精品解析：天津市武清区城关中学2025-2026学年高二下学期6月阶段性练习数学试卷

2025-2026学年度第二学期高二年级阶段性练习试卷 数学学科 （总分：120分 时长：100分钟） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（共36分） 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分. 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么． 如果事件A，B相互独立，那么． 如果事件，，，…，是一组两两互斥的事件，，且，2，3，…，n，则对任意的事件，有． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 所以， 所以. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词求解即可． 【详解】命题， 则为． 故选：B． 3. 已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；②甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；③回归直线恒过点，且至少过一个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强.其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】对于①，残差图中，残差点所在水平带状区域越窄，说明残差波动越小， 即回归方程的预报精确度越高，残差点所在水平带状区域越宽，说明残差波动越大， 即回归方程的预报精确度越低，错误； 对于②，决定系数越接近1，说明模型对数据的拟合效果越好，故模型甲的拟合效果更好，错误； 对于③，回归直线过样本数据，，，的中心点， 并不一定过样本数据中的某一个点，错误； 对于④，在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，正确. 4. 一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B 5. 某药企研发的一种新药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙名患有该疾病的患者服用了这种药物，则恰有2名患者被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，运用次独立重复试验中恰好发生次的概率公式求解即可． 【详解】由题意，每名患者被治愈的概率均为，且各患者是否被治愈相互独立，该试验属于次独立重复试验. 根据次独立重复试验中恰好发生次的概率公式： （其中）， 结合题意得，则有． 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过求函数的零点以及分析函数在特定区间的正负性，逐项判断即可求解. 【详解】令 ，即 ， 因为 恒成立，所以  ，解得  或 ； 所以函数  的图象与  轴有两个交点，分别为  和  ， 观察选项：A选项图象与  轴只有一个交点，排除； C选项图象在  处与  轴有交点，排除； 对于D选项，当  时， ， ， 由指数函数与幂函数的增长速度可知，即图象在  轴负半轴应无限趋近于  轴， 而D选项图象在  时 ，排除D, 当  时， ，且 ，所以 ，图象在  轴上方，且在  轴负半轴应无限趋近于  轴； 当  时， ，所以 ，图象在  轴下方， 当  时， ，所以 ，图象在  轴上方； B选项符合上述所有特征. 7. 已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. C. 240 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】因为的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等， 所以，所以. 所以的通项为 令，解得，所以， 故展开式中的常数项为60. 8. 在一次跳远决赛中，甲、乙两名运动员打破赛会纪录的概率分别为0.2和0.3，且两人同时打破纪录的概率为0.1，则在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】记事件A为“甲打破纪录”，事件B为“乙打破纪录”， 因为，，， 所以在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为==. 9. 已知函数（且），若对任意实数，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件判断函数的单调性，再根据函数的解析式，列式求解. 【详解】由，不妨假设， 则，即，即， 则函数单调递增， ，（且）， 则，解得：. 故选：D 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共11小题，共84分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 已知、取值如表所示，从散点图分析，与线性相关，且，则__________. 0 1 3 4 0.9 1.9 3.2 4.4 【答案】 【解析】 【详解】，， 所以 11. 函数的定义域是______． 【答案】且 【解析】 【详解】要使函数有意义，需满足：，解得且， 可得函数的定义域为且. 12. 若随机变量服从正态分布，且，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】由随机变量服从正态分布，得, 所以. 13. 设，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】令，得，则． 14. 一枚深水炸弹轻创、重创一艘潜艇的概率分别是、，被轻创和重创的潜艇分别以和的概率失去战斗力，计算一枚深水炸弹就能使潜艇失去战斗力的概率为____________. 【答案】## 【解析】 【详解】记事件一枚深水炸弹轻创一艘潜艇，事件一枚深水炸弹重创一艘潜艇， 记事件潜艇失去战斗力， 则，，，， 由全概率公式可得. 15. 已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可. 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为. 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数 （1）求在处的切线方程． （2）求的单调区间． （3）求在区间上的最值． 【答案】（1）切线方程为； （2）单调递减区间为，单调递增区间为； （3）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域并求导，利用导数几何意义求切线方程； （2）通过分析导函数符号确定单调区间； （3）比较区间内极值点和端点的函数值得到最值. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 所以，即切点为，， 由点斜式得切线方程为，即. 【小问2详解】 将导函数整理为， 令，解得，令，解得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点， 计算端点与极值点的函数值： 比较大小：，因此：最小值为；最大值为. 17. 在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. （1）求甲没有被录用的概率； （2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）先求出甲被录用的概率，再利用对立事件即可求解； （2）首先说明服从二项分布，进而可得分布列和期望. 【小问1详解】 设“甲被录用”为事件， 则， 所以甲没有被录用的概率为. 【小问2详解】 由（1），三人被录用与否相互独立，且概率相同，均为， 所以， 的可能取值为， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 18. 2021～2025年我国高铁的运营里程（单位：万公里）统计如下： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份序号x 1 2 3 4 5 运营里程y 4.0 4.2 4.5 4.8 5.0 （1）求关于的经验回归方程； （2）预测2026年我国高铁的运营里程． 附：在经验回归方程中， ，． 【答案】（1） （2）5.28万公里 【解析】 【分析】（1）计算年份序号和运营里程的平均值，利用最小二乘法公式求回归系数和，写出经验回归方程； （2）将预测年份对应的代入回归方程，计算得到2026年运营里程的预测值. 【小问1详解】 由题意得， ， 则 ， ． 故关于的经验回归方程为 ． 【小问2详解】 当时， ． 故预测2026年我国高铁的运营里程为5.28万公里． 19. 某中国服装品牌为了解国内、外客户对该品牌服饰的态度，在国内和国外分别选择100人开展抽样调查，绘制了如图所示的等高条形图．等高条形图是一种用于展示两个分类变量之间关系的统计图表，其核心特点是所有条形的高度相同，通过颜色或图案区分不同类别，从而直观反映各组内百分比的差异． （1）填写下面的列联表： 乐观 不乐观 合计 国内代表 国外代表 合计 （2）判断是否有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关． 附：， 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）答案见解析 （2）有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关． 【解析】 【分析】（1）根据题中信息得出列联表； （2）根据（1）中数据计算卡方，结合附表进行判断. 【小问1详解】 乐观 不乐观 合计 国内代表 40 60 100 国外代表 60 40 100 合计 100 100 200 【小问2详解】 ：假设对该品牌服饰的态度与国内外差异无关， 则， 答：有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关． 20. 已知，函数. （1）若在处取得极值，求实数的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若在上有三个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】通过求导，根据极值的性质导数等于0来求解参数； 通过求导，根据导数的正负来判断原函数的单调性； 根据零点的数量来判断满足条件的极值的正负情况，从而求解参数的取值范围. 【小问1详解】 函数，求导可得， 因为在处取得极值，所以， 化简可得，解得. 此时， 令得或；令得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点. 【小问2详解】 ， 分类讨论，当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减. 终上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 因为，由第二问可知当或时，，单调递增，当时， ，单调递减， 所以在时，取到极大值， 在时，取到极小值， 因为在上有三个零点，所以，即， 解得，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高二年级阶段性练习试卷 数学学科 （总分：120分 时长：100分钟） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（共36分） 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分. 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么． 如果事件A，B相互独立，那么． 如果事件，，，…，是一组两两互斥的事件，，且，2，3，…，n，则对任意的事件，有． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；②甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；③回归直线恒过点，且至少过一个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强.其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 某药企研发的一种新药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙名患有该疾病的患者服用了这种药物，则恰有2名患者被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. C. 240 D. 8. 在一次跳远决赛中，甲、乙两名运动员打破赛会纪录的概率分别为0.2和0.3，且两人同时打破纪录的概率为0.1，则在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数（且），若对任意实数，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共11小题，共84分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 已知、取值如表所示，从散点图分析，与线性相关，且，则__________. 0 1 3 4 0.9 1.9 3.2 4.4 11. 函数的定义域是______． 12. 若随机变量服从正态分布，且，则________． 13. 设，则_____． 14. 一枚深水炸弹轻创、重创一艘潜艇的概率分别是、，被轻创和重创的潜艇分别以和的概率失去战斗力，计算一枚深水炸弹就能使潜艇失去战斗力的概率为____________. 15. 已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数 （1）求在处的切线方程． （2）求的单调区间． （3）求在区间上的最值． 17. 在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. （1）求甲没有被录用的概率； （2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望. 18. 2021～2025年我国高铁的运营里程（单位：万公里）统计如下： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份序号x 1 2 3 4 5 运营里程y 4.0 4.2 4.5 4.8 5.0 （1）求关于的经验回归方程； （2）预测2026年我国高铁的运营里程． 附：在经验回归方程中， ，． 19. 某中国服装品牌为了解国内、外客户对该品牌服饰的态度，在国内和国外分别选择100人开展抽样调查，绘制了如图所示的等高条形图．等高条形图是一种用于展示两个分类变量之间关系的统计图表，其核心特点是所有条形的高度相同，通过颜色或图案区分不同类别，从而直观反映各组内百分比的差异． （1）填写下面的列联表： 乐观 不乐观 合计 国内代表 国外代表 合计 （2）判断是否有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关． 附：， 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 20. 已知，函数. （1）若在处取得极值，求实数的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若在上有三个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $