2.5 二次函数与一元二次方程(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

二次函数 第二章 二次函数与一元二次方程（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题若二次函数y=x2-4x+c的图象与坐标轴有两个交点，求c满足的条件 【分析】因为题设中没有明确两个交点在哪个坐标轴上，所以需要讨论两个交点在x轴、 y轴的位置. 【解答】由二次函数的图象性质可知y=x2-4x+c的图象与y轴有且只有一个交点(0，c): ①如果(0，c)仅在y轴上，即c≠0时，那么该函数图象与x轴有唯一交点，则方程x2-4x+ c=0有两个相等的实数根，此时b2-4ac=(-4)2-4c=0,解得c=4.②如果(0，c)既在y轴上， 又在x轴上，(0，c)为原点，即c=0,此时该函数图象与x轴有两个交点，这两个交点的横 坐标是方程x2-4x=0的解，此时该函数图象与坐标轴的两个交点为(0,0)，(4,0)，所以 c=0或c=4. 【点拨】此题考查二次函数和一元二次方程的关系.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴有 且仅有一个交点，与x轴是否有交点和有几个交点与方程ax2+bx+c=0(a≠0)密切相关：若 方程有两个不等的实数根，那么函数图象与x轴有两个交点；若方程有两个相等的实数根， 那么函数图象与x轴有一个交点；若方程没有实数根，那么函数图象与x轴没有交点.所以 必须领会一元二次方程和二次函数的联系 例题2已知m,n(m<n)是关于x的方程(x-a)(x-b)=1的两根，且a<b,试比较a,b, m,n的大小关系. 【分析】根据题设可知，二次函数y=(x-a)(x-b)的图象与x轴的两个交点为(a,0),(b, 0),a,b是方程(x-a)(x-b)=0的两个根.当y=1时，得到方程1=(x-a)(x-b).因为m,n(m< n)是这个方程的两根，于是推出当x=m或x=n时，其函数y=(x-a)(x-b)的值等于1，即函 数y=(x-a)·(x-b)的图象与直线y=1的两个交点为(m,1)和(n,1). 【解答】m,n是关于x的一元二次方程(x-a)(x-b)=1的两个根，根据二次函数与一元 二次方程的关系可知，点(m,1)和(n,1)是函数y=(x-a)(x-b)与直线y=1的交点.m< n,a<b,由函数的对称性可知，点(m,1),(a,0)在函数图象对称轴的左侧，点(b, 0),(n,1)在函数图象对称轴的右侧.又·在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称 轴右侧，y随x的增大而增大，m<a<b<n. 【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系.解答函数及函数图象的相关问题 时，我们可以要画出函数的图象，然后借助函数图象的直观性去解决问题 基础巩固)达标闯关 一卡g每B 1.二次函数y=x+3x-4的图象与x轴交点的坐标是 43 口数学 九年级下册（北师大版） 2.一元二次方程x2+2x+1=0的根为 ,二次函数y=x2+2x+1的图象与x轴有 个交点，其交点坐标为 3.二次函数y=3x2+4的图象与x轴 ,方程3x+4=0在实数范围内 4.一元二次方程x2-4x-3=2的根就是二次函数y=x2-4x-3的图象与直线 的 交点的 坐标，其值为 5.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根是（) A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3 6.关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根，则抛物线y=x2-x-n的图象的顶点在 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c为常数)的图象如图所 示，ax2+bx+c=m有实数根的条件是() A.m=0 B.m>4 C.m≥-2 D.m≥5 第7题图 8.如图，抛物线y=-x2-4x+c(c<0)与x轴交于点A和点B(n,0), 点A在点B的左侧，则AB的长是() A.8-2n B.8+2n C.4-2n D.4+2n 第8题图 9.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答 下列问题！ (1)写出方程ax+bx+c=0的两个根. (2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 (3)若方程a+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围 第9题图 4 二次函数 第二章 能力提升睡综合拓展 10.如图，有一个长为34m的篱笆，利用一面长为12m的墙围成两个面积相等的鸡 栏，每个鸡栏都有一个利用其他材料做成的宽1的小门，如果设鸡栏垂直于墙的一边AB 为xm,两个鸡栏的总面积为Sm?, (1)求鸡栏的总面积S(m)与x(m)之间的函数关系式. (2)如果每个鸡栏的面积为30m,那么AB的长是多少？ C 第10题图 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm,AC=3cm.若△A'B'C'与△ABC完全 重合，当△ABC固定不动时，将△A'B'C沿CB所在的直线向左以1cms的速度移动.设移动 xs后△A'B'C与△ABC的重叠部分的面积为ycm2. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)几秒后两个三角形重叠部分的面积等于？cm? 第11题图 45 数学 九年级下册（北师大版） 12.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=+2+6的图象交x轴于点A,B(点 A在点B的左侧). (1)求点A,B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围 (2)把点B向上平移m个单位长度得点B.若点B1向左平移个单位长度，将与该二 次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(+6)个单位长度，将与该二次函数图象上 的点B,重合.已知m>0,n>0,求m,n的值. 0 第12题图 13.某通信器材公司销售一种市场需求较大的新型通信产品.已知每件产品的进价为40 元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）为120万元.在销售过程中发现，年销售量 y(万件)与销售单价x(元)之间存在着如图所示的函数关系 (1)求y关于x的函数关系式. (2)求该公司销售该种产品的年获利z(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式 (年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支).当销售单价x为何值时，年获利最大？请 求出这个最大值， (3)若该公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助(2)中的函数图象， 请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下，要使产品销量最大，你认为销售单价 应定为多少元？ /万件 3 2 02040 6080 x/元 第13题图 46 二次函数 第二章 中考链接©真题演练 14.(2025·武汉)已知二次函数y=ax2+(a-2)x-2(a为常数，且a≠0).下列五个结 论：①该函数图象经过点(-1,0)；②若a=-1,则当x>-1时，y随x的增大而减小；③该 函数图象与x轴有两个不同的公共点；④若a>2,则关于x的方程ax+(a-2)x-2=0有一个 根大于0且小于1；⑤若a>2,则关于x的方程1ax2+(a-2)x-2=2的正数根只有一个.其中正 确的是 (填序号). 15.(2025·青岛)将二次函数y=x2-2x-3的图象在x轴下方的部分以 x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象.下列对新函 数的描述正确的是（) A.图象与y轴的交点坐标是(0，-3) B.当x=1时，函数取得最大值 第15题图 C.图象与x轴的两个交点之间的距离为4 D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 16.(2025·陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-2ax+a-3(a≠0)的图象与x轴 有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是() A.图象的开口向下 B.当>0时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于-3 D.当x=2时，y<0 17.(2025·黑龙江)如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A,B,交y轴于点C,且点A 在点B的左侧，顶点坐标为(3，-4). (1)求b与c的值 (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积与△ABC的面积相等？若存 在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由. 第17题图 回参考答案与提示 n=35时，yg的最大值为1805.又1980>1805，.小 38元时，每天的利润最大，最大利润是640元， 李增种A种作物可获得最大总产量，最大总产量是 15.解：(1)设A款“哪吒”纪念品每个的进价 1980千克 为x元，B款纪念品每个的进价为y元.由题意，得 12.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y= 200x+300y=14000, 解得0答A,B两款“哪 x+b,将(20,15)，(30,12.5)代入函数关系式， .100x+200y=8000. y=20. 1 吒”纪念品每个的进价分别为40元和20元， 20k+b=15,解 k4’ 1 y=- x+20. (2)P= 30k+b=12.5. 4 (2)设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A b=20. 款纪念品(400-m)个，由题意，得40(400-m)+20m≤ /1 (1-20%)x·-4+20=-0.2416.(3)设利润为W 12000.解得m≥200..m的最小值为200.答：至少需 要购进B款纪念品200个」 万元，则W=-0.2x2+16x-(50+0.2x)-6.2x.整理得W= (3)由题意得，W=(a-40)[200-5(a-60)]=-5a2+ -0.2x2+9.6x-50,配方得W=-0.2(x-24)2+65.2.-0.2< 700a-20000.配方，得W=-5(a-70)244500.-5<0,60≤ 0,∴.抛物线开口向下，W有最大值..当x=24时， W大=652.答：原料的质量为24t时，所获销售利 a≤100，.当a=70时，W有最大值，最大值为4500. 润最大，最大销售利润是65.2万元. 16.解：(1)设A型客车每辆载客量为x人，则 *13.解：(1）根据观察可设1=a2+bt,将 B型客车每辆载客量为(x-15)人.根据题意，得600 （5,25)，(10,40)代人得25a+5b=25, 解得 100a+10b=40. 0解得0经检验，-60是所列方程的解，且 符合题意..-15=60-15=45（人）.答：A型客车每辆 = '=与46将其他，n的对应值代人该 载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人. b=6. (2)设租用A型客车m辆，则租用B型客车(10- 式中，均清足，与：的函数关系式为=写46 m)辆.根据题意，得60m+45(10-m)≥530.解得m≥ (0≤t≤30，且为整数).(2)当0≤t≤10时，设y2= 16.设本次研学活动学校的租车总费用为0元，则0= 3 t,(10,40)在其图象上，10k=40.k=4.∴2与t (3200-50m)m+3000x0.8(10-m)=-50m2+800m+24000. 的函数关系式为y2=4.当10<t≤30时，设y2=t+n,将 配方，得0=-50(m-8)2+27200.-50<0,抛物线的开 (10.40,(30,60)代人得0+n=0.解得 口向下，对称轴为直线m=8,∴.当m≤8时，w随着m (30m+n=60. m=309与1的函数关系式为=+30.综上所述， m=1, 的蜡大而增大.m≥华，且m取正整数，当m=6 时，0取得最小值，最小值为0=-50×(6-8)2+27200= 14t(0≤t≤10，且为整数)， (3)依题意得y= 27000(元).答：本次研学活动学校的最少租车费用 +30(10<1≤30，且为整数. 是27000元 ,当0≤1≤10时，)46+4=+10=号c 5二次函数与一元二次方程（第1课时）】 5 1.(-4,0)和(1,0)2.x==-11(-1,0) 25+125.a=号0，当125时，y的值随：的增大 3.无交点无解4.y=2横5和-1 5.B6.A7.C8.D 而增大.又：0≤≤10，当10时，y题=-×(10- 5 9.解：(1)当y=0时，函数图象与x轴的两个交 25)4125=80;当10<1≤30时，)y=-写+61+30= 点的横坐标即为方程a2+bx+c=0的两个根，由图象可 知，方程的两个根为x=1,x2=3.(2)根据函数图 -47430-方+31为整数，=7或 象，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，此时x>2. (3)方程a2+bx+c=k有两个不相等的实数根，即函 18时，y=91.2.91.2>80,当t的值为17或18时， 数y=2+b.x+c(a≠0)的图象与直线y=k有两个交点， 日销售量有最大值91.2元. 此时k<2. 14.解：(1)(60+10x)(2)设该款巴小虎吉 10.解：(1)AB长为xm,则BC的长为(34+ 祥物降价x元，根据题意，得(40-30-x)(60+10x)= 2-3x）m,根据题意，得S=(34+2-3x)x=-3x2+36x. 630.整理方程，得x2-4x+3=0.解得x=1,2=3.由于要 (2)由题意，知-3x2+36x=60.整理方程得x2-12x+20=0. 让利于游客，x=1舍去..该款巴小虎吉祥物每件降 解得x1=2,2=10.当x=2时，34+2-3x=30>12,不符 价3元时文旅公司每天的利润是630元.(3)设该 合题意，舍去.当x=10时，34+2-3x=6<12,∴x=10, 款巴小虎吉祥物每件降价x元，则W=(40-30-x)(60+ .AB的长为10m. 10x)=-10x2+40x+600.将二次函数表达式配方，得W= 1L.解：(1)设A'C交AB于点P,A'C∥AC, -10(x-2)2+640.-10<0,.当x=2时，W取得最大值 为640元，此时每件售价为38元.答：当每件售价为 易得△PBC∽△ABC,BC=4-..BC-PC.PC 数学 九年级下册（北师大版） 子40，分×星(4-04-)840gr-3*6 BC∥PD,.设直线PD的表达式为y=-x+9,将D (5,4)代人，得-5+q=4.解得q=9..直线PD的表达 2)若5m是，即受4是(4l, 式为y=-x+9..由题意，得x2-6x+5=-x+9.整理，得 3,x2=5.0≤x≤4，∴x=3.3s后两个三角形重叠部 -5-4-0.解得=5+y④，-5-y④ .点P的 2 2 分的面积等于令cm 横坐标为5+y④红或5-y④ 2 2 12.解：（①令)0，则7+2+60解得-2， 5二次函数与一元二次方程（第2课时） 2=6.4(-2,0),B(6,0).由函数图象得，当y≥0 1.-132.-3.33.C4.B5.C 时，-2≤x≤6.(2)由题意得，B1(6,m),B,(6-n, 6.解：(1)将点P(-3,7)和Q(1,7)分别代 m),B,(-几，m),函数图象的对称轴为直线x=-2+6 2 入二次函数y=22+bx,得2936+c7,解得 2x1+b+c=7. 2.:点B2,B,在二次函数图象上且纵坐标相同， 1b=4, 6mm2-2.n-l.m=-x-1+2x-1)+6= 7 (2)抛物线开口向上，顶点在x轴下方，因 2 c=1. 2 识，的值分别为子，上 此有实数根，解得x=-1±V2 2 (3)由题意，将抛 13.解：(1)设 物线y=2x2+b+c向上平移k(k是正整数)个单位长度， y=kx+b,它的图象过点 z/万元 60------ 使平移后的图象与x轴无交点，.设y=2x2+4x+1+h.: (60,5),(80,4), 方程2x2+4x+1+h=0没有实数根，.△<0，即16-8(1+h) 5-60k+b,解得 40 <0.k>1.是正整数，k的最小值为2. 7.解：(1)由题意知，y=120·2x2+306x+45= 4-80k+h. =8. 240x2+180x+45.(2)由题意得240x2+180x+45=195, 0 x/元 (2)= 80100120 整理得82+6x-5=0.解得=0.5,2=-1.25（不合题意， 舍去).这面镜子的宽为0.5m,长为1m. y40-120-0+8). 第13题答图 8.解：(1)当x≤10时，y=300x-600,当x>10 时，y=[300-12(x-10)]x-600=-12x2+420x-600(2)当 -40)-120-20410-40-06-10460.当x= x≤10时，y=300x10-600=2400,30002400,x> 100元时，最大年获利为60万元. (3)令=40，得 10.由题意得-122+420x-600=3000,解得x1=15,2= 40=-+10-40,整理得-20+9600-0，解得 20.答：每辆次轿车的停车费为15元或20元时，商场 可实现3000元日净收人.(3)当x≤10时，停车 x=80,2=120.由图象可知，要使年获利不低于40万 300辆次，最大日净收入y=300×10-600=2400(元)； 元，销售单价应不小于80元且不大于120元.又.：销 当x>10时，y=-122+420x-600=-12(x-17.5)2+3075, 售单价越低，销量越大，·要使销量最大，又要使年 -12<0,.当x=17.5时，y有最大值.停车费x只 获利不低于40万元，销售单价应定为80元 取整数，.当=17或18时，y最大.又商场要求此 14.①②④⑤15.C16.D 停车场要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多， 17.解：（1)抛物线y=x2+ 当=17时，y最大值=3072（元）.答：每辆次轿车的停 bx+c的顶点坐标为(3，-4)，y= 车费定价为17元时，最大日净收人是3072元. (x-3)2-4=x2-6x+5..∴b=-6,c=5. 9.810.B11.D12.B (2)存在.理由：对于抛物线y=x2 13.解：(1)a=-1,b=2,c=3,该抛物线的表 6x+5,当y=0时，x2-6x+5=0,解得 达式为y=-x2+2x+3.y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,.该抛 1=1,x2=5.当x=0时，y=5.0B= 物线顶点P的坐标为(1,4)· 0C=5,AB=5-1=4.∠C0B=90°，· B (2)①点A(-1,0)在抛物线y=a2+bx+c上， ∠OBC=∠0CB=45°.如图，过点B .0=a-b+c,即c=b-a.又‘.a=-2,点C(0,c)，,.OC=c= 作x轴的垂线，在x轴上方的垂线 b+2,A0=1.∴抛物线的表达式为y=-2x2+bx+b+2.如图 上截取BD=BA=4,连接AD与BC 第17题答图 1,点D在第四象限，过点D作DH⊥x轴于点H, 交于点E,则D(5,4).∠DBC= ∠AHD-=90°.∴.∠HAD+∠ADH=90°.∠CAD=90°，∴ 90°-∠0BC=45°=∠OBC.∴.BC⊥AD,ED=EA.过点D ∠CAO+∠HAD=90°..∴.∠ADH=∠CAO.又.AD=AC 作BC的平行线与抛物线的交点为点P,BC ∠AHD=∠A0C=90°，.△ADH≌△CA0(AAS) DH=AO=1,AH=OC=6+2..0H=AH-A0,..OH=6+2- AE,∴S△iB=S△wc设直线BC的表达式为y=mx+n,则 1=b+1..点D(b+1,-1).点D在抛物线y=-2x2+bx+ 5m0:ml,直线BC的表达式为y=-t+5. b+2上，∴-1=-2(b+1)2+b(b+1)+b+2.整理，得b2+2b- n=5. n=5.