精品解析： 2022年陕西省初中学业水平考试中考信息卷 数学

2022年陕西省初中学业水平考试・中考信息卷数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，为无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数”逐个判断即可，是无理数． 【详解】，，是有理数；是无理数． 2. 如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边的1列最高有1行，中间的1列最高有1行，右边的1列最高有2行，结合四个选项选出答案． 【详解】解：从正面看去，一共三列，左边的1列最高有1行，中间的1列最高有1行，右边的1列最高有2行，故主视图是： 故选． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力． 3. 如图所示，直线被直线所截，若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是求出的度数． 根据平行线的性质得到，根据平角的定义即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， 故选：C． 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：原式 ． 5. 如图，在中，，垂直平分，分别交于点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：垂直平分 ， 在中，． 6. 一次函数的图象，可由正比例函数的图象（ ） A. 向左平移1个单位长度而得到 B. 向右平移2个单位长度而得到 C. 向上平移1个单位长度而得到 D. 向下平移2个单位长度而得到 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的规律：“左加右减，上加下减”即可判断. 【详解】解：正比例函数的图象向上平移2个单位后所得直线的解析式为：， 或正比例函数的图象向左平移1个单位后所得直线的解析式为：． 故选项A符合题意． 7. 如图，在中，，，对角线，相交于点，且，，，分别是，，，的中点，，则四边形的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先由平行四边形性质得平行四边形各边长，再由三角形中位线定理得出四边形各边长分别为平行四边形各边的一半，最后求和即可得出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ，，，分别是，，，的中点， ，，，， 四边形的周长． 8. 已知二次函数（m是常数），若自变量x取任意实数，函数值y始终为正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线与x轴交点个数由的符号确定，当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点，据此可进行判断，从而求出m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵当x取任意实数时，都有， ∴，则， 解得：． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，由可得，进而可得，即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在正六边形ABCDEF中，AC与FB相交于点G，则∠AGB=_______°． 【答案】120 【解析】 【分析】由正六边形的性质得出AB=BC=AF，∠ABC=∠BAF=120°，由等腰三角形的性质得出∠ABF=∠BAC=∠BCA=30°，再利用三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB=BC=AF，∠ABC=∠BAF=120°， ∴∠ABF=∠BAC=∠BCA=30°， ∴∠AGB=180°-30°-30°=120°， 故答案为：120． 【点睛】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 11. 根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程是解决问题的关键．由题意可知物体回落到地面，也就离地面的高度为0，建立方程，求得答案即可． 【详解】解：由题意知 ：，解得：（舍）或， 答：物体经过秒回落地面， 故答案为：． 12. 如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义，可得，从而得到，再将点P（a，4）代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴， ∴， ∵△OAB的面积为6． ∴，即， ∴反比例函数的解析式为， ∵点P（a，4）也在此函数的图象上， ∴，解得：． 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的几何意义，反比例函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 13. 如图，在矩形中，，，连接，点、分别在、上，，若把的面积平分，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，根据把的面积平分，则，即可求出，再证明，根据相似三角形对应边成比例求出，进而可得，再由勾股定理求出的长． 【详解】解：过点作于点， 在矩形中，，， ，， ， 把的面积平分， ，即， ， ，， ， ， ， ， ． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式化成最简二次根式、乘方的运算法则，再按混合运算的顺序计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，然后将代入计算即可． 【详解】解：， ， ； 将代入原式可得：． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点．熟练掌握完全平方公式和单项式乘多项式法则是解答本题的关键． 16. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】分别将每个一元一次不等式求解，然后求出公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等②得： 所以原不等式组的解集为： 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，根据相关要求分步计算是重点． 17. 如图，是的外角，请用尺规作图法在内部求作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【解析】 【分析】以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与、交于点、，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于一点，连接点与两弧的交点并延长，即为所求射线． 【详解】解：∵是的外角， ， ， ， 是的平分线． 如图，作的平分线，射线即为所求． 18. 如图，在四边形中，，是的中点，连接，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 是的中点， ， ， ． 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，，根据等边对等角得出，则，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证. 【详解】略 19. 数学家斐波那契编写的《算经》中有这样一个问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数． 【答案】第一次分钱的人数为2人 【解析】 【分析】设第一次分钱的人数为x人，由题意：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设第一次分钱的人数为x人． 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验是原分式方程的解，且符合题意． 答：第一次分钱的人数为2人． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 20. 亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． （1）若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； （2）利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜，即可求解； （2）转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5，根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜， 胡胡所得数字为5的概率为， 即胡胡获胜的概率为； 【小问2详解】 解：转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5， 画树状图如下： 由图可得，共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种， ∴亮亮获胜的概率为． 21. 某数学兴趣小组开展实践活动，测量某公园一座亭子的高度，在亭子的正前方有一斜坡，坡角，斜坡的顶端与亭子底端的距离米，小组成员在斜坡的点处测得亭子顶端的仰角，米，已知，，所有点在同一平面内，求亭子的高度．（结果保留根号） 【答案】亭子的高度是米． 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，过点作于点，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值，求出，，，即可求出． 【详解】解：延长交的延长线于点，过点作于点， 由题可知，四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， ，， ，， 在中，， ， ， 亭子的高度是米． 22. 习总书记指出，“生态文明建设是关系中华民族永续发展的根本大计”“建设生态文明，关系人民福祉，关乎民族未来”．为全面贯彻可持续发展理念、践行“两山”理论、聚焦“双碳”目标、建设美丽中国，某校举行生态环境保护竞赛活动．竞赛试题一共有8道题，竞赛后发现所有参赛学生至少答对5道题，随机抽取部分学生的试题，对学生答对的题数量进行统计，并得到如下不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）求所抽取学生试题答对题数量的中位数、众数与平均数； （3）若参赛学生共有400人，请估计全部答对的学生有多少人？ 【答案】（1） （2）中位数是6道，众数是6道，平均数是6.3道． （3）估计全部答对的学生有40人． 【解析】 【分析】（1）求出答对8道题的人数，补全条形统计图即可； （2）根据中位数、众数与平均数的定义求解即可； （3）用总人数乘以全部答对的学生所占的比例即可得出答案． 【小问1详解】 解：这次调查一共抽查学生（名）， 答对8题的有（名）． 【小问2详解】 解：中位数是第10和11个数据的平均数，分别是6道，6道， 所抽取学生试题答对题数量的中位数是道， 出现次数最多的是6道， 所抽取学生试题答对题数量的众数是6道， （道）， 所抽取学生试题答对题数量的平均数是6.3道． 【小问3详解】 解：（人）， 估计全部答对的学生有40人． 23. 在坐拥唐大慈恩寺、大雁塔、大唐不夜城、大唐芙蓉园、春晓园的西安唐文化资源聚集区内，沉浸式唐风市井生活街区“长安十二时辰”惊艳亮相．在外地的小华一家周末自驾游来“长安十二时辰”打卡，汽车开始以一定的速度行驶，一段时间后改变速度，以改变后的速度匀速行驶直到目的地，汽车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示（不完整）．请根据图象解答下列问题： （1）求段的函数表达式； （2）小华一家从开始出发到到达目的地一共用时多长时间？ 【答案】（1） （2）小华一家从开始出发到到达目的地一共用时小时． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，求解即可； （2）把代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：设段的函数表达式， 过点，， ，解得， 段的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， 解得， 小华一家从开始出发到到达目的地一共用时小时． 24. 如图，是的内接三角形，过点作的切线，过点作垂直于交于点，连接并延长交于点． （1）求证：与互余； （2）若，求半径的长． 【答案】（1）证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， 三点共线． 为的切线， ，即， ． ， ， 与互余． （2） 【解析】 【分析】（1）根据为的直径，可得，可得到三点共线，再结合切线的性质可得，即可求证； （2）根据，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 半径的长为． 25. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上且横坐标为6． （1）求点的坐标； （2）点在抛物线上且与点关于对称轴对称，连接，在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在点，使得点满足要求，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】将代入，即可得点的坐标，将代入，即可得点的坐标； 由点的坐标，可得的面积与抛物线的对称轴，从而得的面积及D点坐标，得，再根据的面积即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：令，则， 解得或 ， 点的横坐标为6， 当时， ； 【小问2详解】 解：如图， ，抛物线的对称轴为， 点在抛物线上且与点关于对称轴对称，，对称轴为， ，点到轴的距离为 ， ， ，即， 当点在上方时，，即， 解得或， ， 当点在下方时，，即 ， 综上，存在点，使得点满足要求，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，二次函数中的面积问题，会运用分类讨论的思想解决数学问题，由坐标表示线段长度时，要考虑加绝对值符号． 26. 问题提出 （1）如图1，已知直线上一点和，请用直尺在上作一点，使得线段的长度最大，不用写出作法； 问题探究 （2）如图2，在四边形中，连接，，，，点是的中点，连接，求线段长度的最大值； 问题解决 （3）如图3所示，有一块由线段、、、围成的绿地，米，，米，，所对的圆心角为，点是上一点．现管理员要沿线段装上彩灯，为使美观且效果达到最佳，要求线段的长度最大，试求的最大值（结果保留根号） 【答案】（1）点如图所示； （2）3 （3）最大值为米 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，由三角形三边关系可得，即为最长的线段； （2）作线段的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据中位线的性质得，当、、三点在一条直线上时，的长最大； （3）连接，过的中点作交于点，在上找一点，使得，过点作于点，易得四边形是矩形，设点是上一点，连接、、，连接并延长交于点，由，得当点、、在一条直线上时，的长最大，即的最大值为，再解直角三角形求． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：作线段的中点，连接、， ， ∴在中，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 当、、三点在一条直线上时，的长最大， ； 【小问3详解】 解：连接，过的中点作交于点，在上找一点，使得， 则点为所在圆的圆心，，， 设点是上一点，连接、、，连接并延长交于点， ， 当点、、在一条直线上时，的长最大，即的最大值为， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， 在中，，， 过点作于点，易得四边形是矩形， ，， ∵在中，，， ， ， ∴在中，， ． 的最大值为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年陕西省初中学业水平考试・中考信息卷数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，为无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，直线被直线所截，若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，垂直平分，分别交于点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 6. 一次函数的图象，可由正比例函数的图象（ ） A. 向左平移1个单位长度而得到 B. 向右平移2个单位长度而得到 C. 向上平移1个单位长度而得到 D. 向下平移2个单位长度而得到 7. 如图，在中，，，对角线，相交于点，且，，，分别是，，，的中点，，则四边形的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 8 8. 已知二次函数（m是常数），若自变量x取任意实数，函数值y始终为正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小：_____（填“”“”或“”）． 10. 如图，在正六边形ABCDEF中，AC与FB相交于点G，则∠AGB=_______°． 11. 根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面． 12. 如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a＝_____． 13. 如图，在矩形中，，，连接，点、分别在、上，，若把的面积平分，则的长为___________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 解不等式组 17. 如图，是的外角，请用尺规作图法在内部求作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在四边形中，，是的中点，连接，．求证：． 19. 数学家斐波那契编写的《算经》中有这样一个问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数． 20. 亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． （1）若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； （2）利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 21. 某数学兴趣小组开展实践活动，测量某公园一座亭子的高度，在亭子的正前方有一斜坡，坡角，斜坡的顶端与亭子底端的距离米，小组成员在斜坡的点处测得亭子顶端的仰角，米，已知，，所有点在同一平面内，求亭子的高度．（结果保留根号） 22. 习总书记指出，“生态文明建设是关系中华民族永续发展的根本大计”“建设生态文明，关系人民福祉，关乎民族未来”．为全面贯彻可持续发展理念、践行“两山”理论、聚焦“双碳”目标、建设美丽中国，某校举行生态环境保护竞赛活动．竞赛试题一共有8道题，竞赛后发现所有参赛学生至少答对5道题，随机抽取部分学生的试题，对学生答对的题数量进行统计，并得到如下不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）求所抽取学生试题答对题数量的中位数、众数与平均数； （3）若参赛学生共有400人，请估计全部答对的学生有多少人？ 23. 在坐拥唐大慈恩寺、大雁塔、大唐不夜城、大唐芙蓉园、春晓园的西安唐文化资源聚集区内，沉浸式唐风市井生活街区“长安十二时辰”惊艳亮相．在外地的小华一家周末自驾游来“长安十二时辰”打卡，汽车开始以一定的速度行驶，一段时间后改变速度，以改变后的速度匀速行驶直到目的地，汽车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示（不完整）．请根据图象解答下列问题： （1）求段的函数表达式； （2）小华一家从开始出发到到达目的地一共用时多长时间？ 24. 如图，是的内接三角形，过点作的切线，过点作垂直于交于点，连接并延长交于点． （1）求证：与互余； （2）若，求半径的长． 25. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上且横坐标为6． （1）求点的坐标； （2）点在抛物线上且与点关于对称轴对称，连接，在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 26. 问题提出 （1）如图1，已知直线上一点和，请用直尺在上作一点，使得线段的长度最大，不用写出作法； 问题探究 （2）如图2，在四边形中，连接，，，，点是的中点，连接，求线段长度的最大值； 问题解决 （3）如图3所示，有一块由线段、、、围成的绿地，米，，米，，所对的圆心角为，点是上一点．现管理员要沿线段装上彩灯，为使美观且效果达到最佳，要求线段的长度最大，试求的最大值（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $