专题03 全等三角形(暑假预习讲义) -2026-2027学年人教版八年级数学上册.

专题03 全等三角形 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.全等三角形基础 定义：能够完全重合的图形、三角形；平移、旋转、翻折后图形全等 书写规范：全等符号≌，对应顶点必须按顺序书写 核心性质：对应边、对应角相等；周长、面积、对应高、中线、角平分线均相等 2.三角形全等判定 SSS（边边边）：三边对应相等，两三角形全等 SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等，两三角形全等 ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等，两三角形全等 AAS（角角边）：两角及其中一角对边对应相等，两三角形全等 HL（斜边、直角边）：仅限直角三角形，斜边+一条直角边对应相等，两三角形全等 3.角平分线 尺规作图：可作已知角的平分线，原理为SSS全等 性质定理：角平分线上的点，到角两边的垂线段距离相等 判定定理：角内部，到角两边垂距相等的点，在角平分线上 核心前提：角平分线的距离特指垂线段长度，无垂直条件不成立 ✺学习目标 1.理解全等形、全等三角形的概念，明确图形平移、旋转、翻折后形状和大小不变、依然全等；掌握全等三角形的规范书写形式，能准确找准对应顶点、对应边与对应角。 2.熟练掌握全等三角形的核心性质，能利用“对应边相等、对应角相等”，完成线段长度、角度的基础计算与简单几何推理。 3.熟记SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种三角形全等判定定理，清晰区分各定理的适用条件，能结合题干已知条件，合理选择定理证明三角形全等。 4.掌握角平分线的尺规作图方法及作图原理，熟练运用角平分线的性质定理和判定定理，解决线段相等证明、几何计算等基础题型。 5.掌握几何证明的标准书写格式，理清几何推理逻辑，能独立完成基础的三角形全等证明习题，养成严谨的解题思维。 ✺题型归纳 题型1.图形的全等 题型2.全等三角形的概念 题型3.全等三角形的性质 题型4.用SAS证明三角形全等 题型5.用SAS间接证明三角形全等 题型6.全等的性质和SAS综合 题型7.用ASA（AAS）证明三角形全等 题型8.全等的性质和ASA（AAS）综合 题型9.用SSS证明三角形全等 题型10.用SSS间接证明三角形全等 题型11.全等的性质和SSS综合 题型12.用HL证全等 题型13.全等的性质和HL综合 题型14.添加条件使三角形全等 题型15.灵活选用判定方法证全等 题型16.结合尺规作图的全等问题 题型17.倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 题型18.旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 题型19.垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 题型20.其他模型（全等三角形的辅助线问题） 题型21.证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 题型22.全等三角形综合问题 题型23.尺规作一个角等于已知角 题型24.过直线外一点作已知直线的平行线 题型25.尺规作图——作三角形 题型26.利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型27.作角平分线(尺规作图) 题型28.角平分线的性质定理 题型29.角平分线的判定定理 题型30.角平分线性质的实际应用 题型31.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、全等三角形基础概念 1.全等形：能够完全重合的两个图形，形状、大小完全相同； 图形经过平移、旋转、翻折变换后，所得图形与原图形全等。 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形，即为全等三角形。 3.对应元素：两个全等三角形重合时，重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。 4.书写规则：全等符号为“≌”，书写全等三角形时，必须将对应顶点按顺序书写，保证对应关系准确。 知识点二、全等三角形的性质 1.核心性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，是几何推理与计算的核心依据。 2.延伸性质：全等三角形的周长相等、面积相等，对应边上的高、对应边上的中线、对应角的角平分线也全部相等。 知识点三、三角形全等的判定定理 1.SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 2.SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 3.ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（必须为两角公共夹边）。 4.AAS（角角边）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 5.HL（斜边、直角边）：专属直角三角形判定定理，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 知识点四、角平分线 1.角平分线的定义、性质 2.角平分线的判定：（1）在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；（2）平分角且射线上一点到角两边距离相等的射线，是这个角的平分线。（如下图） 几何语言：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN. ∴P在∠AOB的角平分线上.∴OP为∠AOB的角平分线. 3.角平分线的作法： ✺题型精讲 题型1.图形的全等 1．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义等知识点，掌握全等三角形的概念是解题的关键． 根据全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 2．已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形全等的定义，根据题意画出图形，得出答案即可． 【详解】解：如图，可以画、、与全等，因此这样的三角形最多可以画3个． 故答案为：3． 3．如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的有关概念，关键是掌握全等三角形的对应顶点，对应边，对应角的定义．由全等三角形的对应顶点，对应边、对应角的定义，即可得到答案． 【详解】解：对应顶点是点C和点C、点B和点D，对应边是和和和，对应角是和和和． 题型2.全等三角形的概念 1．如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据点C和点B是对应顶点，可得A和D是对应顶点，据此可得答案． 【详解】解：∵，点C和点B是对应顶点， ∴边的对应边是， 故选：B． 2．如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 3．如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．    【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的概念，正确的确定对应边和对应角即可． 【详解】解：∵， ∴的对应边是，的对应边是，的对应边是， 的对应角是，的对应角是，的对应角是． 【点睛】本题考查全等三角形的概念．熟练掌握全等三角形对应边和对应角的概念，是解题的关键． 题型3.全等三角形的性质 1．如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】先得出，进而可得，再求出，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ． 3．如图，，点在边上，与交于点．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】利用全等三角形等角减去公共角得到两角相等，结合已知总角与中间角求出两角之和，平分后算出目标角度． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即 由图可知，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 题型4.用SAS证明三角形全等 1．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定在一起，将两根木棒、端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得，之间的距离即内径的长度．判定图中三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点的定义可得两组对应边相等，结合对顶角相等，利用“边角边”即可判定三角形全等． 【详解】解：是，的中点 ， 在和中 判定依据是． 2．如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：当时， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴可添加． 3．如图，在和中，，，．请判断和是否全等？为什么？ 【答案】解：和全等，理由如下， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由，则，所以，然后通过“”即可证明． 【详解】略． 题型5.用SAS间接证明三角形全等 1．下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是. 【详解】证明：， ， ∵， ∴， 又， ， 故选：D 2．如图，中，点D在边上，点E在边上，且，，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造，然后得到，，再根据等角对等边得到是解题的关键． 【详解】延长到点F，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，是等边三角形，D为延长线上一点，，且．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，解决此题的关键是熟练掌握的判定方法；根据等边三角形得到两边相等，根据平行得到两角相等，进而即可解决问题； 【详解】略 题型6.全等的性质和SAS综合 1．如图，在中，，为边上的中线，延长到点，使，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中线和已知条件，利用证明，推出，根据三角形内角和定理和等量代换即可求出度数． 【详解】解：为边上的中线， ． ，， （）， ． ， ， ． 2．如图所示，，，，，，则__________． 【答案】/度 【分析】证明，得到，利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ． 3．如图，点、、、在同一条直线上，，，求证：． 【答案】证明：∵， ． ， ， 即． 在和中， ， ． 【详解】略． 题型7.用ASA（AAS）证明三角形全等 1．如图，太阳光线和是平行的，同一时刻两根木杆、的影子一样长，由全等图形的性质可得两根木杆的高度也相同，则判定的合理依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，且，即可得通过使得． 【详解】解：由题意得 ， ， 又， 在和中 2．如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 【答案】 【分析】要配一块与原来一样的三角形模具，即要构造一个与原三角形全等的三角形，需根据全等三角形的判定定理寻找包含足够条件的碎片． 【详解】第块只保留了一个角和部分边，无法确定三角形的形状和大小； 第块不包含完整的边和角，无法确定三角形的形状和大小； 第块保留了两个角和这两个角的夹边，根据全等三角形的判定定理“角边角”，即两角及其夹边对应相等的两个三角形全等， 带第块去商店，可以配一块与原来一样的三角形模具． 3．如图，已知，点、、在同一条直线上，，且．求证：； 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由平行线的性质得出，由角的和差关系得出，利用即可证明． 【详解】证明：略； 题型8.全等的性质和ASA（AAS）综合 1．如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求出，进而可得的周长． 【详解】解：， ， 平分， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ∴的周长为． 2．学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组就“测量河两岸、两点间的距离”设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在同一直线上，且；在的延长线上确定一点，借助测角仪测得，测得，，则的长为______． 【答案】 6 【分析】根据条件利用角边角证明三角形全等，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解． 【详解】解：在与中， ∴， ∴， ∴． 3．小亮在公园游玩时发现一水池，他想知道水池的宽，设计了如下方案： 主题 测量水池的宽 测量方案及示意图 ①在地面上找到可以直接到达点A，B的一点D，使； ②在的延长线上确定一点C，使； ③测量出． 根据以上信息，求水池的宽． 【答案】 【分析】证出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型9.用SSS证明三角形全等 1．如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在和中， ， ∴． 2．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 【答案】/边边边 【分析】由作图过程可得，，再加上公共边，可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴． 3．如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 【答案】解：∵， ， ， ，， ， ． 【详解】略 题型10.用SSS间接证明三角形全等 1．为证明等腰三角形的两底角相等，下面作辅助线的方法中正确的是（    ） A．作边上的中线 B．作的平分线，经过的中点 C．过点作的垂直平分线 D．作的平分线，使得 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，作辅助线的方法等知识点，根据等腰三角形的性质和全等三角形来判断每个选项作辅助线的方法是否能证明等腰三角形两底角相等即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】A、作边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ，这种作辅助线的方法正确，符合题意； B、作的平分线，经过的中点，作角平分线不能同时保证经过的中点，该选项错误，不符合题意； C、过点A作 的垂直平分线，不能同时保证通过点A，该选项错误，不符合题意； D、作的平分线，作角平分线不能同时保证经过，该选项错误，不符合题意； 故选：A 2．如图，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，若，，，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，先证明，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 题型11.全等的性质和SSS综合 1．如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可解决问题． 【详解】解：由作图可知，，，又， ∴， ∴，即， 故选项A，B，D正确， ∵以点O为圆心，适当长为半径画弧时的半径和以点C为圆心，大于的长为半径画弧时的半径不一定相等， ∴不一定成立，故选项C错误，符合题意． 2．如图，在中，点D、E分别在、边上，，连接、，，若，则________． 【答案】 【分析】利用证明得到，再根据邻补角互补求出的度数即可得到答案． 【详解】解；∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图和中，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】通过证明即可； 【详解】略 题型12.用HL证全等 1．如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件识别出直角三角形及对应的斜边和直角边即可判断三角形全等． 【详解】解：∵于点， ∴， ∴和均为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则可判定，依据是． 2．如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 【答案】3或6 【分析】先得出是直角三角形，再根据定理分两种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴①当时，则，符合题意； ②当时，则，符合题意； 综上，当或时，才能使和全等． 3．如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 【答案】解：条件是，证明如下： ，， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ． 【分析】根据判断出添加条件，进而证明即可． 【详解】略． 题型13.全等的性质和HL综合 1．如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】证明，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在和中，，，若，则__________． 【答案】 【分析】根据已知条件利用定理证明，得出，再利用直角三角形两锐角互余求出，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：， 与均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ， ． 3．如图，于E，于F，，．求证：． 【答案】证明：，， ， 又，， ， ， ． 【分析】根据题意证明，得到，即可得证． 【详解】略 题型14.添加条件使三角形全等 1．如图，已知、交于点，，添加下列哪个条件后，仍不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知及公共边，根据全等三角形判定定理逐项验证即可． 【详解】解：已知，且为公共边，即． A．添加． ，，， ，不符合题意． B．添加，此时为，，，属于，不能判定，符合题意． C．添加． ，，， ，不符合题意． D．添加． ， ，即． ，，， ，不符合题意． 2．如图所示，已知，，要想使，还需要再添加一个条件，那么在①，②，③中可以选择的是_________．（填写序号） 【答案】①③ 【分析】由结合等式的性质可得，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：， ． 即． ①加上条件可利用定理证明； ②加上不能证明； ③加上可利用证明； 综上，可以选择的是①③． 3．如图，，的平分线交于点，在线段上取一点，连接．要使，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件，并证明．（只要给出一种情况即可，图中不再增加字母和线段） 【答案】解：①添加， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． ， ． 在和中， ， ． ②添加点为中点， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． 点为中点， ， 在和中， ， ． ③添加点为中点， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． 点为中点， ， 在和中， ， ． ④添加为的角平分线， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． 为的角平分线， ， 在和中， ， ． 【分析】①添加，利用角角边证明三角形全等；②添加点为中点，利用边角边证明三角形全等；③添加点为中点，利用边边边证明三角形全等；④添加为的角平分线，利用角边角证明三角形全等． 【详解】略 题型15.灵活选用判定方法证全等 1．下列各组条件中，不能判定和全等的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：A、能判定和全等； B、不能判定和全等； C、能判定和全等； D、能判定和全等． 2．如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，你补充的条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理：，，，，，即可解答． 【详解】根据题意可得，， 根据全等三角形的判定定理， 可补充的条件为，则； 可补充的条件为，则．（答案不唯一） 3．如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 题型16.结合尺规作图的全等问题 1．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 对这两种画法的描述中正确的是（ ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项B、D，结合全等三角形的判定方法可判定选项A、D． 【详解】解：由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：A． 2．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 3．如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 【答案】(1)图见解析，答案不唯一 (2)图见解析，答案不唯一 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，明确全等三角形的判定定理是关键； （1）如果公共点为B，取格点E、F，使，，可得出格点三角形即为所求作； （2）以为公共边，是小方格的对角线，可画出，连接，就可得出即为所求作． 【详解】（1）解：即为所求作（答案不唯一）； （2）解：即为所求作（答案不唯一）． 题型17.倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 1．在中，，是边的中线，那么的取值范围是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键． 延长到E，使，连接，证明，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】解： 延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，在中，， ∴， ∴． 故选：D． 2．在中，，，则边上的中线的取值范围是_________． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，利用“”证明，得到，在中利用三角形三边关系求出的范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， 是边上的中线 ∵在和中， ， ∴， ∴， 在中，，即， ∴ ， ∴， ∴． 3．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围． 以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至点，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________；中线的取值范围是__________； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，分别过作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，为中边上的中线． ①求证：； ②若，求五边形的面积． 【答案】（1）；；（2），见解析；（3）①见解析；②42 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段中点的性质，三角形的三边关系，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点得出，证明，然后利用三角形的三边关系进行求解即可； （2）延长至点，使，连接，借助（1）的结论，证明，得出相等的边，再证明，得出，即可得出结论； （3）①延长，交于点，证明和，得出相等的边和角，然后利用角的和差得出，即可得出结论； ②根据全等三角形得出相等的边，得出，然后求出其它三角形面积即可． 【详解】解：（1）在中，若，，延长至点，使，连接． 是边上的中线， ． 在和中 ， ． 在中，由三角形三边关系可得 ，即， ， 故答案为：；； （2）．理由如下： 如图1，延长至点，使，连接， 由（1）得， ． ， ， 即． ， ． ． 在和中 ， ． ， ． （3）①证明：如图2，延长，交于点． ， ． ， ， ， ． 在和中 ， ． ， ． 在和中 ， ． ，即， ， ； ②， 由①可知，． ， ． ， ， ． 题型18.旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　） A．64° B．52° C．62° D．56° 【答案】D 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠CAB＝∠C'CA＝62°，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解． 【详解】解：∵CC'∥AB， ∴∠CAB＝∠C'CA＝62°， ∵将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置， ∴AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'， ∴∠AC'C＝∠ACC'＝62°， ∴∠CAC'＝180°-2×62°=56°＝∠BAB'， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和，求得的度数是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．    【答案】3 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 【详解】解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； (3) 解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）略 （3）略 题型19.垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案． 【详解】如图， 由题意知：AE=BF=3，CF=BE=1，∠AEB=∠BFC=90°， 在和中： ∴， ∴∠ABE=∠BCF，AB=BC， 又∵∠BCF+∠CBF=90°， ∴∠ABE+∠CBF=90°， ∴为等腰直角三角形， 故选：D 2．如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明得到即可求解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 题型20.其他模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（　　） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】C 【分析】根据题意在AB上截取BE=BC，由“SAS”可证△CBD≌△EBD，可得∠CDB=∠BDE，∠C=∠DEB，可证∠ADE=∠AED，可得AD=AE，进而即可求解． 【详解】解：如图，在AB上截取BE＝BC，连接DE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△CBD和△EBD中， ， ∴△CBD≌△EBD（SAS）， ∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB， ∵∠C＝2∠CDB， ∴∠CDE＝∠DEB， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．如图，四边形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，AE平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC＝8，则线段AB的长为__． 【答案】10 【分析】延长AE、BC交于点F，再根据ASA证明△ADE≌△FEC，得CF＝AD＝8、∠DAE＝∠F，然后结合角平分线的定义得∠BAE＝∠F，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：如图，延长AE、BC交于点F， ∵E是DC的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FEC中， ∴△ADE≌△FEC（ASA）， ∴CF＝AD＝8，∠DAE＝∠F， ∵AD＝4BC＝8 ∴BC=2 ∴BF=BC+CF=2+8=10 ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠F＝∠BAE， ∴AB＝BF， ∴BF＝AB＝10， 故填10． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解答本题的关键． 3．（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】 （1）证明：延长到G，使，连接．    ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴． ∵． ∴ （2）成立； （3）结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使连接．    ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）略 （2）（1）中的结论仍然成立． ， ， 在与中， ， ， ， ， 即 在与中 ， ， 即， ； （3） 略 题型21.证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 2．如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 【答案】4 【分析】过点E作于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出，，根据直角三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可． 此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，边长为1，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 3．如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等角对等边、角平分线的定义，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交于点，利用全等三角形的判定定理证出，得出，，由得到，再利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 的长为10． 题型22.全等三角形综合问题 1．如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，，然后可得，，进而根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，在边的上方取一点D，使，连接，在线段上取一点E，连接，．若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，证明，延长至点，使，连接，在四边形中，，设，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ， 延长至点，使，连接， ∵，， ， ， ， 在四边形中，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ． 3．按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． (3)或或 【分析】（1）延长到，使，连接．证明．，，证明．则．即可得到答案； （2）延长到，使，连接．证明，则，，证明，则．即可得到答案； （3）在上截取，使，连接．证明．则，．证明．则，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ∴． ． ． ； （2）略 （3）当（1）的结论成立， 当图3中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 题型23.尺规作一个角等于已知角 1．下面是作角等于已知角的尺规作图过程，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（     ） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 【答案】A 【详解】解：由作法易得，，，， ， 两个三角形全等的依据是边边边， 故选：A． 2．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 【答案】 【分析】根据“作一个角等于已知角”的尺规作图可得，，再计算即可求解． 【详解】解：由题可知，， ， ． 3．如图，已知线段a，b，，有一个三角形的两条边长分别是a和b，一个内角等于． (1)请你用尺规作一个满足条件的三角形． (2)你是否还能作出既满足条件，又与（1）中所作的三角形不全等的三角形？若能，请你用尺规作出这样的三角形；若不能，请你说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，以点O为圆心，为半径画弧交于点C，以点O为圆心，为半径画弧交于点D，连接，则即为所求； （2）作，以点O为圆心，为半径画弧交于点C，以点C为圆心，为半径画弧交于点E，连接，则即为所求． 【详解】（1）略 （2） 略 题型24.过直线外一点作已知直线的平行线 1．如图，用尺规作射线，关于弧的作法描述正确的是（     ） A．以点为圆心，线段的长为半径 B．以点为圆心，线段的长为半径 C．以点为圆心，线段的长为半径 D．以点为圆心，线段的长为半径 【答案】A 【分析】要作 ，实质是作 （同位角相等），根据作图步骤确定弧 的圆心和半径即可． 【详解】解：根据尺规作图“作一个角等于已知角”的步骤： 第一步：以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 于点 ； 第二步：以点 为圆心，以 （或 ）长为半径画弧，交 于点 ； 第三步：以点 为圆心，以线段 的长为半径画弧，交前一条弧于点 （图中弧 即为这一步所画的弧）； 第四步：过点 作射线 ，则 ； 关于弧 的作法描述正确的是：以点 为圆心，线段 的长为半径． 2．如图1，要过直线外一点作直线的平行线，用尺规作图的方法作出如图2的形式，则图2的作法中判定两直线平行的依据是___________________________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查作图—复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图像信息，掌握平行线的判定．根据同位角相等两直线平行，判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 3．如图，在中，点D是边上的点，请用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 点E即为所求． 【分析】作交于点，根据同位角相等两直线平行即可得到． 【详解】略 题型25.尺规作图——作三角形 1．如图①，已知，小聪想作一个，使得，其作图步骤如图②所示，下列说法错误的是 （　　） A．第一步作图：在直线l上取一点E，以点E为圆心，长为半径作弧，与直线l交于点F B．小聪作图判定的依据是 C．第二步作图是过点E作直线l的垂线 D．小聪作图判定的依据是 【答案】B 【分析】本题考查了基本尺规作图，全等三角形的判定．第一步作，第二步作，第三步作，判定的依据是，据此求解即可． 【详解】解：A、第一步作图是作，选项的作图步骤正确，故选项正确，不符合题意； B、根据作图可以发现，，，证明依据是，选项错误，符合题意； C、第二步作图是过点E作直线l的垂线，选项正确，不符合题意； D、小聪作图判定的依据是，选项正确，不符合题意； 故选：B． 2．用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示意图如图所示，则说明的依据是_______． 【答案】 【分析】此题考查了作图，全等三角形的判定方法．通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是可以判定是运用，答案可得． 【详解】解：从作图可知，，， 在与， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 3．如图，已知线段和．      (1)求作，使；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在（1）的条件下，若， ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作三角形，等腰直角三角形的性质和判定，灵活运用所学知识解决问题． （1）先作，再以点A为圆心，以线段的长为半径画圆，交的一条边为B，再作，交的另一条边为C，连接即可． （2）由作法可知：，由此求出，得出是等腰直角三角形，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 题型26.利用全等图形求正方形网格中角度之和 1．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：C． 2．如图，在正方形网格中， _____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，可证明得到，则可推出，同理可得；再由，得到，据此可得答案． 【详解】解：由网格的特点可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图所示是一个的正方形，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 【详解】解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 题型27.作角平分线(尺规作图) 1．如图是作的平分线的两种方案，对于两种方案的判断正确的是（   ） 甲方案 将两个完全一样的三角板长直角边放在边和上、移动三角板，使短直角边的锐角顶点重合在一点，记为点P，作射线． 乙方案 用刻度尺在和上分别取，再用刻度尺量取的长，取其中点，记为点P，作射线． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定，熟练掌握其判定定理是解题的关键． 根据角平分线的判定定理解题即可． 【详解】解：甲方案：由图可知，点到的两边距离相等， ∴平分； 乙方案：由图可知，在和中， ∴≌， ∴， ∴平分； ∴甲、乙都对． 故选：D ． 2．如图，______． 【答案】/110度 【分析】本题考查角平分线的作图和三角形的内角和定理．熟练掌握三角形内角和及角平分线的性质是解题的关键． 由图可知，是的角平分线，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知，是的角平分线， ∴ ， ∴； 故答案为：． 3．画一画，想一想：如图，已知， (1)请用尺规作出的角平分线．（要求：保留作图痕迹，不写做法） (2)你能用手中的三角板作出的角平分线吗？写出做法，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作图-角平分线的步骤，逐步画出角平分线即可； （2）根据作的步骤，逐步画图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为的角平分线； （2）解：如图， ①在射线上，利用三角板的同一条直角边作出， ②利用三角板作出，交于点E， ③连接， 则为的角平分线． 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴为的角平分线． 题型28.角平分线的性质定理 1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出结论． 【详解】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴三角形三个内角的角平分线的交点到三角形三条边的距离都相等， 因此到三角形三条边距离都相等的点是这个三角形的三条角平分线的交点． 2．如图，在中，，平分，，则点到直线的距离为____． 【答案】2 【分析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等，据此求解即可． 【详解】解：∵，平分，， ∴点到直线的距离． 3．已知：如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F．求证：； 【答案】见解析 【分析】过点P作于D，根据角平分线的性质即可得到． 【详解】证明：过点P作于D， ∵和的角平分线相交于点P，且， ∴， ∴． 题型29.角平分线的判定定理 1．如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点O作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F，根据得到，求出，，，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F， ∵的三边，，的长分别是，，，且， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴． 故选：B． 2．如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据角的平分线的判定，得到射线是的平分线，继而得到，解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴射线是的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，，，垂足分别为点和点，，与相交于点．求证：平分． 【答案】 证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质以及角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据易证，由全等三角形的对应角相等可得，又因，，根据角平分线的性质即可得平分． 【详解】证明：略． 题型30.角平分线性质的实际应用 1．如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三角形三个内角的角平分线的交点处． 故选：D． 2．三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有________处． 【答案】4 【分析】此题主要考查角平分线的性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 因为要到三条公路距离相等，所以超市要选择的位置是内角平分线和外角平分线的交点，作图可知． 【详解】 解：如图 故答案为：4． 3．如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积． 【详解】如图，过点O分别作于点E，于点F， 分别平分，， ， 同理， 的周长是21， ， ． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．周长相等的两个图形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 【答案】D 【详解】能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同． ∵形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，∴A错误； ∵周长相等的两个图形形状和大小不一定都相同，不一定能完全重合，∴B错误； ∵两个正方形的边长不一定相等，大小不一定相同，不一定能完全重合，∴C错误； ∵全等图形能完全重合，∴两个全等图形的面积一定相等，D正确． 2．如图，A、B、C、D在同一直线上，，AE=DF,添加一个条件，不能判定△AEC≌△DFB的是（   ） A． B．EC=BF C．AB=CD D．∠E=∠F 【答案】B 【分析】根据题目条件可得AE＝DF，∠A＝∠D，再根据四个选项结合全等三角形的判定定理即可作出判断． 【详解】解： A．∵AE∥DF， ∴∠A＝∠D， ∵EC∥BF， ∴∠ACE＝∠DBF， ∵AE＝DF， ∴△AEC≌△DFB（AAS）， 故此选项不合题意； B．添加条件EC＝BF，不能证明△AEC≌△DFB，故此选项符合题意； C．∵AB＝CD， ∴AC＝BD， ∵AE∥DF， ∴∠A＝∠D， ∵AE＝DF， ∴△AEC≌△DFB（SAS）， 故此选项不合题意； D．∵AE∥DF， ∴∠A＝∠D， ∵AE＝DF，∠E＝∠F， ∴△AEC≌△DFB（ASA）， 故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． 3．如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由全等的性质得，再根据三角形的外角的定义和性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 4．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意整理已知条件： 由 ，，可得 ， ∵ ，， 且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据． 5．如图，在四边形中，，，则证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理：、、、、是解题的关键．由，，又因为，即可由判定两三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 6．在中，，，则的中线的长度可取值为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 延长到，使，连接，证明，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【详解】解：如图； 延长到，使，则，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：B． 二、填空题 7．全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫______，重合的边叫_____，重合的角叫______． 【答案】 对应点 对应边 对应角 【分析】本题主要考查两个全等三角形对应边角的概念，掌握概念是解题的关键，直接根据全等三角形的对应关系的概念填空即可． 【详解】全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起， 重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角． 故答案为：对应点；对应边；对应角． 8．如图，在与中，，若利用“边角边”来判定，还需添加的一个直接条件为________． 【答案】 【详解】解：若添加时，则有： ， ∴，故符合题意． 9．如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 【答案】6 【分析】利用证明，得到，据此计算即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 10．如图，在中，平分交于点D，垂足为E，若，则的长为______． 【答案】 【分析】由角平分线的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵ ∴． 11．如图，在与中，在边上，，若，则的度数为_____． 【答案】 /25度 【详解】解：在 与 中， ， 设 与 相交于点 ， 在 中， ， 在 中，， ， ， ， 12．如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为_________． 【答案】6 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算及等腰直角三角形的性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．作于，由得，，再证明得即可解决问题． 【详解】解：如图作于， ，， ， ， 又， ∴， ， 和都是等腰三角形， ，，， 在和中， ， ， ∴，， 在和中， ， ． ∴， ∴； 故答案为6． 三、解答题 13．如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 【答案】(1)，， (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分别表示出是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由即可得到答案； （2）根据题意，将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，由角平分线的性质得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，且于点，于点， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：，，； （2）解：成立． 已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点． 求证：． 证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ∴， ∴， 又∵， ∴＝． 14．如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ，， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，得出结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ，即：， ， 又， ． 15．如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵，，， ∴． (2)证明：∵， ∴． 【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，然后由进而得出； 接下来根据即可判定． （2）根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 16．如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)，理由如下： ， ∴ ， ， ∴， 平分 ， ∴， ， ∴； (2)10 【分析】（1）先根据平行线的性质以及已知条件证明，再由证明即可； （2）利用全等三角形的性质把线段进行转换，即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， ， ∴， ， ∴的周长为． 17．如图，，，，．求证：． 【答案】证明：， ，即， 又， ， 与均为直角三角形， 在和中： ， ， ． 【分析】先利用，等式两边同时加，推导出，再结合已知，通过HL证明，由全等三角形对应边相等即可证得． 【详解】略 18．根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.全等三角形基础 定义：能够完全重合的图形、三角形；平移、旋转、翻折后图形全等 书写规范：全等符号≌，对应顶点必须按顺序书写 核心性质：对应边、对应角相等；周长、面积、对应高、中线、角平分线均相等 2.三角形全等判定 SSS（边边边）：三边对应相等，两三角形全等 SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等，两三角形全等 ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等，两三角形全等 AAS（角角边）：两角及其中一角对边对应相等，两三角形全等 HL（斜边、直角边）：仅限直角三角形，斜边+一条直角边对应相等，两三角形全等 3.角平分线 尺规作图：可作已知角的平分线，原理为SSS全等 性质定理：角平分线上的点，到角两边的垂线段距离相等 判定定理：角内部，到角两边垂距相等的点，在角平分线上 核心前提：角平分线的距离特指垂线段长度，无垂直条件不成立 ✺学习目标 1.理解全等形、全等三角形的概念，明确图形平移、旋转、翻折后形状和大小不变、依然全等；掌握全等三角形的规范书写形式，能准确找准对应顶点、对应边与对应角。 2.熟练掌握全等三角形的核心性质，能利用“对应边相等、对应角相等”，完成线段长度、角度的基础计算与简单几何推理。 3.熟记SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种三角形全等判定定理，清晰区分各定理的适用条件，能结合题干已知条件，合理选择定理证明三角形全等。 4.掌握角平分线的尺规作图方法及作图原理，熟练运用角平分线的性质定理和判定定理，解决线段相等证明、几何计算等基础题型。 5.掌握几何证明的标准书写格式，理清几何推理逻辑，能独立完成基础的三角形全等证明习题，养成严谨的解题思维。 ✺题型归纳 题型1.图形的全等 题型2.全等三角形的概念 题型3.全等三角形的性质 题型4.用SAS证明三角形全等 题型5.用SAS间接证明三角形全等 题型6.全等的性质和SAS综合 题型7.用ASA（AAS）证明三角形全等 题型8.全等的性质和ASA（AAS）综合 题型9.用SSS证明三角形全等 题型10.用SSS间接证明三角形全等 题型11.全等的性质和SSS综合 题型12.用HL证全等 题型13.全等的性质和HL综合 题型14.添加条件使三角形全等 题型15.灵活选用判定方法证全等 题型16.结合尺规作图的全等问题 题型17.倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 题型18.旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 题型19.垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 题型20.其他模型（全等三角形的辅助线问题） 题型21.证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 题型22.全等三角形综合问题 题型23.尺规作一个角等于已知角 题型24.过直线外一点作已知直线的平行线 题型25.尺规作图——作三角形 题型26.利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型27.作角平分线(尺规作图) 题型28.角平分线的性质定理 题型29.角平分线的判定定理 题型30.角平分线性质的实际应用 题型31.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、全等三角形基础概念 1. 全等形：能够完全重合的两个图形，形状、大小完全相同； 图形经过平移、旋转、翻折变换后，所得图形与原图形全等。 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形，即为全等三角形。 3.对应元素：两个全等三角形重合时，重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。 4.书写规则：全等符号为“≌”，书写全等三角形时，必须将对应顶点按顺序书写，保证对应关系准确。 知识点二、全等三角形的性质 1.核心性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，是几何推理与计算的核心依据。 2.延伸性质：全等三角形的周长相等、面积相等，对应边上的高、对应边上的中线、对应角的角平分线也全部相等。 知识点三、三角形全等的判定定理 1.SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 2.SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 3.ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（必须为两角公共夹边）。 4.AAS（角角边）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 5.HL（斜边、直角边）：专属直角三角形判定定理，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 知识点四、角平分线 1.角平分线的定义、性质 2.角平分线的判定：（1）在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；（2）平分角且射线上一点到角两边距离相等的射线，是这个角的平分线。（如下图） 几何语言：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN. ∴P在∠AOB的角平分线上.∴OP为∠AOB的角平分线. 3.角平分线的作法： ✺题型精讲 题型1.图形的全等 1．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 2．已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 3．如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 题型2.全等三角形的概念 1．如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   2．如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    3．如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．    题型3.全等三角形的性质 1．如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 2．如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 3．如图，，点在边上，与交于点．已知，，求的度数． 题型4.用SAS证明三角形全等 1．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定在一起，将两根木棒、端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得，之间的距离即内径的长度．判定图中三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 3．如图，在和中，，，．请判断和是否全等？为什么？ 题型5.用SAS间接证明三角形全等 1．下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 2．如图，中，点D在边上，点E在边上，且，，若，，则的长为________． 3．如图，是等边三角形，D为延长线上一点，，且．求证：． 题型6.全等的性质和SAS综合 1．如图，在中，，为边上的中线，延长到点，使，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，，，，，，则__________． 3．如图，点、、、在同一条直线上，，，求证：． 题型7.用ASA（AAS）证明三角形全等 1．如图，太阳光线和是平行的，同一时刻两根木杆、的影子一样长，由全等图形的性质可得两根木杆的高度也相同，则判定的合理依据是（     ） A． B． C． D． 2．如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 3．如图，已知，点、、在同一条直线上，，且．求证：； 题型8.全等的性质和ASA（AAS）综合 1．如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （ ） A． B． C． D． 2．学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组就“测量河两岸、两点间的距离”设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在同一直线上，且；在的延长线上确定一点，借助测角仪测得，测得，，则的长为______． 3．小亮在公园游玩时发现一水池，他想知道水池的宽，设计了如下方案： 主题 测量水池的宽 测量方案及示意图 ①在地面上找到可以直接到达点A，B的一点D，使； ②在的延长线上确定一点C，使； ③测量出． 根据以上信息，求水池的宽． 题型9.用SSS证明三角形全等 1．如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 2．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 3．如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 题型10.用SSS间接证明三角形全等 1．为证明等腰三角形的两底角相等，下面作辅助线的方法中正确的是（    ） A．作边上的中线 B．作的平分线，经过的中点 C．过点作的垂直平分线 D．作的平分线，使得 2．如图，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，若，，，则的度数为_______． 3．如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 题型11.全等的性质和SSS综合 1．如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A．B．C． D． 2．如图，在中，点D、E分别在、边上，，连接、，，若，则________． 3．如图和中，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 题型12.用HL证全等 1．如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 3．如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 题型13.全等的性质和HL综合 1．如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 2．如图，在和中，，，若，则__________． 3．如图，于E，于F，，．求证：． 题型14.添加条件使三角形全等 1．如图，已知、交于点，，添加下列哪个条件后，仍不能使的是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，已知，，要想使，还需要再添加一个条件，那么在①，②，③中可以选择的是_________．（填写序号） 3．如图，，的平分线交于点，在线段上取一点，连接．要使，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件，并证明．（只要给出一种情况即可，图中不再增加字母和线段） 题型15.灵活选用判定方法证全等 1．下列各组条件中，不能判定和全等的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，你补充的条件是_______． 3．如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 题型16.结合尺规作图的全等问题 1．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 对这两种画法的描述中正确的是（ ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 2．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    3．如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 题型17.倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 1．在中，，是边的中线，那么的取值范围是（　　） A．B． C． D． 2．在中，，，则边上的中线的取值范围是_________． 3．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围． 以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至点，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________；中线的取值范围是__________； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，分别过作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，为中边上的中线． ①求证：； ②若，求五边形的面积． 题型18.旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　） A．64° B．52° C．62° D．56° 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．    3．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 题型19.垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 2．如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 3．【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 题型20.其他模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（　　） A．21 B．24 C．27 D．30 2．如图，四边形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，AE平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC＝8，则线段AB的长为__． 3．（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    题型21.证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 2．如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 3．如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 题型22.全等三角形综合问题 1．如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，在边的上方取一点D，使，连接，在线段上取一点E，连接，．若，，，则的长为______． 3．按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 题型23.尺规作一个角等于已知角 1．下面是作角等于已知角的尺规作图过程，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（     ） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 2．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 3．如图，已知线段a，b，，有一个三角形的两条边长分别是a和b，一个内角等于． (1)请你用尺规作一个满足条件的三角形． (2)你是否还能作出既满足条件，又与（1）中所作的三角形不全等的三角形？若能，请你用尺规作出这样的三角形；若不能，请你说明理由． 题型24.过直线外一点作已知直线的平行线 1．如图，用尺规作射线，关于弧的作法描述正确的是（     ） A．以点为圆心，线段的长为半径 B．以点为圆心，线段的长为半径 C．以点为圆心，线段的长为半径 D．以点为圆心，线段的长为半径 2．如图1，要过直线外一点作直线的平行线，用尺规作图的方法作出如图2的形式，则图2的作法中判定两直线平行的依据是___________________________． 3．如图，在中，点D是边上的点，请用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 题型25.尺规作图——作三角形 1．如图①，已知，小聪想作一个，使得，其作图步骤如图②所示，下列说法错误的是 （　　） A．第一步作图：在直线l上取一点E，以点E为圆心，长为半径作弧，与直线l交于点F B．小聪作图判定的依据是 C．第二步作图是过点E作直线l的垂线 D．小聪作图判定的依据是 2．用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示意图如图所示，则说明的依据是_______． 3．如图，已知线段和．      (1)求作，使；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在（1）的条件下，若， ，求的长． 题型26.利用全等图形求正方形网格中角度之和 1．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格中， _____________． 3．如图所示是一个的正方形，求的度数． 题型27.作角平分线(尺规作图) 1．如图是作的平分线的两种方案，对于两种方案的判断正确的是（   ） 甲方案 将两个完全一样的三角板长直角边放在边和上、移动三角板，使短直角边的锐角顶点重合在一点，记为点P，作射线． 乙方案 用刻度尺在和上分别取，再用刻度尺量取的长，取其中点，记为点P，作射线． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 2．如图，______． 3．画一画，想一想：如图，已知， (1)请用尺规作出的角平分线．（要求：保留作图痕迹，不写做法） (2)你能用手中的三角板作出的角平分线吗？写出做法，并证明． 题型28.角平分线的性质定理 1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 2．如图，在中，，平分，，则点到直线的距离为____． 3．已知：如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F．求证：； 题型29.角平分线的判定定理 1．如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是________． 3．如图，，，垂足分别为点和点，，与相交于点．求证：平分． 题型30.角平分线性质的实际应用 1．如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 2．三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有________处． 3．如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．周长相等的两个图形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 2．如图，A、B、C、D在同一直线上，，AE=DF,添加一个条件，不能判定△AEC≌△DFB的是（   ） A． B．EC=BF C．AB=CD D．∠E=∠F 3．如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，，，则证明的依据是（    ） A． B． C． D． 6．在中，，，则的中线的长度可取值为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 二、填空题 7．全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫______，重合的边叫_____，重合的角叫______． 8．如图，在与中，，若利用“边角边”来判定，还需添加的一个直接条件为________． 9．如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 10．如图，在中，平分交于点D，垂足为E，若，则的长为______． 11．如图，在与中，在边上，，若，则的度数为_____． 12．如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为_________． 三、解答题 13．如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 14．如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 15．如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 16．如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 17．如图，，，，．求证：． 18．根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $