专题3.1 椭圆及其标准方程（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题3.1 椭圆及其标准方程（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 椭圆的定义及辨析】 1 【题型2 曲线方程与椭圆】 3 【题型3 椭圆标准方程的求解】 5 【题型4 根据椭圆方程求a、b、c】 7 【题型5 轨迹问题——椭圆】 8 【题型6 椭圆中焦点三角形的周长、面积问题】 11 【题型7 椭圆中焦点三角形的其他问题】 13 【题型8 椭圆中距离的最值问题】 16 【题型9 椭圆中距离的和、差最值问题】 18 知识点1 椭圆的定义 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={}. 【题型1 椭圆的定义及辨析】 【例1】（24-25高二上·内蒙古·期末）如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（   ） A．26 B．10 C．4 D．14 【答案】D 【解题思路】先求出，再根据椭圆的定义计算求解即可. 【解答过程】根据题意可得， 椭圆的长轴长为，根据，得. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二上·广东·期末）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】由椭圆方程求出，利用椭圆的定义式，求得，代入计算即得. 【解答过程】由可得：，则， 因，则，故. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左，右焦点，则（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的定义计算可得. 【解答过程】椭圆，则，又是椭圆上的一点， 所以. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用椭圆的定义，结合余弦定理求解即得. 【解答过程】依题意，，，而，则， 在中，由余弦定理得， 所以. 故选：C. 知识点2 椭圆的标准方程 1．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 2．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【题型2 曲线方程与椭圆】 【例2】（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可 【解答过程】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆 则有： 解得： 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二下·辽宁·开学考试）“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】利用方程表示椭圆求得，可得“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件. 【解答过程】由方程表示椭圆，可得，解得， 因为， 所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知曲线方程，． (1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； (2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据椭圆方程的性质建立关于k的不等式，解出即可； （2）根据椭圆方程的类型，分类讨论确定，根据求解即可. 【解答过程】（1）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得， 即的取值范围为； （2）若方程表示焦距为2的椭圆，则，所以 当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，且 又，得； 当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得 所以， 又，得； 综上，或. 【变式2-3】（2025高二上·全国·专题练习）已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据椭圆的标准方程求解； （2）根据椭圆的标准方程求解； （3）根据椭圆的标准方程求解. 【解答过程】（1）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （2）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （3）依题意，有，解得，且， 故实数m的取值范围是. 【题型3 椭圆标准方程的求解】 【例3】（24-25高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】依据题干信息得出的值即可得椭圆方程. 【解答过程】设椭圆方程为， 则且，得， 故椭圆方程为. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】A 【解题思路】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得. 【解答过程】设椭圆方程为：，因椭圆过点和点， 于是得 ，解得， 所以所求椭圆方程为. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知椭圆的左顶点为，上，下焦点分别为，直线经过且与交于两点，若垂直平分线段，且的周长为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的焦点三角形的周长，可得，即可根据椭圆性质可得，即可求解. 【解答过程】如图，由题可知，设.连接， 因为垂直平分线段，所以， 所以的周长为，可得， 因为，所以，得，从而， 故的方程是. 故选：A. 【变式3-3】（24-25高二上·陕西西安·期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由条件求得，结合勾股定理得，即可得，可得答案. 【解答过程】椭圆的焦距为，则， 由，的面积为，得，即， 又， 所以，即，， 又，则， 则椭圆的标准方程为． 故选：D． 【题型4 根据椭圆方程求a、b、c】 【例4】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解题思路】根据、、的关系可求得的值. 【解答过程】因为椭圆的右焦点坐标为，则，，， 所以，. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二上·浙江·阶段练习）若椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案. 【解答过程】若，则由得（舍去）； 若，则由得. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（    ） A．10 B．49 C．50 D．1201 【答案】D 【解题思路】由条件知椭圆的焦点在轴上，半焦距长，短半轴长，根据的关系，可求. 【解答过程】椭圆C：的一个焦点为，过点， ∴，∴ ，∴. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高二上·河北邯郸·期中）已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（    ） A． B．6 C．12 D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆的焦点位置以及焦距，列式求解，即得答案. 【解答过程】由于焦点在轴上的椭圆的焦距为6， 故， 故选：C. 【题型5 轨迹问题——椭圆】 【例5】（24-25高二上·重庆·阶段练习）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据两点间距离公式可得已知方程的几何意义，结合椭圆的定义可求得轨迹方程. 【解答过程】由两点间距离公式知： 的几何意义是点到与的距离之和为， ， 点轨迹是以为焦点的椭圆，设其长轴长、短轴长、焦距分别为， 则，，，，， 点轨迹方程为：. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二上·重庆·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由一般方程得到圆心和半径，再由几何关系得到点的轨迹是以为焦点的椭圆即可； 【解答过程】    由题意得，圆心，半径， 因为，， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以动点的轨迹方程为， 故选：B. 【变式5-2】（24-25高二上·湖北·期中）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程. 【解答过程】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 由，得圆内含于圆内，设动圆半径为, 依题意，，，则， 因此点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，， 所以M的方程为. 故选：B. 【变式5-3】（24-25高二上·河北唐山·期中）设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C．+ D． 【答案】B 【解题思路】由题意得到，根据椭圆的定义，可得点的轨迹是一条以为焦点的椭圆，即可得到答案. 【解答过程】由题意的周长为，， 所以，所以, 可知点的轨迹是以为焦点，长轴长为除去长轴的两个端点的椭圆， 所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 知识点3 椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，F1,F2为椭圆的焦点，当点M,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 【题型6 椭圆中焦点三角形的周长、面积问题】 【例6】（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【解题思路】结合垂直平分线性质可得的周长与的周长相等，再结合椭圆的定义求的周长即可. 【解答过程】因为为线段的垂直平分线， 根据对称性，，， 所以的周长等于的周长， 利用椭圆的定义得到的周长为 ． 故选：C. 【变式6-1】（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】B 【解题思路】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【解答过程】如图所示，椭圆，可得，则， 因为点在椭圆上，可得， 又由，可得, 联立方程组，可得， 所以的面积为. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【解题思路】由题意，根据椭圆的定义计算直接得出结果. 【解答过程】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为. 故选：C. 【变式6-3】（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】根据焦点三角形面积两种不同表达方式，和，分别得到焦点三角形面积的最大值，建立方程即可求解. 【解答过程】设的内切圆半径为， 则， 所以当取到最大值时，， 又， 所以，即， 因为，所以， 所以， 故选：C. 【题型7 椭圆中焦点三角形的其他问题】 【例7】（24-25高三上·重庆南岸·阶段练习）椭圆的焦点为、，若点在上且满足，则中最大角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用椭圆的定义结合已知条件可求得中的最长边的长，利用余弦定理可求得结果. 【解答过程】在椭圆中，，，则， 由已知可得，所以，，，， 所以，，故在中，最大， 由余弦定理可得， ，故， 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二上·上海青浦·期末）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解题思路】分别讨论为腰或者底的情况. 【解答过程】①当等腰的底时，可知P点为椭圆上下顶点时，2个点，满足题意； ②当等腰的腰时，分别以为圆心，以长为半径画弧，交椭圆于4个点； 综上所述，共6个点满足题意. 故选：C. 【变式7-2】（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，的三个顶点均在上，分别落在线段上且轴，若，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出图象，由题意可知，从而可得，在和中，分别求得，从而可得，即有， ，过作于， 可得，为中点，即可得解. 【解答过程】如图所示： 由题意可知， 设椭圆的半长轴为， 则， 在中，， 在中， ， 所以 ， 整理得：，即 解得：或， 当时，，不满足题意，故舍去； 当时，，满足题意，且， 过作于， 则， 所以, 所以， 故为中点， 所以. 故选：D. 【变式7-3】（2025·北京·模拟预测）已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】在中，利用余弦定理求得，再由求解. 【解答过程】解：因为椭圆的离心率为，长轴长为4， 所以， 在中，由余弦定理得：， ， 解得 ， 所以 ， ， 解得， 故选：D. 【题型8 椭圆中距离的最值问题】 【例8】（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【解题思路】根据椭圆方程及其性质，即可得点到左焦点的距离最小值. 【解答过程】由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为. 故选：D. 【变式8-1】（24-25高二上·河南开封·期中）椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】设，结合点在椭圆上利用两点距离公式得，根据二次函数性质求解最值即可. 【解答过程】设点P的坐标为，其中，由，可得， 又由， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：B. 【变式8-2】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．16 D．25 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当时，取到最大值. 故选：D. 【变式8-3】（2025·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可. 【解答过程】解：设圆的圆心为，则， 设，则， 所以 ，当且仅当时取得最大值， 所以． 故选：B． 【题型9 椭圆中距离的和、差最值问题】 【例9】（24-25高二上·河北·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据椭圆的定义，将转化为，当三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【解答过程】由题意，椭圆的左焦点为， 由椭圆定义可得，所以， 因为,故在椭圆内， 所以， 当三点共线时，等号成立. 故选：B. 【变式9-1】（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，，利用椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求出的最大值. 【解答过程】如图,    由，得，，则， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点，且为射线与圆的交点且、方向相同时， 上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最大值为. 故选：B. 【变式9-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，点，点. (1)求点P的轨迹方程； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)5 【解题思路】（1）设，根据斜率之积列方程，化简即可得到结果. （2）确定椭圆的左右焦点，根据椭圆的定义转化即可得到最大值. 【解答过程】（1）设，则，， 由得，整理得. 故点P的轨迹方程为. （2）由（1）知点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为. ∵，∴点Q在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当三点共线（在线段上）时取等号，所以的最大值为5. 【变式9-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 【解题思路】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值； (2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案． 【解答过程】（1）由椭圆可知，，， 则，，    则，当且仅当、、三点共线时成立， 所以， 所以的最大值与最小值分别为和； （2），，， 设是椭圆上任一点，由，， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 由， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 故的最大值与最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 椭圆及其标准方程（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 椭圆的定义及辨析】 1 【题型2 曲线方程与椭圆】 2 【题型3 椭圆标准方程的求解】 3 【题型4 根据椭圆方程求a、b、c】 4 【题型5 轨迹问题——椭圆】 4 【题型6 椭圆中焦点三角形的周长、面积问题】 5 【题型7 椭圆中焦点三角形的其他问题】 6 【题型8 椭圆中距离的最值问题】 7 【题型9 椭圆中距离的和、差最值问题】 7 知识点1 椭圆的定义 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={}. 【题型1 椭圆的定义及辨析】 【例1】（24-25高二上·内蒙古·期末）如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（   ） A．26 B．10 C．4 D．14 【变式1-1】（24-25高二上·广东·期末）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左，右焦点，则（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式1-3】（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（    ） A． B． C． D． 知识点2 椭圆的标准方程 1．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 2．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【题型2 曲线方程与椭圆】 【例2】（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·辽宁·开学考试）“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知曲线方程，． (1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； (2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值． 【变式2-3】（2025高二上·全国·专题练习）已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 【题型3 椭圆标准方程的求解】 【例3】（24-25高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ） A． B．或 C． D．以上都不对 【变式3-2】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知椭圆的左顶点为，上，下焦点分别为，直线经过且与交于两点，若垂直平分线段，且的周长为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·陕西西安·期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【题型4 根据椭圆方程求a、b、c】 【例4】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4-1】（24-25高二上·浙江·阶段练习）若椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则（    ） A． B． C． D．或 【变式4-2】（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（    ） A．10 B．49 C．50 D．1201 【变式4-3】（24-25高二上·河北邯郸·期中）已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（    ） A． B．6 C．12 D． 【题型5 轨迹问题——椭圆】 【例5】（24-25高二上·重庆·阶段练习）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·重庆·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·湖北·期中）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·河北唐山·期中）设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C．+ D． 知识点3 椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，F1,F2为椭圆的焦点，当点M,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 【题型6 椭圆中焦点三角形的周长、面积问题】 【例6】（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式6-1】（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 【变式6-2】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【变式6-3】（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【题型7 椭圆中焦点三角形的其他问题】 【例7】（24-25高三上·重庆南岸·阶段练习）椭圆的焦点为、，若点在上且满足，则中最大角为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·上海青浦·期末）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式7-2】（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，的三个顶点均在上，分别落在线段上且轴，若，则（     ）. A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·北京·模拟预测）已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（    ） A． B． C． D． 【题型8 椭圆中距离的最值问题】 【例8】（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 【变式8-1】（24-25高二上·河南开封·期中）椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式8-2】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．16 D．25 【变式8-3】（2025·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 【题型9 椭圆中距离的和、差最值问题】 【例9】（24-25高二上·河北·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，点，点. (1)求点P的轨迹方程； (2)求的最大值． 【变式9-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$