专题03乘法公式与整式除法 暑假预习讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册

专题03乘法公式与整式除法暑假预习讲义 1. 识记：熟记平方差、完全平方和、完全平方差三大乘法公式，掌握同底数幂除法法则、单项式除以单项式、多项式除以单项式的文字与符号运算法则。 2. 辨析：精准识别乘法公式的式子结构，分清平方差与完全平方公式外形差异；区分幂乘、幂除运算规则，避免指数加减混淆。 3. 推导：借助图形面积几何意义推导乘法公式，理解公式由来；能类比整式乘法逆向推导整式除法运算逻辑。 4. 运算：直接套用公式完成基础多项式乘法计算，会对式子简单变形后适配公式；规范完成单项式除法、多项式除以单项式运算，统一处理负号、系数符号问题。 5. 活用：掌握乘法公式逆用、整体代换技巧，能用公式简化大数简便运算；理清整式混合运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内。 6. 化简求值：综合乘法公式、整式除法对代数式化简，再代入数值计算，减少分步运算出错概率。 7. 参数求解：根据乘法公式展开结果、整式除法整除条件，建立方程求出代数式中未知字母参数。 8. 应用建模：利用乘法公式、整式乘除列式表达图形面积、数字规律，解决简单实际应用题型。 9. 避错梳理：规避完全平方漏写2ab项、平方差符号出错、多项式除法漏除常数项、符号变换失误等高频易错点。 10. 思维铺垫：体会代数恒等变形、转化思想，熟练公式正反双向运用，为后续因式分解、分式学习打好核心运算基础。 预习必备 知识梳理 1.平方差公式 2.完全平方公式 3.同底数幂除法 4.单项式除单项式 5.多项式除单项式 6.高频易错点汇总 1.运用平方差公式进行运算 2..平方差公式与几何图形 常考题型 精讲精练 3.运用完全平方公式进行运算 4.完全平方公式变形求值 5.完全平方公式与几何图形 6.求完全平方式中的字母系数 7.整式的混合运算 8.同底数幂的除法运算 9.同底数幂除法的逆用 10.零指数幂 11.幂的混合运算 12.单项式除以单项式 13.科学记数法表示数的除法 14多项式除以单项式 15.整式四则混合运算 强化题型 解答题9题 知识点 1 平方差公式 1.公式形式 (a+b)(a-b)=a2-b2 2.文字描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 3.结构特征 左边：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数； 右边：相同项的平方 减去 相反项的平方。 4.变形拓展 (b+a)(-b+a)=a2-b2 (-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)（逆用：因式分解） 5.用面积法证明公式 6.平方差公式适用条件 知识点 2 完全平方公式 （1）完全平方和 (a+b)2=a2+2ab+b2 数和的平方 = 平方和 + 两倍乘积 （2）完全平方差 (a-b)2=a2-2ab+b2 两数差的平方 = 平方和 − 两倍乘积 统一口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方 重要变形拓展 (a-b)2=(b-a)2 a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab (a+b)2-(a-b)2=4ab 公式的推导过程 公式的几何意义 知识点 3 乘法公式综合易错对比表 公式名称 原式 常见错误写法 正确结果 平方差 (x+3)(x-3) x2-3 x2-9 完全平方和 (x+2)2 x2+4 x2+4x+4 完全平方差 (x-5)2 x2-25 x2-10x+25 知识点 4 同底数幂的除法 1.法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减 am÷an=am−n(a≠0，m、n为正整数，m>n)\) 2.零指数幂规定：a0=1(a≠0) 任何非零数的 0 次幂等于 1；00无意义 3.拓展：多个同底数连除 am an ap=am-n-p 4.底数互为相反数转换 (a-b)5(b-a)2=-(b-a)3 知识点 5 单项式 ÷ 单项式 1.运算步骤： ① 系数相除；② 同底数幂分别相除（指数相减）； ③ 只在被除式含有的字母，连同指数直接保留在结果中。 2.示例： 12x3y4(-3xy2)=-4x2y2 3.注意：除式不能为 0 知识点 6 多项式 ÷ 单项式 法则：多项式里每一项分别除以单项式，再把所得商相加 (ma+mb+mc)m = a+b+c 核心依据：乘法分配律逆用 易错点：多项式每一项都要除，符号同步运算 例：(4x2-6x)(-2x)=-2x+3 知识点 7 全章节高频易错汇总表 错误类型 错误计算 正确计算 错误原因 完全平方漏中间项 (a-4)2=a2-16 a2-8a+16 忘记 2ab 项 平方差漏平方 (x+2)(x-2)=x2-2 x2-4 常数未平方 同底数除法指数相加 x5 x2=x7 x3 除法指数应相减 零次幂判断错误 00=1、30=0 30=1，00无意义 只有非零数 0 次幂为 1 多项式除单项式漏项 (2x2-4x)2x=x2 x-2 常数项也要相除 负号完全平方变号错误 (-x+1)2=-x2+2x-1 x2-2x+1 平方后符号为正 单项式除法丢独有字母 8x2y2x=4x 4xy 被除式独有字母保留 题型1.运用平方差公式进行运算 【典例】计算的结果是____________． 【跟踪专练1】若，且，则的值是________． 【跟踪专练2】计算：________． 【跟踪专练3】下列各式可以用平方差公式进行计算的是（     ） 题型2..平方差公式与几何图形 【典例】根据图1到图2的变化过程，可以得到一个整式乘法的恒等式，这个恒等式是______ ． 【跟踪专练1】图1为某校六（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示六（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则____________． 【跟踪专练2】在“综合与实践”活动中，同学们利用相关图形中面积的等量关系得到了某些数学公式，借助图形面积探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（     ） A． B． C． D． 题型3.运用完全平方公式进行运算 【典例】．简便运算_______． 【跟踪专练1】下列计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，，则的值为______． 【跟踪专练2】已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型4.完全平方公式变形求值 【典例】如果，，那么________． 【跟踪专练1】已知，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【跟踪专练2】利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值2．对于多项式，当__________时，该多项式的最小值是__________． 【跟踪专练3】若，，则的值是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 题型5.完全平方公式与几何图形 【典例】嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用张型、张型和张型卡片拼出一个新的图形（如图②）． 根据图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． 【跟踪专练1】如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，如果，，那么阴影部分的面积是________． 【跟踪专练2】“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，这是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学问题中所发挥的重要价值与意义的高度概括，如下图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（     ） A． B． C． D． 题型6.求完全平方式中的字母系数 【典例】若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为________． 【跟踪专练1】若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是(    ) A． B．或 C． D．或 【跟踪专练2】如果是一个完全平方式，那么的值为____________． 【跟踪专练3】贝贝在学习完全平方公式时，发现是一个完全平方式，则m的值是（     ） A．5或 B．2或 C．5或 D．2或 题型7.整式的混合运算 【典例】．化简： ______． 【跟踪专练1】下列各式中正确的有（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】观察下列几个算式： ③； ④， ．．．．．．，结合你观察到的规律判断 的计算结果为（    ） A． B． C． D． 题型8.同底数幂的除法运算 【典例】若，，则=__________． 【跟踪专练1】若等式“”成立，则“”中的运算符号为（     ） A．+ B． C．× D．÷ 【跟踪专练3】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型9.同底数幂除法的逆用 【典例】已知，，则的值为__________． 【跟踪专练1】已知，，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【跟踪专练2】若，， _________． 【跟踪专练3】已知，，，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 题型10.零指数幂 【典例】．________． 【跟踪专练1】若无意义，则x应满足的条件是______． 【跟踪专练2】若m满足整式不含x的一次项，n满足，则____________． 【跟踪专练3】若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 题型11.幂的混合运算 【典例】计算 的结果是___________． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算： ______． 【跟踪专练3】已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型12.单项式除以单项式 【典例】计算：____________． 【跟踪专练1】计算：____________． 【跟踪专练2】计算：______． 【跟踪专练3】下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型13.科学记数法表示数的除法 【典例】已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒． 【跟踪专练1】纳米是非常小的长度单位，，把的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，的空间可以放（    ）个的物体（物体之间的空隙忽略不计）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 题型14多项式除以单项式 【典例】计算的正确结果是______． 【跟踪专练1】计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算_________． 【跟踪专练3】若，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型15.整式四则混合运算 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】已知m为非零实数，按如下程序进行计算，则输出的结果（    ） A．随m的变化而变化 B．不变，总是2 C．不变，总是 D．不变，总是4 【跟踪专练2】若，则整式A为_________． 【跟踪专练3】如图是某一工件横截面的形状，由图中所标数据可知，该工件横截面的面积为______． 解答题 1．计算： (1)； (2) 2．计算： (1) (2) 3．计算：． 4．计算与化简 (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：；（用乘法公式计算） (4)先化简，再求值：，其中，． 5．计算 (1) (2) 6．计算：． 7．对于任意四个实数、、、，可以组成两个实数对与，我们规定：，例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 8．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是________．（请选择正确的选项） A．    B． C．    D． (2)用你选的等式进行简便计算： ①； ②． 9．数形结合是数学学习的一种重要思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)已知C是线段上的一点，分别以，为边作正方形和正方形． ①如图，正方形分别位于的两旁，若，两正方形的面积和为20，求阴影部分的面积； ②如图，正方形位于的同旁，若两正方形的面积差为40，求阴影部分的面积； (2)如图，以，为边作正方形和正方形，已知两正方形的边长和为10，边长积为22，求阴影部分面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03乘法公式与整式除法暑假预习讲义 1. 识记：熟记平方差、完全平方和、完全平方差三大乘法公式，掌握同底数幂除法法则、单项式除以单项式、多项式除以单项式的文字与符号运算法则。 2. 辨析：精准识别乘法公式的式子结构，分清平方差与完全平方公式外形差异；区分幂乘、幂除运算规则，避免指数加减混淆。 3. 推导：借助图形面积几何意义推导乘法公式，理解公式由来；能类比整式乘法逆向推导整式除法运算逻辑。 4. 运算：直接套用公式完成基础多项式乘法计算，会对式子简单变形后适配公式；规范完成单项式除法、多项式除以单项式运算，统一处理负号、系数符号问题。 5. 活用：掌握乘法公式逆用、整体代换技巧，能用公式简化大数简便运算；理清整式混合运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内。 6. 化简求值：综合乘法公式、整式除法对代数式化简，再代入数值计算，减少分步运算出错概率。 7. 参数求解：根据乘法公式展开结果、整式除法整除条件，建立方程求出代数式中未知字母参数。 8. 应用建模：利用乘法公式、整式乘除列式表达图形面积、数字规律，解决简单实际应用题型。 9. 避错梳理：规避完全平方漏写2ab项、平方差符号出错、多项式除法漏除常数项、符号变换失误等高频易错点。 10. 思维铺垫：体会代数恒等变形、转化思想，熟练公式正反双向运用，为后续因式分解、分式学习打好核心运算基础。 预习必备 知识梳理 1.平方差公式 2.完全平方公式 3.同底数幂除法 4.单项式除单项式 5.多项式除单项式 6.高频易错点汇总 1.运用平方差公式进行运算 2..平方差公式与几何图形 常考题型 精讲精练 3.运用完全平方公式进行运算 4.完全平方公式变形求值 5.完全平方公式与几何图形 6.求完全平方式中的字母系数 7.整式的混合运算 8.同底数幂的除法运算 9.同底数幂除法的逆用 10.零指数幂 11.幂的混合运算 12.单项式除以单项式 13.科学记数法表示数的除法 14多项式除以单项式 15.整式四则混合运算 强化题型 解答题9题 知识点 1 平方差公式 1.公式形式 (a+b)(a-b)=a2-b2 2.文字描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 3.结构特征 左边：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数； 右边：相同项的平方 减去 相反项的平方。 4.变形拓展 (b+a)(-b+a)=a2-b2 (-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)（逆用：因式分解） 5.用面积法证明公式 6.平方差公式适用条件 知识点 2 完全平方公式 （1）完全平方和 (a+b)2=a2+2ab+b2 数和的平方 = 平方和 + 两倍乘积 （2）完全平方差 (a-b)2=a2-2ab+b2 两数差的平方 = 平方和 − 两倍乘积 统一口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方 重要变形拓展 (a-b)2=(b-a)2 a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab (a+b)2-(a-b)2=4ab 公式的推导过程 公式的几何意义 知识点 3 乘法公式综合易错对比表 公式名称 原式 常见错误写法 正确结果 平方差 (x+3)(x-3) x2-3 x2-9 完全平方和 (x+2)2 x2+4 x2+4x+4 完全平方差 (x-5)2 x2-25 x2-10x+25 知识点 4 同底数幂的除法 1.法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减 am÷an=am−n(a≠0，m、n为正整数，m>n)\) 2.零指数幂规定：a0=1(a≠0) 任何非零数的 0 次幂等于 1；00无意义 3.拓展：多个同底数连除 am an ap=am-n-p 4.底数互为相反数转换 (a-b)5(b-a)2=-(b-a)3 知识点 5 单项式 ÷ 单项式 1.运算步骤： ① 系数相除；② 同底数幂分别相除（指数相减）； ③ 只在被除式含有的字母，连同指数直接保留在结果中。 2.示例： 12x3y4(-3xy2)=-4x2y2 3.注意：除式不能为 0 知识点 6 多项式 ÷ 单项式 法则：多项式里每一项分别除以单项式，再把所得商相加 (ma+mb+mc)m = a+b+c 核心依据：乘法分配律逆用 易错点：多项式每一项都要除，符号同步运算 例：(4x2-6x)(-2x)=-2x+3 知识点 7 全章节高频易错汇总表 错误类型 错误计算 正确计算 错误原因 完全平方漏中间项 (a-4)2=a2-16 a2-8a+16 忘记 2ab 项 平方差漏平方 (x+2)(x-2)=x2-2 x2-4 常数未平方 同底数除法指数相加 x5 x2=x7 x3 除法指数应相减 零次幂判断错误 00=1、30=0 30=1，00无意义 只有非零数 0 次幂为 1 多项式除单项式漏项 (2x2-4x)2x=x2 x-2 常数项也要相除 负号完全平方变号错误 (-x+1)2=-x2+2x-1 x2-2x+1 平方后符号为正 单项式除法丢独有字母 8x2y2x=4x 4xy 被除式独有字母保留 题型1.运用平方差公式进行运算 【典例】计算的结果是____________． 【答案】 【详解】 ． 【跟踪专练1】若，且，则的值是________． 【答案】 【分析】利用平方差公式对因式分解，将整体代入分解后的式子，直接计算求出的值． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴ 【跟踪专练2】计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 【跟踪专练3】下列各式可以用平方差公式进行计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式的结构为，判断两个相乘的二项式是否满足“一项完全相同，另一项互为相反数”，符合条件即可用平方差公式计算． 【详解】解：A选项：原式整理为，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算； B选项：原式整理为，无互为相反的不同项，不符合要求； C选项：原式中既无完全相同的项，也无互为相反数的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； D选项：原式整理为，无互为相反的不同项，不符合要求． 题型2..平方差公式与几何图形 【典例】根据图1到图2的变化过程，可以得到一个整式乘法的恒等式，这个恒等式是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据观察图1和图2，分别表示出它们各自的面积，结合整个过程面积不变，得，即可作答． 【详解】解：依题意，图1的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ∵整个过程面积不变， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】图1为某校六（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示六（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则____________． 【答案】16 【分析】根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【跟踪专练2】在“综合与实践”活动中，同学们利用相关图形中面积的等量关系得到了某些数学公式，借助图形面积探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两个图中阴影部分的面积，根据题意建立等量关系即可． 【详解】解：第一个图阴影部分的面积为：， 第二个图阴影部分的面积为：， 根据题意，第一个图和第二个图阴影部分的面积相等， ∴． 题型3.运用完全平方公式进行运算 【典例】．简便运算_______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，不等于； 选项B：，不等于； 选项C：； 选项D：，不等于． 【跟踪专练1】已知，，则的值为______． 【答案】4 【分析】利用完全平方公式将展开，可发现展开式可由已知两个等式相加得到，直接将已知两式相加计算即可． 【详解】解：， ． 【跟踪专练2】已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过移项配方将已知等式转化为两个平方和的形式，利用平方的非负性求出和的值，再计算即可． 【详解】解： 移项，得 对等式左侧配方，得 ∵任意实数的平方为非负数，两个非负数的和为，则每个非负数均为， ∴，， 解得，， ∴． 题型4.完全平方公式变形求值 【典例】如果，，那么________． 【答案】 【分析】根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【跟踪专练1】已知，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】A 【分析】先求出两个式子的差，再将所求代数式变形为含已知条件的形式，代入计算即可． 【详解】解：设，， 由题意得， ∴， ∵， ∴ 将，代入得，． 【跟踪专练2】利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值2．对于多项式，当__________时，该多项式的最小值是__________． 【答案】 【分析】利用材料的方法将二次三项式化为完全平方式加常数的形式，再根据平方的非负性即可求出取得最小值时的值以及多项式的最小值． 【详解】解：， 由可知，当，即时，多项式取得最小值，最小值为． 【跟踪专练3】若，，则的值是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】先展开，结合已知条件求出的值，再根据代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型5.完全平方公式与几何图形 【典例】嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用张型、张型和张型卡片拼出一个新的图形（如图②）． 根据图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． 【答案】 【详解】解：由图可知． 【跟踪专练1】如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，如果，，那么阴影部分的面积是________． 【答案】11 【分析】首先利用完全平方公式求出，然后根据三角形的面积公式表示出阴影部分的面积，再利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：由图可知， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 【跟踪专练2】“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，这是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学问题中所发挥的重要价值与意义的高度概括，如下图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在图甲中，阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形的面积，再加上一个边长为的正方形的面积， 在图乙中，阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积， ∴等式为． 题型6.求完全平方式中的字母系数 【典例】若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为________． 【答案】8或/或8 【分析】完全平方公式为，根据公式确定一次项系数的两种可能，进而求解． 【详解】解：∵关于的多项式是完全平方式， ∴， 整理得， 故的值为或． 【跟踪专练1】若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是(    ) A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，根据完全平方公式的结构对比系数，即可求出常数的值． 【详解】解：∵能用完全平方公式进行因式分解，完全平方公式为， ∴原式可整理为，展开得， 对比一次项系数可得， 即的值为6或． 【跟踪专练2】如果是一个完全平方式，那么的值为____________． 【答案】 11或 【分析】完全平方公式为，完全平方式有两种不同的形式，将给定多项式和完全平方公式对比即可求出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴该多项式可以写成的形式， ∴， ∴， ∴或 ． 【跟踪专练3】贝贝在学习完全平方公式时，发现是一个完全平方式，则m的值是（     ） A．5或 B．2或 C．5或 D．2或 【答案】C 【分析】根据完全平方式的结构，得到一次项系数满足的关系，列方程求解即可． 【详解】∵是完全平方式，符合的结构，其中，，即， ∴， 分两种情况计算： 当时，解得， 当时，解得， ∴m的值为5或． 题型7.整式的混合运算 【典例】．化简： ______． 【答案】 【分析】根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则去括号，合并同类项化简即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】下列各式中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】通过代数运算和符号分析，逐一验证各选项的正确性． 本题考查了等式的变形，乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. 错误，不符合题意； B. 正确，符合题意； C. 正确，符合题意；     D. 正确，符合题意； 故选：BCD． 【跟踪专练2】若，则代数式的值为______． 【答案】4 【分析】先将原整式化为，根据得到，代入化简结果计算即可． 【详解】解： 将代入得，原式 【跟踪专练3】观察下列几个算式： ③； ④， ．．．．．．，结合你观察到的规律判断 的计算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字规律、整式的混合运算等知识点，找出计算规律是解题的关键． 根据已知的几个算式发现规律，然后运用规律解答即可． 【详解】解：； ②； ③； ④， ．．． 则． 故选B． 题型8.同底数幂的除法运算 【典例】若，，则=__________． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算性质，利用同底数幂除法法则将所求式子变形，再代入已知数值计算即可，用到的知识点是同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【详解】解：已知， ∴ 【跟踪专练1】若等式“”成立，则“”中的运算符号为（     ） A．+ B． C．× D．÷ 【答案】C 【详解】解：当运算符号为时，，不符合等式； 当运算符号为时，，不符合等式； 当运算符号为时，，符合等式； 当运算符号为时， ，不符合等式． 【跟踪专练2】已知二元一次方程，则________． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】单项式除以单项式法则，同底数幂相除底数不变指数相减． 【详解】解：A、，运算正确； B、，运算错误； C、，运算错误； D、，运算错误． 题型9.同底数幂除法的逆用 【典例】已知，，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】已知，，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】先逆用同底数幂除法法则，再利用幂的乘方对所求式子变形，再将已知条件代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 【跟踪专练2】若，， _________． 【答案】 【分析】先求出的值，再根据列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【跟踪专练3】已知，，，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】利用同底数幂乘法与除法的逆用运算将幂的关系转化为指数的关系，再逐一验证各关系式即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即，，则③正确； ∴，则②正确； ∴， ∴，则④正确； ∵，， ∴，即，则①错误； 综上，正确的关系式是②③④． 题型10.零指数幂 【典例】．________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】若无意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【分析】根据零指数幂无意义的条件是底数，求解即可． 【详解】解∶∵无意义， ∴， 即． 【跟踪专练2】若m满足整式不含x的一次项，n满足，则____________． 【答案】4或1 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则进行化简，再令含x的一次项的系数为0，即，求出的值；根据的任何次幂等于、的偶次幂等于、求出的值，即可求解． 【详解】解：， ∵不含x的一次项， ∴， ∴， 当，即时，，符合题意； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，，即时，，符合题意； ∴或， ∴或. 【跟踪专练3】若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方运算，负整数指数幂，零指数幂等知识，根据相关知识分别计算出，，，再比较大小，问题得解． 【详解】解：，，， ∴． 故选：B． 题型11.幂的混合运算 【典例】计算 的结果是___________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的相关运算与合并同类项法则，根据对应运算法则逐个计算选项即可得到正确结果． 【详解】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C不符合题意； ， 选项D符合题意． 【跟踪专练2】计算： ______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键．根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为: ． 【跟踪专练3】已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 题型12.单项式除以单项式 【典例】计算：____________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算：____________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练2】计算：______． 【答案】 【详解】解： 【跟踪专练3】下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方、单项式乘除、同类项合并的相关法则，依次计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：， ，A错误， 选项B：，B错误， 选项C：和不是同类项，无法合并，C错误， 选项D：， ∴原式，D正确． 题型13.科学记数法表示数的除法 【典例】已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案． 【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）． 故答案为：． 【跟踪专练1】纳米是非常小的长度单位，，把的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，的空间可以放（    ）个的物体（物体之间的空隙忽略不计）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，求出1立方米立方纳米，即可求解． 【详解】解：1纳米米， 1立方米立方纳米， 的空间可以放个的物体， 故选：D． 【点睛】本题考查了单位之间的转化，解题的关键是：要掌握纳米与米之间的转化． 【跟踪专练2】2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 【答案】D 【详解】解：由题意得． 题型14多项式除以单项式 【典例】计算的正确结果是______． 【答案】/ 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式 【跟踪专练2】计算_________． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，包括多项式除以单项式、乘方和乘法运算，最后合并同类项．运算时需注意符号和系数处理． 【详解】原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练3】若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式性质，将m变形为多项式除以单项式，按照对应运算法则计算即可得到结果． 【详解】由已知等式可得： ， 多项式除以单项式，需将多项式每一项分别除以单项式，再将所得结果相加， 计算第一项：， 计算第二项：， ． 题型15.整式四则混合运算 【典例】计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的四则运算，原式根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式将括号展开再合并即可得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知m为非零实数，按如下程序进行计算，则输出的结果（    ） A．随m的变化而变化 B．不变，总是2 C．不变，总是 D．不变，总是4 【答案】B 【分析】按照程序逐步对式子进行运算，再判断结果是否随变化． 【详解】解：根据程序，先计算，再除以，最后减． 首先计算，根据整式混合运算法则， 先算括号里的，，所以括号里为：． 然后除以，即：． 再减，得到． 所以无论（为非零实数）取何值，结果都是，不随的变化而变化． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握整式混合运算的顺序和法则，准确计算出结果． 【跟踪专练2】若，则整式A为_________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的计算，熟练掌握整式的计算方法是解题的关键； 将右边 因式分解为 ，再进一步分解为 ，与左边比较，通过等式关系求出 A． 【详解】解：右边： 左边 ： 因此， 两边同时除以 （假设 且 ）， 得 ∴ 故答案为：． 【跟踪专练3】如图是某一工件横截面的形状，由图中所标数据可知，该工件横截面的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查列代数式及整式混合运算，数形结合表示出工件横截面的面积代数式是解决问题的关键． 可将题图补全，变成一个大长方形，则题图中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去两个小长方形的面积，再由整式混合运算法则化简即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 该工件横截面的面积为 ， 故答案为：． 解答题 1．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除法法则，先计算每一项再合并同类项即可得到结果； （2）运用多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则展开原式的两个部分，再合并同类项即可得到计算结果． 【详解】解： 4．计算与化简 (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：；（用乘法公式计算） (4)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3) (4)化简结果为，值为 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ， 把，代入得∶原式． 5．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 7．对于任意四个实数、、、，可以组成两个实数对与，我们规定：，例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）先根据新运算的定义可得，再根据完全平方公式可得，由此即可得； （2）先根据新运算的定义可得，则，再利用完全平方公式变形可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴． （2）解：由题意得： ， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 8．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是________．（请选择正确的选项） A．    B． C．    D． (2)用你选的等式进行简便计算： ①； ②． 【答案】(1)A (2)①20；②4049 【分析】（1）利用平方差公式求解； （2）①利用平方差公式进行计算； ②利用平方差公式进行计算． 【详解】（1）解：上述操作能验证的等式是； （2）解：① ； ② ． 9．数形结合是数学学习的一种重要思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)已知C是线段上的一点，分别以，为边作正方形和正方形． ①如图，正方形分别位于的两旁，若，两正方形的面积和为20，求阴影部分的面积； ②如图，正方形位于的同旁，若两正方形的面积差为40，求阴影部分的面积； (2)如图，以，为边作正方形和正方形，已知两正方形的边长和为10，边长积为22，求阴影部分面积． 【答案】(1)①11；②20 (2)17 【分析】（1）①设，，结合题意得，，再进一步求解即可． ②设，，结合题意得，再结合面积公式求解即可； （2）设，，结合题意得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①设，,由题意，得，． ∴． ∴． ∴， ∴阴影部分面积为． ②设，， 由题意，得． ∵ ∴阴影部分面积为． （2）解：设，， 由题意，得，， ∴． ∴． ∴． ∴阴影部分面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $