2.1 认识一元二次方程 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的解及其估算，通过复习方程的解、一般形式、近似数及方程特点导入，衔接旧知与新知，为学生搭建从已有知识到新知探究的学习支架。 其亮点是以幼儿园地毯铺设、梯子滑动等现实情境为载体，引导学生结合实际意义确定解的范围，通过表格逐步逼近估算，体现数学眼光观察现实、数学思维分析问题。小结明确解的定义和四步估算步骤，帮助学生形成结构化认知，既培养学生的探究能力和估算技能，也为教师提供清晰的教学路径。

2.1 认识一元二次方程 北师版九年级上册 第二章 一元二次方程 第2课时 一元二次方程的解及其估算 1 1. 使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的______. 一元二次方程 (x+1)2 - x = 3(x2-2) 化成一般形式是 __________________. 3. 近似数 2.36 ≈ _______（精确到十分位）. 解 2x2 – x - 7 = 0 2.4 复习导入 4. 一元二次方程有哪些特点？ （1）只含有一个未知数； （2）未知数的最高次项系数是 2； （3）整式方程. 5. 一元二次方程的一般形式是什么？ ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0） 复习导入 幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同。 8 m 5 m (8－2x)(5－2x) = 18 你能设法估计四周未铺地毯的条形区域的宽度 x(单位：m) 吗？ 探究新知 8 m 5 m (8－2x)(5－2x) = 18 （1）x 可能小于 0 吗？说说你的理由 x 不可能小于 0 ，因为宽度不能为负. x 可能大于 4 吗？ x 不可能大于 4 ， (8-2x)表示地毯的长， 所以有 8-2x > 0，x < 4。 8 m 5 m x 可能大于 2.5 吗？ x 不可能大于 2.5 ， (5-2x) 表示地毯的宽， 所以有 5-2x > 0，x < 2.5。 （2）你能确定 x 的大致范围吗？ 0 < x < 2.5 (8－2x)(5－2x) = 18 （3）填写下表： x 0.5 1 1.5 2 (8-2x)(5-2x) 28 18 10 4 （4）你知道所求宽度 x(单位：m) 是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流. 所求宽度为 x = 1 m. (8－2x)(5－2x) = 18 使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的______。 解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解，或叫作一元二次方程的根 算一算：下面哪些数是方程x2-x-6=0的解？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 一元二次方程可能不止一个解 (8－2x)(5－2x) = 18 所求宽度为 x = 1 m. 72＋(x＋6)2 ＝ 102 化为一般形式 如图，一架长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为 8 m。如果梯子顶端下滑 1 m，那么梯子底端滑动多少米？ 尝试·思考 10 m 8 m x2 ＋12 x －15 ＝ 0 x2 ＋12 x －15 ＝ 0 （2）底端滑动的距离可能是 2 m 吗？可能是 3 m 吗？为什么？ 不可能是 2 ，因为 x = 2 时，方程左边不等于 0. 不可能是 3 ，因为 x = 3 时，方程左边不等于 0. （3）你能猜出滑动距离 x(单位：m) 的大致范围吗？ （4）x 的整数部分是几？十分位是几？ （1）小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗？为什么？ 不正确，因为 x = 1时，方程左边不等于 0 x2 ＋12 x －15 ＝ 0 填写下表你能发现 x 的大致范围吗？ x 0 0.5 1 1.5 2 x2 + 12x - 15 -15 -8.75 -2 5.25 13 通过观察发现，若想使代数式的值为 0，那么 x 的取值应在 1 和 1.5 之间。 所以 1 < x < 1.5 思考·交流 x2 ＋12 x －15 ＝ 0 进一步计算： x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2 + 12x - 15 -0.59 0.84 2.29 3.76 所以 1.1＜x＜1.2 因此 x 的整数部分是 1，十分位是 1。 （1）你明白小亮估算一元二次方程的解的想法吗？与同伴进行交流。 ①根据实际情况确定出解的适当范围； ②根据题意的具体情况再次确定大致范围； ③列出未知数的取值和方程的值的表格进行再次确定； ④通过对 x 的取值进行逼近，使得 ax2 + bx + c 的值无限接近于 0，逐步获得未知数的最小取值范围或具体数据。 （2）如果要把 x 的小数部分精确到百分位，应该怎么做呢？说说你的想法。 x 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 x2 + 12x - 15 -0.45 -0.31 -0.16 -0.02 0.12 0.27 1.14＜x＜1.15 x ≈ 1.4 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解，或叫作一元二次方程的根。 一元二次方程可能不止一个解 课堂小结 (8－2x)(5－2x) = 18 x = 1 一元二次方程解的估算步骤： ①根据实际情况确定出解的适当范围； ②根据题意的具体情况再次确定大致范围； ③列出未知数的取值和方程的值的表格进行再次确定； ④通过对 x 的取值进行逼近，使得 ax2 + bx + c 的值无限接近于 0，逐步获得未知数的最小取值范围或具体数据。 1. 若一元二次方程有一个根是x＝0，则这个方程可以是 （　D　） A. (x＋1)(x＋2)＝0 B. x2－2x＋1＝0 C. x2－1＝0 D. x2＋x＝0 D —— 课堂练习 —— A层基础练 2. 若方程x2－3x＋k＝0的一个根为x＝1，则常数k的值为 （　A　） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 A A层基础练 3. 观察表格可知，关于x的方程ax2＋bx＝6的一个解是 （　B　） x … －3 －2 －1 0 … ax2＋bx … 12 6 2 0 … A. x＝－3 B. x＝－2 C. x＝－1 D. x＝0 B A层基础练 4. 在估算一元二次方程2x2＋4x－8＝0的根时，小明列表如 下： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2x2＋4x－8 －2 －1.18 －0.32 0.58 1.52 由此可知，一元二次方程2x2＋4x－8＝0的一个根x的大致范 围是（　C　） A. 1＜x＜1.1 B. 1.1＜x＜1.2 C. 1.2＜x＜1.3 D. 1.3＜x＜1.4 C A层基础练 5. 小颖在探索一元二次方程x2＋x－4＝0的近似解时作了如下 表格。观察表中数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分 是（　B　） x 0 1 2 3 x2＋x－4 －4 －2 2 8 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 B A层基础练 6. 在探究一元二次方程x2＋12x－15＝0的近似解时，小明所 在的小组采用了赋值法，计算结果如下表： x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2＋12x－15 －0.59 0.84 2.29 3.76 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解。这个近似解的 十分位是 ⁠。 1　 7. 已知方程5x2＋mx－6＝0的一个解是x＝3，则m的值 为 ⁠。 －13　 A层基础练 8. 若关于x的一元二次方程（k－2）x2＋3x＋k2＝4有一个根 为0，则k的值为（　A　） A. －2 B. 2 C. 2或－2 D. 4或－2 A B层 提升练 9. 已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若a－b＋c＝0，则该 方程一定有一个根为（　B　） A. 0 B. －1 C. 2 D. 1 B B层 提升练 10. 若t是方程2x2－x－9＝0的一个根，则(t－1)(2t＋1) 的值为 ⁠。 8　 B层 提升练 11. 某学校为改善校园环境，计划在一块长80 m、宽60 m的长 方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2，四周为宽度相等的人行走道（如图所示）。若设人行走道 宽为x m。 （1）网球场的长为 m，宽为 m， 可列出相应的方程为 （化成一般形式）； （80－2x）　 （60－2x） x2－70x＋325＝0　 （2）x的值可能小于0吗？说说你的理由； 解：（2）∵x为人行走道的宽度，不能为负数， ∴x的值不能小于0。 B层 提升练 11. 某学校为改善校园环境，计划在一块长80 m、宽60 m的长 方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2，四周为宽度相等的人行走道（如图所示）。若设人行走道 宽为x m。 （3）x的值可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由； 解：（3）当x＞40时，网球场的长为80－2x＜0， 不符合实际，∴x的值不能大于40。 当x＞30时，网球场的宽为60－2x＜0，不符合实际， ∴x的值不能大于30。 解：（3）当x＞40时，网球场的长为80－2x＜0， 不符合实际，∴x的值不能大于40。 当x＞30时，网球场的宽为60－2x＜0， 不符合实际，∴x的值不能大于30。 B层 提升练 11. 某学校为改善校园环境，计划在一块长80 m、宽60 m的长方形 场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2，四周 为宽度相等的人行走道（如图所示）。若设人行走道宽为x m。 （4）你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程。 解：（4）由（2）（3）可知0＜x＜30。 列表如下： x … 3 4 5 6 … x2－70x＋325 … 124 61 0 －59 … 显然，当x＝5时，x2－70x＋325＝0。 ∴人行走道的宽是5 m。 解：（4）由（2）（3）可知0＜x＜30。 列表如下： 显然，当x＝5时，x2－70x＋325＝0。 ∴人行走道的宽是5 m。 B层 提升练 12. 已知a为方程x2＋x－9＝0的根，则a3－10a＋2 031的值 为 ⁠。 2 022　 C层 拓展练 $