单元集训卷11　三角函数与解三角形-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数与解三角形核心考点，通过分层题型构建知识网络，强化逻辑推理与模型应用，培养数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数基础|选择1-3、9|定义应用、诱导公式、三角恒等变换|从定义到公式推导，构建恒等变形体系| |图像与性质|选择4-5、10、填空12|图像变换、对称性、值域求解|由解析式到图像特征，关联性质应用| |解三角形|选择6-8、11、填空13-14|正弦/余弦定理应用、面积计算、形状判断|定理推导到边边角关系，结合锐角/钝角三角形条件| |综合应用|解答15-19|函数性质、实际模型（筒车）、周长/最值问题|知识整合，体现模型意识与运算能力|

单元集训卷11　三角函数与解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． （ ） A． B． C． D． 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，都是锐角，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象（     ） A．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 5．已知函数 的图象向左平移（ ）个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，的面积，（    ） A． B． C． D． 7．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．钝角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式中，值为的是（   ） A． B． C． D． 10．函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B．点为图象的一个对称中心 C．时，的值域为 D．若，则 11．三角形的内角，，的对边分别为，，，且，下列说法正确的是（     ） A． B．若，，则三角形为锐角三角形 C．若，，则 D．若，且三角形有两解，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则在上的值域为___________． 13．已知角的终边不重合，且，则___________. 14．在锐角三角形中，角的对边分别是，若的面积，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知点是函数的一个对称中心． (1)求的值； (2)若函数的最大值为，求的最小值和单调递增区间． 16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每10秒钟转动1圈.如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)在如图所示的平面直角坐标系上，将点到水面的距离（单位：，且点在水面下时为负数）表示为时间（单位：）的函数，求的解析式； (2)当，求盛水桶高度上升的区间. 17．已知函数 (1)讨论在区间上的单调性； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的最大值． 18．在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若D在边上且，，求的最大值． 19．已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)判断的形状并说明理由. (2)已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷11　三角函数与解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式和两角差的正弦公式，正弦二倍角公式化简求值即可. 【详解】原式 ． 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到的范围，求出，再根据“凑角法”由两角差的正弦公式进行求解即可. 【详解】 ， ． 3．已知，都是锐角，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知是锐角，，则， ，都是锐角，则，又， 则，故， ． 4．将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象（     ） A．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】A 【详解】先将向左平移个单位，可得， 再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 可得的图象，故A正确. 5．已知函数 的图象向左平移（ ）个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换的性质求出结果. 【详解】由题可得， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以，即， 又，所以的最小值是． 6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，的面积，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以由正弦定理得，， 而，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 而，所以， 由余弦定理得，所以， 因此，而，因此， 所以，因此， 故. 7．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围. 【详解】由已知得：，即， 所以，又，所以， 由正弦定理得：， 所以， 所以 又 所以由是锐角三角形得：， ，即的取值范围是． 8．钝角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对已知等式进行化简，求出角，再利用余弦定理将转化为关于角的表达式，最后根据角的范围求出的取值范围. 【详解】已知，则. 即. 所以. 由于， 所以或. 当时，可得，那么，不满足为钝角三角形， 舍去. 当时，则，满足为钝角三角形，此时. 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A.，所以 ，A正确. B.，B错误. C.，C正确. D.. 因为， 所以原式，D错误. 10．函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B．点为图象的一个对称中心 C．时，的值域为 D．若，则 【答案】AB 【分析】对A，根据图象振幅确定，结合周期公式算出，再代入最低点坐标求出初相，从而确定函数表达式；对B，将代入函数表达式，验证，说明该点是函数图象的一个对称中心；对C，先确定当 时， 的取值范围，再根据正弦函数的单调性判断值域是否正确；对D，先由求出，再利用三角恒等变换公式将转化为关于的表达式，进而求出结果． 【详解】对于A：由图象知， 由函数图象的对称性可知的一个最低点为，即， 又的最小正周期为，， 由可得，即， 即，因为，所以， 所以，A正确； 对于B：因，所以点为图象的一个对称中心，B正确； 对于C：当时，，则的值域为，C错误； 对于D：，所以， 则，D错误． 11．三角形的内角，，的对边分别为，，，且，下列说法正确的是（     ） A． B．若，，则三角形为锐角三角形 C．若，，则 D．若，且三角形有两解，则 【答案】AC 【分析】选项 A 通过射影定理得：，直接判定正确；选项 B 结合余弦定理计算最大边所对角的余弦值，可知该角为钝角，三角形为钝角三角形，故 B 错误；选项 C 运用正弦定理求出，再根据大边对大角舍去不合理解，得到，C 正确；选项 D 依据三角形两解的条件推出b的取值范围为开区间，原选项区间有误，D 错误. 【详解】对于A项，在中，由射影定理得：， 将其代入条件，可得： 因为，所以，故选项 A 正确； 对于B项，已知，该三角形最大边为c，则最大的角为角C， 由余弦定理： 所以角C为钝角，为钝角三角形，故选项 B 错误； 对于C项，已知 ， 由正弦定理​得：。 又，根据大边对大角，得 ，所以，故选项 C 正确； 对于D项，已知，，当三角形有两解时，满足条件：， 解得：，故，故选项 D 错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则在上的值域为___________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的平方关系将原函数转化为关于的二次函数，再利用换元法，及二次函数的性质即可求解． 【详解】由，， 令，，则原函数转化为二次函数，， 又该二次函数开口向下，且对称轴为， 当时，取得最大值，； 当时，；当时，，即， 所以在上的值域为． 13．已知角的终边不重合，且，则___________. 【答案】 【分析】利用辅助角公式，化简得到，求得，进而得到答案. 【详解】由，可得， 因为， 且，所以， 因为角的终边不重合，所以， 则，可得， 所以. 14．在锐角三角形中，角的对边分别是，若的面积，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据条件，利用三角形面积公式及正弦定理得到，利用正弦的和角公式及商数关系，得到，再由正切的和角公式得，令，得到，即可求解. 【详解】因为的面积，则， 又，则， 所以， 又，所以， 则，所以， 则， 令，则， 因为，则，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知点是函数的一个对称中心． (1)求的值； (2)若函数的最大值为，求的最小值和单调递增区间． 【答案】(1) (2)的最小值为，单调递增区间为 【分析】(1)利用余弦函数的对称中心性质即可求出的值.(2)先利用二倍角公式和辅助角公式化简,即可求解最值和单调性. 【详解】（1）已知点是对称中心，则有， 解得，又因为，所以当时，. （2）由(1)知， 则 即 因为，所以的最大值为 由题意可知. 所以，所以的最小值是. 解得， 所以单调递增区间为 16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每10秒钟转动1圈.如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)在如图所示的平面直角坐标系上，将点到水面的距离（单位：，且点在水面下时为负数）表示为时间（单位：）的函数，求的解析式； (2)当，求盛水桶高度上升的区间. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可确定，结合最小正周期公式得到，根据最值得到，，再代入，可求即可得到的解析式； （2）以为整体，结合正弦型函数的单调性运算求解即可． 【详解】（1）根据题意可知：的最小正周期， 且，则，解得， 因为，解得，则， 又因为，即， 且，则， 所以. （2）因为， 若，则， 令或，解得或， 所以盛水桶高度上升的区间为或. 17．已知函数 (1)讨论在区间上的单调性； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的最大值． 【答案】(1)递增区间，递减区间 (2) 【分析】（1）先化简，再利用正弦函数的单调性即可求出； （2）先求出，再利用余弦定理和基本不等式即可求出. 【详解】（1）由题意得， 令，当时，， 当，即时，单调递增，单调递增； 当，即时，单调递减，单调递减； 当，即时，单调递增，单调递增. （2），，， ，，，即， ，， 由基本不等式得，解得， 当且仅当时等号成立， 此时为等边三角形，满足锐角三角形，周长的最大值为. 18．在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若D在边上且，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可； （2）根据余弦定理可得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理得：， 且， 可得， 即，又因为，则， 可得，整理可得， 又，则，可得，解得. （2）由得，又，， 则由余弦定理得，即， 即， 由基本不等式得， 所以，所以， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 19．已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)判断的形状并说明理由. (2)已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)等腰三角形，因为，根据正弦定理，所以 ，则 ， 则 . 因为，，所以 ，则 ， 则 ，即，从而为等腰三角形. (2) （i）或；（ii）. 【分析】（1）根据正弦定理以及同角三角函数的关系化简得到 ，再求解即可. （2）（i）根据三角形面积公式求出，再余弦定理求出. （ii）根据（i）得到，再根据余弦定理得到，结合等腰三角形以及锐角三角形求出的范围，进而得到的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（i）因为的面积为，所以. 又，所以 ， 即，则. 由余弦定理知. 当时，，得； 当时，，得. （ii）由（i）可得 ，则. 因为为锐角三角形，且，所以 解得，则，则 ， 则 ，故的取值范围为. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $