专题12.4 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）（举一反三讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）的核心关联，系统梳理从一次函数与x轴交点横坐标即方程解，到函数值正负对应不等式解集的知识脉络，构建“数”与“形”结合的学习支架。 该资料通过8类题型归纳及例题变式设计，以表格信息、函数图象分析等方式，培养学生几何直观（数学眼光）与推理能力（数学思维），如利用图象法求方程解、根据直线交点求不等式解集，课中辅助教师教学，课后助力学生强化练习，查漏补缺。

专题12.4 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 由直线经过的点的坐标求一元一次方程的解】 1 【题型2 由一元一次方程的解求直线经过的定点】 3 【题型3 由一元一次方程的解求直线经过的定点】 4 【题型4 由一元一次方程的解判断函数图象】 6 【题型5 利用图象法求一元一次方程的解】 8 【题型6 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 10 【题型7 根据两条直线的交点求不等式的解集】 12 【题型8 根据两图象求不等式组的解集】 14 考点1 一次函数与一元一次方程 知识点1 一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可化简为的形式． （1）一元一次方程是一次函数的函数值为0时的特殊情形． （2）直线与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，即． 【题型1 由直线经过的点的坐标求一元一次方程的解】 【例1】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次方程的解是一次函数的图象与轴交点的横坐标，即当时对应的自变量的值． 【详解】解：直线经过点， 当时，， 方程的解是． 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为（，，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．正确理解题意是解题的关键. 方程的解即为函数的值为时对应的值. 由点在直线上，直接可得解. 【详解】解：∵ 直线 过点， ∴ 当时，，即方程 的解为 ， 故选：D． 【变式1-2】（25-26八年级·上海·寒假作业）已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 __________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次方程的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为函数图象与轴交点的横坐标． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，该点是函数图象与轴的交点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·全国·周测）已知直线经过点，则方程的解为________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应方程的解这个性质即可求解． 【详解】解：∵直线经过点， ∴方程的解是， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应方程的解成为解题的关键． 【题型2 由一元一次方程的解求直线经过的定点】 【例2】（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 【变式2-1】若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一次函数的性质，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：A． 【变式2-2】已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 _____． 【答案】（−2，0） 【分析】当y＝0时，ax−b−1＝0，可得ax−b＝1，根据题意可得图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：当y＝0时，ax−b−1＝0， ∴ax−b＝1， ∵关于x的方程ax−b＝1的解为x＝−2， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（−2，0）， 故答案为：（−2，0）． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【变式2-3】已知关于的方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为___________． 【答案】（-5，0） 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴一次函数的图象与轴交点的坐标为（-5，0）， 故答案为：（-5，0）． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【题型3 利用表格信息求一元一次方程的解】 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则关于的方程的解是____________． 0 1 2 0 2 4 6 【答案】 【分析】方程的解为一次函数中时对应的的值，只需从表格中查找对应数据即可求解． 【详解】解：观察表格可知，当时，对应的的值为， 即当时，成立， 因此方程的解是． 【变式3-1】（2025七年级上·全国·专题练习）一次函数中两个变量x，y的部分对应值如表所示，那么关于x的方程的解是_________． x … 0 … y … 9 7 5 3 1 … 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程．通过观察函数值表，当时，对应的值为，因此方程的解即为. 【详解】解：根据表格数据，当时，，即， 所以关于的方程的解是， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）一次函数中，x与y的部分对应值如下表：那么一元一次方程的解为（    ）                                            A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解即为一次函数中时对应的x值，理解两者的关系是关键；根据表格，找出函数值为0时的自变量的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，， ∴方程的解为； 故选：D． 【变式3-3】一次函数中，x与y的部分对应值如下表所示，那么关于x的一元一次方程的解为______． x 0 1 2 y 9 6 3 0 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程．认真体会一次函数与一元一次方程之间的内在联系是解题的关键．根据表格可得当时，所对应的x的值． 【详解】解：根据上表中的数据值可知，当时，， 即一元一次方程的解是． 故答案为：． 【题型4 由一元一次方程的解判断函数图象】 【例4】已知方程－的解是－2，下列可能为直线－－的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵方程－的解是－2， ∴直线y=－过点（-2，0）， ∵系数k=〉0， ∴直线y=－经过第一、二、三象限，且与x轴相交于点（-2,0）． 故选B． 【点睛】任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 【变式4-1】已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题． 由于方程的解是，即时，，所以直线经过点，然后对各选项进行判断． 【详解】解：方程的解是， 经过点． 故选：C． 【变式4-2】（2024·陕西·一模）已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案. 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是． ∴只有选项B的图象符合题意， 故选：B 【变式4-3】已知方程的解是，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的解得出函数与x轴的交点坐标，然后判断即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴函数与x轴的交点坐标是， 满足条件的只有D． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解一元一次方程的解与函数图象和x轴交点坐标的关系是解题的关键． 【题型5 利用图象法求一元一次方程的解】 【例5】如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数与一元一次方程的联系，以及点P坐标，可直接得出方程的解． 理解一次函数与一元一次方程的联系是解题关键． 【详解】解：由图知，一次函数的图象经过点P， 方程的解是． 【变式5-1】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________． 【答案】 【分析】利用函数过，则有时函数值为0，则关于的方程的解为． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于，， ∴关于的方程的解为． 【变式5-2】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系.将方程变形为，可知方程的解即为两函数图像交点的横坐标．根据交点坐标即可得出答案． 【详解】解：由方程，移项得， ∵一次函数与的图像相交于点， ∴当时，成立， ∴关于𝑥的方程的解是． 【变式5-3】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．一次函数的图象上纵坐标为1的点的横坐标即为方程的解，据此求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴关于x的方程的解是． ∴关于的方程的解为． 故答案为：4． 考点2 一次函数与一元一次不等式 知识点2 一次函数与一元一次不等式 名称 叙述 从“数”上看 从“形”上看 一次函数与一元一次不等式的关系 由于任何一元一次不等式都可以转化为或 (a，b为常数，且a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围 的解集 中时x 的取值范围； 的解集 中时x 的取值范围 的解集直线位于x轴上方的部分对应的x的取值范围； 的解集直线位于x轴下方的部分对应的x的取值范围 【题型6 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例6】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知一次函数（）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【分析】观察图象即可求解． 【详解】解：由图象知，当一次函数的函数值不小于3时，对应的自变量不大于， 即不等式的解集为． 【变式6-1】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，一次函数的图象交轴于点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】即为x轴下方的图象，根据图象直接解答． 【详解】解：一次函数的图象交轴于点， 不等式的解集为 【变式6-2】（25-26八年级下·四川达州·期末）如图，直线（，是常数，）与直线交于点，则关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【详解】解：∵不等式表示的是直线位于直线的上方，且这两条直线的交点坐标为， ∴结合函数图象可知，关于的不等式的解集为． 【变式6-3】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．当时， B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】根据图象获取直线与坐标轴交点坐标及增减性，结合一次函数与方程、不等式的关系进行判断. 【详解】解：由图象可知，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且 随 的增大而增大. 、当 时，图象在 轴下方，即 ，故该选项错误． 、方程 的解即为图象与 轴交点的横坐标，即 ，故该选项错误． 、不等式 即 ，对应图象在 轴下方的部分，此时 ，故该选项错误． 、不等式 可变形为 ，即 ， 由图象可知当 时，，故该选项正确． 【题型7 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例7】（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出交点的坐标，将不等式移项得，它表示直线在直线 的上方或相等，结合图像即可写出解集． 【详解】解：由点在直线上， 得，， 解得：， 交点坐标为， 不等式， 移项得，， 它表示直线在直线 的上方或相等， 结合图像，两直线交于点，当时，直线 在直线的上方． 【变式7-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k，b为常数，且）与正比例函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把代入求出，再根据图象解答即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， ∴． 由图象可知，关于的不等式的解集为． 【变式7-2】（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点，则一元一次不等式的解集是_______． 【答案】 【分析】一元一次不等式表示的是一次函数的图象位于正比例函数的图象的下方（含交点），结合函数图象解答即可． 【详解】解：∵一元一次不等式表示的是一次函数的图象位于正比例函数的图象的下方（含交点）， ∴结合函数图象可知，一元一次不等式的解集是． 【变式7-3】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，函数，的图象交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解∶ 变形为． 由函数的图象可知，当时，函数的图象在函数的图象的上方， 关于的不等式的解集为． 【题型8 根据两图象求不等式组的解集】 【例8】（25-26八年级下·四川成都天府新区·期末）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中如图所示，则不等式组的解集为（     ） A． B． C． D．无解 【答案】B 【分析】根据直线、直线与轴的交点的横坐标分别为、，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】解：由图象可得，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴不等式组的解集为． 【变式8-1】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，若时，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象，分别找出和时的取值范围，然后取公共部分即可． 【详解】解：由图象可知，直线与轴交于点，且随的增大而减小， ∴当时，， ∵直线与直线交于点，且当时，直线的图象在直线的图象上方， ∴当 时，， ∴当时，的取值范围为． 【变式8-2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）一次函数的图象如图所示，则关于的不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】根据函数图象找到函数值不小于0且小于时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式组的解集是． 【变式8-3】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，观察图象，可以得出不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】观察图象可知，当时，；当时，，所以该不等式组的解集是这两个不等式解集的公共部分． 【详解】解：由图象知，函数与轴交于点， 即当时，函数值的范围是； 当时，的取值范围是； ∵， ∴， 函数与轴交于点，即当时，函数值的范围是； 当时，的取值范围是； 原不等式组的解集是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.4 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 由直线经过的点的坐标求一元一次方程的解】 1 【题型2 由一元一次方程的解求直线经过的定点】 2 【题型3 由一元一次方程的解求直线经过的定点】 2 【题型4 由一元一次方程的解判断函数图象】 3 【题型5 利用图象法求一元一次方程的解】 4 【题型6 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 6 【题型7 根据两条直线的交点求不等式的解集】 7 【题型8 根据两图象求不等式组的解集】 8 考点1 一次函数与一元一次方程 知识点1 一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可化简为的形式． （1）一元一次方程是一次函数的函数值为0时的特殊情形． （2）直线与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，即． 【题型1 由直线经过的点的坐标求一元一次方程的解】 【例1】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级·上海·寒假作业）已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 __________ ． 【变式1-3】（25-26八年级上·全国·周测）已知直线经过点，则方程的解为________． 【题型2 由一元一次方程的解求直线经过的定点】 【例2】（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 _____． 【变式2-3】已知关于的方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为___________． 【题型3 利用表格信息求一元一次方程的解】 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则关于的方程的解是____________． 0 1 2 0 2 4 6 【变式3-1】（2025七年级上·全国·专题练习）一次函数中两个变量x，y的部分对应值如表所示，那么关于x的方程的解是_________． x … 0 … y … 9 7 5 3 1 … 【变式3-2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）一次函数中，x与y的部分对应值如下表：那么一元一次方程的解为（    ）                                            A． B． C． D． 【变式3-3】一次函数中，x与y的部分对应值如下表所示，那么关于x的一元一次方程的解为______． x 0 1 2 y 9 6 3 0 【题型4 由一元一次方程的解判断函数图象】 【例4】已知方程－的解是－2，下列可能为直线－－的图象是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·陕西·一模）已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知方程的解是，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【题型5 利用图象法求一元一次方程的解】 【例5】如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式5-1】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________． 【变式5-2】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 【变式5-3】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为___________． 考点2 一次函数与一元一次不等式 知识点2 一次函数与一元一次不等式 名称 叙述 从“数”上看 从“形”上看 一次函数与一元一次不等式的关系 由于任何一元一次不等式都可以转化为或 (a，b为常数，且a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围 的解集 中时x 的取值范围； 的解集 中时x 的取值范围 的解集直线位于x轴上方的部分对应的x的取值范围； 的解集直线位于x轴下方的部分对应的x的取值范围 【题型6 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例6】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知一次函数（）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为________． 【变式6-1】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，一次函数的图象交轴于点，则不等式的解集为__________． 【变式6-2】（25-26八年级下·四川达州·期末）如图，直线（，是常数，）与直线交于点，则关于的不等式的解集为_________． 【变式6-3】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．当时， B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【题型7 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例7】（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k，b为常数，且）与正比例函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点，则一元一次不等式的解集是_______． 【变式7-3】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，函数，的图象交于点，则关于的不等式的解集为________． 【题型8 根据两图象求不等式组的解集】 【例8】（25-26八年级下·四川成都天府新区·期末）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中如图所示，则不等式组的解集为（     ） A． B． C． D．无解 【变式8-1】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，若时，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）一次函数的图象如图所示，则关于的不等式组的解集是________． 【变式8-3】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，观察图象，可以得出不等式组的解集是________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $