第1章 三角形（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 新教材苏科版七年级三角形单元拔尖卷，120分钟120分，23题覆盖选择、填空、解答，选题源于多地期末真题，针对性强，可量化学生掌握程度，适配单元复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形边角关系、角平分线、垂直平分线|结合图形考查几何直观，如第5题垂直平分线性质应用| |填空题|6/18|中线面积、网格几何、等腰直角三角形动点|体现空间观念，如第13题动点与全等综合| |解答题|7/72|全等判定、等边三角形性质、倍长中线法|层次分明，第23题探究延伸考查推理能力与创新意识|

第1章 三角形·拔尖卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知三角形三边长分别为5，，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（     ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A．27 B．12 C．24 D．36 4．（25-26七年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点M，这两条垂直平分线分别交于点D，E，连接，，，，，已知的周长为7，的周长为15，则的长为（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．6 6．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（     ） A．8：7：6 B． C． D． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，，交于点，点是角平分线的交点，连接，，，连接交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 8．（北京市通州区2025-2026学年度第二学期期末初中八年级考试数学试卷）如图，在四边形中，，对角线，交于点，点是中点，，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示，在和中，，，，上有一点，连接，使得，则的度数（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再将点折叠在折痕上，折痕为，点在上的对应点为，连接，．则下列说法：①是等边三角形；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为的中线，其中．若的面积为60，，则中，边上的高是______． 12．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 13．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，，点D为射线上的一个动点．连接，过点C作交直线于点E，直线，相交于点F．当时，线段的长为________． 14．如图，已知在四边形中，，， ，则______°．    15．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知如图，在中，，，，在的边上找一点，使得它与三角形的两顶点构成等腰三角形，这样的点有________个． 16．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，是等边三角形，D，E分别为，边上的点，且，，相交于点F，连接并延长到点M，与相交于点G，延长到点N，连接，，若，，点F是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是_______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 18．（8分）（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 19．（10分）（25-26八年级下·内蒙古·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 20．（10分）如图，中，，，，，．    (1)①说明； ②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的． (2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上． 21．（12分）（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知与中，，，，连接与相交于点F，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 22．（12分）（25-26七年级下·福建三明·期末）如图，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)试说明：． (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，求为何值时，的面积为． (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 23．（14分）（25-26七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，再求出，然后利用全等三角形的性质求即可． 【详解】解：∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知三角形三边长分别为5，，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（     ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 【答案】C 【分析】先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再结合周长为奇数的条件判断x的奇偶性，统计符合条件的x的个数即可． 【详解】解：三角形三边长分别为，， 根据三角形三边关系得 ，即 ， 三角形周长为奇数，周长为 ，且是奇数， 必须为偶数，奇数加偶数结果为奇数， 边长为正整数， 符合条件的为，共个， 满足条件的三角形个数为个． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A．27 B．12 C．24 D．36 【答案】A 【分析】先证，再求出长，根据面积公式可得的面积． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， ， ， 又点为中点 ， ， ， ． 4．（25-26七年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，过点D作于点E，根据角平分线的性质定理得到，再由直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点M，这两条垂直平分线分别交于点D，E，连接，，，，，已知的周长为7，的周长为15，则的长为（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据中垂线的性质，结合三角形的周长公式，推出，，即可得出结果. 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点M，这两条垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∵的周长为7，的周长为15， ∴， ∴. 6．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（     ） A．8：7：6 B． C． D． 【答案】D 【分析】过O点分别作、、的垂线、、，利用角平分线性质可以得到，即这三个三角形的高都相等，所以面积比等于它们的底边比，从而得出答案． 【详解】解：如图，过O点分别作、、的垂线、、， ∵是的角平分线， ∴， 同理， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，，交于点，点是角平分线的交点，连接，，，连接交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，设，可得，，结合，再进一步求解即可. 【详解】解：∵点是角平分线的交点，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴. 8．（北京市通州区2025-2026学年度第二学期期末初中八年级考试数学试卷）如图，在四边形中，，对角线，交于点，点是中点，，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以推出，结合和三角形内角和定理求出，再根据外角的性质推出，，最后根据进行等量代换求解即可． 【详解】如图，连接， ∵，点是中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∵、分别是、的外角， ∴，， ∴，， ∴． 9．（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示，在和中，，，，上有一点，连接，使得，则的度数（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设为未知数，利用等腰三角形两底角相等分别表示出与，结合建立等式求出，再算出；最后证，得到平分，求出． 【详解】解：设． ∵， ∴． ∴． ， 为等腰三角形， ． ， 为等腰三角形， ． 由图可知，代入式子： ∵， ， 解得，即． ， ． 在和中， ． ∴． ， ． 10．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再将点折叠在折痕上，折痕为，点在上的对应点为，连接，．则下列说法：①是等边三角形；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，由折叠的性质可得垂直平分，，，，，，结合等边三角形的性质即可判断①正确；求出，从而得出，即可判断②正确；在上取点，使得，连接，求出，即可判断③正确；由，即可判断④错误；表示出，，即可判断⑤错误． 【详解】解：由题意可得，， 由折叠的性质可得垂直平分，，，，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确； ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图，在上取点，使得，连接， 则垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ，故④错误； ∵为等边三角形，，， ∴， ∵， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③，共个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为的中线，其中．若的面积为60，，则中，边上的高是______． 【答案】8 【分析】设中，边上的高是h，根据三角形中线的性质可得的面积，再由，可得的面积，即可求解． 【详解】解：设中，边上的高是h， ∵的面积为60，为的中线， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴， 解得：， 即中，边上的高是8． 12．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，，点D为射线上的一个动点．连接，过点C作交直线于点E，直线，相交于点F．当时，线段的长为________． 【答案】5或11 【分析】分两种情况，证明，得到，进行求解即可. 【详解】解：当点在线段上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， 同理可得：. 综上：线段的长为5或11. 14．如图，已知在四边形中，，， ，则______°．    【答案】35 【分析】延长至E，使，连接，根据三角形内角和与外角的关系可得使等腰直角三角形，，载利用等腰三角形的性质可得出结论. 【详解】解：延长至E，使，连接，如下图所示：    ∵， ∴， ∵ ， ∴， 在中，, ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴使等腰直角三角形， ∴, ∴， ∴， ∴， , 故答案为：35. 【点睛】本题主要考查三角形的相关知识，运算较为复杂，要掌握好基本知识. 15．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知如图，在中，，，，在的边上找一点，使得它与三角形的两顶点构成等腰三角形，这样的点有________个． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的判定，根据等角对等边分情况讨论即可． 【详解】解：①作， ∴ ∴是等腰三角形； ②作， ∴， ∴是等腰三角形； ③作， ∴，， ∴， ∴和是等腰三角形； ④在上取， ∴是等腰三角形， ∴这样的点有个． 故答案为：4． 16．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，是等边三角形，D，E分别为，边上的点，且，，相交于点F，连接并延长到点M，与相交于点G，延长到点N，连接，，若，，点F是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是_______． 【答案】②③ 【分析】由等边三角形的性质得出，，证明 ，由全等三角形的性质得出，根据角和关系得出，等量代换可得出，再根据三角形外角的定义和性质得出，可判断①错误；设，通过三角形内角和外角的性质分别表示出，，即可证明，可判断②正确；通过三角形内角和外角的性质分别表示出，可判断④错误；延长到，使，先证明 ，再证明 ，由全等三角形的性质得出，即可得出，可判断③正确． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， ， ∴，故④错误； 延长到，使，连接，如图， 又∵，， ∴ ， ∴， 又∵，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ， 又∵， ∴， ∴，故③正确． 故答案为：②③． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角性质等知识点，解题的关键是熟悉辅助线的常见做法． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 又∵， ∴； (2)由（1）可得，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即． 【分析】（1）根据可得，再根据E为的中点可得，即可通过判定两个三角形全等； （2）由（1）可得，，，再根据可以得到，利用可以得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的有关判定方法． 18．（8分）（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 【答案】(1)是等边三角形；理由如下： 是等边三角形， ； ，， ，， 为等边三角形． (2)10 【分析】（1）证明，证明，，即可解决问题． （2）证明，同理可证；即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：平分，， ，， ， ， 同理可证； 的周长． 19．（10分）（25-26八年级下·内蒙古·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明： ， ， 在和中， ，   ， ， 由（1）得，即 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得到，由得，则． （2）先求得，由平移得，则，即可等量代换，则． （3）由，求得，可根据“”证明，得，而，所以，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，垂足为， ， ， 的度数是． （2）解：，， ， ∵是由沿方向平移得到的， ∴ ∵， ， ， ， ∴的长是． （3）略 20．（10分）如图，中，，，，，．    (1)①说明； ②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的． (2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)图见解析，见解析 【分析】（1）由，，可得，即得，即可证明；延长，交于点，由，，可得，故，由知，可得，因，即可证明； （2）根据作一个角等于已知角的步骤即可，由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可知点，，这三个点在同一直线上． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ②理由：分别延长，交于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即． （2）解：①以E为圆心，任意长为半径画弧交于M，交于N，②以B为圆心，的长为半径画弧交于K，③以K为圆心，的长为半径画弧，交前弧于G，④作射线，则即为所求；    ∵， ∴， 由（1）②知，， ∴过B的直线都与平行， ∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点，，这三个点在同一直线上． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质, 平行线的判定与性质，尺规作图等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 21．（12分）（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知与中，，，，连接与相交于点F，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）先证明得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （3）由（1）得，，从而得出，利用平行线的性质证明出，从而可得，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 22．（12分）（25-26七年级下·福建三明·期末）如图，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)试说明：． (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，求为何值时，的面积为． (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：， ， ，     ， ， ，     ， 又，， ； (2)或 (3)存在，当或秒时，与全等 【分析】（1）根据题意先推出，再由，，即可证明； （2）根据题意，分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在射线上时，综合两种情况即可得到的面积为时，的值； （3）根据题意，分为两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时，根据全等可反推出时，然后列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图1，由（1）知， ，      当点在线段上时，， ，解得； 当点在射线上时，， ，解得； 综上所述，当或秒时，； （3）解：存在． 由（1）知， ， ，即， 如图2，当点在线段上时， ，且， 当时，， 此时，， ，解得， 如图3，当点在的延长线上时， ，且， 当时，， 此时，， ，解得， 综上所述，当或秒时，与全等． 23．（14分）（25-26七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先推导出得到再根据三角形的三边关系，得到求出则解得 即可解答； （2）延长至，使，连接，则，推导出得到推导出 证明得到，即可解答； （3）延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，推导出得到继而证明得到推导出证明出可求出即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 是的中线， ， 解得： 即AD的取值范围为：； （2）证明：如图2，延长至，使，连接，则， 为的中点， ， ， ， 在和中， （3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接， 是的中点， ， 在和中， 又∵ 即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $