2.2 《求解一元二次方程》第1课时《配方法解一元二次方程》教学课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦配方法解一元二次方程，通过“温故知新”回顾完全平方公式与直接开平方法，从可直接开平方的特殊方程过渡到一般方程，以梯子滑动问题为情境引入，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于遵循“从特殊到一般”的科学路径，结合小球运动等实际问题建模，体现数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识）。采用情境探究、例题精析及知识思维导图小结，分层作业设计助力巩固。帮助学生理解转化思想，提升运算能力，为教师提供清晰教学流程和实用资源。

第二章 一元二次方程 2. 求解一元二次方程 第1课时 配方法解一元二次方程 主讲人：XX老师 授课班级：XX级X班 北师大新版数学九年级上册 1.7.2013 大家好，今天我们继续学习第二章《一元二次方程》。这节课我们将学习一种非常重要的解法——配方法。让我们一起进入今天的学习。 ‹#› 课程目录 01. 本节思路 02. 教学目标 03. 温故知新 04. 新知探究 05. 例题精析 06. 课堂小结 07. 课后巩固 1.7.2013 这是我们本节课的课程目录，我们将按照这个顺序，逐步深入地学习配方法。 ‹#› 01 本节思路 从特殊到一般，探索配方法的奥秘。 1.7.2013 首先，我们来明确本节课的学习思路。我们将从特殊的一元二次方程入手，逐步探索出配方法的一般步骤。 ‹#› 本节思路 配方法是解一元二次方程的通法之一，也是推导求根公式的基础，在方程求解中具有承上启下的关键作用。 思考：前面我们学过利用平方根解 这样的方程，那么如何解像 这样的方程呢？ 学习思路 01. 聚焦研究对象 本节课核心研究用配方法解一元二次方程。配方法是解一元二次方程的通法之一，也是推导求根公式的基础。 02. 遵循科学路径 从能直接开平方的特殊方程出发，通过“配成完全平方”的手段，将一般形式的一元二次方程转化为特殊形式，从而求解。 03. 明确课堂目标 理解配方法的基本思想，掌握用配方法解一元二次方程的步骤，能熟练运用配方法解决简单的实际问题。 1.7.2013 我们的学习思路主要有三点：聚焦研究对象，遵循科学路径，明确课堂目标。我们将通过解决实际问题，来学习配方法的相关知识。 ‹#› 02 教学目标 明确学习目标，把握学习方向。 1.7.2013 接下来，我们明确一下本节课的教学目标，这将帮助我们更好地把握学习方向。 ‹#› 教学目标 目标1：思想理解 理解配方法的核心思想，将一元二次方程通过配方转化为 的形式。 （核心基础） 目标2：步骤掌握 掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤，熟练求解二次项系数为1和不为1的方程。 （重点难点） 目标3：应用能力 能运用配方法解决简单的实际问题，体会数学建模思想，提升解决实际问题的能力。 （能力提升） 学习建议：关键是“加上一次项系数一半的平方”；注意方程两边要同时进行相同的变形；解实际问题时要检验解的合理性。 1.7.2013 本节课我们有三个核心目标：理解配方法的思想，掌握配方法的步骤，以及应用配方法解决实际问题。其中，掌握配方法的步骤是重点和难点。 ‹#› 03 温故知新 回顾旧知识，衔接新知识。 1.7.2013 在学习新知识之前，我们先来回顾一下相关的旧知识，以便更好地衔接。 ‹#› 温故知新 知识回顾：配方法基础 完全平方公式 直接开平方法 若 ，则 适用形如 或 的方程 典型方程示例 知识联系 配方法是将一般形式的一元二次方程，通过配方转化为可直接开平方的形式，从而求解的方法。 思考与引入：如何将一般的一元二次方程转化为可以直接开平方的形式？这就是我们今天要学习的核心——配方法。 1.7.2013 我们先来回顾完全平方公式和直接开平方法。请大家思考，如何将一般的一元二次方程转化为可以直接开平方的形式呢？这就是我们今天要学习的配方法。 ‹#› 04 新知探究 从实际问题出发，探索配方法。 1.7.2013 接下来，我们通过一个实际问题，来探索配方法的奥秘。 ‹#› 新知探究 问题引入：梯子滑动 01 问题回顾 回顾梯子滑动问题，我们得到方程：。此前已求出近似解，现在我们要探索它的精确求解方法。 02 难点分析 该方程左边不是完全平方式，无法直接开平方求解。我们需要通过代数变形，将其转化为可直接开平方的形式，这是解题的关键。 03 核心思考 思考：如何将方程 转化为的形式？ 04 转化目标 将方程左边配成含未知数的完全平方式，右边为非负常数，进而开平方求解，这种方法叫配方法。 核心观察：配方法的本质是“降次”，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，体现了数学中重要的转化思想——将未知问题转化为已知问题来解决。 1.7.2013 我们来看这个熟悉的梯子滑动问题。这个方程不能直接开平方，我们需要想办法把它转化为可以直接开平方的形式。 ‹#› 新知探究 思考与交流：从特殊到一般的转化 我们已经会解形如 或 的特殊一元二次方程，那么如何求解一般形式的方程？能否通过变形将其转化为熟悉的特殊形式来解决？ 01 回顾：特殊方程的直接开平方法 能解、 这类方程，利用直接开平方法：若，则，进而求出的值。 02 探究：一般方程的转化思路 对于方程，无法直接开平方。关键困难是左边不是完全平方式，需通过“配方”在两边加常数，将其转化为的形式求解。 1.7.2013 我们先来回顾一下能直接开平方的特殊方程。然后思考，如何将一般方程转化为这种形式。 ‹#› 新知探究 配方法的核心思想 核心思路：构造完全平方式 以方程为例，首先通过移项将常数项分离，为配方创造条件： 配方步骤推演 1.配方：两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得 2.变形：左边凑成完全平方式，右边合并常数 至此，方程转化为可直接开平方的形式，实现了降次求解的目的。 配方原理 逆用完全平方公式：对 ，加上 即可凑成完全平方式： 这是将一般一元二次方程转化为特殊形式的关键依据。 1.7.2013 这就是配方法的核心思想。我们通过在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成一个完全平方式，从而将一般方程转化为可以直接开平方的形式。 ‹#› 新知探究 操作与思考：探索配方的规律 动手实践：补全完全平方式 观察思考：等式左边的常数项如何由一次项系数得到？ 01 核心规律：常数项等于一次项系数一半的平方。即对于，需添加的常数项为。 36 49 7 02 配方关键：若二次项系数不为1，先把二次项系数化为1，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，完成配方变形。 1.7.2013 我们通过几个练习来巩固一下配方的方法。大家可以发现，配方的关键就是加上一次项系数一半的平方。 ‹#› 新知探究 配方法的定义与步骤 配方法的核心定义 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。它的核心是将一般形式的一元二次方程转化为完全平方式的特殊形式，进而利用开平方的方法求出方程的根。 步骤 ①移项：把常数项移到方程右边； ②配方：两边加一次项系数一半的平方，构造完全平方式。 ③变形：将方程左边化为完全平方形式； ④求解：若右边为非负数，直接开平方求根；若为负数，方程无实数根。 ▍核心依据：配方的本质是利用完全平方公式 ，通过人为添加常数项，将方程左边的二次三项式转化为完全平方式，实现“降次”的目的。 ▍方法意义：配方法不仅是解一元二次方程的通用方法，更是以后推导求根公式、解决二次函数最值问题的基础，体现了数学中“转化与化归”的核心思想。 1.7.2013 现在我们来总结一下配方法的定义和基本步骤。配方法的核心就是“配方”，通过配方将一般方程转化为特殊形式。大家要重点掌握“移项、配方、变形、求解”这四个步骤，特别是配方时两边要同时加上一次项系数一半的平方，这是配方法的关键所在。 ‹#› 新知探究 实际应用： 一个小球从地面以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度（单位：m)与时间（单位：s)满足关系： 小球何时能达到10m高？。 （1)你是怎么解决这个问题的？ （2）你认为用配方法解一元二次方程时，要注意哪些方面？与同伴进行交流。 ； 1.7.2013 我们用配方法解这个方程，得到两个解。这说明小球在上升过程中和下落过程中各有一次经过10米的高度。 ‹#› 新知探究 实际应用： ； 01. 问题建模 问题：小球何时能达到10 m高？ 根据物理运动规律，列出方程： ，即 02. 配方求解 移项： 配方： 开方： 解得： 03. 结果解读 结论：小球在弹出后1秒和2秒时，高度都为10米。 这说明小球在上升和下落过程中各经过一次该高度。 提示：用配方法解一元二次方程时，要注意配方时，二次项系数为1，且在加上一次项系数一半的平方时同时减去一次项系数一半的平方或在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 1.7.2013 我们用配方法解这个方程，得到两个解。这说明小球在上升过程中和下落过程中各有一次经过10米的高度。 ‹#› 新知探究 随堂练习 用配方法解下列一元二次方程 答案 (1)： 答案 (2)： 1.7.2013 这几道练习题都是二次项系数为1的方程，请大家用配方法来解。注意解题步骤要规范。 ‹#› 05 例题精析 学以致用，加深理解。 1.7.2013 现在请大家做几道随堂练习，检验一下自己的掌握情况。 ‹#› 例题精析 例1：解方程 01 移项与配方（基础准备） ① 移项：将常数项移至右边，得；② 配方：两边加一次项系数一半的平方，得 。 02 变形与开方（核心转化） 03 求解与验证（最终结果） 配方后化为完全平方式：；两边开平方，得 ，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。 当 时，解得 ；当 时，解得 。因此方程的两个实数根为 ；。 1.7.2013 我们来看第一个例题，这是一个二次项系数为1的方程。我们严格按照配方法的步骤来求解：首先进行移项，把常数项移到方程右边；接着进行配方，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边构造成完全平方式；然后利用平方根的定义进行开方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程；最后分别解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 ‹#› 例题精析 例1：解方程 解：将常数项移至右边，得 两边加一次项系数8的一半的平方，得 即。 两边开平方，得 即 或 。 所以 ； 。 1.7.2013 我们来看第一个例题，这是一个二次项系数为1的方程。我们严格按照配方法的步骤来求解：首先进行移项，把常数项移到方程右边；接着进行配方，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边构造成完全平方式；然后利用平方根的定义进行开方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程；最后分别解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 ‹#› 例题精析 求解二次项系数不为1的一元二次方程 例2：解方程 【题目分析】 该方程的二次项系数为3（不为1），是配方法的进阶题型。解题的第一步必须先将二次项系数化为1，再依次进行移项、配方、变形和开方求解，其中“配方”是核心步骤，需准确计算一次项系数一半的平方。 规范解题步骤演示 1. 化系数为1：两边同除以3，得 2. 移项：把常数项移到右边，得 3. 配方：两边加，得 4. 变形与求解：得，开方得. 1.7.2013 我们来看第二个例题，这个方程的二次项系数不是1。解这类方程的第一步是将二次项系数化为1，然后再按照配方法的步骤来解。首先，方程两边同时除以3，把二次项系数变成1；接着进行移项，将常数项移到等号右边；然后进行配方，这一步要注意，加上的是一次项系数一半的平方；最后整理成完全平方式，开平方求出方程的两个解。 ‹#› 例题精析 解：两边都除以3，得 移项、配方，得 即。 例2：解方程 两边开平方，得 即 或。 所以 ； 。 1.7.2013 我们来看第一个例题，这是一个二次项系数为1的方程。我们严格按照配方法的步骤来求解：首先进行移项，把常数项移到方程右边；接着进行配方，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边构造成完全平方式；然后利用平方根的定义进行开方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程；最后分别解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 ‹#› 例题精析 核心总结：当二次项系数不为1时，必须先将其化为1，这是配方的关键前提步骤。 步骤详解 01. 化1 (系数归一) 方程两边同时除以二次项系数，将其化为1，为后续配方做准备。 02. 移项 (分离常数) 将常数项移到等号右边，使左边只保留含未知数的项，方便配方。 03. 配方 (关键一步) 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，构建完全平方式。 04. 变形与求解 左边写成完全平方形式，右边合并常数项，最后直接开平方求解。 1.7.2013 我们再来详细看一下例2的每一步。当二次项系数不为1时，一定要先将其化为1，这是解这类方程的关键步骤。 ‹#› 07 课堂小结 回顾总结，加深记忆。 1.7.2013 好了，一节课的时间很快就结束了。我们来回顾总结一下本节课的内容。 ‹#› 课堂小结 知识思维导图 掌握配方法的核心思想与步骤，灵活运用技巧解决实际问题。 01. 核心思想 将一般形式方程通过配方转化为的形式。 02. 基本步骤 移项 → 配方 → 变形 → 求解，按步骤有序进行。 03. 关键技巧 方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 04. 特殊情况 当二次项系数不为1时，先将其化为1再进行配方。 1.7.2013 这张思维导图概括了我们今天学习的所有知识点，包括配方法的核心思想、基本步骤、关键技巧和特殊情况。希望能帮助大家构建完整的知识体系。 ‹#› 08 课后巩固 应用知识，解决问题。 1.7.2013 最后，是我们的课后巩固环节。 ‹#› 课后巩固 分层作业设计——基础必做（全员完成） 01. 基础巩固 用配方法解相关一元二次方程，通过实际解题练习，熟练掌握配方法解一元二次方程的核心步骤与操作技巧，夯实配方法的基础运算能力。 02. 能力提升 尝试用配方法证明方程无实数根，在证明过程中深入理解配方法的原理，同时强化对一元二次方程根的判别式的认知与灵活运用。 03. 简单应用 已知矩形周长为20cm，面积为24cm²，据此分析数量关系并建立一元二次方程模型，进而求解矩形的长和宽，体会数学在几何实际问题中的应用价值。 提示：完成作业时请紧扣配方法的解题步骤，规范书写配方与求解过程；完成后对照课堂讲解的方法自行检查，确保步骤合理、计算准确，切实掌握配方法的应用。 1.7.2013 这是我们的基础作业，要求全员完成。主要是对今天所学知识点的巩固和应用，请大家认真完成。 ‹#› 课后巩固 分层作业设计——提升选做（学有余力完成） 01. 拓展探究：用配方法求二次三项式的最小值。 02. 综合建模：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为扩大销售、增加盈利并尽快减少库存，商场决定降价。调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 1.7.2013 对于学有余力的同学，这里有两道提升题。第一题是关于二次三项式的最值问题，第二题是一个综合应用问题。希望大家能挑战一下自己。 ‹#› 感谢聆听 THANKS 课后小任务：完成练习册对应页习题巩固基础，预习下一节《用公式法解一元二次方程》。 1.7.2013 今天的课就到这里，感谢大家的认真聆听。请记得完成课后作业，并预习下一节课的内容。下课！ ‹#› $