精品解析：天津市武清区南蔡村中学2024-2025学年高二下学期第一次检测数学试卷

高二下学期第一次检测试卷 一、选择题 1. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值点为0 C. 极大值为1 D. 有3个零点 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间和极值，再结合函数的零点，依次判断选项即可. 【详解】，， 当，，为减函数， 当，，为增函数， 当，，为减函数. 对选项A，，为减函数，，为增函数，故A错误. 对选项B、C，当时，函数取得极小值为， 当时，函数取得极大值为，故B错误，C正确. 对选项D，令，解得，， 所以函数有两个零点，故D错误. 故选：C 2. 已知函数，则（ ） A. 函数的极大值为，无极小值 B. 函数的极小值为，无极大值 C. 函数的极大值点为，无极小值点 D. 函数的极小值点为，无极大值点 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数判断出正确答案. 【详解】的定义域为， ， 所以在区间递增；在区间递减. 所以是的极大值，无极小值.极大值点为，无极小值点. 故选：A 3. 已知函数在上不存在极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求导数，根据，即可求得实数的取值范围. 【详解】，因为函数在上不存在极值点， 所以在上没有变号零点， 所以， 所以， 所以实数t的取值范围是． 故选：D． 4. 函数在上的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解导函数，得与的解集，从而得函数的单调性，求解出最大值. 【详解】，令，得，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以. 故选：A 5. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解. 【详解】由导数的定义可知， ， 又，所以， 所以. 故选：B. 6. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减 C. 在 处取得最大值 D. 在 处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定函数图像，判断导数的正负时的取值范围，再利用单调性逐项判断即可. 【详解】由导函数图像可知，当或时，， 当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故选项A，B错误； 在处取得极大值，且，故C错误，D正确； 故选：D 7. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求，取，可求，再求，，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程. 【详解】由，得， 所以，得， 所以，，，， 故所求切线方程为，即. 故选：A. 8. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由求出，再检验是否符合题意即可. 【详解】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选：A 9. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案． 【详解】令， ， ， 在上单调递减， 又， ， 不等式可化为， ， 故选：B. 二、填空 10. 函数的导数为___________ 【答案】 【解析】 【详解】 函数， 求导得. 11. 函数的单调减区间是___________ 【答案】 【解析】 【详解】， ， 当，即， 结合定义域， 解得：， 所以函数的单调减区间是：． 12. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知在上恒成立，利用参变量分离法可得出在上恒成立，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以，，即实数的取值范围为． 故答案为：． 13. 从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)； 【答案】24 【解析】 【分析】 先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有4种方法，根据分步计数原理求得结果． 【详解】解：先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有4种方法， 根据分步计数原理求得选取男、女生各1名，不同的安排方案种数为 4×3×2＝24， 故答案为： 24． 【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题． 14. 已知函数在处取得极大值，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】对函数求导，根据极值点求得或，再代入验证是否在处取得极大值，即可得. 【详解】由题设，且， 所以或， 当，则， 故或时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时在处取得极大值，满足； 当，则， 故或时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时在处取得极大值，满足； 综上，或 15. 已知关于的方程恰有三个不同的实数根，则当函数时，函数 的极大值为_________，实数的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（１）用导数来研究 的极大值； （２）将图像画出来，看直线与曲线的交点，可以求解． 【详解】（１）定义域为R，求导，令，解得． 分类讨论 极大值 极小值 则极大值． （２）当根据（１）表格可以大概画出图像如下． 关于的方程恰有三个不同的实数根，即恰有三个不同的实数根， 则与恰有三个不同交点，则. 故答案为：；． 三、解答题 16. 已知函数在时有极值0 （1）求的值； （2）求函数的单调区间与极值. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由导数与极值的关系得，解出即可； （2）由（1）得，分别令和，解出即可得到其单调区间. 【小问1详解】 由题可得， 由可得，，解得，经检验，符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 当时，解得；当时，解得或，列表如下： 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以函数的单调减区间为，单调增区间为和， 极大值为，极小值为. 17. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答. （2）根据给定条件，利用导数探讨单调性，求出最小值作答. 【小问1详解】 函数，求导得：，则有，而， 于是得，即， 所以曲线在点处的切线方程是. 【小问2详解】 函数，求导得：， 当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，. 18. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求的值； （2）求的极值． 【答案】（1）2 （2）极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，可求的值. （2）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值. 【小问1详解】 因为，. 所以，. 由题意. 【小问2详解】 因为，. 所以，. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且. 19. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）运用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式即可求解； （2）求出导数，令，所以，，对分类讨论导数的符号即可求解． 【小问1详解】 当时，， 所以切点为，，， 所以切线方程为． 【小问2详解】 由， 令，所以，， 当时，即时，恒成立，所以在定义域上是增函数； 当时，即时，当和时，恒成立，所以是增函数， 当时，恒成立，所以是减函数； 当时，即时，当和时，恒成立，所以是增函数， 当时，恒成立，所以是减函数； 综上所述：当时，在定义域上是增函数； 当时，在和上是增函数，在上是减函数； 当时，在和上是增函数，在上是减函数． 20. 设函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）； （2）在（1）的条件下求的单调区间和极小值： （3）若在上单调递减，求的取值范围． 【答案】（1） （2）单调减区间为，单调增区间为，极小值为2 （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求得的值； （2）利用导数与单调性以及极值的关系即可求解； （3）将在上单调递减转化为恒成立，分离参数，即可求出取值范围. 【小问1详解】 由题可得， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知，令，解得 由，解得，由，解得， 所以的单调减区间为，单调增区间为，当时，取得极小值； 【小问3详解】 由在上单调递减， 即在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 令，易知在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期第一次检测试卷 一、选择题 1. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值点为0 C. 的极大值为1 D. 有3个零点 2. 已知函数，则（ ） A. 函数极大值为，无极小值 B. 函数的极小值为，无极大值 C. 函数的极大值点为，无极小值点 D. 函数的极小值点为，无极大值点 3. 已知函数在上不存在极值点，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 函数在上的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减 C. 在 处取得最大值 D. 在 处取得极大值 7. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 9. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空 10. 函数的导数为___________ 11. 函数的单调减区间是___________ 12. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为______． 13. 从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)； 14. 已知函数在处取得极大值，则___________． 15. 已知关于方程恰有三个不同的实数根，则当函数时，函数 的极大值为_________，实数的取值范围是__________. 三、解答题 16. 已知函数在时有极值0 （1）求的值； （2）求函数的单调区间与极值. 17. 设函数. （1）求曲线在点处切线方程； （2）求函数在区间上的最小值. 18. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求的值； （2）求的极值． 19. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线； （2）讨论的单调性． 20. 设函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）； （2）在（1）的条件下求的单调区间和极小值： （3）若在上单调递减，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $