第二单元 圆-能力提升培优讲义【思维导图+知识卡片+新知梳理+十四大考点讲练+难度分层练 共48题】-2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统构建圆的知识体系，知识梳理涵盖圆的认识、周长、面积及扇形，以定义、公式、性质等呈现知识脉络，突出圆心、半径、圆周率等重难点及内在联系。 讲义亮点在于14个高频考点讲练，结合典例与变式训练，真题分基础通关和能力提升，如“方中圆和圆中方”题型培养几何直观与推理意识。分层设计帮助不同学生提升，支持自主复习与教师精准教学。

null2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 第二单元 圆『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+14个考点讲练展+真题难度分层演练 共48题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 圆的认识 3 知识点二 圆的周长 3 知识点三 圆的面积 4 知识点四 扇形 4 考点讲练 真题汇总 4 高频考点一 圆的概念及特点 4 高频考点二 画圆 5 高频考点三 与圆相关的轴对称图形 6 高频考点四 圆的周长 6 高频考点五 半圆的周长 7 高频考点六 圆的周长的应用 7 高频考点七 含圆的组合图形的周长 8 高频考点八 圆的面积 8 高频考点九 圆的面积的应用 9 高频考点十 圆环的面积 9 高频考点十一 求最大面积 10 高频考点十二 含圆的组合图形的面积 11 高频考点十三 方中圆和圆中方的面积问题 11 高频考点十四 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 12 优选真题 实战演练 12 【基础通关】 12 【能力提升】 14 知识点一 圆的认识 1． 圆的定义:一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴:直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二 圆的周长 1．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率:圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三 圆的面积 1. 圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 2．圆的面积公式:或者或者 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 或。（其中R＝r＋环的宽度） 6．半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 7．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 8．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四 扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 高频考点一 圆的概念及特点 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·山西吕梁·期末）在一张长30厘米、宽14厘米的长方形纸上，若剪下一个最大的正方形，则这个正方形边长是( )厘米；若剪下一个最大的圆，则这个圆的半径是( )厘米，最多可以剪下( )个这样的圆。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·广东深圳·期末）圆的周长。鹏鹏在课堂测量圆的周长时，采用了滚动法：把圆上点A对准刻度0，圆向右滚动一圈。则点A将落在直尺刻度上的（    ）。 A．2cm~4cm之间 B．4cm~6cm之间 C．6cm~8cm之间 D．8cm~10cm之间 高频考点二 画圆 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·广东惠州·期末）下图是根据小可家和周围建筑物之间的位置关系画出的“雷达图”。点O表示小可家，四个圆是圆心相同的“同心圆”，最小的圆半径200m，由内向外，每个圆的半径依次增加200m。 （1）学校在小可家西偏（      ）（    ）°的方向上。 （2）图书馆在小可家东偏南60°方向，距离600m，请你画出图书馆的位置，并标注名称。 （3）学校在上午会进行课间操活动，能听到课间操音乐的最远距离是400m，请在图中画出音乐所覆盖的圆形区域。（用圆规） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·湖南湘西·期末）十八洞景区计划建造一个智能花园，请你根据以下要求完成规划设计图。 （1）以旗杆为观测点，入口在旗杆东偏北30°方向，距离40米处。请在图上标出花园入口的位置。 （2）以旗杆正西方向60米处为圆心，建一个圆形花坛，直径为20米。请在图上画出这个圆。 （3）计划在圆形花坛外围修建一个正方形的观景平台，与花坛恰好形成“外方内圆”。请在图上画出这个正方形。 （4）自动旋转喷灌装置的射程是12米。若将灌溉器安装在花坛圆心处，灌溉区域能否完全覆盖花坛？请说明理由。 高频考点三 与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级下·甘肃张掖·期中）把圆至少对折( )次可以找到圆心，对折后展开后量的其中一条折痕是12cm，那么这个圆的面积是( )cm2。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·河北保定·期末）下图有( )条对称轴；画一条直线把下图分成面积相等的两部分，有( )种画法。 高频考点四 圆的周长 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·湖南湘西·期末）探测车车轮的外圆直径是50厘米。如果火星表面有一个圆形陨石坑，直径为10米，探测车绕坑一周车轮需要转动多少圈？（π取3.14） 火星表面陨石坑 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·四川成都·期末）在一幅比例尺为1∶500的新建公园平面图上，一个圆形花坛周长12.56厘米，这个花坛实际的占地面积是多少平方米？ 高频考点五 半圆的周长 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·河南南阳·期末）如图，老鼠在圆心O处，猫在A点，现在老鼠从O点沿半径向B点逃跑，同时猫从A点沿箭头方向追，已知猫的速度是老鼠的3倍，则（    ）。 A．老鼠先到达B点 B．猫先到达B点 C．同时到达B点 D．无法判断 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·甘肃定西·期末）如图是学校劳动实践基地一块空地示意图的一部分，请按要求作图。 (1)在如图空白处把长方形空地的边补充完整。 (2)学校为了美化这块空地，想要在这块长方形空地里用篱笆围一个最大的半圆形花园，在里面种上月季花和牡丹。请你设计并画出最大的花卉种植面积，并计算至少需要（    ）米篱笆。 高频考点六 圆的周长的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（26-27六年级上·全国·课前预习）地球赤道是一个巨大的圆，假设我们在赤道上围一根绳子。现在把绳子延长10米，使绳子均匀地离开地面形成一个同心圆环。这个间隙（环宽）大约是（    ）。（提示：利用本课学到的规律逆推，ΔC＝2π×环宽） A．约1.6米 B．约3.14米 C．约6.28米 D．无法确定，因为不知道地球半径 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·浙江杭州·期末）小明把一个半径是4厘米的圆形纸片平均分成16份，剪开后拼成两个近似的平行四边形，如下图。这两个平行四边形的周长相差_________厘米。（本试卷中的结果可保留π或取3.14） 高频考点七 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·陕西咸阳·期末）计算阴影部分的周长。 （单位：厘米） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2026六年级下·全国·专题练习）如图阴影部分的周长是（    ）。 A．6.28 B．9.28 C．9.42 D．无法计算 高频考点八 圆的面积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·四川广安·期末）计算阴影部分的面积。     【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·云南昆明·期末）在解决下面四个问题时，主要运用的数学思想与其他三个不同的是（    ）。 A．用推导出三角形的面积计算公式 B．用表示 C．用出圆的面积公式 D． 高频考点九 圆的面积的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·贵州六盘水·期中）有两种相关联的量，它们的关系如图所示。这两个量可以是（    ）。 A．圆的半径和面积 B．单价和数量 C．体积一定，圆柱的底面积和它的高 D．速度一定，行驶的路程和时间 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·江苏徐州·期末）如图，在长方形ABCD中，甲、乙两圆面积相等，则丙圆与乙圆的面积比是（    ）。 A．2∶1 B．1∶4 C．1∶8 D．4∶1 高频考点十 圆环的面积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·陕西咸阳·期末）如图是某公园规划的绿地和便民休息场所，则绿地（阴影部分）的面积是（    ）m。 A．12.56 B．25.12 C．31.4 D．62.8 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·浙江绍兴·期末）（1）画出长方形绕A点按逆时针方向旋转90°后的图形。旋转后点B的位置用数对表示是（    ）。 （2）按1∶2的比画出三角形缩小后的图形（1），图形（1）的面积是原来三角形的。 （3）若1个小方格表示1cm2，以（16，4）为圆心，分别画半径为3cm和4cm的同心圆，这两个圆之间的圆环的面积是（    ）cm2。 高频考点十一 求最大面积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在下面这张长方形纸上画一个最大的圆，再计算如果把这个圆剪下来，剩余纸的面积是多少平方厘米？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级上·辽宁·课后作业）乐乐做下面这道题目时，是这样解答的，你认为他做得对吗？如果不正确，请你找出错误的原因，并写出你的思考过程。 将一块长4m、宽2m的长方形铁板切割出一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方米？ 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝12.56（m2） 答：这个圆的面积是12.56平方米。 高频考点十二 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·河南平顶山·期末）四边形ABCD为正方形，求阴影部分的面积（单位cm）。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（26-27六年级·全国·暑假作业）计算下面图（1）的周长，计算图（2）中的阴影部分的面积。 高频考点十三 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·河南洛阳·期末）“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理。如果图（1）中外面正方形的面积是36dm2，则内圆的面积是__________dm2，如果图（2）中外圆的面积是25.12dm2，则圆内大正方形的面积是_______dm2。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·四川成都·期末）用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按如图三种方式剪出不同规格的圆片，白铁皮剩下的废料相比（    ）。 A．甲剩的多 B．乙剩的多 C．丙剩的多 D．剩的一样多 高频考点十四 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·河北保定·期末）如图，空白部分是一个直径为6厘米的半圆，把整个半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B旋转至点B＇，则阴影部分的面积是( )平方厘米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·全国·小升初复习）如图，图A与图B相比，图A的面积（    ）图B的面积，图A的周长（    ）图B的周长。正确的选项是（    ）。 A．等于；小于 B．大于；小于 C．小于；大于 【基础通关】 1．（25-26六年级下·河南信阳·期末）在学习圆的面积时，同学们把圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长相当于圆的（    ），宽相当于圆的（    ），这一过程体现了（    ）的数学思想。 A．周长的一半；半径；转化 B．周长；直径；数形结合 C．周长的一半；直径；分类 D．周长；半径；转化 2．（25-26六年级下·新疆伊犁·期末）学校新建圆形花坛，要计算花坛的占地面积，是求圆的（    ）。 A．周长 B．面积 C．表面积 D．体积 3．（25-26六年级下·山西临汾·期末）一根圆柱形木料，底面直径是20厘米，长是2.4米。把它截成3段，使每一段的形状都是圆柱。截开后，表面积增加了( )平方厘米。（π取3.14） 4．（25-26六年级下·河北张家口·期末）用一块长18.84分米、宽6分米的长方形铁皮做一个圆柱形水桶的侧面，要使这个水桶的底面最大，那么底面积应是( )平方分米。 5．（25-26六年级下·安徽亳州·期末）如图所示，张爷爷开辟了一块半圆形菜地（一面靠墙），它的直径是8m，如果用篱笆将菜地围起来，至少需要( )米长的篱笆。 6．（25-26六年级上·河北唐山·期中）计算下面图形的周长。 7．（25-26六年级下·北京昌平·期末）公园绿地里浇水用的喷头，最远能喷水8米。喷头旋转一周，最大的喷水面积是多少平方米？ 8．（24-25六年级下·江西新余·期末）某社区计划在中心广场修建一个圆形花坛，并在花坛旁边规划一个休闲区（如下图阴影部分所示），同时围绕整个休闲区边缘全部安装护栏。已知圆形花坛的直径为20米，长方形休闲区的长为25米，宽与花坛的直径相等。休闲区的占地面积是多少？休闲区边缘安装护栏的长度是多少？（π取3.14） 9．（25-26六年级下·河南新乡·期末）为响应国家“健康中国”的规划，某小区新建了一个半径为10米的圆形综合健身广场，并按1∶3的面积比，将这个健身广场划分为“力量训练区”和“有氧运动区”。有氧运动区的占地面积是多少平方米？ 10．（25-26六年级下·湖南娄底·期末）一个近似圆锥形的沙堆，底面周长为18.84米，高为2.5米。（π取3.14） (1)这个沙堆的占地面积是多少平方米？ (2)如果每立方米沙子重1.5吨，这堆沙子重多少吨？ 【能力提升】 1．（2026·甘肃陇南·小升初模拟）用两根都是16厘米的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，这两个图形的面积相比（    ）。 A．圆的面积大 B．正方形的面积大 C．一样大 D．无法判断 2．（25-26六年级下·辽宁辽阳·期末）圆的半径由4cm减少到3cm，圆的面积减少了（    ）cm2。 A．21.98 B．3.14 C．31.4 D．6.28 3．（2026·广东汕头·小升初真题）已知一个圆柱的底面积是3.14dm2，高是3dm，那么圆柱的表面积是( )dm2。 4．（2026·西藏拉萨·小升初真题）如图中的曲线被称为黄金螺旋线。如果中间最小正方形的边长为1cm，图中所画黄金螺旋线的长度是______cm。 5．（25-26六年级下·河南焦作·期末）小红说：“圆的半径增大，面积就增大，所以一个圆的半径和面积成正比例”。( )（判断对错） 6．（25-26六年级下·陕西宝鸡·期末）计算下面阴影部分的面积（单位：cm）。 7．（25-26六年级下·河南周口·期中）建筑工地上有一近似圆锥形的沙堆（如下图），工人师傅量得它的高是1.8米，底面周长是31.4米。如果每立方米沙子重1.5吨，那么这堆沙子的质量是多少吨？ 8．（24-25六年级下·广西桂林·期中）三月三表演节目的舞台左右两侧各摆放着圆锥形的烟花，准备表演闭幕的时候来一场烟花秀，一个圆锥形烟花的底面周长是1.884米，高1米，如果每立方米重50千克，每个烟花重多少千克？ 9．（24-25六年级下·山东临沂·期末）如图，长方形木片长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米（即线段AC、线段BD都为13厘米），正方形木桩边长为17厘米。木片从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木片滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长多少厘米？（π取3.14） 10．（25-26六年级上·河北邢台·期末）为了扩大百姓的休闲活动空间，某社区准备建一个微型公园。下图中左侧的正方形是这个公园的平面设计图，空白部分是活动区域，涂色部分为绿植区域。 (1)这幅图的比例尺是( )。 (2)以正方形中心O点为观测点，A点在正北方向上，与O点相距的实际距离是( )；B点在( )偏( )45°的方向上。 (3)绿植区域的图形共有( )条对称轴，请你画出其中的一条。绿植区域的实际面积是多少平方米？ (4)在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。请在上图右侧的正方形中用圆规画出新的设计图，给绿植区域涂色。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 第二单元 圆『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+14个考点讲练展+真题难度分层演练 共48题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 圆的认识 3 知识点二 圆的周长 3 知识点三 圆的面积 4 知识点四 扇形 4 考点讲练 真题汇总 4 高频考点一 圆的概念及特点 4 高频考点二 画圆 5 高频考点三 与圆相关的轴对称图形 8 高频考点四 圆的周长 9 高频考点五 半圆的周长 10 高频考点六 圆的周长的应用 12 高频考点七 含圆的组合图形的周长 13 高频考点八 圆的面积 14 高频考点九 圆的面积的应用 15 高频考点十 圆环的面积 16 高频考点十一 求最大面积 19 高频考点十二 含圆的组合图形的面积 20 高频考点十三 方中圆和圆中方的面积问题 21 高频考点十四 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 23 优选真题 实战演练 24 【基础通关】 24 【能力提升】 29 知识点一 圆的认识 1． 圆的定义:一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴:直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二 圆的周长 1．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率:圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三 圆的面积 1. 圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 2．圆的面积公式:或者或者 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 或。（其中R＝r＋环的宽度） 6．半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 7．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 8．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四 扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 高频考点一 圆的概念及特点 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·山西吕梁·期末）在一张长30厘米、宽14厘米的长方形纸上，若剪下一个最大的正方形，则这个正方形边长是( )厘米；若剪下一个最大的圆，则这个圆的半径是( )厘米，最多可以剪下( )个这样的圆。 【答案】 14 7 2 【思路引导】在长方形中剪下一个最大的正方形，最大正方形的边长等于长方形的宽； 在长方形中剪下一个最大的圆，最大圆的直径等于长方形的宽，再除以2即为最大圆的半径； 分别用长方形纸的长和宽除以直径求出长方向和宽方向可以剪下的圆的个数，将整数结果相乘即可得到最多剪下的圆的个数。 【规范解答】长方形纸宽14厘米，所以剪下的最大正方形边长是14厘米； 14÷2＝7（厘米），最大圆的半径是7厘米； 30÷14＝2（个）……2（厘米） 14÷14＝1（个） 2×1＝2（个），最多可以剪下2个这样的圆。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·广东深圳·期末）圆的周长。鹏鹏在课堂测量圆的周长时，采用了滚动法：把圆上点A对准刻度0，圆向右滚动一圈。则点A将落在直尺刻度上的（    ）。 A．2cm~4cm之间 B．4cm~6cm之间 C．6cm~8cm之间 D．8cm~10cm之间 【答案】C 【思路引导】把这个圆在直尺上滚动一周，滚动的长度就是圆的周长，由图示可知直径d＝2cm，根据圆的周长公式，求出圆的周长，进行判断并选择即可。 【规范解答】3.14×2＝6.28（cm） 6.28在6cm~8cm之间，所以点A将落在直尺刻度上的6cm~8cm之间。 高频考点二 画圆 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·广东惠州·期末）下图是根据小可家和周围建筑物之间的位置关系画出的“雷达图”。点O表示小可家，四个圆是圆心相同的“同心圆”，最小的圆半径200m，由内向外，每个圆的半径依次增加200m。 （1）学校在小可家西偏（      ）（    ）°的方向上。 （2）图书馆在小可家东偏南60°方向，距离600m，请你画出图书馆的位置，并标注名称。 （3）学校在上午会进行课间操活动，能听到课间操音乐的最远距离是400m，请在图中画出音乐所覆盖的圆形区域。（用圆规） 【答案】（1）北；60 （2） （3） 【思路引导】（1）地图上按上北下南左西右东确定方向，结合角度确定准确方向即可； （2）弄清要标示的物体在哪个方位上，有多少度，按要求的方位和度数准确画图；注意各场所离中心点的距离，根据要求确定相应的长度。 （3）用最远距离÷最小的圆半径，确定图上半径，画圆即可。画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【规范解答】（1）从图上看学校在小可家左偏上60°方向，因此学校在小可家西偏北60°的方向上。 （2）600÷200＝3，图书馆在小可家东偏南60°方向，距离600m，即右偏下60°，从内到外第3个同心圆处。 （3）400÷200＝2 画出以图上学校位置为圆心，半径为400÷200＝2（单位）的圆即可。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·湖南湘西·期末）十八洞景区计划建造一个智能花园，请你根据以下要求完成规划设计图。 （1）以旗杆为观测点，入口在旗杆东偏北30°方向，距离40米处。请在图上标出花园入口的位置。 （2）以旗杆正西方向60米处为圆心，建一个圆形花坛，直径为20米。请在图上画出这个圆。 （3）计划在圆形花坛外围修建一个正方形的观景平台，与花坛恰好形成“外方内圆”。请在图上画出这个正方形。 （4）自动旋转喷灌装置的射程是12米。若将灌溉器安装在花坛圆心处，灌溉区域能否完全覆盖花坛？请说明理由。 【答案】（1） （2） （3） （4）可以。因为自动旋转喷灌装置的射程是12米，相当于圆的半径为12米，大于花坛的半径10米。 【思路引导】由图可知，上北下南，左西右东。比例尺为1∶1000。 （1）根据“图上距离＝实际距离×比例尺”计算出入口和旗杆的图上距离，以旗杆为观测点，东偏北30°方向就是以正东方向为起始边，向正北方向偏转30°画射线，在这条射线上以旗杆为端点，截取长为4厘米的线段，并标出入口。 （2）根据“图上距离＝实际距离×比例尺”计算出花坛的圆心与旗杆的图上距离以及直径的图上距离，再以旗杆左边6厘米处为圆心，2厘米为直径画圆。 （3）要画一个正方形，与圆形花坛形成外方内圆，正方形的边长等于圆的直径，圆的直径是2厘米。只要过圆心画水平、竖直两条直径，过两条直径的四个端点分别作所在直径的垂线，四条垂线围成的正方形就是要画的正方形。 （4）自动旋转喷灌装置的射程是12米，如果射程比花坛的半径大，就能完全覆盖；如果射程比花坛的半径小，就不能完全覆盖。根据“半径＝直径÷2”求出花坛的实际半径，再与12米比大小。 【规范解答】（1）40米＝4000厘米 4000×＝4厘米 图略 （2）60米＝6000厘米，20米＝2000厘米 6000×＝6厘米，2000×＝2厘米 图略 （3）图略 （4）20÷2＝10（米） 12＞10，能完全覆盖。 高频考点三 与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级下·甘肃张掖·期中）把圆至少对折( )次可以找到圆心，对折后展开后量的其中一条折痕是12cm，那么这个圆的面积是( )cm2。 【答案】 2 113.04 【思路引导】圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。把圆对折一次，折痕是直径。再对折一次（方向不同），两条折痕的交点即为圆心。折痕的长度即为圆的直径，用直径除以2算出半径，再根据圆的面积公式 S＝πr2 计算面积。 【规范解答】12÷2＝6（cm） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（cm2） 把圆至少对折2次可以找到圆心，对折后展开量的其中一条折痕是12cm，那么这个圆的面积是113.04cm2。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·河北保定·期末）下图有( )条对称轴；画一条直线把下图分成面积相等的两部分，有( )种画法。 【答案】 2 无数 【思路引导】长方形有2条对称轴，圆的对称轴只有和长方形重合的2条，所以组合图形有2条对称轴。 长方形和圆的中心重合，过这个中心的任意直线都能平分图形，所以有无数种画法。 【规范解答】下图有2条对称轴；画一条直线把下图分成面积相等的两部分，有无数种画法。 高频考点四 圆的周长 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·湖南湘西·期末）探测车车轮的外圆直径是50厘米。如果火星表面有一个圆形陨石坑，直径为10米，探测车绕坑一周车轮需要转动多少圈？（π取3.14） 火星表面陨石坑 【答案】20圈 【思路引导】分别求出车轮的外圆周长和陨石坑的周长，再用陨石坑的周长除以车轮的外圆周长。注意要先统一单位。 【规范解答】50厘米＝0.5米 （3.14×10）÷（3.14×0.5） ＝31.4÷1.57 ＝20（圈） 答：探测车绕坑一周车轮需要转动20圈。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·四川成都·期末）在一幅比例尺为1∶500的新建公园平面图上，一个圆形花坛周长12.56厘米，这个花坛实际的占地面积是多少平方米？ 【答案】 314平方米 【思路引导】根据圆的周长公式，利用图上周长求出图上半径。再利用“实际距离图上距离比例尺”求出实际半径。 注意单位换算，题目要求实际占地面积为平方米，需将实际半径的单位由厘米换算成米。 根据圆的面积公式求出实际占地面积。 【规范解答】解： 图上半径： （厘米） 实际半径： （厘米） 1000厘米＝10米 （平方米） 答：这个花坛实际的占地面积是314平方米。 高频考点五 半圆的周长 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·河南南阳·期末）如图，老鼠在圆心O处，猫在A点，现在老鼠从O点沿半径向B点逃跑，同时猫从A点沿箭头方向追，已知猫的速度是老鼠的3倍，则（    ）。 A．老鼠先到达B点 B．猫先到达B点 C．同时到达B点 D．无法判断 【答案】A 【思路引导】要看谁先到达B点，就是比较老鼠从O到B点的时间，与猫从A到B的时间长短。由于猫的速度是老鼠的3倍，时间一定时，路程与速度成正比，相同时间内猫与老鼠的路程比也是3∶1，因此，我们只需要看从A到B的曲线长与线段的长度是不是也是3倍关系。 【规范解答】从O到B：路程为r； 从A到B：路程为；，因此从A到B的距离与从O到B的距离比大于3，老鼠先到达B点。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·甘肃定西·期末）如图是学校劳动实践基地一块空地示意图的一部分，请按要求作图。 (1)在如图空白处把长方形空地的边补充完整。 (2)学校为了美化这块空地，想要在这块长方形空地里用篱笆围一个最大的半圆形花园，在里面种上月季花和牡丹。请你设计并画出最大的花卉种植面积，并计算至少需要（    ）米篱笆。 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解；77.1 【思路引导】（1）根据长方形对边平行且相等，四个角都是直角，在如图空白处把长方形空地的边补充完整即可。 （2）想要在这块长方形空地里用篱笆围一个最大的半圆形花园，在里面种上月季花和牡丹，半圆的半径等于长方形长的一半，据此设计并画出最大的花卉种植面积，计算至少需要多少米篱笆，也就是计算半圆的周长，结合半圆的周长公式即可求解。 【规范解答】（1）把长方形空地的边补充完整。如图： （2）学校为了美化这块空地，想要在这块长方形空地里用篱笆围一个最大的半圆形花园，在里面种上月季花和牡丹。设计并画出最大的花卉种植面积，如图： 3.14×15＋15×2 ＝47.1＋30 ＝77.1（米） 至少需要77.1米篱笆。 高频考点六 圆的周长的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（26-27六年级上·全国·课前预习）地球赤道是一个巨大的圆，假设我们在赤道上围一根绳子。现在把绳子延长10米，使绳子均匀地离开地面形成一个同心圆环。这个间隙（环宽）大约是（    ）。（提示：利用本课学到的规律逆推，ΔC＝2π×环宽） A．约1.6米 B．约3.14米 C．约6.28米 D．无法确定，因为不知道地球半径 【答案】A 【思路引导】根据题目给出的规律ΔC＝2π×环宽，先确定绳子延长的长度就是周长的变化量ΔC，再将公式变形为环宽＝ΔC÷2π，π取3.14，最后把ΔC＝10米代入变形后的公式计算，即可求出环宽的大小。 【规范解答】10÷（2×3.14） ＝10÷6.28 ≈1.6（米） 这个间隙（环宽）大约是1.6米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·浙江杭州·期末）小明把一个半径是4厘米的圆形纸片平均分成16份，剪开后拼成两个近似的平行四边形，如下图。这两个平行四边形的周长相差_________厘米。（本试卷中的结果可保留π或取3.14） 【答案】/12.56 【思路引导】已知圆的周长，平行四边形的周长等于围成平行四边形的4条边的长度和；根据图意可知，小平行四边形的周长等于圆的周长的（即）加上2条半径，大平行四边形的周长等于圆的周长的（即）加上2条半径；据此用字母式子表示出两个平行四边形的周长，再相减，即可解答。 【规范解答】小平行四边形的周长： 2×4××＋2×4 ＝2＋8（厘米） 大平行四边形的周长： 2×4××＋2×4 ＝6＋8（厘米） 则它们周长的差为： 6＋8－（2＋8） ＝6＋8－2－8 ＝6－2 ＝4（厘米）＝12.56（厘米） 高频考点七 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·陕西咸阳·期末）计算阴影部分的周长。 （单位：厘米） 【答案】71.4厘米 【思路引导】阴影部分的周长由长方形两条长和一个完整圆的周长组合而成，长方形宽10厘米就是圆的直径，根据圆的周长公式C＝πd，π取3.14，分别求出线段总长与圆周长后相加即可求出阴影周长。 【规范解答】两条长的长度：20×2＝40（厘米） 圆的周长（直径10）：3.14×10＝31.4（厘米） 总周长：40＋31.4＝71.4（厘米） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2026六年级下·全国·专题练习）如图阴影部分的周长是（    ）。 A．6.28 B．9.28 C．9.42 D．无法计算 【答案】B 【思路引导】图中阴影部分交点组成的三角形是等边三角形，因为三条边都是圆的半径，所以阴影部分的周长＝2段弧长＋3；弧长对应的圆心角是60°，即每一段弧长占圆周长的，根据“圆的周长＝2πr”，用圆的周长乘，据此求出一段弧长；再用一段弧长乘2计算出2段弧长；最后加上3即可计算阴影部分周长。 【规范解答】2×3.14×3××2＋3 ＝2×3.14×3××2＋3 ＝6.28×3××2＋3 ＝18.84××2＋3 ＝3.14×2＋3 ＝6.28＋3 ＝9.28 高频考点八 圆的面积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·四川广安·期末）计算阴影部分的面积。     【答案】9.42平方分米 【思路引导】已知圆的直径为4分米，根据半径是直径的一半，可得圆的半径，然后根据圆的面积＝计算出圆的面积。观察图形可知，阴影部分面积为圆面积的，即用圆的面积乘即可得出阴影部分的面积。 【规范解答】3.14×× ＝3.14×× ＝3.14×4× ＝12.56× ＝9.42（平方分米） 阴影部分的面积为9.42平方分米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·云南昆明·期末）在解决下面四个问题时，主要运用的数学思想与其他三个不同的是（    ）。 A．用推导出三角形的面积计算公式 B．用表示 C．用出圆的面积公式 D． 【答案】B 【思路引导】数学思想是指在解决一类问题时用到的核心思维方式，小学常见的数学思想有：数形结合、转化、分类、集合等，先分析每个选项用到的数学思想，再选出不同的一项即可。 【规范解答】A．在推导三角形的面积公式时，将三角形面积转化为已经学过的平行四边形的面积进行推导，用到的是转化的数学思想； B．用图形表示，是借助图形直观地展现分数乘法的意义，运用了数形结合思想，通过图形帮助理解分数乘法运算； C．在推导圆的面积时，将圆的面积转化为已学过的长方形的面积，用到的是转化的数学思想； D．计算小数除法7.65÷0.85时，将除数和被除数同时扩大到它的100倍，转化为765÷85来计算，运用了转化思想，把小数除法转化为整数除法。 高频考点九 圆的面积的应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·贵州六盘水·期中）有两种相关联的量，它们的关系如图所示。这两个量可以是（    ）。 A．圆的半径和面积 B．单价和数量 C．体积一定，圆柱的底面积和它的高 D．速度一定，行驶的路程和时间 【答案】D 【思路引导】图像是一条从（0，0）出发的射线，所以这两种相关联的量成正比例关系，成正比例关系的两种量对应的数的比值是一定的；据此逐项分析各项是否成正比例即可解答。 【规范解答】A．根据圆的面积计算公式的变形（比值不一定），所以圆的半径和面积不成正比例关系； B．单价×数量＝总价（乘积一定，比值不一定），所以单价和数量不成正比例关系； C．圆柱的底面积×高＝体积（乘积一定），那么圆柱的底面积和它的高成反比例关系，不成正比例关系； D．路程÷时间＝速度（比值一定），所以行驶的路程和时间成正比例关系。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·江苏徐州·期末）如图，在长方形ABCD中，甲、乙两圆面积相等，则丙圆与乙圆的面积比是（    ）。 A．2∶1 B．1∶4 C．1∶8 D．4∶1 【答案】D 【规范解答】甲、乙面积相等，说明甲、乙直径相同；观察图形，长方形左侧宽等于2个小圆直径，而丙圆的直径等于长方形的宽，也就是2个乙圆的直径。 设乙圆直径是2，则半径是1；此时丙圆的直径是2×2＝4，半径是2； 根据圆面积之比等于半径平方之比，可得丙圆面积∶乙圆面积＝22∶12，即4∶1。 高频考点十 圆环的面积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·陕西咸阳·期末）如图是某公园规划的绿地和便民休息场所，则绿地（阴影部分）的面积是（    ）m。 A．12.56 B．25.12 C．31.4 D．62.8 【答案】C 【思路引导】据图可知：绿地的面积等于内圆直径是8m，外圆直径是（8＋2＋2）m的圆环面积的一半，圆环的面积＝π（R2－r2），据此列式计算。 【规范解答】8÷2＝4（m） （8＋2＋2）÷2 ＝12÷2 ＝6（m） 3.14×（62－42）÷2 ＝3.14×（36－16）÷2 ＝3.14×20÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（m2） 绿地（阴影部分）的面积是31.4m2。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·浙江绍兴·期末）（1）画出长方形绕A点按逆时针方向旋转90°后的图形。旋转后点B的位置用数对表示是（    ）。 （2）按1∶2的比画出三角形缩小后的图形（1），图形（1）的面积是原来三角形的。 （3）若1个小方格表示1cm2，以（16，4）为圆心，分别画半径为3cm和4cm的同心圆，这两个圆之间的圆环的面积是（    ）cm2。 【答案】 （1）；（2，1） （2）； （3）；21.98 【思路引导】（1）根据旋转的意义，找出图中长方形4个关键点，再画出按逆时针方向绕A点旋转90°后的形状即可画出长方形绕A点按逆时针方向旋转90°后的图形；数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此观察旋转后点B的位置。 （2）按1∶2的比画出三角形缩小后的图形，就是把原三角形的三边都缩小到原来的，据此计算出缩小后的三角形的底和高，然后画图即可；再根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，把数据代入计算后，再根据分数与除法的关系计算即可。 （3）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，以（16，4）为圆心，即第16列，第4行。用圆规的一脚固定在圆心，另一脚张开到3cm的宽度，旋转画圆；固定在圆心的脚不动，另一脚再张开到4cm处，旋转画圆。再根据“圆环面积＝π（R2－r2）”求出圆环面积。 【规范解答】（1）图略 旋转后点B在第2列，第1行，用数对表示是（2，1）。 （2）图形（1）的底是4格，对应的高是2格。 4÷2＝2（格），2÷2＝1（格） 画底是2格，对应的高是1格的三角形，形状不变。 图略 4×2÷2＝4 2×1÷2＝1 1÷4＝ 即图形（1）的面积是原来三角形的。 （3）第16列，第4行为圆心，画圆。 图略 3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（cm2） 高频考点十一 求最大面积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在下面这张长方形纸上画一个最大的圆，再计算如果把这个圆剪下来，剩余纸的面积是多少平方厘米？ 【答案】20.375平方厘米 【思路引导】从长方形中剪最大的圆，圆的直径就是长方形的宽。同一圆内，直径是半径的2倍，据此算出半径。剩余部分的面积＝长方形面积－圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积S＝πr2，据此列式解答。 【规范解答】5÷2＝2.5（厘米） 8×5－3.14×2.52 ＝40－3.14×6.25 ＝40－19.625 ＝20.375（平方厘米） 答：剩余纸的面积是20.375平方厘米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级上·辽宁·课后作业）乐乐做下面这道题目时，是这样解答的，你认为他做得对吗？如果不正确，请你找出错误的原因，并写出你的思考过程。 将一块长4m、宽2m的长方形铁板切割出一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方米？ 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝12.56（m2） 答：这个圆的面积是12.56平方米。 【答案】不正确，乐乐把圆的直径看作4m了，应该为2m正确列式： 3.14×（2÷2）2＝3.14（m2） 【思路引导】在长方形里切割一个最大的圆，应以短边为直径，用直径除以2求出半径，再代入圆的面积公式去计算。据此解答。 【规范解答】 （m2） 答：不正确，乐乐把圆的直径看作4m了，应该为2m正确列式：3.14×（2÷2）2＝3.14（m2）。 高频考点十二 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·河南平顶山·期末）四边形ABCD为正方形，求阴影部分的面积（单位cm）。 【答案】78.5cm2 【思路引导】把右边半圆逆时针旋转90度，阴影部分变成一个半径为10cm的圆的，据此计算。 【规范解答】 （cm2） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（26-27六年级·全国·暑假作业）计算下面图（1）的周长，计算图（2）中的阴影部分的面积。 【答案】30.28m；9.63cm2 【思路引导】图（1）的周长＝圆周长的一半＋长方形的长×2＋长方形的宽，圆周长的一半＝πd÷2。 图（2）中的阴影部分的面积＝半圆的面积－直角三角形的面积，半圆的面积＝πr2÷2，直角三角形两条直角边互为底和高，且这个直角三角形两条直角边都等于圆的半径，三角形面积＝底×高÷2。 【规范解答】3.14×4÷2＋10×2＋4 ＝6.28＋20＋4 ＝30.28（m） 图（1）的周长是30.28m。 6÷2＝3（cm） 3.14×32÷2－3×3÷2 ＝3.14×9÷2－9÷2 ＝28.26÷2－4.5 ＝14.13－4.5 ＝9.63（cm2） 图（2）中的阴影部分的面积是9.63cm2。 高频考点十三 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·河南洛阳·期末）“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理。如果图（1）中外面正方形的面积是36dm2，则内圆的面积是__________dm2，如果图（2）中外圆的面积是25.12dm2，则圆内大正方形的面积是_______dm2。 【答案】 28.26 16 【思路引导】正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2＝π（d÷2）2，三角形的面积＝底×高÷2； （1）外面正方形的边长等于内圆的直径，根据36＝6×6可知外面正方形的边长是6dm，则内圆的面积等于直径是6dm的圆的面积； （2）圆内正方形的对角线等于外圆的直径，对角线可以把正方形分成2个底等于外圆的直径（2r），高等于外圆的半径（r）的三角形，则正方形的面积＝2r×r÷2×2＝2r2，先用外圆的面积除以π求出r2，再把r2代入2r2中计算即可。 【规范解答】36＝6×6 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（dm2） 25.12÷3.14＝8 2×8＝16（dm2） 如果图（1）中外面正方形的面积是36dm2，则内圆的面积是28.26dm2，如果图（2）中外圆的面积是25.12dm2，则圆内大正方形的面积是16dm2。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·四川成都·期末）用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按如图三种方式剪出不同规格的圆片，白铁皮剩下的废料相比（    ）。 A．甲剩的多 B．乙剩的多 C．丙剩的多 D．剩的一样多 【答案】D 【规范解答】假设正方形的边长是6，则甲图形圆的半径是6÷3÷2＝1，乙图形的圆的半径是6÷2÷2＝1.5，丙图形圆的半径是6÷2＝3，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积S＝πr2，用正方形的面积减去圆的面积和或圆的面积求出剩下的面积，再进行比较即可解答。 【解答】设正方形的边长是6。 甲：6÷3÷2＝1 6×6－3.14×12×9 ＝6×6－3.14×1×9 ＝36－28.26 ＝7.74 乙：6÷2÷2＝1.5 6×6－3.14×1.52×4 ＝6×6－3.14×2.25×4 ＝36－28.26 ＝7.74 丙：6÷2＝3 6×6－3.14×32 ＝6×6－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74 7.74＝7.74＝7.74 所以白铁皮剩下的废料一样多。 高频考点十四 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·河北保定·期末）如图，空白部分是一个直径为6厘米的半圆，把整个半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B旋转至点B＇，则阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】18.84 【思路引导】观察图形可得：阴影部分的面积＝以AB＇为直径的半圆的面积＋扇形ABB＇的面积－以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB＇；扇形的圆心角是60°，半径为6厘米，然后再根据扇形的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【规范解答】×3.14×62 ＝×3.14×36 ＝3.14×（36×） ＝3.14×6 ＝18.84（平方厘米） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·全国·小升初复习）如图，图A与图B相比，图A的面积（    ）图B的面积，图A的周长（    ）图B的周长。正确的选项是（    ）。 A．等于；小于 B．大于；小于 C．小于；大于 【答案】A 【思路引导】图A为半圆，其直径是4厘米。图B为不规则图形，大半圆的直径是厘米，小半圆的直径是2厘米，将该图B右边多出的半圆形通过旋转平移至左侧，填补空缺后与上面的部分组成了一个半圆，由于图A和B都是半圆，并且直径都相等，故它们的面积是相等的；图A的周长＝半圆弧长＋直径，图B的周长＝一个大半圆弧长＋两个小半圆弧长，两个小半圆弧可以看作一个小的整圆周长，根据圆的周长公式解答。 【规范解答】图B经过平移旋转填补后，转化为一个半圆形，图A和图B都是半圆形，直径相等，所以它们面积也相等。 图A的周长： （厘米） 图B的周长： （厘米） 因为，所以图A的周长＜图B的周长。 【基础通关】 1．（25-26六年级下·河南信阳·期末）在学习圆的面积时，同学们把圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长相当于圆的（    ），宽相当于圆的（    ），这一过程体现了（    ）的数学思想。 A．周长的一半；半径；转化 B．周长；直径；数形结合 C．周长的一半；直径；分类 D．周长；半径；转化 【答案】A 【思路引导】圆剪拼成一个近似的长方形，这是圆面积公式的推导过程。分的份数越多，拼成的图形越接近长方形，根据拼成的图形（下图）可以观察出，长方形的长就是圆周长的一半，宽就是圆的半径，该过程将曲线图形（圆）转化为直线图形（长方形）来计算面积，体现了转化的数学思想。据此解答。 【规范解答】根据分析可知：在学习圆的面积时，同学们把圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长相当于圆的周长的一半，宽相当于圆的半径，这一过程体现了转化的数学思想。 2．（25-26六年级下·新疆伊犁·期末）学校新建圆形花坛，要计算花坛的占地面积，是求圆的（    ）。 A．周长 B．面积 C．表面积 D．体积 【答案】B 【思路引导】封闭图形一周的长度，是它的周长；占地面积指平面图形占据地面的大小，对应平面图形的面积概念；物体表面面积的总和，叫做物体的表面积； 物体所占空间的大小叫作物体的体积；据此学逐项分析。 【规范解答】A．周长是围成圆的曲线的长度，计量单位是长度单位，不是面积； B．占地面积对应平面图形的面积，花坛的占地大小就是圆的面积； C．表面积是立体图形所有面的面积之和，花坛的占地面积仅指底面大小； D．体积是物体所占空间的大小，属于立体图形概念。 综上所述，要计算花坛的占地面积，是求圆的面积。 3．（25-26六年级下·山西临汾·期末）一根圆柱形木料，底面直径是20厘米，长是2.4米。把它截成3段，使每一段的形状都是圆柱。截开后，表面积增加了( )平方厘米。（π取3.14） 【答案】1256 【思路引导】把一根圆柱形木料截成3段，需要截2次。每截一次会增加2个圆形截面，截2次共增加4个与底面一样大的圆形截面。先用直径除以2求出半径，再用圆的面积公式S＝π×半径2求出一个截面的面积，最后乘4求出增加的表面积。 【规范解答】20÷2＝10（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 3－1＝2（次） 2×2＝4（个） 314×4＝1256（平方厘米） 所以截开后，表面积增加了1256平方厘米。 4．（25-26六年级下·河北张家口·期末）用一块长18.84分米、宽6分米的长方形铁皮做一个圆柱形水桶的侧面，要使这个水桶的底面最大，那么底面积应是( )平方分米。 【答案】28.26 【思路引导】圆柱侧面由长方形铁皮围成，要让水桶底面积最大，需要让底面圆的周长尽可能大，圆的周长越大，对应的半径就越大，底面积也就越大；圆的周长＝（取3.14，r是半径），圆的面积＝（取3.14，r是半径）。 【规范解答】选择长方形更长的边18.84分米作为圆柱底面的周长，这样得到的底面圆尺寸更大。 18.84÷3.14＝6（分米），6÷2＝3（分米） 3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（平方分米） 5．（25-26六年级下·安徽亳州·期末）如图所示，张爷爷开辟了一块半圆形菜地（一面靠墙），它的直径是8m，如果用篱笆将菜地围起来，至少需要( )米长的篱笆。 【答案】12.56 【思路引导】如图所示，张爷爷的篱笆围起来的菜地是半圆形，因为靠墙，所以篱笆的长度是圆周长的一半，因此根据圆的周长＝π×直径，先求出圆的周长，再用周长÷2，即可得出结果。 【规范解答】3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（米） 6．（25-26六年级上·河北唐山·期中）计算下面图形的周长。 【答案】第一个圆形的周长是12.56厘米，第二个组合图形的周长是27.42分米。 【思路引导】第一个图形：首先识别图形为圆形，已知半径2cm，直接将半径数值代入即可计算周长。 第二个图形：先拆分图形，该图形由一个半圆和一个缺了一条边的正方形组成，周长是半圆的弧长加上正方形的三条边长度。 【规范解答】①圆形周长： ②半圆弧长： 正方形三条边的长度： 组合图形的周长： 综上，第一个圆形的周长是厘米，第二个组合图形的周长是分米。 7．（25-26六年级下·北京昌平·期末）公园绿地里浇水用的喷头，最远能喷水8米。喷头旋转一周，最大的喷水面积是多少平方米？ 【答案】200.96平方米 【思路引导】喷头旋转一周喷水形成一个圆形，最远喷水距离是圆的半径。求喷水面积就是求圆的面积，圆的面积＝圆周率×半径2。 【规范解答】3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方米） 答：最大的喷水面积是200.96平方米。 8．（24-25六年级下·江西新余·期末）某社区计划在中心广场修建一个圆形花坛，并在花坛旁边规划一个休闲区（如下图阴影部分所示），同时围绕整个休闲区边缘全部安装护栏。已知圆形花坛的直径为20米，长方形休闲区的长为25米，宽与花坛的直径相等。休闲区的占地面积是多少？休闲区边缘安装护栏的长度是多少？（π取3.14） 【答案】343平方米；101.4米 【思路引导】（1）休闲区的占地面积＝长方形的面积－半圆的面积；长方形的面积＝长×宽。圆的面积＝。 （2）护栏的长度＝长×2＋宽＋圆周长的一半；圆的周长＝。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝（平方米） 答：休闲区的占地面积是343平方米。 ＝ ＝（米） 答：休闲区边缘安装护栏的长度是101.4米。 9．（25-26六年级下·河南新乡·期末）为响应国家“健康中国”的规划，某小区新建了一个半径为10米的圆形综合健身广场，并按1∶3的面积比，将这个健身广场划分为“力量训练区”和“有氧运动区”。有氧运动区的占地面积是多少平方米？ 【答案】235.5平方米 【思路引导】已知圆形综合健身广场的半径是10米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出广场的面积； 已知广场按1∶3的面积比划分为“力量训练区”和“有氧运动区”，那么有氧运动区的占地面积占广场面积的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出有氧运动区的占地面积。 【规范解答】3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 314× ＝314× ＝235.5（平方米） 答：有氧运动区的占地面积是235.5平方米。 10．（25-26六年级下·湖南娄底·期末）一个近似圆锥形的沙堆，底面周长为18.84米，高为2.5米。（π取3.14） (1)这个沙堆的占地面积是多少平方米？ (2)如果每立方米沙子重1.5吨，这堆沙子重多少吨？ 【答案】(1)28.26平方米 (2)35.325吨 【思路引导】（1）根据圆的周长＝2πr，求出底面半径，根据圆的面积＝πr2，求出占地面积。 （2）根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，求出沙堆的体积，再乘每立方米沙子重量，就是这堆沙子的总量。 【规范解答】（1）18.84÷3.14÷2＝3（米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这个沙堆的占地面积是28.26平方米。 （2）28.26×2.5÷3×1.5＝35.325（吨） 答：这堆沙子重35.325吨。 【能力提升】 1．（2026·甘肃陇南·小升初模拟）用两根都是16厘米的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，这两个图形的面积相比（    ）。 A．圆的面积大 B．正方形的面积大 C．一样大 D．无法判断 【答案】A 【思路引导】根据题意，用两根长16厘米的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，那么铁丝的长度等于圆的周长和正方形的周长。 根据正方形的边长＝周长÷4，正方形的面积＝边长×边长，求出正方形的面积； 根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 最后比较正方形和圆的面积，得出结论。 【规范解答】正方形的边长：16÷4＝4（cm） 正方形的面积：4×4＝16（cm2） 圆的半径：16÷3.14÷2≈2.5（cm） 圆的面积： 3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（cm2） 因为19.625＞16，所以圆的面积大。 2．（25-26六年级下·辽宁辽阳·期末）圆的半径由4cm减少到3cm，圆的面积减少了（    ）cm2。 A．21.98 B．3.14 C．31.4 D．6.28 【答案】A 【思路引导】减少的面积是半径为4cm的圆面积减去半径为3cm的圆面积，根据圆环面积公式S＝π（R2－r2），π取3.14，代入数值即可解答。 【规范解答】3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（cm2） 圆的面积减少了21.98cm2。 3．（2026·广东汕头·小升初真题）已知一个圆柱的底面积是3.14dm2，高是3dm，那么圆柱的表面积是( )dm2。 【答案】25.12 【思路引导】圆柱的表面积由两个底面圆面积加上侧面积组成。根据圆柱的底面积（S＝πr2），先求出圆柱的底面半径的平方，进而求出底面半径，再根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，即S＝2πrh，求出圆柱的侧面积，最后加上两个底面积，即可求出圆柱的表面积。 【规范解答】3.14÷3.14＝1（dm2） 因为1×1＝1，所以底面半径为1dm。 侧面积：2×3.14×1×3 ＝6.28×1×3 ＝18.84（dm2） 表面积：18.84＋3.14×2 ＝18.84＋6.28 ＝25.12（dm2） 4．（2026·西藏拉萨·小升初真题）如图中的曲线被称为黄金螺旋线。如果中间最小正方形的边长为1cm，图中所画黄金螺旋线的长度是______cm。 【答案】18.84 【思路引导】该黄金螺旋线由5段圆弧组成，每段圆弧长＝所在圆的周长×。从内到外，圆弧的半径依次是由小正方形边长推导而来，根据图形中正方形的关系，半径分别为1cm、1cm、2cm、3cm、5cm（因为最小正方形边长为1cm，后续正方形边长规律增长，1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5） ，圆的周长公式为，那么圆弧的长度为，分别计算各段四圆弧长度再相加即可。 【规范解答】第一段圆弧半径为：1cm， 第二段圆弧半径为：1cm， 第三段圆弧半径为：， 第四段圆弧半径为：， 第一段圆弧半径为：， 5．（25-26六年级下·河南焦作·期末）小红说：“圆的半径增大，面积就增大，所以一个圆的半径和面积成正比例”。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据正比例的定义，若两个相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中相对应的两个数的比值一定，则它们成正比例。利用圆的面积公式，计算面积与半径的比值，判断该比值是否为定值，从而得出结论。 【规范解答】圆的面积计算公式是，圆的面积与半径的比值是；因为半径是变化的量，所以也是一个变化的量，不是定值，所以圆的半径和面积不成正比例。 故答案为：× 6．（25-26六年级下·陕西宝鸡·期末）计算下面阴影部分的面积（单位：cm）。 【答案】20.52 【思路引导】把正方形沿对角线切开，将整个阴影部分平均分成两份；根据圆的面积 （取3.14，为半径，即正方形边长）求得圆的面积；再根据扇形面积圆的面积，三角形面积底高2，每一份阴影面积扇形面积减去直角边都为6的直角三角形面积，每一份阴影面积乘2即可求出整个阴影部分的面积。 【规范解答】根据题干信息及分析可知：正方形边长为6； 圆的面积： （） 扇形面积为：（）； 三角形面积为： （）； 每一份阴影面积为：（）； 所以整个阴影面积为：（） 7．（25-26六年级下·河南周口·期中）建筑工地上有一近似圆锥形的沙堆（如下图），工人师傅量得它的高是1.8米，底面周长是31.4米。如果每立方米沙子重1.5吨，那么这堆沙子的质量是多少吨？ 【答案】70.65吨 【思路引导】先用沙堆的底面周长除以圆周率再除以2求出底面半径，然后再根据圆锥的体积公式，代入数据求出沙堆的体积再乘每立方米沙子的质量即可得解。 【规范解答】 （米） （吨） 答：这堆沙子的质量是70.65吨。 8．（24-25六年级下·广西桂林·期中）三月三表演节目的舞台左右两侧各摆放着圆锥形的烟花，准备表演闭幕的时候来一场烟花秀，一个圆锥形烟花的底面周长是1.884米，高1米，如果每立方米重50千克，每个烟花重多少千克？ 【答案】4.71千克 【思路引导】先根据“”求出圆锥的底面半径，再根据“”求出一个圆锥形烟花的体积，最后乘每立方米烟花的重量求出每个烟花的重量。 【规范解答】1.884÷3.14÷2 ＝0.6÷2 ＝0.3（米） ＝ ＝ ＝0.03×3.14 ＝0.0942（立方米） 0.0942×50＝4.71（千克） 答：每个烟花重4.71千克。 9．（24-25六年级下·山东临沂·期末）如图，长方形木片长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米（即线段AC、线段BD都为13厘米），正方形木桩边长为17厘米。木片从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木片滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长多少厘米？（π取3.14） 【答案】135.02厘米 【思路引导】 如图：通过观察可知，点A经过的路径＝一个半径是5厘米的圆周长的一半＋一个半径是13厘米的圆周长＋一个半径是12厘米的圆周长的一半，根据圆周长公式：C＝2πr，代入数据分别求出每部分的长度，再相加即可。 【规范解答】2×3.14×5÷2＋2×3.14×13＋2×3.14×12÷2 ＝15.7＋81.64＋37.68 ＝135.02（厘米） 答：点A经过的路径长135.02厘米。 10．（25-26六年级上·河北邢台·期末）为了扩大百姓的休闲活动空间，某社区准备建一个微型公园。下图中左侧的正方形是这个公园的平面设计图，空白部分是活动区域，涂色部分为绿植区域。 (1)这幅图的比例尺是( )。 (2)以正方形中心O点为观测点，A点在正北方向上，与O点相距的实际距离是( )；B点在( )偏( )45°的方向上。 (3)绿植区域的图形共有( )条对称轴，请你画出其中的一条。绿植区域的实际面积是多少平方米？ (4)在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。请在上图右侧的正方形中用圆规画出新的设计图，给绿植区域涂色。 【答案】(1)1∶1000 (2) 15 北 东 (3)4；（画法不唯一）；193.5平方米 (4)（画法不唯一） 【思路引导】（1）先测量出这幅图的图上距离，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求出比例尺，注意单位统一。 （2）连接OA，可知，OA等于圆的半径，据此求出OA的长度；连接OB；再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以O为观测点，确定出B的位置。 （3）根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断出有几条对称轴，画出一条对称轴； 根据图可知，绿植区域的面积＝正方形面积－圆的面积；根据正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出绿植区域的面积。 （4）由于绿植的面积＝正方形面积－圆的面积，所以在正方形内画一个直径等于正方形边长的圆即可（画法不唯一）。 【规范解答】（1）测量图上距离是3厘米。 30米＝3000厘米 3∶3000 ＝（3÷3）∶（3000÷3） ＝1∶1000 这幅图的比例尺是1∶1000。 （2）30÷2＝15（米） 如图： 以正方形中心O点为观测点，A点在正北方向上，与O点相距的实际距离是15米；B点在北偏东45°的方向上。 （3）绿植区域的图形共有4条对称轴。 图略。 30×30－3.14×（30÷2）2 ＝30×30－3.14×152 ＝900－3.14×225 ＝900－706.5 ＝193.5（平方米） 答：绿植区域的实际面积是193.5平方米。 （4）略 【考点剖析】本题主要考查根据方向、距离确定物体的位置，同时考查阴影部分的面积，关键是把不规则图形转化为规则图形，利用规则图形的面积公式计算。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 第二单元圆『举一反三知识讲练』 (能力提升版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+14个考点讲练展+真题难度分层演练共48题) 讲义简介丙容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识，点； 3.优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题， 常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦」 梦目录指引丙容知晓 知识梳理温故知新·· 3 知识点一圆的认识......... 3 知识点二圆的周长.……………… ……3 知识点三圆的面积… 知识点四扇形..… 考点讲练真题汇总…… 高频考点一圆的概念及特点… 高频考点二画圆… 高频考点三与圆相关的轴对称图形…… 高频考点四圆的周长… 高频考点五半圆的周长.... ……7 高频考点六圆的周长的应用…7 第1页共16页 2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 高频考点七含圆的组合图形的周长.·. .8 高频考点八圆的面积..... 8 高频考点九圆的面积的应用… …9 高频考点十圆环的面积·· 高频考点十一求最大面积...... 10 高频考点十二含圆的组合图形的面积…… 11 高频考点十三方中圆和圆中方的面积问题 11 高频考点十四用转化法求圆的组合图形的周长与面积..· 12 优选真题实战演练 12 【基础通关】 12 【能力提升】 14 导图指引梳理脉格 圆面积的计算公式的推导 圆面积的探索 推导思路：通过转化，发现圆面积与半径的关系。 公式中各量的意义 。1.圆的面积(-) 等分 拼成近似长方形 越来超近长方形 S:圆的面积 探究方法：把圆转化成学过的图形 等分人入 r:圆的半径 转化成长方形（近似） 转化成格子图（近拟） 等分的份数 元：圆周率（≈3.14） 越多，拼成的 8等分y 图形越挨近 平行四边形的面积=底×高 16等分 AATANAKAAA M 长方形 S aa x h 32等分 ●2.圆的面积（二） 长方形的长=πr(半圆周长的一半》宽=r 喷水头转动一周 圆的面积公式： 圆的面积S=πr2 的面积=长×宽÷πr×r=r 酒水的而积就是 S=πr2 园的面积。 实际应用 S=πr 1.喷水管洒水问题 北师大版·六年级上册 圆面积的意义与联系 第二单元《圆》 5=3.14×32=28.26(m2) 1.圆面积的意义 圆的面积 圆所围成的平面图形的大小，叫作圆的面积。 2.羊图围栏问题 第4节 量得圆形羊圆的周长是125.6m,求半径和面积 2.圆与平行四边形的联系 r=125.6+3.14+2=20(m) 通过转化。固的面积公式和 5=3.14×202=1256(m2) 平行四边形的面积公式有相似之处。 3.解决实际问题的策略 3.圆面积与半径的关系 图形中的圆面积问题（综合提升） 根据实际情况，迭择合适的方案 圆的面积与半径的平方成正比例 运用圆的面积公式解决问题， 半径越大，面积越大 杯垫问题 2,园林曼观问题 3.运动场骏请问题 4.圆环面积问蘑 公式的记忆与应用小提示 一个圆影杯垫的率程是4cm 天坛公闲的回音是圆形围填 运动场陶通形状如国 它的面积是多少平方藿米？ 图长的04.1m,职约 两边是半形，中问是长方形 求别影部分的 学习小结 ★公式：S=πr2 是多少平方米？ 占地面积是备少平方果 S=3.14×42=50.24(cm 1,掌提圆的面积公式5=πr2 ★要点：记住半径r, r=204.1+3.14+2￥32.5(m】 4.cm 2.理解公式的推导过程和各量的意义。 套用公式不出错。 S=3.14×32.53= 20m ★单位：面积单位要统 3317.49(m2) 3。能运用公式解决生活中的实际问盟 50m ★方法：转化思想是关键， 5=2×(号×314×202）+50×203=元(8-4）=314×(64-16) 转化思想巧运用，圆的面积轻松求 实际问题灵活用。 =314×200+1000=1628(m2) =150.72(cm) 第2页共16页 2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 知识梳理温故知新 知识点一圆的认识 1.圆的定义：一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2.圆心 d 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母0表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的 这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴：直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二圆的周长 1.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.圆周率：圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比 值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第 一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3.圆的周长公式。 C=πd或C=2r圆周长=π×直径，圆周长=πX半径X2 第3页共16页 2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 知识点三圆的面积 1.圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 2.圆的面积公式：S=πr2或者S=π(d÷2)2或者S=π(C÷π÷2)2 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R,内圆的半径是r,它的面积是S=πR-m2 或S=π(R-r)。(其中R=r十环的宽度) 6.半圆周长=圆的周长的一半+半径×2 公式为：C=r+2r 半圆面积=圆的面积÷2 公式为：S=r2÷2 7.在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小 以上倍数的平方倍。 8.当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9.当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆 周长的几分之几。 考点讲练真题亿邑 高频考点一圆的概念及特点 【典例精讲】（★食食食)(25-26六年级下·山西吕梁·期末)在一张长30厘米、宽14厘米的长方 形纸上，若剪下一个最大的正方形，则这个正方形边长是( )厘米；若剪下一个最大的圆，则这个圆 的半径是( )厘米，最多可以剪下()个这样的圆。 【变式训练】（★★★）(24-25六年级下·广东深圳·期末)圆的周长。鹏鹏在课堂测量圆的周长时， 采用了滚动法：把圆上点A对准刻度O,圆向右滚动一圈。则点A将落在直尺刻度上的( ）。 第4页共16页 2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 2cm mwwwwwwwwwwwwwwwwmmm 0 12345678910cm A.2cm4cm之间 B.4cm6cm之间 C.6cm8cm之间 D.8cm'10cm之间 高频考点二画圆 【典例精讲】（★★★）(25-26六年级下·广东惠州·期末)下图是根据小可家和周围建筑物之间的位 置关系画出的“雷达图”。点0表示小可家，四个圆是圆心相同的“同心圆”，最小的圆半径200m,由内 向外，每个圆的半径依次增加200m。 一东 学校 体脊场 30r、 200m (1)学校在小可家西偏( )( )。的方向上。 (2)图书馆在小可家东偏南60°方向，距离600m,请你画出图书馆的位置，并标注名称。 (3)学校在上午会进行课间操活动，能听到课间操音乐的最远距离是400，请在图中画出音乐所覆盖的圆 形区域。（用圆规） 【变式训练】（食食★）(25-26六年级下·湖南湘西·期末)十八洞景区计划建造一个智能花园，请你 根据以下要求完成规划设计图。 旗杆 比例尺1：1000 (1)以旗杆为观测点，入口在旗杆东偏北30°方向，距离40米处。请在图上标出花园入口的位置。 (2)以旗杆正西方向60米处为圆心，建一个圆形花坛，直径为20米。请在图上画出这个圆。 (3)计划在圆形花坛外围修建一个正方形的观景平台，与花坛恰好形成“外方内圆”。请在图上画出这个 第5页共16页 2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 正方形。 (4)自动旋转喷灌装置的射程是12米。若将灌溉器安装在花坛圆心处，灌溉区域能否完全覆盖花坛？请 说明理由。 高频考点三与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（★★食）(23-24六年级下·甘肃张掖·期中)把圆至少对折( )次可以找到圆心， 对折后展开后量的其中一条折痕是12cm,那么这个圆的面积是( )cm。 【变式训练】（★★★）(25-26六年级上·河北保定·期末)下图有( )条对称轴：画一条直线 把下图分成面积相等的两部分，有( )种画法。 高频考点四圆的周长 【典例精讲】（★★★)(25-26六年级下·湖南湘西·期末)探测车车轮的外圆直径是50厘米。如果 火星表面有一个圆形陨石坑，直径为10米，探测车绕坑一周车轮需要转动多少圈？（π取3.14） 火星表面陨石坑 【变式训练】（★★★）（24-25六年级下·四川成都·期末)在一幅比例尺为1：500的新建公园平面 图上，一个圆形花坛周长12.56厘米，这个花坛实际的占地面积是多少平方米？ 第6页共16页 2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 高频考点五半圆的周长 【典例精讲】（★食食囊）(25-26六年级下·河南南阳·期末)如图，老鼠在圆心0处，猫在A点， 现在老鼠从0点沿半径向B点逃跑，同时猫从A点沿箭头方向追，已知猫的速度是老鼠的3倍，则( )。 B A.老鼠先到达B点 B.猫先到达B点 C.同时到达B点 D.无法判断 【变式训川练】（食青青）(24-25六年级下·甘肃定西·期末)如图是学校劳动实践基地一块空地示意图 的一部分，请按要求作图。 (1)在如图空白处把长方形空地的边补充完整。 30m 20m (2)学校为了美化这块空地，想要在这块长方形空地里用篱笆围一个最大的半圆形花园，在里面种上月季花 和牡丹。请你设计并画出最大的花卉种植面积，并计算至少需要( )米篱笆。 高频考点六圆的周长的应用 【典例精讲】（食★食）(26-27六年级上·全国·课前预习)地球赤道是一个巨大的圆，假设我们在赤 道上围一根绳子。现在把绳子延长10米，使绳子均匀地离开地面形成一个同心圆环。这个间隙（环宽）大 约是( )。(提示：利用本课学到的规律逆推，△C=2π×环宽) A.约1.6米 B.约3.14米 C.约6.28米 D.无法确定，因为不知道地球半径 【变式训练】（★★★★）(25-26六年级下·浙江杭州·期末)小明把一个半径是4厘米的圆形纸片 平均分成16份，剪开后拼成两个近似的平行四边形，如下图。这两个平行四边形的周长相差 嘎 米。（本试卷中的结果可保留π或取3.14） 第7页共16页 2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 高频考点七含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（★★★）(25-26六年级下·陕西咸阳·期末)计算阴影部分的周长。（单位：厘米） 【变式训练】（★★★★）(2026六年级下·全国·专题练习)如图阴影部分的周长是( )。 A.6.28 B.9.28 C.9.42 D.无法计算 高频考点八圆的面积 【典例精讲】（★★★食)(25-26六年级下·四川广安·期末)计算阴影部分的面积。 4分米 【变式训练】（★★★★）(25-26六年级下·云南昆明·期末)在解决下面四个问题时，主要运用的 数学思想与其他三个不同的是( )。 A.用 推导出三角形的面积计算公式 B.用 表示× C.用 出圆的面积公式 第8页共16页 2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 &85J7.65 857四 扩大到它的100倍 扩大到它的100倍 D. 高频考点九圆的面积的应用 【典例精讲】（◆★★）(25-26六年级下·贵州六盘水·期中)有两种相关联的量，它们的关系如图所 示。这两个量可以是( ) A.圆的半径和面积 B.单价和数量 C.体积一定，圆柱的底面积和它的高D.速度一定，行驶的路程和时间 【变式训练】（食★食食）(25-26六年级下·江苏徐州·期末)如图，在长方形ABCD中，甲、乙两圆 面积相等，则丙圆与乙圆的面积比是( )。 A.2:1 B.1:4 C.1:8 D.4:1 高频考点十圆环的面积 【典例精讲】（◆★★）(25-26六年级下·陕西咸阳·期末)如图是某公园规划的绿地和便民休息场所， 则绿地（阴影部分）的面积是( )m2。 绿地 2m 8m A.12.56 B.25.12 C.31.4 D.62.8 【变式训练】（★★★）(24-25六年级下·浙江绍兴·期末)(1)画出长方形绕A点按逆时针方向旋 转90°后的图形。旋转后点B的位置用数对表示是( (2)按1：2的比画出三角形缩小后的图形(1)，图形(1)的面积是原来三角形的 第9页共16页 2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 (3)若1个小方格表示1cm,以(16,4)为圆心，分别画半径为3cm和4cm的同心圆，这两个圆之间的 圆环的面积是( )cm。 6 B 5 4 A 2 1 ■图形(1)■ 0 1234567891011121314151617181920 高频考点十一求最大面积 【典例精讲】（★★★★）(25-26六年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末)在下面这张长方形纸上画一个 最大的圆，再计算如果把这个圆剪下来，剩余纸的面积是多少平方厘米？ 5cm 8cm 【变式训练】（食★★）（23-24六年级上·辽宁·课后作业)乐乐做下面这道题目时，是这样解答的， 你认为他做得对吗？如果不正确，请你找出错误的原因，并写出你的思考过程。 将一块长4m、宽2m的长方形铁板切割出一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方米？ 3.14×(4÷2) =3.14×2 =12.56(m2) 答：这个圆的面积是12.56平方米。 第10页共16页 2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 高频考点十二含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（★青食食）(24-25六年级下·河南平顶山·期末)四边形ABCD为正方形，求阴影部分 的面积（单位cm)。 10 【变式训练】（★食★食）(26-27六年级·全国·暑假作业)计算下面图(1)的周长，计算图(2) 中的阴影部分的面积。 -10m 6m 图(1) 图(2) 高频考点十三方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（★★★）(24-25六年级下·河南洛阳·期末)“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代 建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理。如果图(1)中外面正方形的面积是36dm',则内圆的 面积是 dm,如果图（2)中外圆的面积是25.12dm,则圆内大正方形的面积是 dm。 (1) (2) 【变式训练】（★★★★）(25-26六年级上·四川成都·期末)用三张同样大小的正方形白铁皮，分 别按如图三种方式剪出不同规格的圆片，白铁皮剩下的废料相比( )。 A.甲剩的多 B.乙剩的多 C.丙剩的多 D.剩的一样多 第11页共16页 2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 高频考点十四用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（★食食囊）(24-25六年级下·河北保定·期末)如图，空白部分是一个直径为6厘米 的半圆，把整个半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B旋转至点B'，则阴影部分的面积是( )平 方厘米。 个60° A 【变式训川练】（食★★★)(25-26六年级下·全国·小升初复习)如图，图A与图B相比，图A的面 积( )图B的面积，图A的周长( )图B的周长。正确的选项是( )。 4 cm- B A.等于；小于 B.大于：小于 C.小于；大于 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(25-26六年级下·河南信阳·期末)在学习圆的面积时，同学们把圆平均分成若干等份，拼成一个近 似的长方形，拼成的长方形的长相当于圆的( ),宽相当于圆的( ),这一过程体现了 )的数学思想。 A.周长的一半：半径；转化 B.周长；直径；数形结合 C.周长的一半：直径：分类 D.周长；半径；转化 2.(25-26六年级下·新疆伊犁·期末)学校新建圆形花坛，要计算花坛的占地面积，是求圆的( A.周长 B.面积 C.表面积 D.体积 3.(25-26六年级下·山西临汾·期末)一根圆柱形木料，底面直径是20厘米，长是2.4米。把它截成3 段，使每一段的形状都是圆柱。截开后，表面积增加了( )平方厘米。（π取3.14) 4.(25-26六年级下·河北张家口·期末)用一块长18.84分米、宽6分米的长方形铁皮做一个圆柱形水 桶的侧面，要使这个水桶的底面最大，那么底面积应是( )平方分米。 第12页共16页 2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 5.(25-26六年级下·安徽毫州·期末)如图所示，张爷爷开辟了一块半圆形菜地（一面靠墙），它的直 径是8m,如果用篱笆将菜地围起来，至少需要( )米长的篱笆。 8m 6.(25-26六年级上·河北唐山·期中)计算下面图形的周长。 6分米 2cm 6分米 7.(25-26六年级下·北京昌平·期末)公园绿地里浇水用的喷头，最远能喷水8米。喷头旋转一周，最 大的喷水面积是多少平方米？ 8.(24-25六年级下·江西新余·期末)某社区计划在中心广场修建一个圆形花坛，并在花坛旁边规划一 个休闲区（如下图阴影部分所示），同时围绕整个休闲区边缘全部安装护栏。已知圆形花坛的直径为20米， 长方形休闲区的长为25米，宽与花坛的直径相等。休闲区的占地面积是多少？休闲区边缘安装护栏的长度 是多少？（π取3.14） 25 20 休闲区 花坛 第13页共16页 2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 9.(25-26六年级下·河南新乡·期末)为响应国家“健康中国”的规划，某小区新建了一个半径为10米 的圆形综合健身广场，并按1：3的面积比，将这个健身广场划分为“力量训练区”和“有氧运动区”。有 氧运动区的占地面积是多少平方米？ 10.(25-26六年级下·湖南娄底·期末)一个近似圆锥形的沙堆，底面周长为18.84米，高为2.5米。（π 取3.14) (1)这个沙堆的占地面积是多少平方米？ (2)如果每立方米沙子重1.5吨，这堆沙子重多少吨？ 【能力提升】 1.(2026·甘肃陇南·小升初模拟)用两根都是16厘米的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，这两个图 形的面积相比( A.圆的面积大B.正方形的面积大C.一样大 D.无法判断 2.(25-26六年级下·辽宁辽阳·期末)圆的半径由4cm减少到3cm,圆的面积减少了( )cm。 A.21.98 B.3.14 C.31.4 D.6.28 3.(2026·广东汕头·小升初真题)已知一个圆柱的底面积是3.14dm,高是3dm,那么圆柱的表面积是 ()dm。 4.(2026·西藏拉萨·小升初真题)如图中的曲线被称为黄金螺旋线。如果中间最小正方形的边长为1cm, 图中所画黄金螺旋线的长度是 cmo Icm 第14页共16页 2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 5.(25-26六年级下·河南焦作·期末)小红说：“圆的半径增大，面积就增大，所以一个圆的半径和面 积成正比例”。( ）(判断对错) 6.(25-26六年级下·陕西宝鸡·期末)计算下面阴影部分的面积（单位：cm)。 -6cm 7.(25-26六年级下·河南周口·期中)建筑工地上有一近似圆锥形的沙堆（如下图)，工人师傅量得它 的高是1.8米，底面周长是31.4米。如果每立方米沙子重1.5吨，那么这堆沙子的质量是多少吨？ 8.(24-25六年级下·广西桂林·期中)三月三表演节日的舞台左右两侧各摆放着圆锥形的烟花，准备表 演闭幕的时候来一场烟花秀，一个圆锥形烟花的底面周长是1.884米，高1米，如果每立方米重50千克， 每个烟花重多少千克？ 第15页共16页 2025-2026学年北师大新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 9.(24-25六年级下·山东临沂·期末)如图，长方形木片长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13 厘米（即线段AC、线段BD都为13厘米），正方形木桩边长为17厘米。木片从图1的位置开始，沿木桩的 边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木片滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长多少厘米？（π 取3.14) A 12cm D 13cm. 17cm 17cm 图1 图2 图3 10.(25-26六年级上·河北邢台·期末)为了扩大百姓的休闲活动空间，某社区准备建一个微型公园。下 图中左侧的正方形是这个公园的平面设计图，空白部分是活动区域，涂色部分为绿植区域。 北 夕 个 30m (1)这幅图的比例尺是( (2)以正方形中心0点为观测点，A点在正北方向上，与0点相距的实际距离是( ):B点在 )偏( )45°的方向上。 (3)绿植区域的图形共有( )条对称轴，请你画出其中的一条。绿植区域的实际面积是多少平方 米？ (4)在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。请在上图右侧的正方形中用 圆规画出新的设计图，给绿植区域涂色。 第16页共16页