）计算下列各式： ①________，________， ②________，________； 推理：运用（1）中的结果可以得到：；； （2）通过（1），完成下列问题： ①化简：________，②化简：________． 【答案】（1）①，；②，；（2）①；② 【分析】此题考查了实数的运算，二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）①利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； ②利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； （2）利用得出的规律化简各式即可． 【详解】解：（1）①，， ②，， 故答案为：①，；②，； （2）①，② 故答案为：①；②． 22．（12分）初中数学书中给我们介绍了“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么，这个三角形的面积．如图，在中，，，，求的面积． 【答案】的面积为 【分析】本题考查了“海伦公式”的应用；将，，代入公式计算得出，然后再代入计算即可得出答案． 【详解】解：，，， ∴ = ， ∴ ； ∴的面积为． 23．（13分）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，计算求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”， ， ； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， 整理得，， 是有理数， ，， 解得． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十章 二次根式·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A D D A B C A A B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 12． 13． 14．3 15．1（答案不唯一） 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分） 【详解】（1）解： ；（4分） （2）解： ．（8分） 17．（8分） 【详解】解：∵， ∴（2分） （4分） （6分） .（8分） 18．（8分） 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，（1分） 解得：，（3分） 当时，，（7分） 故x的取值范围：；当时，值为．（8分） 19．（8分） 【详解】解：设该黄金矩形的宽为，（1分） 由题意得：，（3分） 解得：，（5分） ∴矩形周长为：，（7分） 即该黄金矩形图片的周长为．（8分） 20．（8分） 【详解】在中，，， 由勾股定理得：．（8分） 21．（10分） 【详解】解：（1）①，，（4分） ②，，（8分） 故答案为：①，；②，； （2）①，② 故答案为：①；②．（10分） 22．（12分） 【详解】解：，，， ∴ = ，（5分） ∴ ； ∴的面积为．（12分） 23．（13分） 【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”， ， ；（3分） （2）解：与是互为“相关代数式”， ，（5分） 整理得，，（7分） 是有理数， ，，（12分） 解得．（13分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $