第二单元 圆 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学北师大版六年级上册（新教材）

第二单元 圆 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、圆的认识 2 1. 圆的定义 2 2. 圆的各部分名称 2 3. 圆的基本特征 2 4. 半径与直径的关系 3 5. 圆的对称性 3 6. 用圆规画圆的步骤 3 二、扇形的认识 3 1. 扇形的定义 3 2. 圆心角 3 3. 扇形大小的影响因素 3 4. 扇形的对称性 3 三、圆的周长 3 1. 周长的定义 3 2. 圆周率的意义 4 3. 圆的周长计算公式 4 4. 半圆的周长 4 四、圆的面积 4 1. 面积的定义 4 2. 圆的面积推导 4 3. 圆的面积计算公式 4 五、圆环与组合图形的面积 5 1. 圆环的面积 5 2. 组合图形的面积计算 5 考点讲练 5 考点一：圆的概念及特点 5 考点二：画圆 6 考点三：与圆相关的轴对称图形 8 考点四：圆的周长 11 考点五：半圆的周长 12 考点六：圆的周长的应用 14 考点七：含圆的组合图形的周长 16 考点八：圆的面积 19 考点九：圆的面积的应用 22 考点十：圆环的面积 25 考点十一：求最大面积 28 考点十二：含圆的组合图形的面积 30 考点十三：方中圆和圆中方的面积问题 33 考点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 36 综合训练 39 知识梳理 一、圆的认识 1. 圆的定义 圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的封闭曲线图形。这个定点叫作圆心，一般用字母表示；定长叫作半径，一般用字母表示。 2. 圆的各部分名称 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母表示。 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段，用字母表示。直径是圆内最长的线段。 3. 圆的基本特征 在同一个圆（或等圆）中，有无数条半径，所有半径的长度都相等；有无数条直径，所有直径的长度都相等。 圆心决定圆的位置，半径（或直径）决定圆的大小。 4. 半径与直径的关系 在同一个圆（或等圆）中，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的。 用字母表示： 或 5. 圆的对称性 圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴。 圆有无数条对称轴。 半圆也是轴对称图形，只有 1 条对称轴。 6. 用圆规画圆的步骤 定半径：把圆规两脚分开，定好两脚间的距离（即半径长度）； 定圆心：把有针尖的一只脚固定在一点上（即圆心）； 旋转一周：把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 二、扇形的认识 1. 扇形的定义 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 2. 圆心角 顶点在圆心，并且两边都是圆的半径的角，叫作圆心角。 3. 扇形大小的影响因素 在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关：圆心角越大，扇形越大； 圆心角相等时，扇形的大小与半径的长短有关：半径越长，扇形越大。 4. 扇形的对称性 扇形是轴对称图形，沿着过圆心和弧中点的直线对折后两边完全重合，只有1 条对称轴。 三、圆的周长 1. 周长的定义 围成圆的曲线的长叫作圆的周长，一般用字母表示。 2. 圆周率的意义 圆的周长除以直径的商是一个固定不变的数，这个数叫作圆周率，用希腊字母（pài）表示。 是一个无限不循环小数，； 小学阶段计算时，通常取。 3. 圆的周长计算公式 已知直径，求周长： 已知半径，求周长： 4. 半圆的周长 半圆的周长不是圆周长的一半，而是圆周长的一半加上一条直径（或两条半径）。 公式： 四、圆的面积 1. 面积的定义 圆所占平面的大小叫作圆的面积，一般用字母表示。 2. 圆的面积推导 把圆平均分成若干偶数等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形： 长方形的长相当于圆周长的一半，即； 长方形的宽相当于圆的半径，即； 因为长方形面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 = 。 3. 圆的面积计算公式 已知半径，求面积： 已知直径，求面积：先求半径，再代入公式 已知周长，求面积：先求半径，再代入公式 4. 半圆的面积 半圆的面积是对应圆面积的一半。 公式： 五、圆环与组合图形的面积 1. 圆环的面积 两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作圆环，也叫环形。 外圆半径用表示，内圆半径用表示； 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 公式： 2. 组合图形的面积计算 计算由圆、扇形、长方形、正方形等组成的组合图形面积时，常用方法： 求和法：把组合图形拆分成几个规则图形，面积相加； 求差法：用大的规则图形面积减去空白部分的面积； 割补平移法：通过割补、平移、旋转，将不规则图形转化为规则图形计算。 考点讲练 考点一：圆的概念及特点 【典例精讲】27．在一张长16cm，宽12cm的长方形纸里，最多可以剪( )个半径2cm的圆。 【答案】12 【分析】已知圆的半径是2cm，先根据d＝2r求出圆的直径；再用长方形的长、宽分别除以直径，求出长方形的长、宽各有几个圆的直径，然后相乘即是最多可以剪几个这样的圆。 【详解】2×2＝4（厘米） （16÷4）×（12÷4） ＝4×3 ＝12（个） 最多可以剪12个半径2cm的圆。 28．要确定一个圆形纸片的圆心，至少要把纸片对折( )次。 【答案】2/两 【分析】圆中心的那个点即圆心，所有直径都相交于圆心，将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心；据此解答。 【详解】由分析可得：要确定一个圆形纸片的圆心，至少要把纸片对折2次。 29．画一个圆时，圆心决定圆的( )，( )决定圆的大小。 【答案】 位置 半径 【分析】圆心是圆的固定点，确定了圆心的位置，圆的位置也就确定了。而圆的大小取决于半径的长度，半径越大，圆就越大；半径越小，圆就越小。 【详解】比如在一张纸上画圆，如果先确定了圆心的位置，就相当于确定了圆在这张纸上的具体方位。然后改变半径的长度，会明显看到画出的圆有大有小。所以圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。画一个圆时，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 30．想一想同一个圆里半径和直径的关系，完成下面的表格。 半径 4分米 0.9厘米 3.3分米 直径 6米 10.48千米 【答案】3米；5.24千米 8分米；1.8厘米；6.6分米 【分析】在同一个圆中，直径的长度是半径长度的2倍。所以已知半径求直径，用半径乘2；已知直径求半径，用直径除以2，据此解答。 【详解】4×2＝8（分米） 6÷2＝3（米） 0.9×2＝1.8（厘米） 3.3×2＝6.6（分米） 10.48÷2＝5.24（千米） 半径 4分米 3米 0.9厘米 3.3分米 5.24千米 直径 8分米 6米 1.8厘米 6.6分米 10.48千米 考点二：画圆 31．画一个半径是1厘米的圆。 【答案】见详解 【分析】根据圆心确定位置，半径确定圆的大小，由此画出半径是1厘米的圆。 【详解】 【点睛】本题考查圆的画法，根据圆的画法，进行画图。 32．以点O为圆心画两个圆，半径分别是2厘米和3厘米。 【答案】见详解 【分析】根据圆的画法，即确定好圆心的位置和半径的长度，用圆规即可解决问题。 【详解】根据题意，以O为圆心，半径为2厘米，画圆如图黑色所示；半径为3厘米，画圆如图红色所示。 【点睛】此题考查了圆的画法．抓住圆的两大要素：圆心和半径，即可解决此类问题。 33．根据要求画圆，分出半径和直径。 用圆规画一个直径为3cm的圆和一个半径为1cm的圆，使它们的圆心在同一条直线上，且让两个圆紧挨着。 【答案】见详解 【分析】解答此问题可分两种思路：小圆在大圆之外，先画一条长为1＋3÷2＝2.5（cm）的线段，再分别以线段的两个端点为圆心，半径分别为1cm和1.5cm画圆，同理小圆在大圆之内，先画一条长为1.5cm的线段，以一端为圆心，半径为1.5cm画圆，在线段上距离线段另一个端点1cm处为圆心，半径为1cm画圆。以上两种情况只画一种即可。 【详解】根据分析画图如下： 【点睛】此题考查了圆的画法，抓住圆的两大要素：圆心和半径，即可解决此类问题。 34．请利用圆规把这个圆画完整，并标出它的圆心和半径。 【答案】见详解 【分析】找出半圆的圆心，以半圆的半径为圆规两脚间的距离，画出另一半即可。 【详解】根据分析画图如下： 【点睛】本题主要考查圆的画法。 考点三：与圆相关的轴对称图形 35．下面的图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴，据此解答。 【详解】 A.有4条对称轴； B．有8条对称轴； C．有3条对称轴。 36．下面各图对称轴数量最多的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴；据此解答。 【详解】 A． 图形有无数条对称轴； B． ，图形有2条对称轴； C．  ，图形有4条对称轴； 各图对称轴数量最多的是。 故答案为：A 37．长方形、正方形、等边三角形、圆，这些图形中，对称轴条数最多的图形是( )。 【答案】圆 【分析】对称轴是指图形对折后能完全重合的直线。长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等边三角形有3条对称轴，圆有无数条对称轴。比较可知，圆的对称轴条数最多。 【详解】在这些图形中，长方形的对称轴有2条，正方形的对称轴有4条，等边三角形的对称轴有3条，圆的对称轴有无数条。因此，对称轴条数最多的图形是圆。 长方形、正方形、等边三角形、圆，这些图形中，对称轴条数最多的图形是圆。 38．下面的轴对称图形各有几条对称轴？ ( )条   ( )条   ( )条   ( )条 【答案】 4 1 3 5 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】如图： 考点四：圆的周长 39．一个圆的周长增加0.628厘米，它的半径增加( )厘米。 【答案】0.1/ 【分析】根据圆周长公式，假设原来的半径是1厘米，原来的周长是（2×3.14×1）厘米，增加后的周长为（6.28＋0.628）厘米，然后根据圆周长公式，求出增加后的半径，再和原来的半径比较即可。 【详解】假设原来的半径是1厘米， 2×3.14×1＝6.28（厘米） （6.28＋0.628）÷2÷3.14 ＝6.908÷2÷3.14 ＝1.1（厘米） 1.1－1＝0.1（厘米） 一个圆的周长增加0.628厘米，它的半径增加0.1厘米。 40．汽车车轮的半径是0.45米，它滚动1圈前进了( )米。 【答案】2.826 【分析】求汽车车轮滚动1圈前进了多少米，就是求车轮的周长；根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 【详解】2×3.14×0.45＝2.826（米） 它滚动1圈前进了2.826米。 41．圆规两脚尖的距离是5厘米，用它画出的圆的周长是( )厘米。 【答案】31.4 【分析】圆规两脚尖的距离是圆的半径，根据圆周长公式：C＝2πr，代入数据解答即可。 【详解】5×2×3.14＝31.4（厘米） 圆规两脚尖的距离是5厘米，用它画出的圆的周长是31.4厘米。 42．用一根长12.56米的绳子围一个圆，正好绕了10圈，这个圆的直径大约是( )米。 【答案】0.4 【分析】先求绕一圈的长度，已知绳子长12.56米，正好绕了10圈，那么绕一圈的长度为12.56÷10＝1.256米。再求圆的直径，绕一圈的长度就是圆的周长，根据圆的周长公式： C＝π×直径，可得：直径＝周长÷π。 【详解】计算绕一圈的长度：12.56÷10＝1.256（米）。 直径＝1.256÷3.14＝0.4（米）。 这个圆的直径大约是0.4米 考点五：半圆的周长 43．用直尺和圆规画半圆，圆规两脚间的距离是3cm。这个半圆的直径是( )cm，周长是( )cm。 【答案】 6 15.42 【分析】圆规两脚尖之间的距离即所画半圆的半径，根据d＝2r，求出圆的直径；半圆的周长等于圆周长的一半加上直径，因为圆的周长公式，周长的一半即为，半圆的周长即为＋d，代入半径的值，π取3.14计算即可。 【详解】2×3＝6（cm） 3.14×3＝9.42（cm） 9.42＋6＝15.42（cm） 因此，用直尺和圆规画半圆，圆规两脚间的距离是3cm。这个半圆的直径是6cm，周长是15.42cm。 44．如图，大半圆的半径是( )厘米，小半圆的周长是( )厘米。 【答案】 8 20.56 【分析】由图可知，大半圆的直径是16厘米，大半圆的半径是直径的一半，小半圆的直径等于大半圆的半径，，小半圆的周长＝小半圆所在圆周长的一半＋一条直径的长度，据此解答。 【详解】16÷2＝8（厘米） 3.14×8÷2＋8 ＝25.12÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 所以，大半圆的半径是8厘米，小半圆的周长是20.56厘米。 45．如图所示，半圆的周长为25.7厘米，长方形的周长是( )厘米。 【答案】30 【分析】通过观察图形可知，长方形的长等于半圆的直径，长方形的宽等于半圆的半径，已知半圆的周长是25.7厘米，根据半圆的周长为圆的周长的一半加上直径，即，据此可以求出半圆的半径，再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入公式解答。 【详解】25.7÷（3.14＋2） ＝25.7÷5.14 ＝5（厘米） （5×2＋5）×2 ＝（10＋5）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 半圆的周长为25.7厘米，长方形的周长是30厘米。 46．一个人要从到（如图），他可以按1号箭头所表示的路线走，路程为；也可以按2号箭头所表示的路线走，路程为。比较大小____________。 【答案】＝ 【分析】根据题意，按1号箭头所表示的路线走是圆周长的一半，按照2号箭头所表示的路线走也是圆周长的一半，因为三个小半圆的直径和等于大半圆的直径，所以按1号箭头所表示的路线走和按照2号箭头所表示的路线走，两条路的路程相等。 【详解】根据分析可得： 设大圆的直径为d 小圆直径为d1，d2，d3 大圆周长＝πd 小圆周长＝πd1＋πd2＋πd3＝π×（d1＋d2＋d3）； 因为大圆直径等于三个小圆直径的和，所以πd＝π×（d1＋d2＋d3） 故πd＝×π×（d1＋d2＋d3）； 所以S1＝S2 考点六：圆的周长的应用 47．一辆自行车的车轮直径是0.9米，车轮向前滚动十圈大约前进了多少米？ 【答案】28.26米 【分析】车轮是圆形，滚动一圈前进的距离等于圆的周长。根据圆的周长公式C＝πd（π取3.14，d表示直径）。已知车轮直径为0.9米，代入公式可得：3.14×0.9＝2.826（米）。用一圈的距离乘滚动圈数10圈解答即可。 【详解】3.14×0.9＝2.826（米） 2.826×10＝28.26（米） 答：车轮向前滚动十圈大约前进了28.26米。 48．如下图，用绳子把3根直径是0.5m的圆木捆起来。绳子绕一圈的长度是多少米？ 【答案】3.14×0.5＋0.5×3＝3.07（m） 【分析】由题意可知，绳子绕一圈的长度由两部分组成：一是一个圆的周长（3 个圆弧可组合成一个完整的圆），二是 3 条圆木的直径长度。所以绳子的长度等于1个圆的周长再加3条直径的长度。 【详解】答：绳子绕一圈的长度是3.07米。 49．一种压路机的前轮直径是1.5m，每分钟转25圈。压路机一分钟前进多少米？ 【答案】3.14×1.5×25＝117.75（m） 【分析】压路机转动一周走的路程等于直径是1.5米的圆的周长。根据圆的周长计算公式，求出压路机前轮转动一周走的路程，进而求出每分钟行的路程，据此解答。 【详解】答：压路机一分钟前进117.75米。 50．下雪天，为了防止汽车打滑，司机师傅常常会给汽车轮胎安装一圈防滑链。已知司机师傅给汽车的每个轮胎都安装了188.4cm的防滑链（防滑链的厚度忽略不计），这个汽车轮胎的半径是多少厘米？ 【答案】188.4÷3.14÷2＝30（cm） 【分析】防滑链的长度就是汽车轮胎的周长，根据圆的周长公式（其中C表示周长，π通常取3.14，r表示半径），已知周长求半径，只需对公式进行变形，即，然后代入数据计算即可。 【详解】答：这个汽车轮胎的半径是30厘米。 考点七：含圆的组合图形的周长 51．求阴影部分的周长。 【答案】49.12m 【分析】由图可得，阴影部分的周长＝圆周长（直径为8m）＋两条长方形的长（长为12m），再根据圆的周长（取3.14）代入数据计算，即可解答。 【详解】3.14×8＋2×12 ＝25.12＋24 ＝49.12（m） 所以阴影部分的周长为49.12m。 52．求下面图形中阴影部分的周长。 【答案】 【分析】解答这道题需熟知：一个图形的周长，是围成这个图形的所有线的长度的总和；知道半径求圆的周长。图中小正方形内侧阴影部分的弧可以向左上方翻转，与小正方形外侧阴影部分的弧拼成一个完整的圆。所以，阴影部分的周长等于半径为8dm（图片数据）的圆的周长，据此解答。 【详解】根据分析： 所以，图形中阴影部分的周长是。 53．求图中阴影部分的周长。 【答案】33.12dm 【分析】由图可知，阴影部分的周长由三部分组成：大圆的圆弧、小圆的圆弧、大圆的一条半径。 大圆半径相当于小圆直径，为4×2＝8dm，根据圆的周长公式C＝2πr求出圆的周长，再除以4即可求出大圆的弧长； 小圆半径为4dm，根据圆的周长公式C＝2πr求出圆的周长，再除以2即可求出小圆的弧长； 最后将三部分长度相加即可求出阴影部分的周长。 【详解】4×2＝8（dm） 2×3.14×8÷4 ＝6.28×8÷4 ＝50.24÷4 ＝12.56（dm） 2×3.14×4÷2 ＝6.28×4÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（dm） 12.56＋12.56＋8 ＝25.12＋8 ＝33.12（dm） 所以阴影部分的周长是33.12dm。 【点睛】本题需识别出阴影部分的周长由三部分组成：大圆的圆弧、小圆的圆弧、大圆的一条半径。根据圆的周长公式分别求出两个圆弧的长度，最后将三部分长度相加即可。 54．计算下列图形阴影部分的周长。 【答案】102.8cm 【分析】由图可知：，据此解答即可。 【详解】 所以该图形阴影部分的周长是102.8cm。 考点八：圆的面积 55．在学习圆面积的计算公式时，用到一种非常重要的数学思想方法——( )，推导出圆的面积计算公式是( )。 【答案】 转化 【分析】推导圆面积公式时，我们把圆等分成若干个小扇形，再拼接转化成近似的长方形，利用长方形的面积公式推导圆的面积公式，用到的是转化的数学思想。 这个近似的长方形的长是圆周长的一半，宽是圆的半径。圆的周长C＝，长方形的面积＝长×宽。 【详解】推导圆面积公式时，我们把圆等分成若干个小扇形，再拼接转化成近似的长方形，利用了转化的数学思想。 把圆转化成近似的长方形，长方形的面积等于圆的面积，长方形的长是圆周长的一半，宽是圆的半径r。 长方形的面积＝长×宽＝×r＝＝圆的面积。 所以，圆的面积S＝。 56．天井湖公园扇形观景台的圆心角是，半径20米，其面积是( )平方米；若半径扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的( )倍。（取3.14） 【答案】 314 4 【分析】圆心角是90°的扇形面积是同圆或等圆面积的四分之一。若半径扩大到原来的2倍，根据圆的面积＝πr2，面积变为π（2r）2＝4πr2，也就是扩大到原来的4倍。 【详解】3.14×202÷4 ＝3.14×400÷4 ＝3.14×100 ＝314（平方米） π（2r2）÷πr2 ＝4πr2÷πr2 ＝4 天井湖公园扇形观景台的圆心角是，半径20米，其面积是314平方米；若半径扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍。 57．根据已知条件完成表格。 圆的半径 圆的直径 圆的周长 圆的面积 3cm 10cm 50.24cm 【答案】见详解 【分析】根据圆的直径公式d＝2r，圆的周长公式C＝2πr＝πd，圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，已知一个量，通过公式推导求出另外三个量即可。 【详解】（1）直径：3×2＝6（cm） 周长：3.14×6＝18.84（cm） 面积：3.14×32＝3.14×9＝28.26（cm2） （2）半径：10÷2＝5（cm） 周长：3.14×10＝31.4（cm） 面积：3.14×52＝3.14×25＝78.5（cm2） （3）直径：50.24÷3.14＝16（cm） 半径：16÷2＝8（cm） 面积：3.14×82＝3.14×64＝200.96（cm2） 填表如下： 圆的半径 圆的直径 圆的周长 圆的面积 3cm 6cm 18.84cm 28.26cm2 5cm 10cm 31.4cm 78.5cm2 8cm 16cm 50.24cm 200.96 cm2 58．把一个圆沿半径平均分成若干等份，再拼成一个近似的长方形，若长方形的长是9.42cm，这个长方形的宽是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 3 28.26 【分析】将圆沿半径剪拼成近似长方形时，长方形的长是圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径。利用“圆周长的一半＝长”先求圆的半径（即长方形的宽），再根据圆的面积公式求面积（长方形面积与圆面积相等）。 【详解】求长方形的宽（即圆的半径 r）： 圆周长的一半为 πr（），已知长方形的长是 9.42cm，则 πr＝9.42。 代入 π＝3.14，得 r＝9.42÷3.14＝3（cm），即长方形的宽为 3cm。 求面积（圆的面积，与长方形面积相等）： 圆的面积公式为 S＝πr2，代入 r＝3，得 S＝3.14×32＝3.14×9＝28.26（cm2）。 考点九：圆的面积的应用 59．公园有一个圆形花坛，沿着花坛走一圈是62.8米。现在要在花坛周围铺一条宽1米的环形石子路，这条石子路的面积是多少平方米？ 【答案】65.94平方米 【分析】根据圆的周长公式，可推出r＝C÷π÷2，用内圆半径加上路宽得到外圆半径，用圆环面积公式，即可求出石子路的面积。 【详解】 （米） （米） （平方米） 答：这条石子路的面积是65.94平方米。 60．公园绿地里浇水用的喷头，最远能喷水8米。喷头旋转一周，最大的喷水面积是多少平方米？ 【答案】200.96平方米 【分析】喷头旋转一周喷水形成一个圆形，最远喷水距离是圆的半径。求喷水面积就是求圆的面积，圆的面积＝圆周率×半径2。 【详解】3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方米） 答：最大的喷水面积是200.96平方米。 61．如图，院子两堵墙的长度分别为5米和7米，墙外是一片草地，如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4米（绳子两端连接处忽略不计），画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据并求其面积。 【答案】28.26平方米；图见详解 【分析】通过观察图形可知，这只小羊能吃到草的面积等于半径为4米的圆面积的加上半径为2米的圆面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×42×＋3.14×22× ＝3.14×16×＋3.14×4× ＝50.24×＋12.56× ＝25.12＋3.14 ＝28.26（平方米） 答：这只小羊吃草的面积是28.26平方米。 作图如下： 62．用一根绳子把一只羊拴在一棵树上，拴上羊后，两个结扣之间的绳长为3米，羊可以吃到草的最大面积是多少平方米？ 【答案】28.26平方米 【分析】由题意知：“用一根绳子把一只羊拴在一棵树上”，羊能跑的范围是一个圆。“两个结扣之间的绳长为3米”，即这个圆的半径是3米。根据圆的面积公式：代人数据求解即可。 【详解】羊能吃草的最大面积： （平方米） 答：羊可以吃到草的最大面积是28.26平方米。 考点十：圆环的面积 63．计算如图中阴影部分的面积。 【答案】100.48平方厘米 【分析】圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：S＝πππ（），代入公式计算即可。 【详解】3.14×（12÷2）2－3.14×（4÷2）2 ＝3.14×62－3.14×22 ＝3.14×36－3.14×4 ＝3.14×（36－4） ＝3.14×32 ＝100.48（平方厘米） 答：阴影部分的面积是100.48平方厘米。 64．识图会意，小心解答。 求阴影部分的面积。 【答案】200.96cm2 【分析】阴影部分是一个圆环，内圆半径是6cm,外圆半径10cm，代入圆环面积公式：S＝π（R2－r2），解答。 【详解】3.14×（102－62） ＝3.14×（100－36） ＝3.14×64 ＝200.96（cm2） 65．为美化校园，学校计划为一个直径为10米的圆形水池周围修一条宽为1米的鹅卵石小路（阴影部分）。小路的面积是多少平方米？ 【答案】34.54平方米 【分析】小路的面积是圆环的面积，根据圆环面积公式“面积＝π×（外圆半径2－内圆半径2）”计算。先求出内圆半径，再用内圆半径加小路宽度得到外圆半径，最后代入公式计算。 【详解】内圆半径：10÷2＝5（米） 外圆半径：5＋1＝6（米） 小路面积： 3.14×（62－52） ＝3.14×（36－25） ＝3.14×11 ＝34.54（平方米） 答：小路的面积是34.54平方米。 66．捣药罐由捣药筒、捣药杆和盖子组成，是家庭日常用品，主要作用是将放入其中的物品（如中药、大蒜等）捣碎。如图是一个捣药罐盖子的形状（近似一个圆环），已知外圆半径为10厘米，内圆半径为2厘米，请你求出盖子面（涂色部分）的面积。 【答案】301.44平方厘米 【分析】观察图形可知，求盖子面（涂色部分）的面积，就是求圆环的面积；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求解。 【详解】3.14×（102－22） ＝3.14×（100－4） ＝3.14×96 ＝301.44（平方厘米） 答：盖子面（涂色部分）的面积是301.44平方厘米。 考点十一：求最大面积 67．把一根长18.84分米长的铁丝做成一个圆形，这个圆的面积最大是( )。 【答案】28.26平方分米/28.26dm2 【分析】由题意可知，铁丝的长度就是圆的周长，根据圆的周长公式的逆运算，用周长除以圆周率再除以2，可得圆的半径，再根据圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】（分米） （平方分米） 把一根长18.84分米长的铁丝做成一个圆形，这个圆的面积最大是28.26平方分米。 68．在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是( )平方厘米。 【答案】25.12 【分析】在长方形里面想要画的最大的半圆，由半圆面积＝（r是半圆的半径）可以得知半径越大面积越大，而当半圆的半径等于长方形的宽时，半圆的面积最大。注意：这时半圆的直径是在长方形的长上面的，半圆的直径要小于等于长方形的长才可以。已知长是8厘米、面积为32平方厘米，则这个长方形的宽＝长方形的面积÷长，则可以求出长方形的宽，则根据半圆的面积公式可以求半圆的面积。 【详解】长方形的宽：32÷8＝4（厘米） 半圆的直径：4×2＝8（厘米） 则半圆的直径＝长方形的长，则长方形的宽是半圆的半径。 半圆的面积：3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方厘米） 69．用三张长3分米，宽2分米的长方形纸，分别剪出一个最大的圆、一个最大的正方形和一个最大的三角形，( )的面积最大。 【答案】正方形 【分析】根据题意，最大圆的直径应为2分米则半径为1分米，最大正方形的边长为2分米，最大三角形的底为3分米，高为2分米，然后根据圆的面积公式、正方形的面积公式和三角形的面积公式进行计算后再比较即可得到答案。 【详解】最大圆的面积为：3.14×12＝3.14（平方分米） 最大正方形的面积为：2×2＝4（平方分米） 最大三角形的面积为：3×2÷2＝3（平方分米） 所以最大正方形的面积＞最大圆的面积＞最大三角形的面积。 则正方形的面积最大。 【点睛】此题主要考查的是圆的面积公式、正方形的面积公式和三角形的面积公式的应用。 70．小芳家有一堆正好编54米长篱笆的材料．他们准备用编好的篱笆保护菜地不被鸡、鸭损坏．请你帮助设计：如果要用这些篱笆围成一个长方形菜地（长和宽都是整米数），这个长方形菜地的最大的面积是　 　平方米． 【答案】182 【详解】试题分析：根据题意知道54米是围成的长方形的周长，即a+b=54÷2，由此列举出长和宽的米数，再利用长方形的面积公式S=ab，分别求出面积，即可得出最大面积． 解：因为a+b=54÷2=27， 所以当a=1米，b=26米，面积是26×1=26平方米， a=2米，b=25米，面积是25×1=50平方米， a=3米，b=24米，面积是24×3=72平方米， a=4米，b=23米，面积是23×4=92平方米， a=5米，b=22米，面积是22×5=110平方米， a=6米，b=21米，面积是21×6=126平方米， a=7米，b=20米，面积是20×7=140平方米， 不难看出随着a的增多，面积在增加， 也就是说在两个数的和一定时，两个数越接近，它们的积就越大， 所以a=13米，b=14米，面积最大是14×13=182平方米， 答：篱笆的长是14米，宽是13米，面积最大， 这个长方形菜地的最大的面积是182平方米． 故答案为182． 点评：关键是知道在两个数的和一定时，两个数越接近，它们的积就越大，由此得出答案． 考点十二：含圆的组合图形的面积 71．计算下图阴影部分的面积。 【答案】23.25平方厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于梯形的面积减去直径为10cm的圆的面积的一半，梯形的高相当于圆的半径。先根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，求出梯形面积，再根据圆的面积公式S＝πr2，求出半圆的面积，然后相减即可。 【详解】（10＋15）×（10÷2）÷2－3.14×（10÷2）2÷2 ＝25×5÷2－3.14×52÷2 ＝125÷2－3.14×25÷2 ＝62.5－78.5÷2 ＝62.5－39.25 ＝23.25（平方厘米） 72．如图，两个半圆的直径都是4cm，求图中阴影部分的面积。（圆周率取3.14） 【答案】4.56cm2 【分析】经过旋转，将两个半圆拼成一个整圆，则阴影部分的面积等于两个半圆的面积之和（即一个整圆的面积）减去大直角三角形的面积（两个小直角三角形的面积和）。大直角三角形的底和高等于圆的直径。根据圆的面积公式S＝πr2，三角形面积公式S＝底×高÷2，列式计算解。 【详解】3.14×（4÷2）2－4×4÷2 ＝3.14×22－4×4÷2 ＝3.14×4－4×4÷2 ＝12.56－16÷2 ＝12.56－8 ＝4.56（cm2） 73．求涂色部分的周长和面积。（单位：厘米） 【答案】18.71厘米；13.935平方厘米 【分析】圆的周长公式：；圆的面积公式：；。 （1）涂色部分的周长：长方形的长＋长方形的宽＋（长方形的长－圆的半径）＋圆的周长÷4 （2）涂色部分的面积：长方形的面积－圆的面积÷4 【详解】涂色部分的周长： 7＋3＋（7－3）＋2×3.14×3÷4 ＝7＋3＋4＋4.71 ＝18.71（厘米） 涂色部分的面积： 7×3－3.14×÷4 ＝21－7.065 ＝13.935（平方厘米） 74．如图，线段AB＝8厘米，且AO＝BO，求涂色部分的面积。 【答案】25.12平方厘米 【分析】 → 根据题意，结合图示，AO＝BO，则大半圆的半径等于小半圆的直径。如上图，可以用“割补法”将图中右下方小半圆切割下来补充在大半圆中的空白小半圆处，这样就拼成了一个完整的大半圆。且已知AB＝8厘米，即大半圆的直径是8厘米，根据求出大半圆的半径，再利用求出大半圆的面积。 【详解】（厘米） （平方厘米） 涂色部分的面积是25.12平方厘米。 考点十三：方中圆和圆中方的面积问题 75．求图中阴影部分的面积。 【答案】7.74平方厘米 【分析】观察图形可知，图中四个空白部分可拼成一个圆，圆的直径等于正方形的边长6厘米，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，正方形的面积＝，圆的面积＝，把数据代入公式计算即可。 【详解】62－3.14×（6÷2）2 ＝36－3.14×32 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（平方厘米） 图中阴影部分的面积是7.74平方厘米。 76．求下面阴影部分的面积。 【答案】114平方厘米；25.12平方厘米 【分析】 由图可知，圆的直径是20厘米，根据“”求出圆的面积，连接正方形的对角线，正方形被平均分成两个等腰直角三角形，三角形的底等于直径，高等于半径，根据“”求出一个三角形的面积，再乘2求出正方形的面积，阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积； 由图可知，①和②的形状相同面积相等，则阴影部分的面积等于半圆的面积，利用“”求出圆的面积，最后除以2求出阴影部分的面积，据此解答。 【详解】3.14×（20÷2）2－20×（20÷2）÷2×2 ＝3.14×102－20×10÷2×2 ＝3.14×100－20×10÷2×2 ＝314－200 ＝114（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是114平方厘米。 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是25.12平方厘米。 77．人民公园有一个圆形花坛，花坛半径是5米，国庆节在花坛中间部分用波斯菊摆了一个最大的正方形（如图），外围种上千日红。这个花坛中千日红所占的面积是多少平方米？ 【答案】 28.5平方米 【分析】观察图形可知正方形的对角线的长度等于圆的直径的长度，正方形的面积可由对角线平均分成两个直角三角形，三角形的高为半径，底为直径，据此求出正方形的面积，即种波斯菊的面积；用圆的面积减去正方形的面积求出种千日红的面积，将数据代入圆的面积公式及三角形的面积公式S＝ah÷2计算即可。 【详解】3.14×52－（5×2）×5÷2×2 ＝3.14×25－10×5÷2×2 ＝78.5－50 ＝28.5（平方米） 答：这个花坛中千日红所占的面积是28.5平方米。 78．春节期间，人们贴窗花寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望。用边长是16厘米的正方形纸张裁剪这个圆形窗花（如图），剪出的圆形窗花面积最大是多少平方厘米？ 【答案】200.96平方厘米 【分析】根据题意，把一个正方形纸张裁剪成最大的圆形窗花，那么圆的直径等于正方形的边长；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆形窗花最大的面积。 【详解】3.14×（16÷2）2 ＝3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 答：剪出的圆形窗花面积最大是200.96平方厘米。 考点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 79．如图，线段AB＝6厘米，且AO＝BO，求涂色部分的面积。 【答案】14.13平方厘米 【分析】OA＝OB，两个小半圆大小相等，将右侧下方小半圆割补到左侧空白小半圆处，那么阴影部分就是一个以AB为直径的大半圆，半圆的面积＝÷2，把数据代入公式计算即可。 【详解】3.14×（6÷2）2÷2 ＝3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方厘米） 80．计算如图中阴影部分的周长和面积。 【答案】25.12分米；13.76平方分米 【分析】空白部分是半径相等的四个扇形，且每个扇形的圆心角都是90°，那么四个扇形就可以组成一个圆，阴影部分的周长等于半径为4分米的圆的周长，面积等于正方形的面积减去半径为4分米的圆的面积，其中圆的周长公式：，圆的面积公式：，据此解答即可。 【详解】阴影部分的周长： 2×3.14×4 ＝6.28×4 ＝25.12（分米） 阴影部分的面积： ＝64－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（平方分米） 答：阴影部分的周长是25.12分米；面积是13.76平方分米。 81．如图是由三个大小相同的圆组成的平面图形，三角形ABC是等边三角形，边长为4m，求阴影部分的面积。 【答案】6.28m2 【分析】三角形内角和180°，阴影部分可以拼成一个直径4m的半圆，根据半圆面积＝圆周率×半径的平方÷2，列式计算即可。 【详解】3.14×（4÷2）2÷2 ＝3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（m2） 阴影部分的面积是6.28m2。 82．求阴影部分面积。                【答案】18平方厘米；60平方米 【分析】（1）如下图，把右边弧形阴影部分以竖直的半径为对称轴对称到左边，由此即可知阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积，两条直角边的长度等于圆的半径6厘米，根据三角形面积公式：S＝ah÷2，代入数据即可解答。 （2）把左边半圆平移到右边，阴影部分正好是一个长是10米，宽是6米的长方形，根据长方形面积公式：S＝ab，代入数据即可解答。 【详解】（1）6×6÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 阴影部分的面积是18平方厘米。 （2）10×6＝60（平方米） 阴影部分的面积是60平方米。 综合训练 1．聊城摩天轮“水城之眼”的直径为110米，旋转一周约需30分钟。明明坐在观光舱内，经过15分钟，他移动了大约（    ）米。 A． B． C．55 D．110 【答案】A 【分析】先根据圆的直径求出摩天轮旋转一周的路程（即圆的周长），再根据明明乘坐的时间与旋转一周所需时间的关系，求出移动路程占周长的几分之几，最后计算出移动的路程。 【详解】摩天轮的周长＝110×π＝（米） 经过的时间占旋转一周时间的分率为： 因此，明明移动的路程为旋转一周路程的； （米） 因此，他移动了大约55π米。 2．在、π、341%、四个数字中，最大的数是（    ）。 A． B． C．π D．341% 【答案】D 【分析】首先将分数、百分数和圆周率都转化为小数形式，保留足够的小数位数以便区分大小，然后比较大小，从而找出最大的数。 根据小数的比较大小方法：先比较整数部分，整数部分大的就大，整数部分相等，就比较小数部分的十分位，十分位大的就大；依次比较直到比较出大小为止，据此解答。 【详解】≈3.1429 π≈3.1416 341%＝3.41 ≈3.1414 因为3.1414＜3.1416＜3.1429＜3.41，所以＜π＜＜ 341%，在、π、341%、四个数字中，最大的数是341%。 3．军军认识了圆环后，在作业本上画了一个圆环，已知圆环中OA∶AB＝1∶2，下面说法正确的是（    ）个。 A．小圆与大圆半径的比是1∶2，面积的比也是1∶2 B．小圆与大圆半径的比是1∶2，面积的比是1∶4 C．小圆与大圆半径的比是1∶3，面积的比也是1∶3 D．小圆与大圆直径的比是1∶3，面积的比是1∶9 【答案】D 【分析】根据线段比例求出小圆、大圆的半径份数，圆的直径比等于半径比，圆面积比等于半径平方的比，逐项判断四个选项对错。 【详解】设OA长度为1份，AB长度为2份 小圆半径＝OA＝1份 大圆半径＝OA＋AB＝1＋2＝3份 小圆半径∶大圆半径＝1∶3 直径比和半径比相等，所以小圆直径：大圆直径＝1∶3 面积比＝12∶32＝1∶9 A．半径比1∶2、面积比1∶2，两处结论均错误 B．半径比1∶2、面积比1∶4，两处结论均错误 C．半径比1∶3正确，面积比1∶3错误 D．直径比1∶3，面积比1∶9，全部结论正确 4．如图，两个圆半径都是4厘米，比较两个阴影部分的面积（    ）。 A．甲大 B．乙大 C．相等 D．无法比较 【答案】B 【分析】甲图形中阴影的面积＝正方形的面积－圆的面积，正方形的边长等于圆的直径；乙图形中阴影的面积＝圆的面积－正方形的面积，正方形的面积等于两个以对角线为底、半径为高的三角形的面积，正方形的对角线长度等于圆的直径。 【详解】甲图形中阴影的面积： 4×2＝8（厘米） 8×8＝64（平方厘米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 64－50.24＝13.76（平方厘米） 乙图形中阴影的面积： 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 4×2×4÷2×2 ＝8×4÷2×2 ＝32÷2×2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） 50.24－32＝18.24（平方厘米） 18.24＞13.76 因此乙图形中阴影的面积大于甲图形中阴影的面积。 5．一个大圆的周长是小圆周长的4倍，则小圆的面积是大圆面积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得大圆的周长是小圆周长的4倍，所以大圆的半径也是小圆半径的4倍；据此可假设小圆的半径为r，则大圆的半径为4r；根据圆的面积计算公式得出小圆的面积为，大圆的面积为；求一个数是另一个数的几分之几，用除法，据此解答即可。 【详解】假设小圆半径为r，大圆半径为4r； 小圆面积：，大圆面积：； （）÷（）＝ 6．圆的周长。鹏鹏在课堂测量圆的周长时，采用了滚动法：把圆上点A对准刻度0，圆向右滚动一圈。则点A将落在直尺刻度上的（    ）。 A．2cm~4cm之间 B．4cm~6cm之间 C．6cm~8cm之间 D．8cm~10cm之间 【答案】C 【分析】把这个圆在直尺上滚动一周，滚动的长度就是圆的周长，由图示可知直径d＝2cm，根据圆的周长公式，求出圆的周长，进行判断并选择即可。 【详解】3.14×2＝6.28（cm） 6.28在6cm~8cm之间，所以点A将落在直尺刻度上的6cm~8cm之间。 7．一个5G基站的覆盖范围近似于一个圆形，覆盖半径为0.5千米，其覆盖面的周长为( )千米，面积为( )平方千米。 【答案】 3.14 0.785 【分析】基站覆盖是圆形，半径0.5千米。先根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，代入数值求出周长。再根据圆的面积公式S＝πr2，代入数值求出面积。 【详解】周长：2×3.14×0.5＝3.14（千米） 面积：3.14×0.52 ＝3.14×0.25 ＝0.785（平方千米） 8．如下图所示，将一个圆形纸片平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形（分的份数越多，就越接近长方形）。如果拼成的长方形的周长比圆的周长增加了10厘米，那么拼成的长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 41.4 78.5 【分析】将圆形纸片拼成近似长方形时，长方形的长等于圆的周长的一半，长方形的宽等于圆的半径，因此长方形的周长比圆的周长多了2个半径的长度，所以圆的半径为增加的长度除以2；再根据圆的周长公式C＝2πr求出圆的周长，然后加上10厘米即可得到长方形的周长；拼成的长方形的面积与原来圆的面积相等，根据圆的面积公式为S＝πr2代入计算即可求出长方形的面积。 【详解】圆的半径：10÷2＝5（厘米） 圆的周长：2×3.14×5＝31.4（厘米） 长方形的周长：31.4＋10＝41.4（厘米） 长方形的面积（圆的面积）： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 9．两个圆的半径之比是4∶3。它们的周长之比是( )，面积之比是( )。 【答案】 4∶3 16∶9 【分析】圆的周长和半径成正比例，周长之比等于半径之比；圆的面积和半径的平方成正比例，面积之比等于半径平方的比。 【详解】把两个圆的半径看作为4和3。 2π×4＝8π 2π×3＝6π 周长比： 8π∶6π＝（8π÷2）∶（6π÷2）＝4∶3 π×42＝16π π×32＝9π 面积比： 16π∶9π＝（16π÷π）∶（9π÷π）＝16∶9 10．手工课上，同学们要在一张长40cm，宽20cm的长方形蜡光纸上剪一个最大的半圆进行艺术创作，这个半圆的面积是( )cm2。 【答案】628 【分析】根据题意，在一张长40cm，宽20cm的长方形纸上剪一个最大的半圆，那么这个最大半圆的直径等于长方形的长；根据半圆的面积公式S＝πr2÷2，代入数据计算，求出这个半圆的面积。 【详解】40÷2＝20（cm） 3.14×202÷2 ＝3.14×400÷2 ＝628（cm2） 11．一个半圆的周长比与它半径相等的整圆周长的一半多6cm，半圆的周长是( )cm，整圆的面积是( )cm2。 【答案】 15.42 28.26 【分析】半圆的周长公式是“”， 整圆周长的一半公式是“”，两者相差的结果是“”，所以题目中的6cm就是圆的直径，利用“”求出半圆的周长，利用“”求出整圆的面积。 【详解】（cm） 半圆的周长： （cm） 整圆的面积： （cm2） 12．如图，聪聪以一个三角形的三个顶点为圆心，分别画了3个半径为4cm的圆，那么图中三个圆和三角形重合部分的面积是( )cm2。 【答案】25.12 【分析】确定每个重合部分是圆心角等于三角形对应内角的扇形，三个扇形半径均为4cm。 因为三角形内角和为180°，所以三个扇形的圆心角之和为180°，三个扇形可以拼接成一个半圆。利用圆的面积公式，计算半圆的面积即可得到重合部分总面积。 【详解】3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（cm2） 13．如图，把一个直径8厘米的圆形硬纸片放在一张长方形的A4纸上任意移动（圆形纸片不能超出长方形纸的边线），那么这张长方形纸上圆形纸片不能接触到的面积是( )平方厘米。 【答案】13.76 【分析】当圆移动到一个直角处时，不能接触到的面积是以圆的半径为边长的正方形的面积减去圆面积的，算出一个直角处不能接触到的面积，再乘4即可。正方形的面积＝边长×边长，圆的面积S＝πr2。 【详解】8÷2＝4（厘米） （4×4－3.14×42×）×4 ＝（4×4－3.14×16×）×4     ＝（16－12.56）×4 ＝3.44×4 ＝13.76（平方厘米） 14．下图中涂色部分的面积是( )平方米。 【答案】21.98 【分析】涂色部分是圆环，从图中可知，外圆半径是4米，内圆的半径是3米，利用圆环面积公式 “” 计算。 【详解】 （平方米） 15．妈妈准备了两张长是8cm、宽是6cm的长方形纸片。军军在这张纸片上画一个最大的圆，那么这个圆的周长是( )cm。欢欢在这张纸片上画一个最大的半圆形，这个半圆形的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 18.84 20.56 25.12 【分析】长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，根据圆的周长＝π×直径，求出圆的周长；长方形内画最大的半圆，如果半圆的直径等于宽那么半径是6cm，直径是6×2＝12cm，长度不够。所以半圆的直径等于长方形的长，根据半圆的周长＝π×半径＋直径，据此求出半圆的周长，再根据圆的面积＝π×半径2，据此求出半圆的面积。 【详解】3.14×6＝18.84（cm） 8÷2＝4（cm） 3.14×4＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（cm2） 16．雨刷对汽车非常重要，在雨雪天气中，它不停地摇摆，保障了行车的安全。某品牌车的后窗雨刷如图，这种雨刷长20cm，摇摆角度约，那么它摇摆一次扫过的面积是( )。 【答案】 /628平方厘米 【分析】雨刷摇摆角度约180°，说明雨刷扫过的面积是一个半圆，根据圆的面积公式，由此可解。 【详解】 （cm2） 17．如图，求阴影部分的面积。 【答案】38.88平方厘米 【分析】（1）阴影部分的面积＝长方形的面积减去半圆的面积＋三角形的面积。长方形长为8厘米刚好是圆的直径，宽为圆的半径，8÷2可求得，分别求出长方形的面积和半圆的面积，从而求得长方形中阴影部分的面积； （2）三角形的一个锐角为45°，所以三角形是等腰直角三角形，且三角形的一条边是长方形的长，所以两直角边相等，都等于为长方形的长，是8厘米，8×8÷2可求得三角形的面积，把两部分阴影的面积相加即为所求。 【详解】（1）求长方形中的阴影面积： 长方形的面积： 8×（8÷2） ＝8×4 ＝32（平方厘米） 半圆的面积： 3.14×（8÷2）2÷2 ＝3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 长方形中阴影的面积： 32－25.12＝6.88（平方厘米） （2）求三角形的面积： 8×8÷2 ＝8×4 ＝32（平方厘米） （3）求阴影部分的面积： 6.88＋32＝38.88（平方厘米） 18．计算下图中阴影部分的周长和面积。 【答案】周长16.71dm；面积7.935dm2 【分析】阴影部分的周长等于圆周长的再加上5dm和7dm，根据圆的周长C＝2πr算出圆的周长再乘再加上5和7即可；阴影部分的面积等于梯形面积减去圆面积的，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积S＝πr2。 【详解】周长：2×3.14×3×＋5＋7 ＝2×3.14×3×＋5＋7 ＝4.71＋5＋7 ＝16.71（dm） 面积：（3＋7）×3÷2－3.14×32 ＝（3＋7）×3÷2－3.14×9× ＝10×3÷2－3.14×9× ＝15－7.065 ＝7.935（dm2） 19．华华参加夏令营时看到一棵古树，同学们用一根30米长的绳子缠绕在古树的树干上，绕了4圈后还余下4.88米。这棵古树树干的直径是多少米？ 【答案】2米 【分析】根据题意，绳子的总长度减去剩余的长度，即为缠绕树干4圈所用的长度；用缠绕4圈的总长度除以4，可得树干一圈的长度（即树干的周长）；最后根据圆的周长＝（取3.14，d是直径），用周长除以圆周率即可求出树干的直径。 【详解】30－4.88＝25.12（米） 25.12÷4＝6.28（米） 6.28÷3.14＝2（米） 答：这棵古树树干的直径是2米。 20．如下图，在推导圆的面积计算公式的过程中，利用了刘徽的割圆术。把一个圆平均分成若干份，剪拼成一个近似的长方形。求图中圆的面积。 【答案】12.56平方厘米 【分析】拼成的近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。由图可知长方形的长是6.28厘米，所以圆周长的一半是6.28厘米，那么圆的周长是长方形长的2倍。根据圆的周长公式C＝，可以得出圆的半径为2厘米，已知圆的半径，根据圆的面积公式S＝即可求出圆的面积。 【详解】6.28×2＝12.56（厘米） 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 答：圆的面积是12.56平方厘米。 21．探测车车轮的外圆直径是50厘米。如果火星表面有一个圆形陨石坑，直径为10米，探测车绕坑一周车轮需要转动多少圈？（π取3.14） 火星表面陨石坑 【答案】20圈 【分析】分别求出车轮的外圆周长和陨石坑的周长，再用陨石坑的周长除以车轮的外圆周长。注意要先统一单位。 【详解】50厘米＝0.5米 （3.14×10）÷（3.14×0.5） ＝31.4÷1.57 ＝20（圈） 答：探测车绕坑一周车轮需要转动20圈。 22．某餐厅新装修了一个旋转就餐区域如下图阴影部分所示，旋转就餐区域的面积是多少平方米？ 【答案】100.48平方米 【分析】由图可知，旋转就餐区域是一个圆环，内圆直径是4米，除以2求出内圆半径，再用内圆半径加上4米求出外圆半径。最后根据圆环面积公式S＝π（R2－r2）计算即可求出旋转就餐区域的面积。 【详解】4÷2＝2（米） 2＋4＝6（米） 3.14×（62－22） ＝3.14×（36－4） ＝3.14×32 ＝100.48（平方米） 答：旋转就餐区域的面积是100.48平方米。 23．保龄球又称“地滚球”，是一种在木板轨道上用球滚击木瓶的室内体育运动。保龄球的半径大约是1分米，在某次比赛中，保龄球从球道的一端滚到另一端，滚了34圈，球道的长度是多少分米？ 【答案】213.52分米 【分析】保龄球滚动一圈，前进距离就是半径为1分米的圆的周长。根据圆的周长公式 ，求出保龄球滚动一周的长度，再用滚动一周的长度乘滚动的圈数计算球道的长度。 【详解】2×3.14×1×34 ＝6.28×1×34 ＝6.28×34 ＝213.52（分米） 答：球道的长度是 213.52 分米。 24．仓鼠是一种爱跑步的小动物，主人给它买了一个里面直径为20厘米的圆形跑轮。如果这只仓鼠每分钟跑120圈，那么它5分钟能跑多少米？ 【答案】376.8米 【分析】根据圆的周长C＝πd，代入数据计算出小仓鼠跑一圈的厘米数。再乘120算出1分钟跑的厘米数。接着乘5，算出5分钟跑了多少厘米。最后转换成米数。 【详解】3.14×20＝62.8（厘米） 62.8×120×5 ＝7536×5 ＝37680（厘米） 37680厘米＝376.8米 答：它5分钟能跑376.8米。 25．李奶奶用31.4米长的篱笆在房前的空地上围了一个圆形鸡舍（如图1），现在由于养鸡数量的增加，她利用一面墙和原来的篱笆将鸡舍改成了一个半圆形（如图2），改变后面积增加了吗？若增加，则增加了多少？ 【答案】增加了；78.5平方米 【分析】由题意可知，原来小圆的周长和现在半圆形的周长都等于篱笆的长度，先根据“”求出小圆的半径，并根据“”求出小圆的面积，再根据“”求出大半圆的半径，并根据“”求出大半圆的面积，最后求出它们的面积之差就是增加的面积，据此解答。 【详解】小圆的半径：31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米） 小圆的面积：3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 大半圆的半径：31.4÷3.14＝10（米） 大半圆的面积：3.14×102÷2 ＝3.14×100÷2 ＝314÷2 ＝157（平方米） 因为157平方米＞78.5平方米，所以改变后面积增加了。 157－78.5＝78.5（平方米） 答：改变后面积增加了，增加了78.5平方米。 26．如图，用篱笆靠墙围成的半圆形养鸡场的直径为8米。 (1)围成养鸡场所用的篱笆长是多少米？ (2)这个养鸡场的占地面积是多少平方米？ 【答案】(1)12.56米 (2)25.12平方米 【分析】（1）根据圆的周长可以求出直径为8米的圆的周长，用求出的圆的周长除以2即可求出围成养鸡场所用的篱笆长是多少米。 （2）根据圆的面积＝，用直径8米除以2即可求出这个半圆的半径，求出圆的面积再除以2即可求出这个养鸡场的占地面积是多少平方米。 【详解】（1）3.14×8÷2＝12.56（米） 答：围成养鸡场所用的篱笆长是12.56米。 （2）3.14×（8÷2）2÷2 ＝3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方米） 答：这个养鸡场的占地面积是25.12平方米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 圆 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、圆的认识 2 1. 圆的定义 2 2. 圆的各部分名称 2 3. 圆的基本特征 2 4. 半径与直径的关系 3 5. 圆的对称性 3 6. 用圆规画圆的步骤 3 二、扇形的认识 3 1. 扇形的定义 3 2. 圆心角 3 3. 扇形大小的影响因素 3 4. 扇形的对称性 3 三、圆的周长 3 1. 周长的定义 3 2. 圆周率的意义 4 3. 圆的周长计算公式 4 4. 半圆的周长 4 四、圆的面积 4 1. 面积的定义 4 2. 圆的面积推导 4 3. 圆的面积计算公式 4 五、圆环与组合图形的面积 5 1. 圆环的面积 5 2. 组合图形的面积计算 5 考点讲练 5 考点一：圆的概念及特点 5 考点二：画圆 5 考点三：与圆相关的轴对称图形 6 考点四：圆的周长 7 考点五：半圆的周长 7 考点六：圆的周长的应用 7 考点七：含圆的组合图形的周长 9 考点八：圆的面积 10 考点九：圆的面积的应用 11 考点十：圆环的面积 12 考点十一：求最大面积 14 考点十二：含圆的组合图形的面积 14 考点十三：方中圆和圆中方的面积问题 16 考点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 17 综合训练 18 知识梳理 一、圆的认识 1. 圆的定义 圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的封闭曲线图形。这个定点叫作圆心，一般用字母表示；定长叫作半径，一般用字母表示。 2. 圆的各部分名称 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母表示。 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段，用字母表示。直径是圆内最长的线段。 3. 圆的基本特征 在同一个圆（或等圆）中，有无数条半径，所有半径的长度都相等；有无数条直径，所有直径的长度都相等。 圆心决定圆的位置，半径（或直径）决定圆的大小。 4. 半径与直径的关系 在同一个圆（或等圆）中，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的。 用字母表示： 或 5. 圆的对称性 圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴。 圆有无数条对称轴。 半圆也是轴对称图形，只有 1 条对称轴。 6. 用圆规画圆的步骤 定半径：把圆规两脚分开，定好两脚间的距离（即半径长度）； 定圆心：把有针尖的一只脚固定在一点上（即圆心）； 旋转一周：把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 二、扇形的认识 1. 扇形的定义 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 2. 圆心角 顶点在圆心，并且两边都是圆的半径的角，叫作圆心角。 3. 扇形大小的影响因素 在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关：圆心角越大，扇形越大； 圆心角相等时，扇形的大小与半径的长短有关：半径越长，扇形越大。 4. 扇形的对称性 扇形是轴对称图形，沿着过圆心和弧中点的直线对折后两边完全重合，只有1 条对称轴。 三、圆的周长 1. 周长的定义 围成圆的曲线的长叫作圆的周长，一般用字母表示。 2. 圆周率的意义 圆的周长除以直径的商是一个固定不变的数，这个数叫作圆周率，用希腊字母（pài）表示。 是一个无限不循环小数，； 小学阶段计算时，通常取。 3. 圆的周长计算公式 已知直径，求周长： 已知半径，求周长： 4. 半圆的周长 半圆的周长不是圆周长的一半，而是圆周长的一半加上一条直径（或两条半径）。 公式： 四、圆的面积 1. 面积的定义 圆所占平面的大小叫作圆的面积，一般用字母表示。 2. 圆的面积推导 把圆平均分成若干偶数等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形： 长方形的长相当于圆周长的一半，即； 长方形的宽相当于圆的半径，即； 因为长方形面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 = 。 3. 圆的面积计算公式 已知半径，求面积： 已知直径，求面积：先求半径，再代入公式 已知周长，求面积：先求半径，再代入公式 4. 半圆的面积 半圆的面积是对应圆面积的一半。 公式： 五、圆环与组合图形的面积 1. 圆环的面积 两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作圆环，也叫环形。 外圆半径用表示，内圆半径用表示； 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 公式： 2. 组合图形的面积计算 计算由圆、扇形、长方形、正方形等组成的组合图形面积时，常用方法： 求和法：把组合图形拆分成几个规则图形，面积相加； 求差法：用大的规则图形面积减去空白部分的面积； 割补平移法：通过割补、平移、旋转，将不规则图形转化为规则图形计算。 考点讲练 考点一：圆的概念及特点 【典例精讲】27．在一张长16cm，宽12cm的长方形纸里，最多可以剪( )个半径2cm的圆。 28．要确定一个圆形纸片的圆心，至少要把纸片对折( )次。 29．画一个圆时，圆心决定圆的( )，( )决定圆的大小。 30．想一想同一个圆里半径和直径的关系，完成下面的表格。 半径 4分米 0.9厘米 3.3分米 直径 6米 10.48千米 考点二：画圆 31．画一个半径是1厘米的圆。 32．以点O为圆心画两个圆，半径分别是2厘米和3厘米。 33．根据要求画圆，分出半径和直径。 用圆规画一个直径为3cm的圆和一个半径为1cm的圆，使它们的圆心在同一条直线上，且让两个圆紧挨着。 34．请利用圆规把这个圆画完整，并标出它的圆心和半径。 考点三：与圆相关的轴对称图形 35．下面的图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． 36．下面各图对称轴数量最多的是（    ）。 A． B． C． 37．长方形、正方形、等边三角形、圆，这些图形中，对称轴条数最多的图形是( )。 38．下面的轴对称图形各有几条对称轴？ ( )条   ( )条   ( )条   ( )条 考点四：圆的周长 39．一个圆的周长增加0.628厘米，它的半径增加( )厘米。 40．汽车车轮的半径是0.45米，它滚动1圈前进了( )米。 41．圆规两脚尖的距离是5厘米，用它画出的圆的周长是( )厘米。 42．用一根长12.56米的绳子围一个圆，正好绕了10圈，这个圆的直径大约是( )米。 考点五：半圆的周长 43．用直尺和圆规画半圆，圆规两脚间的距离是3cm。这个半圆的直径是( )cm，周长是( )cm。 44．如图，大半圆的半径是( )厘米，小半圆的周长是( )厘米。 45．如图所示，半圆的周长为25.7厘米，长方形的周长是( )厘米。 46．一个人要从到（如图），他可以按1号箭头所表示的路线走，路程为；也可以按2号箭头所表示的路线走，路程为。比较大小____________。 考点六：圆的周长的应用 47．一辆自行车的车轮直径是0.9米，车轮向前滚动十圈大约前进了多少米？ 48．如下图，用绳子把3根直径是0.5m的圆木捆起来。绳子绕一圈的长度是多少米？ 49．一种压路机的前轮直径是1.5m，每分钟转25圈。压路机一分钟前进多少米？ 50．下雪天，为了防止汽车打滑，司机师傅常常会给汽车轮胎安装一圈防滑链。已知司机师傅给汽车的每个轮胎都安装了188.4cm的防滑链（防滑链的厚度忽略不计），这个汽车轮胎的半径是多少厘米？ 考点七：含圆的组合图形的周长 51．求阴影部分的周长。 52．求下面图形中阴影部分的周长。 53．求图中阴影部分的周长。 54．计算下列图形阴影部分的周长。 考点八：圆的面积 55．在学习圆面积的计算公式时，用到一种非常重要的数学思想方法——( )，推导出圆的面积计算公式是( )。 56．天井湖公园扇形观景台的圆心角是，半径20米，其面积是( )平方米；若半径扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的( )倍。（取3.14） 57．根据已知条件完成表格。 圆的半径 圆的直径 圆的周长 圆的面积 3cm 10cm 50.24cm 58．把一个圆沿半径平均分成若干等份，再拼成一个近似的长方形，若长方形的长是9.42cm，这个长方形的宽是( )cm，面积是( )cm2。 考点九：圆的面积的应用 59．公园有一个圆形花坛，沿着花坛走一圈是62.8米。现在要在花坛周围铺一条宽1米的环形石子路，这条石子路的面积是多少平方米？ 60．公园绿地里浇水用的喷头，最远能喷水8米。喷头旋转一周，最大的喷水面积是多少平方米？ 61．如图，院子两堵墙的长度分别为5米和7米，墙外是一片草地，如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4米（绳子两端连接处忽略不计），画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据并求其面积。 62．用一根绳子把一只羊拴在一棵树上，拴上羊后，两个结扣之间的绳长为3米，羊可以吃到草的最大面积是多少平方米？ 考点十：圆环的面积 63．计算如图中阴影部分的面积。 64．识图会意，小心解答。 求阴影部分的面积。 65．为美化校园，学校计划为一个直径为10米的圆形水池周围修一条宽为1米的鹅卵石小路（阴影部分）。小路的面积是多少平方米？ 66．捣药罐由捣药筒、捣药杆和盖子组成，是家庭日常用品，主要作用是将放入其中的物品（如中药、大蒜等）捣碎。如图是一个捣药罐盖子的形状（近似一个圆环），已知外圆半径为10厘米，内圆半径为2厘米，请你求出盖子面（涂色部分）的面积。 考点十一：求最大面积 67．把一根长18.84分米长的铁丝做成一个圆形，这个圆的面积最大是( )。 68．在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是( )平方厘米。 69．用三张长3分米，宽2分米的长方形纸，分别剪出一个最大的圆、一个最大的正方形和一个最大的三角形，( )的面积最大。 70．小芳家有一堆正好编54米长篱笆的材料．他们准备用编好的篱笆保护菜地不被鸡、鸭损坏．请你帮助设计：如果要用这些篱笆围成一个长方形菜地（长和宽都是整米数），这个长方形菜地的最大的面积是　 　平方米． 考点十二：含圆的组合图形的面积 71．计算下图阴影部分的面积。 72．如图，两个半圆的直径都是4cm，求图中阴影部分的面积。（圆周率取3.14） 73．求涂色部分的周长和面积。（单位：厘米） 74．如图，线段AB＝8厘米，且AO＝BO，求涂色部分的面积。 考点十三：方中圆和圆中方的面积问题 75．求图中阴影部分的面积。 76．求下面阴影部分的面积。 77．人民公园有一个圆形花坛，花坛半径是5米，国庆节在花坛中间部分用波斯菊摆了一个最大的正方形（如图），外围种上千日红。这个花坛中千日红所占的面积是多少平方米？ 78．春节期间，人们贴窗花寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望。用边长是16厘米的正方形纸张裁剪这个圆形窗花（如图），剪出的圆形窗花面积最大是多少平方厘米？ 考点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 79．如图，线段AB＝6厘米，且AO＝BO，求涂色部分的面积。 80．计算如图中阴影部分的周长和面积。 81．如图是由三个大小相同的圆组成的平面图形，三角形ABC是等边三角形，边长为4m，求阴影部分的面积。 82．求阴影部分面积。                综合训练 1．聊城摩天轮“水城之眼”的直径为110米，旋转一周约需30分钟。明明坐在观光舱内，经过15分钟，他移动了大约（    ）米。 A． B． C．55 D．110 2．在、π、341%、四个数字中，最大的数是（    ）。 A． B． C．π D．341% 3．军军认识了圆环后，在作业本上画了一个圆环，已知圆环中OA∶AB＝1∶2，下面说法正确的是（    ）个。 A．小圆与大圆半径的比是1∶2，面积的比也是1∶2 B．小圆与大圆半径的比是1∶2，面积的比是1∶4 C．小圆与大圆半径的比是1∶3，面积的比也是1∶3 D．小圆与大圆直径的比是1∶3，面积的比是1∶9 4．如图，两个圆半径都是4厘米，比较两个阴影部分的面积（    ）。 A．甲大 B．乙大 C．相等 D．无法比较 5．一个大圆的周长是小圆周长的4倍，则小圆的面积是大圆面积的（    ）。 A． B． C． D． 6．圆的周长。鹏鹏在课堂测量圆的周长时，采用了滚动法：把圆上点A对准刻度0，圆向右滚动一圈。则点A将落在直尺刻度上的（    ）。 A．2cm~4cm之间 B．4cm~6cm之间 C．6cm~8cm之间 D．8cm~10cm之间 7．一个5G基站的覆盖范围近似于一个圆形，覆盖半径为0.5千米，其覆盖面的周长为( )千米，面积为( )平方千米。 8．如下图所示，将一个圆形纸片平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形（分的份数越多，就越接近长方形）。如果拼成的长方形的周长比圆的周长增加了10厘米，那么拼成的长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 9．两个圆的半径之比是4∶3。它们的周长之比是( )，面积之比是( )。 10．手工课上，同学们要在一张长40cm，宽20cm的长方形蜡光纸上剪一个最大的半圆进行艺术创作，这个半圆的面积是( )cm2。 11．一个半圆的周长比与它半径相等的整圆周长的一半多6cm，半圆的周长是( )cm，整圆的面积是( )cm2。 12．如图，聪聪以一个三角形的三个顶点为圆心，分别画了3个半径为4cm的圆，那么图中三个圆和三角形重合部分的面积是( )cm2。 13．如图，把一个直径8厘米的圆形硬纸片放在一张长方形的A4纸上任意移动（圆形纸片不能超出长方形纸的边线），那么这张长方形纸上圆形纸片不能接触到的面积是( )平方厘米。 14．下图中涂色部分的面积是( )平方米。 15．妈妈准备了两张长是8cm、宽是6cm的长方形纸片。军军在这张纸片上画一个最大的圆，那么这个圆的周长是( )cm。欢欢在这张纸片上画一个最大的半圆形，这个半圆形的周长是( )cm，面积是( )cm2。 16．雨刷对汽车非常重要，在雨雪天气中，它不停地摇摆，保障了行车的安全。某品牌车的后窗雨刷如图，这种雨刷长20cm，摇摆角度约，那么它摇摆一次扫过的面积是( )。 17．如图，求阴影部分的面积。 18．计算下图中阴影部分的周长和面积。 19．华华参加夏令营时看到一棵古树，同学们用一根30米长的绳子缠绕在古树的树干上，绕了4圈后还余下4.88米。这棵古树树干的直径是多少米？ 20．如下图，在推导圆的面积计算公式的过程中，利用了刘徽的割圆术。把一个圆平均分成若干份，剪拼成一个近似的长方形。求图中圆的面积。 21．探测车车轮的外圆直径是50厘米。如果火星表面有一个圆形陨石坑，直径为10米，探测车绕坑一周车轮需要转动多少圈？（π取3.14） 火星表面陨石坑 22．某餐厅新装修了一个旋转就餐区域如下图阴影部分所示，旋转就餐区域的面积是多少平方米？ 23．保龄球又称“地滚球”，是一种在木板轨道上用球滚击木瓶的室内体育运动。保龄球的半径大约是1分米，在某次比赛中，保龄球从球道的一端滚到另一端，滚了34圈，球道的长度是多少分米？ 24．仓鼠是一种爱跑步的小动物，主人给它买了一个里面直径为20厘米的圆形跑轮。如果这只仓鼠每分钟跑120圈，那么它5分钟能跑多少米？ 25．李奶奶用31.4米长的篱笆在房前的空地上围了一个圆形鸡舍（如图1），现在由于养鸡数量的增加，她利用一面墙和原来的篱笆将鸡舍改成了一个半圆形（如图2），改变后面积增加了吗？若增加，则增加了多少？ 26．如图，用篱笆靠墙围成的半圆形养鸡场的直径为8米。 (1)围成养鸡场所用的篱笆长是多少米？ (2)这个养鸡场的占地面积是多少平方米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $