第十四章全等三角形七升八暑假预习讲义2026-2027学年人教版数学

第十四章 全等三角形 七升八暑假预习讲义 学习目标 1. 理解全等三角形的概念，能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边和对应角 2. 掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，并能运用性质解决简单几何问题 3. 掌握三角形全等的五种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，能根据已知条件灵活选择判定方法证明三角形全等 4. 理解角的平分线的尺规作图原理与步骤，能独立完成角平分线的作图 5. 掌握角的平分线的性质定理及判定定理，能运用角平分线的性质解决相关计算与证明问题 知识点一、全等三角形的概念与性质 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫作全等形. 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 图1 图2 图3 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.例如，上图中的△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF. 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角.例如，图1中△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等. 几何语言： 如图1，∵ ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F. 【例1】如图，点A，C，E在同一条直线上，点D在BC上，且△ABC≌△DEC，AC＝4，CE＝6． （1）求BD的长； （2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由． 【解析】解：（1）∵△ABC≌△DEC，AC＝4，CE＝6， ∴DC＝AC＝4，BC＝CE＝6（全等三角形对应边相等）， ∴BD＝BC﹣DC＝6﹣4＝2； （2）AE⊥BC，理由如下： ∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE（全等三角形对应角相等）， ∵∠ACB+∠DCE＝180°， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AE⊥BC． 【变式1】如图，已知△ABF≌△ACE，且AB＝10，AF＝6，则BE的长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式2】如图，已知△ABC≌△DEC，点E在边AB上，∠B＝70°，求∠ACD的度数. 知识点二、三角形全等的判定 判定定理1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 几何语言： 如图，在△ABC和△中， ∴ 【例2】如图，线段AB、EF．相交于点O，且互相平分． （1）求证：△AOE≌△BOF； （2）求证：AE//BF． 【解析】证明：（1）∵线段AB、EF相交于点O，且互相平分， ∴AO＝BO，∠AOE＝∠BOF，EO＝FO， 在△AOE与△BOF中， ， ∴△AOE≌△BOF（SAS）； （2）由（1）可知，△AOE≌△BOF， ∴∠A＝∠B， ∴AE//BF． 判定定理2：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 几何语言： 如图，在△ABC和△中， ∴ 【例3】如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A＝∠D，AB//DE，BE＝CF，AC与DE交于点O． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠B＝40°，∠F＝70°，求∠COE的度数． 【解析】（1）证明：∵点B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， ∴BC＝EF， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． （2）解：由（1）得△ABC≌△DEF， ∴∠ACB＝∠F＝70°， ∵∠B＝40°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∵AB∥DE，AC与DE交于点O， ∴∠COE＝∠A＝70°， ∴∠COE的度数是70°． 判定定理3：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 几何语言： 如图，在△ABC和△中， ∴ 【例4】已知：如图，∠ABD＝∠CBE，∠C＝∠E，BC＝BE，若AD＝2，DC＝3，BC＝4． （1）证明：△ABC≌△DBE； （2）求△DFC与△BFE的周长的和． 【解析】（1）证明：∵∠ABD＝∠CBE， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC， ∴∠ABC＝∠DBE， 在△ABC和△DBE中， ∴△ABC≌△DBE（AAS）； （2）解：由（1）得△ABC≌△DBE， ∴DE＝AC＝AD+DC＝2+3＝5，BE＝BC＝4， 则△DFC与△BFE的周长的和＝FC+DC+DF+FE+BE+BF ＝DC+BE+DE+BC ＝DC+BE+DE+BC ＝16． 判定定理4：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 几何语言： 如图，在△ABC和△中， ∴ 【例5】如图，CB＝DA，CA＝DB，CB、DA相交于点O． （1）求证：△ABC≌△BAD； （2）求证：∠CAD=∠OBC． 【解析】（1）证明：在△ABC和△BAD中， ∴△ABC≌△BAD（SSS）； （2）解：∵△ABC≌△BAD， ∴∠DAB＝∠DAB，∠CAB＝∠DBA， ∴∠CAB﹣∠DAB＝∠DBA﹣∠DAB， ∴∠CAD＝∠DBC． 判定定理5：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言： 如图，在Rt△ABC和Rt△中， ∴ 【例6】如图，AC＝AD，AC⊥BC，AD⊥BD． （1）求证：△ABC≌△ABD； （2）求证：AB平分∠CAD． 【解析】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠ACB=∠ADB=90°， 在Rt△ABC和Rt△中， ， ∴. （2）证明：∵， ∴∠CAB=∠DAB， ∴AB平分∠CAD． 【变式3】根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．∠C＝90°，AB＝7 C．∠A＝60°，∠B＝55°，∠C＝65° D．AB＝4，BC＝6，CA＝8 【变式4】如图，在△ABC和△CDA中，已知∠BAC＝∠DCA，添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC≌△CDA的是（　　） A．AB＝CD B．∠B＝∠D C．BC＝DA D．AD∥BC 【变式5】如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，AC＝DF，BC＝EF，AE＝BD．求证：△ABC≌△DEF． 【变式6】如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，且AD＝AC，过点A作AE⊥AB于点A，DE∥AC，求证：DE＝AB． 知识点三、角的平分线的尺规作图、性质及判定 如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线. （1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N； （2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C； （3）作射线OC，则射线OC为∠AOB的平分线. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言： ∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE. 角的平分线的判定：角的内部到角两边的距离相等的点在交的平分线上. 几何语言： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE， ∴OC平分∠AOB. 【例题7】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点M，交BC于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点P，作射线BP交AC于点D．若CD＝2，AB＝7，求△ABD的面积． 【解析】解：由作法得BP平分∠ABC， ∴点D到BA的距离等于点D到BC的距离， ∵∠ACB＝90°，CD＝2， ∴点D到BC的距离为2， ∴点D到BA的距离为2， ∴△ABD的面积＝×7×2＝7． 【例题8】如图，点A，B分别在射线OP，OQ上，点C在∠POQ的内部，CA＝CB，CD⊥OP，CE⊥OQ，垂足分别为D，E，AD＝BE． （1）求证：OC平分∠POQ； （2）如果OD＝6，OB＝4，求OA的长． 【解析】（1）证明：∵CD⊥OP，CE⊥OQ， ∴∠CDA＝90°，∠CEB＝90°（垂直的定义）， 在Rt△CDA和Rt△CEB中， ， ∴Rt△CDA≌Rt△CEB（HL）， ∴CD＝CE（全等三角形对应边相等）， ∴点C在∠POQ的平分线上， ∴OC平分∠POQ； （2）解：在Rt△OCD和Rt△OCE中， ， ∴Rt△OCD≌△OCE（HL）， ∴OD＝OE＝6（全等三角形对应边相等）， ∴AD＝BE＝OE﹣OB＝6﹣4＝2， ∴OA＝OD+AD＝6+2＝8．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/6 10:19:22；用户：18183704378；邮箱：18183704378；学号：43037871 【变式7】如图，在△ABC中，∠B+∠C＝110°，用直尺和圆规在边BC上确定一点D，作图痕迹如图，过点D作DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【变式8】如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线． （1）下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序的序号依次为　 　 ． ①分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于点N； ③作射线BP，交AC于点D． （2）证明∠ABD＝∠CBD的理论依据是　 　 （填序号）． ①SSS；②ASA；③AAS；④角平分线上的点到角两边的距离相等． （3）过点D作DE⊥AB于点E，若AB＝8，BC＝7，S△ABC＝，求DE的长． 综合测评 1．已知两个三角形全等，那么下列说法不一定正确的是（　　） A．这两个三角形的对应角相等 B．这两个三角形的对应边相等 C．这两个三角形的周长相等 D．这两个三角形的高相等 2．如图，已知△ADC≌△AEB，AB＝8，CE＝5，则AE的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图已知∠BAC＝∠BAD，∠ABC＝∠ABD，则直接判断△ABD≌△ABC的根据是（　　） A．SAS B．SSA C．ASA D．SSS 4．如图，是作一个角等于已知角的作图痕迹，下列说法中不正确的是（　　） （1）弧①是以点O为圆心，以任意长为半径所作的弧； （2）弧②是以点D为圆心，以任意长为半径所作的弧； （3）弧③是以点F为圆心，以AB的长为半径所作的弧． A．（1） B．（2） C．（3） D．（2）和（3） 5．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6 6．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为10，AB＝5，则线段DP的长不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．5.5 7．小明按照如下步骤画图： ①画直线AB，CD，使得AB∥CD； ②画点E，F分别在直线AB，CD上，画直线EF； ③以点E为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线EA，EF于点M，N； ④分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，画射线EH交CD于点G．若∠BEF＝100°，则∠CGE的度数是（　　） A．100° B．120° C．130° D．140° 8．如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BE是边AC上的中线，过D作DF⊥AB于点F，若AB＝8，AC＝6，且△ABC的面积为22，则DF为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 9．若△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，AB＝3，BC＝4，则DF的长为　 　 ． 10．如图，△ABC≌△DEC，边AC与边DC、边CB与边CE分别是对应边．如果∠ACD＝50°，那么∠BCE＝　 　 °． 11．如图，△ABC和△DEF中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且BF＝CE，AB＝DE，请再添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个条件是　 　 ．（写出一个即可） 12．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏．如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）距地面的距离是50cm，当小敏从水平位置CD下降40cm时，小明这时离地面的高度是 　 　 cm． 13．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要想使△ABC≌△AED，还需要再添加一个条件，那么在①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是 　 　 .（填写序号） 14．如图，已知线段AB＝80米，射线AC⊥AB于点A，射线BD⊥AB于B，M点从B点向A运动，每秒走2米，N点从B点向D运动，每秒走3米，M、N同时从B出发，若射线AC上有一点P，使得某时刻△PAM和△MBN全等，则线段AP的长度为　 　 米． 15．如图，已知△ABC≌△FDE，点C和点E，点A和点F是对应顶点，AD＝2，BD＝3，∠A＝30°，∠E＝55°，求FD的长，以及∠C，∠FDE的度数． 16．如图，在△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC，PM⊥BE，PN⊥BF． 求证：CP平分∠ACF； 17．如图，△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的对应角的平分线．求证：AD＝A′D′． 18．如图，在△ACE和△BDF中，∠C＝∠D，点C、F、E、D在同一直线上，CF＝DE． （1）请你添加一个条件，使得△ACE≌△BDF，则这个条件可以是　 　；（只写一个即可） （2）根据（1）中你所添加的条件，请说明△ACE≌△BDF． 19．如图，点C在线段AB上，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．连接DC，EC． （1）求证：△ADC≌△BCE； （2）求证：AD＝AF． 20．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，连接DE，EC，DE＝EC． （1）求证：△ADE≌△BEC． （2）求证：DE⊥CE． 21．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M． （1）若∠ACD＝130°，求∠MAB的度数； （2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△CAN≌△CMN． 22．（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与解析 【变式1】解：∵△ABF≌△ACE，AB＝10，AF＝6， ∴AE＝AF＝6， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4． 故选：D． 【变式2】解：∵△ABC≌△DEC，点E在边AB上，∠B＝70°， ∴BC＝EC，∠ACB＝∠DCE， ∴∠CEB＝∠B＝70°， ∴∠ECB＝180°﹣∠B﹣∠CEB＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵∠ACD+∠ACE＝∠DCE，∠ECB+∠ACE＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠ECB＝40°． 【变式3】解：A、∠A是BC的对角，不能画出唯一的△ABC，故A不符合题意； B、还缺少添加，不能画出唯一的△ABC，故B不符合题意； C、判定两个三角形全等至少需要一边对应相等的条件，因此不能画出唯一的△ABC；故C不符合题意； D、4+6＞8，满足三角形三边关系定理，由SSS判定能画出唯一的△ABC，故D符合题意． 故选：D． 【变式4】解：A、由SAS判定△ABC≌△CDA，故A不符合题意； B、由AAS判定△ABC≌△CDA，故B不符合题意； C、∠BAC、∠DCA分别是BC和DA的对角，不能判定△ABC≌△CDA，故C符合题意； D、由AD∥BC推出∠DAC＝∠BCA，由ASA判定△ABC≌△CDA，故D不符合题意． 故选：C． 【变式5】解：∵点A、B、E、D在同一条直线上，AE＝BD， ∴AE﹣BE＝BD﹣BE， ∵AB＝AE﹣BE，DE＝BD﹣BE， ∴AB＝DE． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 【变式6】证明：由题意，∵DE∥AC， ∴∠EDA＝∠BAC． 在△EDA和△BAC中 ， ∴△EDA≌△BAC（ASA）． ∴DE＝AB． 【变式7】解：∵∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣110°＝70°， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC＝35°， ∵AB∥DE， ∴∠ADE＝∠BAD＝35°． 故选：B． 【变式8】解：（1）作∠ABC的平分线的正确顺序是②①③； 故答案为：②①③； （2）由作法得BM＝BN，MP＝NP， 而BP为公共边， 所以根据“SSS”可判断△BMP≌△BNP，则∠ABD＝∠CBD； 故答案为：①； （3）过D点作DF⊥BC于点F，如图， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DF＝DE， ∵S△ABD+S△CBD＝S△ABC， ∴×8×DE+×7×DF＝， 即8DE+7DE＝×2， 解得DE＝， 即DE的长为． 综合测评 1．【解答】解：A、全等三角形的对应角相等，正确，不符合题意； B、全等三角形的对应边相等，正确，不符合题意； C、∵三角形的周长为三边长度之和，全等三角形三边对应相等， ∴两个三角形的周长一定相等，正确，不符合题意； D、∵全等三角形只有对应边上的高相等，题目未指明是对应高， ∴这两个三角形的高不一定相等，原说法错误，符合题意． 故选：D． 2．【解答】解：∵△ADC≌△AEB，AB＝8， ∴AC＝AB＝8（全等三角形对应边相等）， ∴AE＝AC﹣CE＝8﹣5＝3． 故选：B． 3．【解答】解：在△ABD和△ABC中， ， ∴△ABD≌△ABC（ASA）． 综上所述，直接判断△ABD≌△ABC的根据是ASA，所以只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 4．【解答】解：根据尺规作图“作一个角等于已知角”的步骤进行判断如下： 以点O为圆心，任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点A，B， ∴说法（1）正确； 画射线DF，以点D为圆心，以OA长（即弧①的半径）为半径画弧②，交DF于点F， ∴说法（2）中“以任意长为半径”错误； 以点F为圆心，以AB长为半径画弧③，交弧②于点E， ∴说法（3）正确； 综上，（2）不正确． 故选：B． 5．【解答】解：A、3+4＝7＜8，不满足三角形的三边关系，不能画出三角形，不符合题意． B、边边角，三角形不能唯一确定，不能画出唯一的△ABC，不符合题意． C、角角边，三角形唯一确定，符合题意． D、一边一角无法确定三角形，不能画出唯一的△ABC，不符合题意， 故选：C． 6．【解答】解：过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H， ∵BM是∠ABC的平分线， ∴DH＝DG， ∵△ABD的面积＝AB•DG＝10，AB＝5， ∴DG＝4， ∴DH＝4， ∵DP≥DH， ∴线段DP的长不可能是3． 故选：A． 7．【解答】解：由条件可知∠FEA＝180°﹣100°＝80°， 由作图可得，EG是∠FEA的平分线， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠AEG+∠CGE＝180°， ∴∠CGE＝180°﹣40°＝140°． 故选：D． 8．【解答】解：过D作DH⊥AC于H， ∵AD是∠BAC的角平分线，DF⊥AB， ∴DH＝DF， ∵△ABC的面积为22，BE是边AC上的中线， ∴AE＝EC＝AC＝×6＝3， ∴△AEB的面积＝△ABC面积的一半＝11， ∵△AED的面积+△ABD的面积＝△AEB的面积＝11， ∴AE•DH+AB•DF＝11， ∴（AE+AB）•DF＝11， ∵AE＝3，AB＝8， ∴DF＝2， 故选：B． 9．【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，BC＝EF， ∵AB＝3，BC＝4， ∴DE＝3，EF＝4， ∵△DEF的周长为12， ∴DE+EF+DF＝12， ∴DF＝12﹣DE﹣EF＝12﹣3﹣4＝5， 故答案为：5． 10．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，边AC与边DC、边CB与边CE分别是对应边，∠ACD＝50°， ∴∠DCE＝∠ACB， ∴∠DCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，即∠BCE＝∠DCA＝50°． 故答案为：50． 11．【解答】解：∵BF＝CE， ∴BF+CF＝CE+CF，即BC＝EF． 添加AC＝DF， 由， ∴△ABC≌△DEF．（答案不唯一） 故答案为：AC＝DF（答案不唯一）． 12．【解答】解：在△OCF与△ODG中， ， ∴△OCF≌△ODG（AAS）， ∴CF＝DG＝40cm， ∴小明离地面的高度是50+40＝90（cm）， 故答案为：90． 13．【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，即∠CAB＝∠DAE， 当AB＝AE时，△ABC≌△AED（SAS）， 当∠C＝∠D时，△ABC≌△AED（ASA）， 当∠B＝∠E时，△ABC≌△AED（AAS）， 当BC＝ED时，不能判断△ABC≌△AED， 故答案为：①③④． 14．【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， 设M、N运动的时间是t秒， 当△PAM≌△NBM时， ∴AP＝BN，AM＝BM， ∴MB＝AB＝×80＝40（米）， ∴t＝40÷2＝20， ∴AP＝BN＝3t＝60（米）； 当△PAM≌△MBN时， ∴AP＝BM，AM＝BN， ∴BN+BM＝AB＝80， ∴3t+2t＝80， ∴t＝16， ∴AP＝BM＝2t＝32（米）， ∴当△PAM和△MBN全等，线段AP的长度为60米或32米． 故答案为：60或32． 15．【解答】解：∵AD＝2，BD＝3， ∴AB＝AD+BD＝2+3＝5， ∵△ABC≌△FDE， ∴AB＝FD＝5，∠C＝∠E＝55°，∠ABC＝∠FDE， ∵∠A＝30°， ∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣55°﹣30°＝95°， ∴∠FDE＝95°， ∴FD的长是5，∠C的度数是55°，∠FDE的度数是95°． 16．【解答】证明：（1）作PQ⊥AC于点Q， ∵∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P， ∴PM＝PN，PM＝PQ， ∴PN＝PQ， ∴点P在∠ACF的平分线上， ∴CP平分∠ACF． 17．【解答】证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′， ∵AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的对应角的平分线， ∴∠BAD＝∠BAC，∠B′A′D′＝∠B′A′C′， ∴∠BAD＝∠B′A′D′， ∴△ABD≌△A′B′D′（ASA）， ∴AD＝A′D′． 18．【解答】（1）解：AC＝BD或∠CAE＝∠DBF或∠AEC＝∠BFD， 故答案为：AC＝BD或∠CAE＝∠DBF或∠AEC＝∠BFD； （2）证明：∵CF＝DE， ∴CF+EF＝DE+EF，即CE＝DF． 在△ACE和△BDF中， ， ∴△ACE≌△BDF（SAS）． 或证明：∵CF＝DE， ∴CF+EF＝DE+EF，即CE＝DF． 在△ACE和△BDF中， ， ∴△ACE≌△BDF（AAS）． 或证明：∵CF＝DE， ∴CF+EF＝DE+EF，即CE＝DF． 在△ACE和△BDF中， ， ∴△ACE≌△BDF（ASA）． 19．【解答】（1）证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠B， 在△ADC和△BCE中， ， ∴△ADC≌△BCE（SAS）； （2）证明：由（1）知：△ADC≌△BCE， ∴DC＝CE，∠ADC＝∠BCE． ∴∠CDE＝∠CED． ∴∠ADC+∠CDE＝∠BCE+∠CED＝∠AFD，即∠ADF＝∠AFD， ∴AD＝AF． 20．【解答】证明：（1）∵∠A＝∠B＝90°， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）． （2）由（1）得Rt△ADE≌Rt△BEC， ∴∠AED＝∠BCE， ∵∠B＝90°， ∴∠AED+∠BEC＝∠BCE+∠BEC＝90°， ∴∠DEC＝180°﹣（∠AED+∠BEC）＝90°， ∴DE⊥CE． 21．【解答】（1）解：∵AB∥CD， ∴∠ACD+∠CAB＝180°， ∵∠ACD＝130°， ∴∠CAB＝50°， 由题意AM平分∠CAB， ∴∠MAB＝∠CAB＝25°； （2）证明：∵AM平分∠CAB， ∴∠CAM＝∠MAB， ∵AB∥CD， ∴∠AMC＝∠MAB， ∴∠CAN＝∠AMN， ∵CN⊥AM， ∴∠ANC＝∠MNC＝90°， 在△CAN和△CMN中， ， ∴△CAN≌△CMN（AAS）． 22．【解答】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中，， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）解：结论DE＝BD+CE成立；理由如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中，， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ABD和△CEA中，， ∴△ABD≌△CEA（AAS）， ∴S△ABD＝S△CEA， 设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h， ∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ACF＝CF•h， ∵BC＝2CF， ∴S△ACF＝6， ∵S△ACF＝S△CEF+S△CEA＝S△CEF+S△ABD＝6， ∴△ABD与△CEF的面积之和为6． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $