第二十四章 一元二次方程（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册第二十四章一元二次方程能力提升单元卷，精选河北等地模拟题与期末题，覆盖根的判别式、实际应用等核心知识点，注重思维梯度与现实情境，适配单元复习巩固与能力拔高。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|根的判别式（第1题）、根与系数关系（第3题）|结合2026年河北模拟题，新定义运算（第6题）考查创新意识| |填空题|4/12|方程构造（第13题）、动点面积（第15题）|梯度设计，从基础到几何动态问题（第16题）| |解答题|8/72|解法辨析（第18题）、实际应用（第19题）|综合题（第24题）融合换元法与根与系数关系，体现数学建模与推理能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十四章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））下列一元二次方程，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邯郸·一模）设是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2032 3．（2026·河北张家口·一模）若一元二次方程的两根之积为，则的值为（   ）． A． B． C． D． 4．（2026·河北唐山·一模）关于x的一元二次方程的两个实数根为，，设，则M与方程根的判别式之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河南周口·阶段检测）据某品牌新能源汽车经销商10月份至12月份统计，该品牌新能源汽车10月份销售1000辆，12月份销售1690辆．设月平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026年河北唐山市曹妃甸区初中学业水平考试数学模拟试卷（一））对于实数，定义新运算“”：．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·全国·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，则m的取值范围是（） A． B． C． D．或 8．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）关于y的方程，下面解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．（25-26九年级上·河北沧州·期末）一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·河北邢台·期末）用6m长的铝合金材料做一个形状如图所示的窗框（由矩形和矩形组成），窗框的面积为，求宽的长．小冀的解答过程如下，则开始出错的一步是（    ） 设宽的长为，则的长为……① 可列方程为……② 解方程，得……③ 不符合题意，故舍去……④ 答：宽的长为 A．① B．② C．③ D．④ 11．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北石家庄·一模）已知一个关于的一元二次方程的两个根分别是和2，则这个关于的一元二次方程是__________． 14．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知，则的值是________． 15．（25-26九年级上·甘肃陇南·阶段检测）如图，在中，，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 16．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则__________； （2）经过 ____________________秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26九年级上·河北邯郸·期末）用合适的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 18．（8分）（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ∴此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法 ，乙同学的解法 ．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 19．（8分）（25-26九年级上·河北保定·期中）某农户承包了一块长方形果园，下图是果园的平面图，其中米，米．农户准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于对货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． (1)请直接写出纵向道路宽度的取值范围． (2)若中间的种植园区的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求？ 20．（8分）（25-26九年级上·河北唐山·期中）已知的一元二次方程的两个实数根分别为、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 21．（9分）（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…… 容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和．用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案，但是这样寻找答案需要花费较多时间且容易出错．我们通过观察总结得到如下规律：，可以解决任意行的问题． (1)三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能、求出n；如果不能试用一元二次方程说明道理． (2)如果把如图的三角点阵中各行的点数依次换为2，4、6、…、2n、…请你探究出前n行的点数和满足什么规律．这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 22．（9分）（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 23．（11分）（24-25八年级下·重庆·阶段检测）阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： (1)当方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 24．（12分）（25-26八年级下·江苏盐城·期中）阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十四章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））下列一元二次方程，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邯郸·一模）设是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2032 3．（2026·河北张家口·一模）若一元二次方程的两根之积为，则的值为（   ）． A． B． C． D． 4．（2026·河北唐山·一模）关于x的一元二次方程的两个实数根为，，设，则M与方程根的判别式之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河南周口·阶段检测）据某品牌新能源汽车经销商10月份至12月份统计，该品牌新能源汽车10月份销售1000辆，12月份销售1690辆．设月平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026年河北唐山市曹妃甸区初中学业水平考试数学模拟试卷（一））对于实数，定义新运算“”：．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·全国·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，则m的取值范围是（） A． B． C． D．或 8．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）关于y的方程，下面解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．（25-26九年级上·河北沧州·期末）一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·河北邢台·期末）用6m长的铝合金材料做一个形状如图所示的窗框（由矩形和矩形组成），窗框的面积为，求宽的长．小冀的解答过程如下，则开始出错的一步是（    ） 设宽的长为，则的长为……① 可列方程为……② 解方程，得……③ 不符合题意，故舍去……④ 答：宽的长为 A．① B．② C．③ D．④ 11．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北石家庄·一模）已知一个关于的一元二次方程的两个根分别是和2，则这个关于的一元二次方程是__________． 14．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知，则的值是________． 15．（25-26九年级上·甘肃陇南·阶段检测）如图，在中，，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 16．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则__________； （2）经过 ____________________秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26九年级上·河北邯郸·期末）用合适的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 18．（8分）（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ∴此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法 ，乙同学的解法 ．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 19．（8分）（25-26九年级上·河北保定·期中）某农户承包了一块长方形果园，下图是果园的平面图，其中米，米．农户准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于对货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． (1)请直接写出纵向道路宽度的取值范围． (2)若中间的种植园区的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求？ 20．（8分）（25-26九年级上·河北唐山·期中）已知的一元二次方程的两个实数根分别为、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 21．（9分）（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…… 容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和．用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案，但是这样寻找答案需要花费较多时间且容易出错．我们通过观察总结得到如下规律：，可以解决任意行的问题． (1)三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能、求出n；如果不能试用一元二次方程说明道理． (2)如果把如图的三角点阵中各行的点数依次换为2，4、6、…、2n、…请你探究出前n行的点数和满足什么规律．这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 22．（9分）（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 23．（11分）（24-25八年级下·重庆·阶段检测）阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： (1)当方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 24．（12分）（25-26八年级下·江苏盐城·期中）阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十四章 一元二次方程·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C C A B A C D A C C B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（答案不唯一，合理即可） 14．19 15．或 16． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个方程的特点选用恰当的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 即或， 解得：；·······················3分 （2）解： ， ， 即或， 解得：．·······················7分 18．（8分） 【答案】(1)不正确；不正确 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键，用公式法求解要将一元二次方程先化为一般式，再运用公式法求解． （1）先将3移项，得，此时，计算，所以此一元二次方程有两个不相等的实数根，据此判断甲同学和乙同学的答案； （2）先移项得，左边提公因式，再利用提公因式法解此方程即可． 【详解】（1）解：甲同学的解法错误，乙同学的解法错误， 故答案为：不正确，不正确；·······················2分 （2）移项，得， ， 或， 解得．·······················8分 19．（8分） 【答案】(1) (2)路面设置的宽度符合要求 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据道路宽度不超过12米，且不小于5米解答即可； （2）根据中间的种植园区的面积是，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：纵向道路宽度的取值范围为；·······················3分 （2）解：根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． ， 路面设置的宽度符合要求．·······················8分 20．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， 对于（1），根据一元二次方程有两个实数根得，求出解集即可； 对于（2），根据一元二次方程根与系数的关系得，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题得，， 方程有两个实数根， ， 解得；·······················3分 （2）解：由题得，，， ， 即， 解得．·······················8分 21．（9分） 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)能， 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，图形类规律探索，解一元二次方程，正确找到图形的规律是解题关键． （1）通过对前4、5、6、7行的点数和进行分析，总结出点数和与行数的规律就能判断前n行的点数的和能否是600； （2）借助（1）中总结的点数和与行数的规律，将点数替换得出新的规律，判断前n行的点数的和能否是600． 【详解】（1）解： 根据题意，前n行的点数和为， 假设三角点阵中前n行的点数的和能是600，则， 即，解得， 由于为无理数，n不可能为整数，故前n行的点数的和不能是600．·······················4分 （2）解：由（1）知，每行的点数与行数一致时，前n行的点数和为， 当每行的点数变为时，此时前n行的点数和为， 假设三角点阵中前n行的点数的和能是600，则， 即，， 解得， 由于n为正整数，故n为24， 即这个三角点阵中前24行的点数的和是600．·······················9分 22．（9分） 【答案】(1)4 (2)能， (3)能，或7 【分析】（1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可； （2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可； （3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形．·······················2分 （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形，理由如下： 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形．·······················5分 （3）解：点和点的距离可以是，理由如下： 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是．·······················9分 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了动点问题，勾股定理，矩形和菱形的性质，一元二次方程的解法，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． 23．（11分） 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数之间的关系是解题的关键： （1）把代入方程求出的值，再解方程求出的值即可； （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，列出方程进行求解即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程，得：， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上：或；·······················4分 （2）∵方程有两个实根，， ∴， ∴， 解得：或， 当，方程化为：， ∴，满足条件； 当，方程化为：，此时，舍去； 故；·······················7分 （3）∵方程有两个实根，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或（舍去）， 当时，原方程化为：， 此时，满足题意， ∴．·······················11分 24．（12分） 【答案】(1)整体（或转化、化归）；5； (2)2或 (3)6 【分析】本题考查了换元法解方程和一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意利用换元法解方程即可； （2）仿照题意利用韦达定理进行求解即可； （3）设，则可得，进一步得到，再证明，推出，由 ，可得，即． 【详解】（1）解：材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体的数学思想方法， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 故的值为5；·······················2分 ， ， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 解得；·······················4分 （2）实数m，n满足：， 当时，， 当实数m，n是方程的两个不相等的实数根， ， ， 的值为2或；·······················8分 （3）设， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， ， ， ．·······················12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十四章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））下列一元二次方程，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A．， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B ．， ， 方程没有实数根，符合题意； C ．， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D．， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 2．（2026·河北邯郸·一模）设是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2032 【答案】C 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，即， 对所求代数式变形得： ， 将代入得： 原式 ， 故选C 3．（2026·河北张家口·一模）若一元二次方程的两根之积为，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的表达式，结合题干给出的条件列方程求解，再验证方程有实根即可得到结果． 【详解】解：， 由一元二次方程根与系数的关系可得，， ∵两根之积为， ∴，解得， ∴原方程为， 解得，，符合题意， ∴． 4．（2026·河北唐山·一模）关于x的一元二次方程的两个实数根为，，设，则M与方程根的判别式之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再分别计算和判别式，对比即可得到二者的数量关系． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，常数项为， ∵由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 方程的根的判别式， 又， ． 5．（24-25九年级上·河南周口·阶段检测）据某品牌新能源汽车经销商10月份至12月份统计，该品牌新能源汽车10月份销售1000辆，12月份销售1690辆．设月平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，根据月平均增长率的增长规律列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为， 根据题意得，． 故选：B． 6．（2026年河北唐山市曹妃甸区初中学业水平考试数学模拟试卷（一））对于实数，定义新运算“”：．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用新定义运算可得，再根据一元二次方程根的判别式解答即可求解． 【详解】解：由题意得，， 整理得，， ∵方程有实数根， ∴， 解得． 7．（2026·全国·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，则m的取值范围是（） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先根据方程有两个实根得判别式，结合韦达定理，根据两根之和为正，分两根均非负和一正一负两类讨论；分别化简，结合不等式求解m的范围；合并两类结果，得到最终取值范围． 【详解】方程有两个实数根 是方程的两根 两根不可能同为负数 只有两根均为非负数和一正一负两种情况 情况一：两根均为非负数 ， ， ， ， ， 恒成立， 又， ， 情况二：两根一正一负 ， ， ， 两根一正一负， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 或， ， ∴m的取值范围是． 8．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）关于y的方程，下面解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用一元二次方程的解法进行逐个判断，即可求解． 【详解】解：甲、方程化简得，甲写成，故甲解法错误； 乙、直接两边除以，未考虑的情况，会漏解，故乙解法错误； 丙、移项时符号错误，正确移项应为，丙写成，导致后续结果错误，故丙解法错误； 丁、化简得，配方得，得，即，解得，，解法完全正确； 综上可知丁的解法完全正确，选项D符合题目要求． 故选：D． 9．（25-26九年级上·河北沧州·期末）一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，据此计算即可判断． 【详解】解：∵原方程整理成一般形式后该方程的常数项为0， ∴原方程为， 配方得，即， ∴，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 10．（25-26九年级上·河北邢台·期末）用6m长的铝合金材料做一个形状如图所示的窗框（由矩形和矩形组成），窗框的面积为，求宽的长．小冀的解答过程如下，则开始出错的一步是（    ） 设宽的长为，则的长为……① 可列方程为……② 解方程，得……③ 不符合题意，故舍去……④ 答：宽的长为 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设宽的长为，然后表示出长，利用面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：设宽的长为，则的长为， 可列方程为， 解方程，得， 答：宽的长为， 故原解答过程中第③步错误， 故选：C． 11．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式的化简求值，熟练掌握方程根的定义并对代数式进行合理变形是解题的关键． 利用一元二次方程的根的定义，得出的值，再对所求分式进行化简，通过变形求出分母的值，进而得出分式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴，则， ∴ ， ∴． 故选：． 12．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确的变形是解题的关键．根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：∵若，则是方程的根，此时判别式，当方程有两个相等的实数根时，；当方程有两个不同的实根时，， ∴判别式，故①正确； ∵方程有两个不等实根，则其判别式，即， ∴方程的判别式，故②正确； ∵若c是方程的根，则，即，当时，不一定为0，故③错误； ∵是方程的根，则，， ，故④正确； ∵存在实数使，如取，则需，取即可(若，取，)，故⑤正确． 综上，正确的是①②④⑤． 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北石家庄·一模）已知一个关于的一元二次方程的两个根分别是和2，则这个关于的一元二次方程是__________． 【答案】（答案不唯一，合理即可） 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，即可构造出所求的一元二次方程． 【详解】设一元二次方程的两根为，， 根据根与系数的关系可得：，， 当二次项系数为时，一元二次方程的形式为， 即． 14．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知，则的值是________． 【答案】 19 【分析】本题考查了换元法、完全平方公式，熟练掌握换元法是解题的关键． 通过变量代换，将原方程转化为关于新变量的平方和，利用完全平方公式展开并简化，即可求解． 【详解】解：设，则，． 代入原方程：， 展开完全平方：， 合并同类项：， 移项：， ， 即． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·甘肃陇南·阶段检测）如图，在中，，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 【答案】或 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“的面积等于”，得出等量关系是解决问题的关键． 根据直角三角形的面积公式和路程速度时间进行求解即可． 【详解】设秒后，的面积等于，由题意可得： ， 整理得， 解得，． 经检验均是原方程的解． 或秒后，的面积等于． 故答案为：或． 16．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则__________； （2）经过 ____________________秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；（2）分及两种情况，列出关于的方程． （1）利用的长的长点的运动速度运动时间，可用含的代数式表示出的长； （2）当时，，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值；当时，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值．再取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：（1）动点从点出发，沿向终点以的速度移动， 经过秒，， ． 故答案为：； （2），，． 当时，，， ，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26九年级上·河北邯郸·期末）用合适的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个方程的特点选用恰当的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 即或， 解得：；·······················3分 （2）解： ， ， 即或， 解得：．·······················7分 18．（8分）（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ∴此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法 ，乙同学的解法 ．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】(1)不正确；不正确 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键，用公式法求解要将一元二次方程先化为一般式，再运用公式法求解． （1）先将3移项，得，此时，计算，所以此一元二次方程有两个不相等的实数根，据此判断甲同学和乙同学的答案； （2）先移项得，左边提公因式，再利用提公因式法解此方程即可． 【详解】（1）解：甲同学的解法错误，乙同学的解法错误， 故答案为：不正确，不正确；·······················2分 （2）移项，得， ， 或， 解得．·······················8分 19．（8分）（25-26九年级上·河北保定·期中）某农户承包了一块长方形果园，下图是果园的平面图，其中米，米．农户准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于对货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． (1)请直接写出纵向道路宽度的取值范围． (2)若中间的种植园区的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求？ 【答案】(1) (2)路面设置的宽度符合要求 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据道路宽度不超过12米，且不小于5米解答即可； （2）根据中间的种植园区的面积是，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：纵向道路宽度的取值范围为；·······················3分 （2）解：根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． ， 路面设置的宽度符合要求．·······················8分 20．（8分）（25-26九年级上·河北唐山·期中）已知的一元二次方程的两个实数根分别为、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， 对于（1），根据一元二次方程有两个实数根得，求出解集即可； 对于（2），根据一元二次方程根与系数的关系得，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题得，， 方程有两个实数根， ， 解得；·······················3分 （2）解：由题得，，， ， 即， 解得．·······················8分 21．（9分）（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…… 容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和．用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案，但是这样寻找答案需要花费较多时间且容易出错．我们通过观察总结得到如下规律：，可以解决任意行的问题． (1)三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能、求出n；如果不能试用一元二次方程说明道理． (2)如果把如图的三角点阵中各行的点数依次换为2，4、6、…、2n、…请你探究出前n行的点数和满足什么规律．这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)能， 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，图形类规律探索，解一元二次方程，正确找到图形的规律是解题关键． （1）通过对前4、5、6、7行的点数和进行分析，总结出点数和与行数的规律就能判断前n行的点数的和能否是600； （2）借助（1）中总结的点数和与行数的规律，将点数替换得出新的规律，判断前n行的点数的和能否是600． 【详解】（1）解： 根据题意，前n行的点数和为， 假设三角点阵中前n行的点数的和能是600，则， 即，解得， 由于为无理数，n不可能为整数，故前n行的点数的和不能是600．·······················4分 （2）解：由（1）知，每行的点数与行数一致时，前n行的点数和为， 当每行的点数变为时，此时前n行的点数和为， 假设三角点阵中前n行的点数的和能是600，则， 即，， 解得， 由于n为正整数，故n为24， 即这个三角点阵中前24行的点数的和是600．·······················9分 22．（9分）（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)能， (3)能，或7 【分析】（1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可； （2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可； （3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形．·······················2分 （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形，理由如下： 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形．·······················5分 （3）解：点和点的距离可以是，理由如下： 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是．·······················9分 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了动点问题，勾股定理，矩形和菱形的性质，一元二次方程的解法，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． 23．（11分）（24-25八年级下·重庆·阶段检测）阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： (1)当方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数之间的关系是解题的关键： （1）把代入方程求出的值，再解方程求出的值即可； （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，列出方程进行求解即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程，得：， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上：或；·······················4分 （2）∵方程有两个实根，， ∴， ∴， 解得：或， 当，方程化为：， ∴，满足条件； 当，方程化为：，此时，舍去； 故；·······················7分 （3）∵方程有两个实根，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或（舍去）， 当时，原方程化为：， 此时，满足题意， ∴．·······················11分 24．（12分）（25-26八年级下·江苏盐城·期中）阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 【答案】(1)整体（或转化、化归）；5； (2)2或 (3)6 【分析】本题考查了换元法解方程和一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意利用换元法解方程即可； （2）仿照题意利用韦达定理进行求解即可； （3）设，则可得，进一步得到，再证明，推出，由 ，可得，即． 【详解】（1）解：材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体的数学思想方法， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 故的值为5；·······················2分 ， ， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 解得；·······················4分 （2）实数m，n满足：， 当时，， 当实数m，n是方程的两个不相等的实数根， ， ， 的值为2或；·······················8分 （3）设， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， ， ， ．·······················12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $