11.3整式的除法 讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）数学七年级上册

该初中数学单元复习教案系统梳理了整式除法的核心知识，涵盖单项式除以单项式、多项式除以单项式及多项式除以多项式三种类型，通过清晰的法则讲解与典型例题解析，构建起从基础运算到复杂应用的知识网络。各知识点之间逻辑递进，由简入繁，借助表格归纳和长除法步骤分解，帮助学生理解不同除法形式的本质联系，形成结构化的认知体系。 其亮点在于融合“抽象能力”“推理意识”和“应用意识”三大核心素养，设计分层练习与真实情境问题，如将面积计算转化为多项式除法的实际应用，引导学生用数学语言表达现实关系。在巩固练习中设置选择题、填空题与解答题，并配有思考题拓展思维深度，实现基础夯实与能力提升并重。这种针对性强、层次分明的复习策略，既助力学生查漏补缺，又为教师精准教学提供有力支撑。

11.3 整式的除法 学习目标 · 掌握单项式除以单项式的法则 · 掌握多项式除以单项式的法则 · 理解多项式除以多项式的基本方法 · 能够熟练进行整式的除法运算 · 能够运用整式除法解决实际问题 知识点讲解 1. 单项式除以单项式 法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 例如：(12x⁴y³) ÷ (3x²y) = (12÷3)·(x⁴÷x²)·(y³÷y) = 4x²y² 注意：单项式除法中，先确定符号，再计算系数，最后处理字母部分。注意指数相减的运算。 2. 多项式除以单项式 法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 例如：(6x³y - 9x²y² + 3xy³) ÷ (3xy) = (6x³y÷3xy) + (-9x²y²÷3xy) + (3xy³÷3xy) = 2x² - 3xy + y² 3. 多项式除以多项式 方法：多项式除以多项式一般使用长除法（竖式除法），方法与多位数的除法类似。 长除法的步骤： 1. 将被除式和除式都按降幂排列 2. 用除式的第一项去除被除式的第一项，得商式的第一项 3. 用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面，同类项对齐 4. 从被除式中减去这个积，得第一余式 5. 把余式当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数 例如：计算(x³ + 2x² - 5x - 6) ÷ (x + 1) 步骤： 1.x³ ÷ x = x²（商的第一项） 2.x² × (x + 1) = x³ + x² 3.(x³ + 2x²) - (x³ + x²) = x² 4.x² ÷ x = x（商的第二项） 5.x × (x + 1) = x² + x 6.(x² - 5x) - (x² + x) = -6x 7.-6x ÷ x = -6（商的第三项） 8.-6 × (x + 1) = -6x - 6 9.(-6x - 6) - (-6x - 6) = 0 结果：(x³ + 2x² - 5x - 6) ÷ (x + 1) = x² + x - 6 4. 整式除法的注意事项 · 先确定符号，再进行计算 · 注意指数运算：同底数幂相除，底数不变，指数相减 · 多项式除以多项式时，要先按降幂排列 · 注意检查余数，余数的次数必须低于除式的次数 除法类型 法则/方法 示例 单项式÷单项式 系数相除，同底数幂相除 (8x⁴y²) ÷ (2x²y) = 4x²y 多项式÷单项式 每一项分别除以单项式，商相加 (6a³ - 9a²) ÷ 3a = 2a² - 3a 多项式÷多项式 长除法（竖式除法） (x² - 5x + 6) ÷ (x-2) = x-3 例题解析 例1：单项式除以单项式 (1)(15a⁴b³) ÷ (5a²b) (2)(-24x⁵y⁴z²) ÷ (6x³y²z) 例2：多项式除以单项式 (1)(12x³ - 8x² + 4x) ÷ (4x) (2)(9a⁴b² - 6a³b³ + 3a²b⁴) ÷ (3a²b²) 例3：多项式除以多项式 (1)(x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) (2)(2x³ - 3x² - 5x + 6) ÷ (x - 2) 巩固练习 一、选择题 1. 计算(18x⁴y³) ÷ (6x²y)的结果是（ ） A.3x²y²  B.3x²y³  C.12x²y²  D.12x²y³ 2. 下列计算正确的是（ ） A.(6x³ - 3x²) ÷ 3x = 2x² - x  B.(x⁴ + x³) ÷ x² = x² + x C.(8x⁴y² - 4x³y) ÷ (4x²y) = 2x²y - x  D.(a³ - a²) ÷ a² = a - 1 二、填空题 1.(24a⁵b³) ÷ (6a³b) =______。 2.(15x⁴ - 10x³ + 5x²) ÷ (5x²) =______。 3.(x² - 7x + 12) ÷ (x - 3) =______。 三、解答题 1. 计算下列各式： (1)(28a⁴b⁵) ÷ (7a²b³) (2)(9x³y² - 6x²y³ + 3xy⁴) ÷ (3xy²) (3)(x³ - 2x² - 5x + 6) ÷ (x - 3) 2. 应用问题： 一个长方形的面积是(6x³ - 9x² + 3x)平方厘米，宽是3x厘米，求这个长方形的长。如果x = 2，长是多少厘米？ 思考题：已知多项式2x³ - x² + ax + b能被x² - x - 2整除，求a和b的值。 学习提示：整式除法是代数运算的重要基础，要熟练掌握各种除法法则和方法，特别注意符号处理和指数运算，为后续学习因式分解和分式运算打下坚实基础。多项式除以多项式是难点，需要多加练习。 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3 整式的除法 学习目标 · 掌握单项式除以单项式的法则 · 掌握多项式除以单项式的法则 · 理解多项式除以多项式的基本方法 · 能够熟练进行整式的除法运算 · 能够运用整式除法解决实际问题 知识点讲解 1. 单项式除以单项式 法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 例如：(12x⁴y³) ÷ (3x²y) = (12÷3)·(x⁴÷x²)·(y³÷y) = 4x²y² 注意：单项式除法中，先确定符号，再计算系数，最后处理字母部分。注意指数相减的运算。 2. 多项式除以单项式 法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 例如：(6x³y - 9x²y² + 3xy³) ÷ (3xy) = (6x³y÷3xy) + (-9x²y²÷3xy) + (3xy³÷3xy) = 2x² - 3xy + y² 3. 多项式除以多项式 方法：多项式除以多项式一般使用长除法（竖式除法），方法与多位数的除法类似。 长除法的步骤： 1. 将被除式和除式都按降幂排列 2. 用除式的第一项去除被除式的第一项，得商式的第一项 3. 用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面，同类项对齐 4. 从被除式中减去这个积，得第一余式 5. 把余式当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数 例如：计算(x³ + 2x² - 5x - 6) ÷ (x + 1) 步骤： 1.x³ ÷ x = x²（商的第一项） 2.x² × (x + 1) = x³ + x² 3.(x³ + 2x²) - (x³ + x²) = x² 4.x² ÷ x = x（商的第二项） 5.x × (x + 1) = x² + x 6.(x² - 5x) - (x² + x) = -6x 7.-6x ÷ x = -6（商的第三项） 8.-6 × (x + 1) = -6x - 6 9.(-6x - 6) - (-6x - 6) = 0 结果：(x³ + 2x² - 5x - 6) ÷ (x + 1) = x² + x - 6 4. 整式除法的注意事项 · 先确定符号，再进行计算 · 注意指数运算：同底数幂相除，底数不变，指数相减 · 多项式除以多项式时，要先按降幂排列 · 注意检查余数，余数的次数必须低于除式的次数 除法类型 法则/方法 示例 单项式÷单项式 系数相除，同底数幂相除 (8x⁴y²) ÷ (2x²y) = 4x²y 多项式÷单项式 每一项分别除以单项式，商相加 (6a³ - 9a²) ÷ 3a = 2a² - 3a 多项式÷多项式 长除法（竖式除法） (x² - 5x + 6) ÷ (x-2) = x-3 例题解析 例1：单项式除以单项式 (1)(15a⁴b³) ÷ (5a²b) (2)(-24x⁵y⁴z²) ÷ (6x³y²z) 解析： (1)(15a⁴b³) ÷ (5a²b) = (15÷5)·(a⁴÷a²)·(b³÷b) = 3a²b² (2)(-24x⁵y⁴z²) ÷ (6x³y²z) = (-24÷6)·(x⁵÷x³)·(y⁴÷y²)·(z²÷z) = -4x²y²z 例2：多项式除以单项式 (1)(12x³ - 8x² + 4x) ÷ (4x) (2)(9a⁴b² - 6a³b³ + 3a²b⁴) ÷ (3a²b²) 解析： (1)(12x³ - 8x² + 4x) ÷ (4x) = (12x³÷4x) + (-8x²÷4x) + (4x÷4x) = 3x² - 2x + 1 (2)(9a⁴b² - 6a³b³ + 3a²b⁴) ÷ (3a²b²) = (9a⁴b²÷3a²b²) + (-6a³b³÷3a²b²) + (3a²b⁴÷3a²b²) = 3a² - 2ab + b² 例3：多项式除以多项式 (1)(x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) (2)(2x³ - 3x² - 5x + 6) ÷ (x - 2) 解析： (1) 使用长除法： x² ÷ x = x（商的第一项） x × (x + 2) = x² + 2x (x² + 5x) - (x² + 2x) = 3x 3x ÷ x = 3（商的第二项） 3 × (x + 2) = 3x + 6 (3x + 6) - (3x + 6) = 0 结果：(x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) = x + 3 (2) 使用长除法： 2x³ ÷ x = 2x²（商的第一项） 2x² × (x - 2) = 2x³ - 4x² (2x³ - 3x²) - (2x³ - 4x²) = x² x² ÷ x = x（商的第二项） x × (x - 2) = x² - 2x (x² - 5x) - (x² - 2x) = -3x -3x ÷ x = -3（商的第三项） -3 × (x - 2) = -3x + 6 (-3x + 6) - (-3x + 6) = 0 结果：(2x³ - 3x² - 5x + 6) ÷ (x - 2) = 2x² + x - 3 巩固练习 一、选择题 1. 计算(18x⁴y³) ÷ (6x²y)的结果是（ ） A.3x²y²  B.3x²y³  C.12x²y²  D.12x²y³ 2. 下列计算正确的是（ ） A.(6x³ - 3x²) ÷ 3x = 2x² - x  B.(x⁴ + x³) ÷ x² = x² + x C.(8x⁴y² - 4x³y) ÷ (4x²y) = 2x²y - x  D.(a³ - a²) ÷ a² = a - 1 二、填空题 1.(24a⁵b³) ÷ (6a³b) =______。 2.(15x⁴ - 10x³ + 5x²) ÷ (5x²) =______。 3.(x² - 7x + 12) ÷ (x - 3) =______。 三、解答题 1. 计算下列各式： (1)(28a⁴b⁵) ÷ (7a²b³) (2)(9x³y² - 6x²y³ + 3xy⁴) ÷ (3xy²) (3)(x³ - 2x² - 5x + 6) ÷ (x - 3) 2. 应用问题： 一个长方形的面积是(6x³ - 9x² + 3x)平方厘米，宽是3x厘米，求这个长方形的长。如果x = 2，长是多少厘米？ 思考题：已知多项式2x³ - x² + ax + b能被x² - x - 2整除，求a和b的值。 参考答案 一、选择题 1. A   2. D 二、填空题 1.4a²b²  2.3x² - 2x + 1  3.x - 4 三、解答题 1. (1)(28a⁴b⁵) ÷ (7a²b³) = 4a²b² (2)(9x³y² - 6x²y³ + 3xy⁴) ÷ (3xy²) = 3x² - 2xy + y² (3) 使用长除法：(x³ - 2x² - 5x + 6) ÷ (x - 3) = x² + x - 2 2. 长 = 面积 ÷ 宽 =(6x³ - 9x² + 3x) ÷ (3x) = 2x² - 3x + 1 当x = 2时，长 =2×4 - 3×2 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3厘米 思考题 使用长除法： (2x³ - x² + ax + b) ÷ (x² - x - 2) 商式为2x + 1，余式为(a+3)x + (b+2) 因为能被整除，所以余式为零： a + 3 = 0 ⇒ a = -3 b + 2 = 0 ⇒ b = -2 本章小结 · 单项式除法：系数相除，同底数幂相除，其余字母连同指数作为商的因式 · 多项式除以单项式：根据分配律，用多项式的每一项除以单项式，再把商相加 · 多项式除以多项式：使用长除法（竖式除法） · 整式除法的注意事项： 4. 先确定符号，再进行计算 4. 注意指数运算：同底数幂相除，底数不变，指数相减 4. 多项式除以多项式时，要先按降幂排列 4. 注意检查余数，余数的次数必须低于除式的次数 学习提示：整式除法是代数运算的重要基础，要熟练掌握各种除法法则和方法，特别注意符号处理和指数运算，为后续学习因式分解和分式运算打下坚实基础。多项式除以多项式是难点，需要多加练习。 学科网（北京）股份有限公司 $