1.2.3 二次函数的图象（第3课时）（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本同步练习以二次函数图象为核心，通过基础计算、平移应用到综合探究的三级分层设计，构建从单一知识点到跨学科实践的巩固路径，培养数学抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|顶点坐标、配方|直接应用公式，如求顶点坐标填空题| |能力提升|平移规律、参数计算|结合方向与坐标变化，如选择平移后解析式| |综合拓展|平移与性质综合、跨学科探究|含多问解答题及弹珠运动建模题，培养应用意识|

1.2.3 二次函数的图象（第3课时） 题型一：求二次函数的顶点坐标 1．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）抛物线的顶点坐标是__________． 2．（22-23九年级上·河南濮阳·阶段检测）抛物线 的顶点坐标为______． 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）抛物线的顶点坐标为_____． 4．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）二次函数图象的顶点坐标是___________． 5．（25-26九年级下·全国·单元复习）已知抛物线经过点，求a的值，并写出这条抛物线的顶点坐标． 题型二：将一般式化成顶点式求参数 1．（25-26九年级上·广东清远·期末）把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 2．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）若二次函数可以配成顶点式，则__________． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）将二次函数化成的形式，则的和为______． 4．（20-21九年级上·江西宜春·期末）把二次函数 化为 的形式， 那么_____ 题型三：画二次函数图象 1．（2026·河南信阳·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，． (1)求该抛物线的顶点坐标． (2)若， ①求该抛物线的解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出这条抛物线． ②当时，的最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 2．（2026·河南南阳·三模）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 2 4 … … 0 5 … (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (3)当自变量的取值范围为时，函数的最小值为，请直接写出的取值范围． 3．（2026·河南驻马店·三模）如图，已知抛物线与x轴交于和两点． (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)点P为抛物线上任意一点，将点P向下平移6个单位长度得到点，若点关于原点O的对称点恰好落在抛物线上，直接写出点P的坐标． x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 4．（2026·河南三门峡·二模）已知二次函数（）中的x和y满足下表： x … 0 1 … y … 0 0 3 … (1)根据表格内容，求该二次函数的表达式和顶点坐标； (2)在图中平面直角坐标系中画出上述二次函数的图象，并在图象上标出，； (3)将（2）中二次函数的图象向右平移个单位长度，当时，新函数的最大值为2，请直接写出的值． 4．（2026·河南商丘·二模）已知二次函数经过和两点． (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)当满足时，的最大值为，最小值为，且，直接写出的值． 5．（2026·河南南阳·二模）在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 题型四：二次函数图象的平移 1．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南通·三模）将抛物线向左平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南长沙·三模）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·北京顺义·阶段检测）将抛物线向左平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 题型五：根据平移求点坐标 1．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位长度，平移后的抛物线与轴的交点为，则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建三明·三模）将抛物线 进行平移得抛物线 ，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位长度，则平移后得到的抛物线的顶点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2026·上海奉贤·三模）将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与轴交点的坐标是_______． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，其顶点坐标是___________． 题型六：根据平移前后的解析式判断平移方式 1．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（  ） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）二次函数的图象平移后经过点，下列平移方式正确的是（   ）． A．向右平移1个单位，向下平移1个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）我们知道，抛物线可由抛物线经过平移得到，那么平移的方法可以是（   ） A．先向上平移2个单位，再向左平移1个单位 B．先向上平移2个单位，再向右平移1个单位 C．先向下平移2个单位，再向左平移1个单位 D．先向下平移2个单位，再向右平移1个单位 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象可由的图象通过（    ）得到的 A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 题型七：根据平移的性质求参数 1．（2026·江苏宿迁·二模）在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于直线对称，可看作是由L向右平移4个单位长度所得，那么m的值为______． 2．（2026·江苏连云港·二模）将抛物线向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是_______． 3．（2026·宁夏银川·二模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______． 4．（2026·江苏无锡·二模）如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 5．（25-26九年级下·安徽合肥·阶段检测）将抛物线沿轴的正方向平移个单位后能与抛物线重合，则的值是______． 6．（2026·上海黄浦·二模）已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 题型八：二次函数的平移解答题综合 1．（2026·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 2．（2026·云南大理·二模）已知抛物线，该抛物线经过点． (1)求的值； (2)将该函数的图象沿着轴平移得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是35，求平移的距离． 3．（2026·浙江温州·三模）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标． (2)若将该二次函数的图象沿x轴平移，问平移几个单位能使图象经过原点． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，求m的值． 4．（2026·江苏南京·二模）已知二次函数的图象经过点． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求m的值． 5．（2026·河南三门峡·二模）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式； (2)求抛物线的对称轴和抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)将抛物线绕原点旋转，再向右平移1个单位长度，直接写出两次变换后的抛物线的表达式． 题型九：二次函数的平移说明题 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？ 2．（25-26九年级下·全国·课后作业）试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和抛物线？如果要得到抛物线，那么应该将抛物线作怎样的平移？ 3．（25-26九年级下·全国·课后作业）试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线？如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？试说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 题型一：根据平移求参数的取值范围 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）将抛物线（k为常数）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线，若新抛物线上的点到x轴的距离为1的点有且只有2个，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴在轴右侧，将该抛物线沿轴向下平移个单位长度后，得到的新抛物线在范围内与轴有一个交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·福建南平·一模）抛物线过点，，将抛物线向上平移2个单位后，得到抛物线，若抛物线上有两点，，使得一定成立，则a的取值范围为（   ） A．或 B． C． D． 4．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线：向右平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，点在抛物线上．当，时，总有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·山东济南·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B．若二次函数的图象与线段恰有一个交点，则m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 题型二：二次函数中图象探究题 1．（2026·吉林·三模）在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） (2)【检验】直接写出v与t，y与t之间的函数关系式． (3)【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以的速度向前匀速直线运动．当时，弹珠刚好追上小车，则A，B两点间的距离为________． 2．（2026·广东深圳·三模）在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交x轴于原点O及点A）做了有关研究，请你帮他解答． (1)【特例感知】当时，如图，抛物线L：上的点O，B，C，D，A关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为，，，，．如下表： … … … … ①补全表格：A； ②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象． ③当时，若抛物线L的顶点为点P，点P对应的“和合点”为点Q，则点Q的坐标为_____； (2)【初步探讨】在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线的解析式． (3)【进阶探究】若抛物线L：及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求m的值． 3．（25-26九年级下·辽宁大连·期中）如图是用两种深浅不同颜色的小瓷砖铺成的墙面的一部分，最中心深色小瓷砖称为第1层，向外依次称为第2层，第3层，…，可以猜想，每层小瓷砖的个数y和相应层数之间存在函数关系． (1)【问题探究】小明结合实际图案，很快得到了前4层小瓷砖的个数，并依据规律得到了第5、6层小瓷砖的个数，他将相关数据列表如下：    层数x   2   3   4   5   6 … 每层小瓷砖的个数y   8   16 24   a   b … 小明在平面直角坐标系中描出了上面表格中各对数值所对应的点，画出了图象并进行了验证，发现了y与x之间的函数关系式，请你先写出a，b的值分别是______，y与x之间的函数关系式是______． (2)【问题延伸】实际上，在前m层（m为奇数）中，深色小瓷砖的总个数与m之间也存在某种函数关系．重复上面分析问题的方法，可以得到与m之间的函数式为______． (3)【问题解决】若每块小瓷砖的边长为1，该墙面的一部分为边长为17的正方形，且其最外层为深色小瓷砖，则深色小瓷砖比浅色小瓷砖多了多少个？    层数m   1   3   5   7   9 … 小瓷砖总个数   1   17 49   97   161 … 4．（2026·河南南阳·模拟预测）在二次函数中，与的几组对应值如表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)直接写出当时，函数的取值范围； (4)将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后所得图象与直线相交于A，B两点，请直接写出线段的长． 5．（2026·河南驻马店·一模）已知关于的二次函数，且． … 0 1 … … 4 … (1)若，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)在（1）的条件下，求出下表中、的值，并在以下平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； (3)在（2）的条件下，根据图象回答：当时，直接写出的最小值． 题型三：二次函数的图象与各项系数的关系 1．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③；④若，则；下列选项正确的是（     ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③ 2．（25-26九年级下·山东烟台·阶段检测）抛物线 的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：；；③当时，x 的取值范围是；④； ⑤若二次函数顶点为，则有，其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图所示是二次函数的部分图象，该抛物线的对称轴是直线，且与y轴交点的纵坐标是2.有下列结论：①；②方程一定有一个根在1和2之间；③；④若点是抛物线上一点，则，其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，，其中正确的有（     ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2026·四川达州·中考真题）二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（2026·广东肇庆·二模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 2．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度后，抛物线的顶点坐标为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）把二次函数配方成的形式，结果为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（   ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 5．（25-26九年级上·山西临汾·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度．得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广东汕头·一模）抛物线的对称轴是_____． 7．（25-26九年级上·江西上饶·期末）在适宜环境中，某实验种群的数量（单位：只）与培养时间（单位：天）满足二次函数关系（受环境承载力限制，后期呈负增长趋势）．该种群数量达到最大值时的培养时间为___________天． 8．（25-26九年级上·安徽铜陵·期末）将函数的图象向右平移1个单位长度，再下移3个单位所得的图象解析式为________． 9．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数，则当时，的最大值与最小值的差为______． 10．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)将二次函数化成的形式，并写出与y轴交点坐标； (2)在平面直角坐标系中列表画出的图象； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．          x        0 1          y        0 0 11．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线． (1)用配方法求此抛物线顶点坐标： (2)如果将该抛物线沿轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 12．（25-26九年级上·浙江丽水·阶段检测）已知抛物线图象经过点； (1)求a的值并求出图象顶点坐标； (2)将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线，并判断该函数图象是否经过点． 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.3 二次函数的图象（第3课时） 题型一：求二次函数的顶点坐标 1．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【分析】将抛物线的一般式通过配方法转化为顶点式，即可得到顶点坐标，也可利用顶点坐标公式求解． 【详解】解： 抛物线顶点坐标为． 2．（22-23九年级上·河南濮阳·阶段检测）抛物线 的顶点坐标为______． 【答案】 【分析】将抛物线解析式化成顶点式进行求解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为． 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【分析】通过配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，依据顶点式的性质直接确定顶点坐标. 【详解】解：∵ ； ∴顶点坐标为. 4．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）二次函数图象的顶点坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过配方法将二次函数化为顶点式，其中为顶点坐标，据此进行解答即可． 【详解】解：， 所以顶点坐标为． 故答案为：． 5．（25-26九年级下·全国·单元复习）已知抛物线经过点，求a的值，并写出这条抛物线的顶点坐标． 【答案】 ，顶点坐标为 【分析】待定系数法求出的值，将一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标. 【详解】解：把，代入，得， 解得， ∴， ∴这条抛物线的顶点坐标为. 题型二：将一般式化成顶点式求参数 1．（25-26九年级上·广东清远·期末）把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【答案】4 【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出，的值，进而可得出结论． 【详解】， ，， ． 2．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）若二次函数可以配成顶点式，则__________． 【答案】30 【分析】本题考查了二次函数的一般式和顶点式，通过比较二次函数的一般式和顶点式的系数，建立等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）将二次函数化成的形式，则的和为______． 【答案】0 【分析】本题考查了二次函数一般式化为顶点式，通过配方法将二次函数化为顶点形式，确定h和k的值，然后求和． 【详解】解：． 所以， 因此． 故答案为0． 4．（20-21九年级上·江西宜春·期末）把二次函数 化为 的形式， 那么_____ 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数的三种形式，利用配方法把二次函数的表达式化为的形式，求出h、k的值各是多少，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：1． 题型三：画二次函数图象 1．（2026·河南信阳·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，． (1)求该抛物线的顶点坐标． (2)若， ①求该抛物线的解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出这条抛物线． ②当时，的最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) ①该抛物线的解析式为： ②或 【分析】（1）根据配方法化为顶点式，进而求得顶点坐标； （2）①根据抛物线的对称轴为直线，，求得点代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②分情况讨论：，，，，根据二次函数的性质，分别求得最值，结合题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， （2）解：①∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于点，，且， ∴， 将代入得 解得： ∴该抛物线的解析式为： 图略 ②当时，最小值为，最大值为 依题意， 解得：； 当时，即时，最大值为，最小值为 依题意， 解得：， 当时，即时，最小值为， 当时，最大值为 依题意， 解得：（舍去）或（舍去） 当时，最大值为 依题意， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或 2．（2026·河南南阳·三模）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 2 4 … … 0 5 … (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (3)当自变量的取值范围为时，函数的最小值为，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）把二次函数转化为顶点式，得到顶点坐标，再描点作图即可； （3）根据二次函数的性质，结合最值可得，再解不等式组即可． 【详解】（1）解：由表格可知二次函数过点， ，解得， 则二次函数的表达式为； （2）解：， 则顶点坐标为， 作图见答案； （3）解：由（2）可知二次函数的对称轴为， 时，二次函数取得最小值， 又时，函数的最小值为， ，解得． 3．（2026·河南驻马店·三模）如图，已知抛物线与x轴交于和两点． (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)点P为抛物线上任意一点，将点P向下平移6个单位长度得到点，若点关于原点O的对称点恰好落在抛物线上，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)顶点坐标为；二次函数的图象如下： (3)点的坐标为 【分析】（1）使用待定系数法求解即可； （2）把二次函数的表达式化成顶点式，即可得到顶点坐标；画二次函数的图象先确定关键点：顶点、与x轴交点、与y轴交点、对称点，在坐标系中描出这些点，用平滑曲线连接即可． （3）设点的横坐标为，则点的坐标为，根据点的平移和关于原点对称表示出点的坐标，把坐标代入解析式求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：把和两点代入可得， ，解得 二次函数的表达式为：； （2）解：， ∴二次函数图象开口朝下，顶点坐标为，对称轴为， 当时，，∴二次函数与y轴的交点为， ∴二次函数与y轴的交点关于对称轴的对称的点坐标为， ∴二次函数的图象经过以下坐标点， x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 图象略． （3）解：点的坐标为， 设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 设点关于原点的对称点为，则点的坐标为． ∵点在抛物线上，将点的坐标代入得： ， 解得， ∴点的坐标为． 4．（2026·河南三门峡·二模）已知二次函数（）中的x和y满足下表： x … 0 1 … y … 0 0 3 … (1)根据表格内容，求该二次函数的表达式和顶点坐标； (2)在图中平面直角坐标系中画出上述二次函数的图象，并在图象上标出，； (3)将（2）中二次函数的图象向右平移个单位长度，当时，新函数的最大值为2，请直接写出的值． 【答案】(1)二次函数的表达式为，顶点坐标为 (2)见详解 (3)或 【分析】（1）根据表格信息得到对称轴为，则得到顶点坐标，再把表格中对应的自变量的值，函数值代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据表格信息，描点连线即可； （3）根据二次函数图象的平移得到平移后的解析式，结合图象得到在中，分类讨论：当时；当时，结合图形得到函数最大值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：根据表格得到，当，时，函数值， ∴二次函数对称轴为， 当时，，即顶点坐标为， 根据表格数据得，， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵对称轴为， ∴当时，， 如图所示， （3）解：二次函数解析式为， ∴二次函数图象开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，即离对称轴越远，值越大， ∵二次函数的图象向右平移个单位长度， ∴平移后的解析式为， 此时的对称轴为， ∵， ∴， 当时，即，时，取得最大值2， ∴， 解得，，（舍去）； 当时，即，时取得最大值2， ∴， 解得，，（舍去）， ∴； 综上所示，的值为或． 4．（2026·河南商丘·二模）已知二次函数经过和两点． (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)当满足时，的最大值为，最小值为，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，见解析 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出顶点坐标为，再描点、连线即可画出函数图象； （3）由（2）可得顶点为，二次函数的对称轴为直线，求出当时，，分三种情况：当时；当时；当时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：把和两点代入可得，， 解得， 二次函数的表达式为：； （2）解：∵， 顶点坐标为． 作图如下． （3）解：由（2）可得顶点为，二次函数的对称轴为直线， 当时，， 当时，在上，随着的增大而增大， ∴当时，二次函数取得最小值为，即，当时，二次函数取得最大值为，即， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，当时，二次函数取得最小值为，即，当时，二次函数取得最大值为，即，此时，不符合题意； 当时，当时，二次函数取得最小值为，即，当时，二次函数取得最大值为，即， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 综上所述，或． 5．（2026·河南南阳·二模）在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，    (3)的值为6或2 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）利用配方法化成顶点式即可得到二次函数图象的顶点坐标，根据描点法画出图象即可； （3）求出平移后的抛物线解析式，根据的范围进行解答即可． 【详解】（1）解：把点和代入，得： ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，，解得， ∴抛物线与轴的交点为和， 画函数图象略； （3）由题意，二次函数的图象向右平移个单位长度， 新函数为． 此时函数图象开口向上，对称轴是直线，函数的最小值为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，图象对应的函数最小值为， 或， 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， 即 ， 解得：或4（舍去）； 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， b ， 解得：或4（舍去）； 综上所述，的值为6或2． 题型四：二次函数图象的平移 1．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 2．（2026·江苏南通·三模）将抛物线向左平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再根据“左加右减”的平移规则得到新抛物线顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线向左平移个单位，顶点横坐标减，纵坐标不变 ∴新抛物线顶点横坐标为，纵坐标仍为 即新抛物线的顶点坐标为． 3．（2026·湖南长沙·三模）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，逐步推导即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线平移规律为左加右减自变量，上加下减常数项，原抛物线解析式为， ∴向左平移2个单位后，解析式变为，再向下平移3个单位，解析式整理得， ∴所得抛物线解析式为． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，对原抛物线解析式进行变换即可． 【详解】解：∵抛物线平移遵循规律：左右平移改变自变量，左加右减，上下平移改变常数项，上加下减 原抛物线解析式为， 向左平移个单位长度，自变量加，得：， 再向下平移个单位长度，常数项减，得：． 5．（25-26九年级下·北京顺义·阶段检测）将抛物线向左平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，利用“左加右减，上加下减”的规律求解，水平平移仅改变x的表达式，常数项不变． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位长度，仅需对x加3， 则平移后得到的抛物线解析式为． 题型五：根据平移求点坐标 1．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位长度，平移后的抛物线与轴的交点为，则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线平移的左加右减规律得到平移后的解析式，再利用已知交点坐标求出参数的值，最后通过配方法求出平移后抛物线顶点的纵坐标． 【详解】解：抛物线向左平移个单位长度， 平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线过点， 将，代入解析式，得， 整理得， 解得或， ， ， 将代入平移后的解析式，得， 整理得， 配方得， 平移后抛物线顶点的纵坐标为． 2．（2026·福建三明·三模）将抛物线 进行平移得抛物线 ，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含的代数式表示出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，即可求出点的横坐标． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， 点在抛物线上，平移后对应点为， 的坐标为，即， 在抛物线上， 将代入得： ， 整理得， 解得或， 则的值可以是或， 因此点的横坐标可以是或，选项A符合． 3．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位长度，则平移后得到的抛物线的顶点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】将抛物线转为顶点式，根据平移规则求得平移后的解析式，判断顶点坐标的符号，即可求解． 【详解】解：， 向下平移1个单位后，解析式为， 则顶点坐标为：， ∵， ∴， ∴， 又因为， 所以顶点坐标在第三象限． 4．（2026·上海奉贤·三模）将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与轴交点的坐标是_______． 【答案】 【分析】先根据平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位， 根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 抛物线与轴交点的横坐标为，令，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，其顶点坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，对原函数顶点坐标进行相应平移即可得到新顶点坐标． 【详解】解：原函数的顶点坐标为，向左平移1个单位，顶点横坐标变为；向下平移3个单位，顶点纵坐标变为，故新顶点坐标为， 故答案为：． 题型六：根据平移前后的解析式判断平移方式 1．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（  ） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 【答案】D 【分析】先求出变换前后抛物线的顶点坐标，再根据抛物线平移“上加下减，左加右减”的规律，即可判断平移方向和距离． 【详解】解：∵原抛物线， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵变换后抛物线为， ∴变换后抛物线的顶点坐标为， ∵顶点纵坐标不变，横坐标从变为， ∴原抛物线向左平移个单位即可得到变换后的抛物线． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【答案】A 【分析】将抛物线化为顶点式，再根据平移规律即可求解． 【详解】解：抛物线， 抛物线经过向左平移个单位得到抛物线． 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）二次函数的图象平移后经过点，下列平移方式正确的是（   ）． A．向右平移1个单位，向下平移1个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位 【答案】C 【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，求出各选项平移后的解析式，代入点验证即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：平移后解析式为，当时，，不符合题意； 对于选项B：平移后解析式为，当时，，不符合题意； 对于选项C：平移后解析式为，当时，，符合题意； 对于选项D：平移后解析式为，当时，，不符合题意． 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 【答案】D 【分析】先求出变换前后抛物线的顶点坐标，再根据“左加右减”、“上加下减”的规律即可求解． 【详解】原抛物线，顶点坐标为； 变换后抛物线，顶点坐标为， 故原抛物线向左平移个单位即可得到变换后的抛物线． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）我们知道，抛物线可由抛物线经过平移得到，那么平移的方法可以是（   ） A．先向上平移2个单位，再向左平移1个单位 B．先向上平移2个单位，再向右平移1个单位 C．先向下平移2个单位，再向左平移1个单位 D．先向下平移2个单位，再向右平移1个单位 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据解析式可得两个抛物线的顶点坐标，根据对应的顶点坐标可判断出对应的平移方式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵将点先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到点， ∴抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到抛物线， 故选：B． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象可由的图象通过（    ）得到的 A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：可将二次函数转化为， 需将向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到． 故选：D． 题型七：根据平移的性质求参数 1．（2026·江苏宿迁·二模）在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于直线对称，可看作是由L向右平移4个单位长度所得，那么m的值为______． 【答案】 【分析】先求出原抛物线的对称轴，再根据平移的性质得到的对称轴，根据两个抛物线关于直线对称可知，是两条对称轴的中点，由此计算可得的值． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵可看作是由向右平移个单位长度所得， ∴的对称轴为直线， 与关于直线对称， ， 解得． 2．（2026·江苏连云港·二模）将抛物线向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是_______． 【答案】3 【分析】先根据二次函数图像平移的上加下减规律，得到平移后抛物线的解析式，再根据抛物线与x轴只有1个公共点，可得一元二次方程根的判别式，据此列方程即可求解m的值． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度后，得到的抛物线解析式为， 平移后抛物线与轴有个公共点， ，即， 整理得，， 解得， 故答案为：． 3．（2026·宁夏银川·二模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据平移方式“左加右减”可得出抛物线的解析式，再根据点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点代入两个解析式求值即可． 【详解】解：依题意得抛物线为：， ∵为“平衡点”， ∴既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上， ， 解得或， ， ． 4．（2026·江苏无锡·二模）如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 【答案】3 【分析】先根据抛物线平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将原点坐标代入解析式，求解得到的值． 【详解】解：根据抛物线平移的“上加下减”规律，可得平移后抛物线的解析式为 平移后的抛物线经过原点， ， 解得，． 5．（25-26九年级下·安徽合肥·阶段检测）将抛物线沿轴的正方向平移个单位后能与抛物线重合，则的值是______． 【答案】2 【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则，得到平移后的抛物线解析式，利用两抛物线重合时对应项系数相等列方程求解即可． 【详解】解：抛物线沿轴的正方向平移个单位后，得， ∵将抛物线沿轴的正方向平移个单位后能与抛物线重合， ∴， 解得． 6．（2026·上海黄浦·二模）已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 【答案】3 【分析】根据题意得出原点在平移后的抛物线上，将代入平移后的抛物线解析式求解即可； 【详解】解：， 原抛物线判别式， 令得， 则原抛物线与轴交点为， 左右平移不改变抛物线的判别式，因此平移后抛物线始终与轴有2个交点，且一定与轴有1个交点， ∵平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，平移后的抛物线与轴恒有两个不同交点，与轴恒有一个交点，要使总共只有两个公共点，则必然是其中一个轴交点与轴交点重合于原点， 即原点在平移后的抛物线上， 抛物线向右平移个单位，平移后解析式为：， 将代入得：， 解得：（舍去）， 因此的值为． 题型八：二次函数的平移解答题综合 1．（2026·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法，将两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，将点坐标代入，解方程求出的值，再结合即可得到结果． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 整理得 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：由得抛物线解析式为， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴根据平移规律，得到平移后的解析式为， ∵平移后抛物线经过点， ∴将，代入得， ， 解得，， ∵， ∴． 2．（2026·云南大理·二模）已知抛物线，该抛物线经过点． (1)求的值； (2)将该函数的图象沿着轴平移得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是35，求平移的距离． 【答案】(1) 1 (2) 平移的距离为2或4 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意，由二次函数为，从而可设向右平移后得到的新函数为，故新抛物线的对称轴是直线，进而分当时；当时；当时三种情形解答即可． 【详解】（1）解：由题意：将点代入， 得：， 解得：； （2）解：由（1）得：二次函数为， ∴设平移后得到的新函数为，其中为平移量（表示向右平移；表示向左平移）， ∴新抛物线的对称轴是直线， ①当时，即， 若当时，，则或（不合题意，舍去）； 若当时，，则（不合题意，舍去）或， ∴或； ②当时，即， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，则或，均不合题意，舍去； ③当时，即， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴当时，，则或，均不合题意，舍去； 综上，或， ∴向右平移4个单位或向左平移2个单位时，新函数在的最大值是35，即平移的距离为2或4． 3．（2026·浙江温州·三模）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标． (2)若将该二次函数的图象沿x轴平移，问平移几个单位能使图象经过原点． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，求m的值． 【答案】(1) 二次函数表达式为，顶点坐标为 (2) 平移1个单位或3个单位 (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，求出时的函数值，得到顶点坐标即可； （2）求出二次函数与x轴的交点坐标，根据平移后，新的抛物线过原点，分2种情况进行求解即可； （3）根据二次函数的增减性进行求解即可. 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：当时，解得， ∴抛物线与 x轴的交点坐标为和， ∵将该二次函数的图象沿x轴平移，平移后的图象经过原点， 当经过平移与原点重合时，图象向右平移了1个单位，当经过平移与原点重合时，图象向左平移了3个单位； 故该二次函数的图象沿x轴平移1个单位或3个单位能使图象经过原点； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，最大； 当时，最小； ∴， 整理，得， \解得或， ∵， ∴. 4．（2026·江苏南京·二模）已知二次函数的图象经过点． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求m的值． 【答案】(1) 顶点坐标为 (2) 【分析】（1）把点代入函数，即可求出，再把一般式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标； （2）根据二次函数图象平移“右减左加”的规律得到平移后的解析式，将已知点代入即可求出的值． 【详解】（1）解：将点代入，得 ， 解得， ∴二次函数的解析式为， 对解析式配方得 ， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）解：将函数图象向右平移3个单位长度， ∴平移后解析式为 ， 将点代入上式，得． 5．（2026·河南三门峡·二模）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式； (2)求抛物线的对称轴和抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)将抛物线绕原点旋转，再向右平移1个单位长度，直接写出两次变换后的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴的交点坐标为，抛物线与x轴的交点坐标为， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）化成顶点式，可求得抛物线的对称轴，令或，分别求解即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）利用旋转和平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 当时，， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，； （3）解：抛物线的顶点坐标为， 将抛物线绕原点旋转， ∴顶点坐标为， ∴此时抛物线的解析式为， 将抛物线向右平移1个单位长度， ∴， ∴最终两次变换后的抛物线表达式为：． 题型九：二次函数的平移说明题 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？ 【答案】 抛物线由抛物线向左平移3个单位长度得到，抛物线由抛物线向右平移3个单位长度得到． 【分析】抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 【详解】略 2．（25-26九年级下·全国·课后作业）试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和抛物线？如果要得到抛物线，那么应该将抛物线作怎样的平移？ 【答案】由抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到抛物线；向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度可得到抛物线；要得到抛物线，应将向左平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度． 【分析】本题利用二次函数图象的平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，通过对比平移前后抛物线的顶点坐标，确定平移的方向和单位长度． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 抛物线的顶点坐标为．顶点从变为， 因此将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到． 抛物线的顶点坐标为．顶点从变为， 因此将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度可得到． 抛物线的顶点坐标为．顶点从变为， 因此应将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度． 3．（25-26九年级下·全国·课后作业）试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线？如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？试说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】将抛物线向下平移2个单位可得到抛物线；将抛物线向上平移4个单位可得到抛物线；函数的图象开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标为 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律和型二次函数的性质，上下平移遵循“上加下减常数项”的规律，再根据二次项系数的符号判断开口方向，直接确定对称轴和顶点坐标即可． 【详解】解：已知原抛物线解析式为，要得到抛物线，对比原解析式可知常数项减2，因此将向下平移2个单位即可得到． 要得到抛物线，对比原解析式可知常数项加4，因此将向上平移4个单位即可得到． 对于函数，二次项系数，因此图象开口向下． 对称轴为直线，即轴． 将代入解析式，得，因此顶点坐标为． 题型一：根据平移求参数的取值范围 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）将抛物线（k为常数）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线，若新抛物线上的点到x轴的距离为1的点有且只有2个，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用抛物线平移规律得到新抛物线解析式，再结合二次函数开口方向和顶点的性质，分析满足条件的顶点纵坐标范围，进而求出的取值范围． 【详解】解：∵原抛物线为，向左平移1个单位，向下平移2个单位， ∴新抛物线解析式为，整理得， ∵， ∴抛物线开口向上，函数最小值为顶点纵坐标， ∵新抛物线上点到轴的距离为1，即， ∴或， ∵抛物线开口向上，且与这两条直线总共有2个交点， 所以抛物线的顶点纵坐标必须在和之间， ∴， 解得． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴在轴右侧，将该抛物线沿轴向下平移个单位长度后，得到的新抛物线在范围内与轴有一个交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对称轴位置得到，再求出平移后抛物线解析式，利用开口向上二次函数在范围内与轴有一个交点，即和时函数值异号，列不等式求解，结合即可求解． 【详解】解：对于抛物线，由对称轴公式得对称轴为， ∵对称轴在轴右侧， ∴， 解得，排除C，D， 将抛物线向下平移个单位长度，得新抛物线解析式为：， 设，，则 ， ， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵新抛物线在范围内与轴有一个交点， ∴， 分两种情况： ①当，时，，解得； ②当，时，，不等式组无解； 又∵， ∴的取值范围为． 3．（2026·福建南平·一模）抛物线过点，，将抛物线向上平移2个单位后，得到抛物线，若抛物线上有两点，，使得一定成立，则a的取值范围为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线与x轴两交点，求出对称轴；根据抛物线平移对称轴不变，算出A、B两点到对称轴的距离，分别为定值2和；按开口向上：函数值越大，离对称轴距离越远；开口向下，函数值越小，离对称轴距离越远，分类进行讨论，根据列绝对值不等式，结合a的正负范围取交集，求出a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线过点，，且P、Q是两个不同交点， ∴，且， ∴其对称轴为： ∵抛物线向上平移2个单位得到，对称轴不变， ∴的对称轴仍为． ∵，，两点到对称轴的距离分别为： 当时（开口向上）： 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大． 要使恒成立，需，即： 解得或， 即或． ∵ ∴． 当时（开口向下）： 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小． 要使恒成立，需， 即： 解得，即． ∵， ∴． 综合两种情况可得：a的取值范围为：或． 4．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线：向右平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，点在抛物线上．当，时，总有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得的解析式，根据题意，然后分别求出，，分别求得和在上的函数值，即的值，根据列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的解析式为．将向右平移2个单位得到． ∴平移后，的解析式为：， ∵，点在上，点在上，且． ∴点的横坐标为．代入的解析式， 得 则代入到的解析式，得 ∵点在抛物线上． ∴． 条件时，的最大值小于 ∵， ∴抛物线开口向上，最大值在端点处取得 当时， ， 当时， ， ∴， 且． 解不等式①：， ， ， ， ∵， ∴． 解得． 解不等式②：， 即， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的取值范围为． 5．（25-26九年级下·山东济南·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B．若二次函数的图象与线段恰有一个交点，则m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求出点A点B的坐标，再得到线段的解析式，联立抛物线与直线的方程，得到两个交点的横坐标，由于抛物线恒过点A，因此抛物线与线段恰有一个交点等价于另一个交点的横坐标不在线段的x范围内，分情况列不等式求解即可 【详解】解：当时，代入得， ， 将向右平移个单位，向上平移个单位得， ， 设线段的解析式为， 代入，得， 解得， ∴线段的解析式为， 联立抛物线与直线的方程得： ， 整理得， 解得，， 抛物线恒过点，若抛物线与线段恰有一个交点，则不在范围内， 分两种情况： ①当时，，解得，符合题意； ②当时，，解得，符合题意； 综上，的取值范围是或 题型二：二次函数中图象探究题 1．（2026·吉林·三模）在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） (2)【检验】直接写出v与t，y与t之间的函数关系式． (3)【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以的速度向前匀速直线运动．当时，弹珠刚好追上小车，则A，B两点间的距离为________． 【答案】(1)图象见解析；①一次；②二次 (2)v与t之间的函数关系式为；y与t之间的函数关系式为 (3)55 【分析】（1）描出图象后，根据图象判断函数关系即可； （2）使用待定系数法求出解析式即可； （3）用（2）中的二次函数模型计算出弹珠运动的路程，减去同时间电动小车的运动路程即得结果． 【详解】（1）解：图象如图所示， ①v与t之间的关系可以近似地用一次函数表示． ②y与t之间的关系可以近似地用二次函数表示． （2）解：设v与t之间的函数关系式为， 把代入得： ，解得：， ∴v与t之间的函数关系式为， 设y与t之间的函数关系式为， 把点代入得： ，解得：， ∴y与t之间的函数关系式为； （3）解：对于， 当时，，即弹珠运动了， ∵前方B点处有一辆电动小车以的速度向前匀速直线运动．当时，弹珠刚好追上小车， ∴A，B两点间的距离为． 2．（2026·广东深圳·三模）在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交x轴于原点O及点A）做了有关研究，请你帮他解答． (1)【特例感知】当时，如图，抛物线L：上的点O，B，C，D，A关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为，，，，．如下表： … … … … ①补全表格：A； ②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象． ③当时，若抛物线L的顶点为点P，点P对应的“和合点”为点Q，则点Q的坐标为_____； (2)【初步探讨】在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线的解析式． (3)【进阶探究】若抛物线L：及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求m的值． 【答案】(1)①4，0； ② ③； (2)抛物线为或； (3)m为1或． 【分析】（1）①由题意和合对称二次函数图象与x轴交点相同即可得到点A坐标；②先描点再连线；③当时，求出抛物线L的顶点坐标，设出抛物线的表达式，利用合对称二次函数两个二次项系数之和为1与对称轴相同这两个条件求出抛物线的表达式，从而可得到其顶点坐标； （2）先设出抛物线的表达式，写出其与x轴的交点，利用和合对称二次函数图象与x轴交点相同这个条件求出抛物线的关于m的表达式，表示出其顶点坐标，再利用抛物线的顶点横、纵坐标互为相反数求出m的值即可； （3）分析题意可得出当直线过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有3个交点，由（2）可得抛物线L与抛物线关于m的顶点坐标，让这两个顶点的纵坐标分别等于m，求出m的值，再判断哪些m的值符合有且仅有3个交点这个条件即可． 【详解】（1）解：①和合对称二次函数图象与x轴交点相同， 点A坐标与点坐标相同，同为； ②略； ③当时，抛物线L：， 抛物线L与x轴交点为、，顶点P坐标为， 设抛物线：，则，解得， 抛物线：，当时，， Q坐标为； （2）解：抛物线L：，与x轴交点为点为、， 设抛物线：，则抛物线与x轴交点为点为、， ，解得， 抛物线：， 抛物线的顶点为， 其横、纵坐标互为相反数， ，解得或， 抛物线为或； （3）解：抛物线L：， 其顶点为， 抛物线：， 其顶点为， 当直线过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有3个交点， 或，解得、或， 当时，抛物线L：,抛物线：， ，解得， ，解得， 这两个抛物线与只有一个交点，不满足条件； 当时，抛物线L：,抛物线：， ，解得， ，解得或， 这两个抛物线与有、、三个交点，满足条件； 当时，抛物线L：,抛物线：， ，解得或， ，解得， 这两个抛物线与有、、三个交点，满足条件； m为1或． 3．（25-26九年级下·辽宁大连·期中）如图是用两种深浅不同颜色的小瓷砖铺成的墙面的一部分，最中心深色小瓷砖称为第1层，向外依次称为第2层，第3层，…，可以猜想，每层小瓷砖的个数y和相应层数之间存在函数关系． (1)【问题探究】小明结合实际图案，很快得到了前4层小瓷砖的个数，并依据规律得到了第5、6层小瓷砖的个数，他将相关数据列表如下：    层数x   2   3   4   5   6 … 每层小瓷砖的个数y   8   16 24   a   b … 小明在平面直角坐标系中描出了上面表格中各对数值所对应的点，画出了图象并进行了验证，发现了y与x之间的函数关系式，请你先写出a，b的值分别是______，y与x之间的函数关系式是______． (2)【问题延伸】实际上，在前m层（m为奇数）中，深色小瓷砖的总个数与m之间也存在某种函数关系．重复上面分析问题的方法，可以得到与m之间的函数式为______． (3)【问题解决】若每块小瓷砖的边长为1，该墙面的一部分为边长为17的正方形，且其最外层为深色小瓷砖，则深色小瓷砖比浅色小瓷砖多了多少个？ 【答案】(1)32，40， (2)（m为奇数） (3)33个 【分析】（1）根据图形直接得出，，根据函数图象得出每层个数y与相应层数之间存在一次函数关系，然后待定系数法求出函数解析式即可； （2）先根据题意列出表格，再平面直角坐标系中画出函数图象，得出是m的二次函数，然后用待定系数法求出函数解析式； （3）先根据题意算出瓷砖的层数，然后求出黑色瓷砖的总个数，再用总个数减去黑色瓷砖的个数，得出白色瓷砖的个数，最后求出两种瓷砖的个数差即可． 【详解】（1）解：根据图形可得：第5层有瓷砖32块，第6层有瓷砖40块，因此，； 根据表格中的数据描点，连线，如图所示： 根据函数图象可知，每层的个数y与相应层数之间的函数图象为一条直线，因此每层的个数y与相应层数之间存在一次函数关系， 设，根据表格中数据得： ， 解得：， ∴； （2）解：相关数据列表如下：    层数m   1   3   5   7   9 … 小瓷砖总个数   1   17 49   97   161 … 根据表格中的数据描点、连线，如图所示： 根据图象可以看出与m的图象为抛物线的一部分，因此是m的二次函数，设， 根据表格中数据可得：， 解得：， ∴与m之间的函数式为； （3）解：根据题意得，， 解得：， 当时，， 而， ∴浅色瓷砖数为， （个） 答：深色比浅色多33个． 4．（2026·河南南阳·模拟预测）在二次函数中，与的几组对应值如表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)直接写出当时，函数的取值范围； (4)将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后所得图象与直线相交于A，B两点，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)顶点坐标， 作图如下： (3) (4)4 【分析】（1）根据表格，运用待定系数法求解即可； （2）把二次函数一般式化为顶点式得到顶点坐标，运用五点法作函数图象即可； （3）结合图形写出函数值的取值范围即可； （4）根据二次函数图象的平移规律得到平移后的解析式为，当时，得到对应的自变量的值，结合两点之间距离的计算即可求解． 【详解】（1）解：把点，点代入二次函数中， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴直线为， ∴当时，， 图略； （3）解：根据图示，当时，，当时，，当时，， ∴当时，函数的取值范围为； （4）解：∵， ∴将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的解析式为， ∴当时，， 解得，， ∴线段的长为． 5．（2026·河南驻马店·一模）已知关于的二次函数，且． … 0 1 … … 4 … (1)若，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)在（1）的条件下，求出下表中、的值，并在以下平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； (3)在（2）的条件下，根据图象回答：当时，直接写出的最小值． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2)，，图见解析； (3)． 【分析】（1）把和代入解析式求出解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据（1）所求代入求出k、n的值，再画出对应的函数图象即可； （3）根据函数图象得到增减性，进而代入求值即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴当时，， ∴二次函数的解析式为，且顶点坐标为． （2）解：由（1）得， 当时，， 当时，， 图象如图所示， （3）解：由函数图象可知，当时，随的增大而减小， 当时，最小，最小值为． 题型三：二次函数的图象与各项系数的关系 1．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③；④若，则；下列选项正确的是（     ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵图像与轴交于点，对称轴为直线， ∴图像与轴的另一个交点为， ∴当时，，故正确； 由图像与轴交另一个点为， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数的最小值为：， ∴， ∴，故正确； 由得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上可得：正确． 2．（25-26九年级下·山东烟台·阶段检测）抛物线 的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：；；③当时，x 的取值范围是；④； ⑤若二次函数顶点为，则有，其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于；运用数形结合思想得出，，，以及对称轴为直线得出，再结合二次函数的图象性质得出当时，x 的取值范围是，把，代入计算，根据的顶点坐标为以及二次函数顶点为，列式即可作答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， ∵的对称轴为直线 ， 故符合题意； 对称轴在y轴的右侧， ， 抛物线交y轴的正半轴， ， ，故①符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为， 当时，x的取值范围是， 故③不符合题意； ∵与x轴的一个交点坐标为， ∴时，， 即 ∵ ， 即， ∴， 故④符合题意； ∵ ∴顶点坐标为 ∵二次函数顶点为， ∴ ∴ 故⑤不符合题意； ∴正确的个数是个． 3．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图所示是二次函数的部分图象，该抛物线的对称轴是直线，且与y轴交点的纵坐标是2.有下列结论：①；②方程一定有一个根在1和2之间；③；④若点是抛物线上一点，则，其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对称轴公式判断，利用抛物线的对称性及与轴交点位置判断②，根据时的函数值判断③，利用对称性判断④即可． 【详解】解： 抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故①正确； 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间， 方程一定有一个根在和之间，故②错误； 抛物线开口向下，与轴的右侧交点在和之间， 当时，， 即，故③错误； 抛物线的对称轴为直线，与轴交点的纵坐标是2，即过点， 点关于直线的对称点为， 当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的结论有①④，共2个． 5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，，其中正确的有（     ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的最值，抛物线与一元二次方程的关系等解答即可. 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在负半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴, ∴,， ∴, 故①②正确； ， 根据图象，得时，， 故③错误； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取得最小值， 对于任意实数，当时，函数值， ， ， 故④正确； 二次函数的图象经过点， 设其对称点为，根据题意，得， 解得， 方程的两根为， 又方程的两根为，， ， ， 故⑤错误． 6．（2026·四川达州·中考真题）二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据表格中值相等的点求出二次函数对称轴，结合已知点推导，，的关系，再逐一判断每个结论． 【详解】解：由表格可知，和时值均为， 因此二次函数对称轴为， 由对称轴公式得，即． 时，代入二次函数得，即， 将代入得，即． ①，，①正确． ②由可知成立，②正确． ③，抛物线开口向上，对称轴为，时，随增大而减小，③错误． ④已知是一个根，设另一个根为，由对称轴得，解得，因此方程两根为，④正确． 综上，正确结论共3个． 1．（2026·广东肇庆·二模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 2．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度后，抛物线的顶点坐标为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方得到顶点式，确定原顶点坐标，再根据抛物线平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，结合平移后顶点为列方程求解． 【详解】解： ∴原抛物线的顶点坐标为 将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移个单位长度后，新顶点坐标为 ∵平移后顶点坐标为 ∴列方程组得： 解得． 3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）把二次函数配方成的形式，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法对原式变形即可得到结果． 【详解】解： ． 4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（   ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 【答案】B 【分析】按配方法正确步骤逐步比对，即可找到错误起始位置． 【详解】解： ， ∴抛物线的顶点坐标为． 5．（25-26九年级上·山西临汾·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度．得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，先将原二次函数化为顶点式求出原顶点坐标，再根据点的平移规律计算平移后的顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数为， ∴原抛物线顶点坐标为， ∵将图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， ∴所得抛物线的顶点坐标为． 故选：D． 6．（2026·广东汕头·一模）抛物线的对称轴是_____． 【答案】直线 【分析】将抛物线的表达式化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线． 7．（25-26九年级上·江西上饶·期末）在适宜环境中，某实验种群的数量（单位：只）与培养时间（单位：天）满足二次函数关系（受环境承载力限制，后期呈负增长趋势）．该种群数量达到最大值时的培养时间为___________天． 【答案】 【分析】本题考查把化为顶点式，求二次函数的最大值． 把化为顶点式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，取得最大值， ∴该种群数量达到最大值时的培养时间为天． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·安徽铜陵·期末）将函数的图象向右平移1个单位长度，再下移3个单位所得的图象解析式为________． 【答案】（或） 【分析】本题考查的是二次函数图象的平移，先把化为，再利用“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：， 由“左加右减”的原则可知，将二次函数的图象向右平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移3个单位长度所得抛物线的解析式为：， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数，则当时，的最大值与最小值的差为______． 【答案】9 【分析】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式，二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，则当时，函数取得最小值为，再分别求出端点时的函数值，判断即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值为， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴最大值为 7，最小值为， ∴当时，的最大值与最小值的差为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)将二次函数化成的形式，并写出与y轴交点坐标； (2)在平面直角坐标系中列表画出的图象； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)，与y轴交点坐标为 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先将化为顶点式，然后将代入解析式，求出与y轴的交点即可； （2）根据函数解析式，列出表格，然后画出相应的函数图象即可； （3）根据（2）中的图象，时即函数的图象在x轴上方时对应的x的取值范围，可以直接写出x的取值范围． 【详解】（1）解：， 当时，， 即，与y轴交点坐标为； （2）解：列表如下：          x        0 1          y        0 0 函数图象如下所示， （3）解：由图象可得，时x的取值范围是或． 11．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线． (1)用配方法求此抛物线顶点坐标： (2)如果将该抛物线沿轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二次函数的顶点式转化与上下平移变换， （1）关键是通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，根据顶点式的性质直接得到顶点坐标； （2）关键是掌握抛物线沿轴平移的规律：上加下减，通过待定系数法代入已知点的坐标求解平移参数，进而得到平移后的解析式． 【详解】（1）解：， 此抛物线的顶点坐标为； （2）解：设平移后的抛物线表达式为(为常数)， 平移后的抛物线经过点， ，解得， 平移后的抛物线表达式为． 12．（25-26九年级上·浙江丽水·阶段检测）已知抛物线图象经过点； (1)求a的值并求出图象顶点坐标； (2)将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线，并判断该函数图象是否经过点． 【答案】(1)，顶点坐标为 ． (2)新抛物线不经过点 ． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意代入求解确定函数解析式，然后化为顶点式即可； （2）先根据抛物线的平移方式确定新抛物线的解析式，进而判断是否经过点． 【详解】（1）解：抛物线图象经过点， ∴， 解得：， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）可知，， 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴， 将代入， 新抛物线不经过点． 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $