山东省青岛市实验高级中学(青岛十五中)2025-2026学年第二学期第四学段质量检测高二数学试卷

青岛实验高中2025一2026学年度第二学期 第四学段质量检测 高二数学试卷 2026年7月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={x∈Nx2>10},则集合CwA的元素个数为（〉 A.3 B.4 C.6 D.7 2.已知f(x)的定义域为R,者f()为奇函数，且周期为2，则f(1)的值为() A.2 B.1 C.0 D.-1 3.若复数（√n-i)(1+i)(n∈W)的实部与虚部分别为a,bn,则数列{anb的前100项和为 ( A.4900 B.5000 C.4950 D.5050 4若双曲线号-影=1(Q>b>0)双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为 (). A.√2 B.2 C.23 D.√3 3 5.若函数y=taωx的对称中心与函数y=snx的对称中心重合，则oω=( A1 B C.±1 D.土 6.设A,B是两个相互独立的随机事件，色知P()=是PA+B)=是，则P(B)=) 九若 B司 c. D.子 7.若圆x2+0y-2)2=2(r>0)上到直线y=√3x-2的距离为1的点有且仅有4个，则x的 取值范围是() 高二数学试巒共4页第1页 A、(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) 8.已知1+2x=3y-1=5-2,则下列不等关系一定不成立的是( A.x>y>z B.y>x>z C.x>z>y D.y>z>x 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。 9.有一组样本数据x2,…6,其中x1是最小值，x5是最大值；则 A、X2,X3,x4,s的平均数等于x1,2,…,x6的平均数 B.X2,3,x4,5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数 C.x2X3,x4,xs的标准差不小于x1,x2,…,x5的标准差 D.2,x3,x4,5的极差不大于x1,X2,…,x6的极差 10.已知抛物线C:y2=2pxp>0)的准线与圆D:(x-2)2+y2=16相切：H为C与圆D的一 个交点，过圆心D作直线与C交于A,B两点，O为坐标原点，则) A p=2 B.HD⊥OD C.|AB列的最小值为8 D.以线段AB为直径的圆与y轴相切 11.若数列fa满足a+i=听，则称a为.“平方递推数列”.己知数列bn满足：b1=99, 点(b,b+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上.设Tn=(b1.+1)(b2+1)x·(bn+1), ,=21+可则 Abn+1}为平方递推数列 B.bm=100m-1 C.1gTn=2m+1-2 D.使得Sn>4048成立的n的最小值为2026 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共15分。 12.已知向量=(1,3)，b=(3,4,若d-1方，则1= 13.设a,bR,c∈[0,2m)若对任意实数x都有2sin(3x-)=asin(bx+c),则满足条件的 有序实数组(ab,c)的组数为 14.对于函数y=f(x),若存在x0,使f(-xo)=一f(xo),则点(xo,f(o)与点(-x0,f(-x0) 均称为函数f(x)的“准奇点”.已知函数f()=} -三8者函数断份溶在5个“准商 点”，则实数a的取值范围为 高二数学试卷共4页第2页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且c=5. (若品-G=求a: (2)若ab=20,求△ABC的面积的最大值. 16.(本小题15分) 设甲、乙两位同学土学期间，每天7：30之前到校的概率均为号假定甲、乙两位同学到校情况 互不彩响，且任一同学每天到校情况相互独立 (1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期 望； (2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到 校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率. 17.(本小题15分) 如图，四边形ABCD为菱形，PB⊥平面ABCD. 为 C 高二数学试卷共4页第3页 (1)证明、平面PAC⊥平面PBD; (②)若PA⊥PC,二面角A-BP-G的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值. 18.(本小题17分) 已知函数f(x)=e*-x-g(其中，e为自然对数的底数)，对于VxER,f(x)≥0恒成立. ()求实数a的取值范围； (2)证明：当xe[0,平]时，cosx+tanx≤e. 19.(本小题17分) 已知A(-5,0,B(4,是椭圆C:若+岁=1〔a>b>0)上的两点. (1)求椭圆C的标准方程： (②)已知P,Q是椭圆C上的两动点，且P,Q的横坐标之和为号，设直线为线段PQ的中垂线， 过点A作直线AM⊥l,垂足为M.求垂足M横坐标xM的取值范围，并求M的轨迹方程. 高二数学试卷共4页第4页 青岛实验高中2025一2026学年度第二学期第四学段质量检测 高二数学答案 1.【答案》B【解析】解：根据题意可得CwA={x∈Nx2≤10)={0,1,2,3)， 所以集合CNA的元素个数为4. 2.【答案】C【解析】解：由题意，f(1)=f(-1)=-f(1),则f(1)=0。 3.【答案】C【解析】解：由复数(W元-i)(1+)=(W元+1)+(m-1)i,可得am=√元+1，bn=√元-1， 则anbn=n-1,所以数列anbn}是首项为0，公差为1的等差数列， 所以数列[ab,3的前100项的和为S100=100×0+100x99×1=4950. 2 4.【答案】C【解析】解：由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为y=±名x, 因为双曲线两条渐近线的夹角为60，a>b>0,所以治=tn30°-号，即a=V3b, 所以a2=3,即a2=3C-2的，即3c2=4d,所以e2-三-参则e=2号 5.【答案〗D【解析】解：y=snx的对称中心为其图象与x轴的交点，即(km,0)(k∈2)， y=tarox的对称中心为（恶，0m∈2刀， 要求对称中心重合，即对任意%kE乙，存在对应关系器=km,化简得2ω=受 由于对任意整数九，k均成立，故2w=士1，解得w=±2 6.【答案】D【解析】解：因为A,B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=三P(B), 所以P(A+B)=P④+P(B)-P(AB)=+P(B)-P(B)=号解得P(B)=-子 7.【答案】C《解析】解：y=V3x-2,即v3x-y-2=0 设与直线V3x-y-2=0平行且距离为1的直线方程为vW3x-y+C=0, 所以0=1，解得C=0或C=-4, 所以两条平行线的方程为1：V3x-y=0,2√3x-y-4=0, 圆心(0,2)到的距离为41==1，圆心(0,2)到2的距离为2=登=3， 3+1 由题意得圆与1,12均相交，则d<r,d2<r,即1之r且3<r,所以r>3. 8.【答案】C【解析】解：由题意得，2+2=3y=52-1,.令2+2x=3=52-1=tt>2, 方法一：函数f()=2+2*,g()=3x,h()=5*-1的图象与直线y=交点的横坐标分别为x,y,2 第1页，共8页 由图象可知，x>y>,y>x>2,y>z>x都可能成立， x>z>y一定不成立； 方法二：由已知可得x=log2(t-2),y=log3t,2=logs(t+1),t>2, 2+3 f(t)=x-y=log2(t-2)-loget, 11=3-c2m2=t0m3-h2+21m2>0, f'(因=e-2n2g=e-2n2m3 t(t-2)In2In3 分 所以f()在区间(2，+o)上单调递增， 令g()=y-2,h()=x-z,同理g(),h()在区间(2，+o)上都单调 递增，因为g(2)=1og2-logs3=1og2-号+号-1ogs3 .=logs2-logs3+logs55-logs3=logs logs+logs 25- 1ogsV27<0,93)=1-logs4>0,所以存在t1∈(2,3)，使得g(t)=0, 则t∈(2，t)时，g()=y-z<0,t∈(t十o)时，g()=y-z>0; 显然h(4)=0,则t∈(2,4)时，h(=x-z<0,t∈(4，+o)时，h()=x-z>0; 因为f(4=1-log34<0,f(6)=2-log36=1og39-1og36>0, 所以存在t2∈(4,6)，使得f(t2)=0, 则t∈(2，t2)时，f(t)=x-y<0,t∈(t2+∞)时，f)=x-y>0, 综上，t∈(2，t)时，x<y<zt=t时，x<y=2t∈(t,4)时，x<z<y t=4时，x=z<y:t∈(4,2)时，z<x<yt=t2时，z<x=yt∈(t2,+o)时，z<y<x; 所以C不可能成立. 9.【答案】BD 解：对于选项：设x2,3,x4,5的平均数为m,,x2,…,x6的平均数为n, 则n二m=+2+3+x4+xs+-++4+丝=20tx-s+2++, 6 12 因为没有确定2(x1十x6),冬十2+3+x4的大小关系，所以无法判断m,n的大小。 例如：1,2,3,4,5,6，可得m=n=3.5: 例如1,1,1,1,1,7，可得m=1,n=2: 例如122,22,2，可得m=2,n=号，故A错误： 对于选项B:不妨设x1≤2≤构≤4≤5≤6， 可知为为4西的中位数等于，为，…，名的中位数均为兰，故B正确： 对于选项C:因为是最小值，6是最大值， 第2页，共8页 则x2x3,x4,xs的波动性不大于X,X2,…,s的波动性，即X23,X4,s的标准差不大于x1,2“,6的标准 差， 例如：2,46,810,12，则平均数m=君2+4+6+8+10+12)=7， 标准差S1= 层2-72+4-7+6-7+8-7P+(a0-7y+2-7两- 3) 468,10,则平均数m=(4+6+8+10)=7, 标准差2=24-72+6-72+8-7刀2+(10-7)9闪=V5, 显然>V5,即51>2，故C错误， 对于选项D:不妨设X1≤X2≤3≤x4≤s≤x6, 则x6一x1≥5一x,当且仅当x1=x2s=x6时，等号成立，故D正确。 故选：BD, 10.【答案】BC 【解析】解：因为C的准线x=-与圆D相切，所以2+号=4，即p=4,A错误。 易得C的焦点坐标为(2,0)，与圆D的圆心重合，因为HD1=4, 所以点H到C的准线的距离为4，则xH+2=4,.解得xH=2,所以HD⊥OD,B正确. 易得直线的斜率不为零，设直线的方程为x=y+2, g22-8胸-16=0，则☑=6+64>0， 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=8t, 则1AB|=1+x2+4=y1+2+ty2+2+4=t0y1+y2)+8=8t2+8≥8， 当且仅当t=0时，AB取得最小值8，C正确 设线段AB的中点为M(”,), 则点M到C的准线的距离d=+2生也=名+2， 2 所以d=AB,则以线段AB为直径的圆与C的准线相切，与y轴不相切，D错误。 故选BC 11.【答案】AC 【解析】解：对于A,由题意得bn+1=候+2bn,所以b+1+1=b经+2bn十1=(bn+1)2,所以bn+1) 为平方递推数列，故A正确： 第3页，共8页 对于B,bn+1+1=(bn+1)2得g(亿n+1+1)=2lg(bn+1),其中g(b1+1)=2, 所以g(⑥，+1)是以2为首项，2为公比的等比数列，所以lg(bn+1)=2”,所以b,+1=102”,即bn= 102"-1,故B错误： 对于C,因为Tn=(b1+1)(b2+1)…(bn+1), 所以gTn=1g(b1+1)+g(亿2+1)+…+g(亿+1)=2+22+…+2n=2+1-2,故C正确： 对于0，因为g装2=2-点 所以s=2-宽)+Q-动+…+2-高)=2m-1+号+…+★)=m-字=2m-2+点 1- 由Sn>4048得n>2025,故D错误， 故选：AC. 12.【答案】号 【解答】解：因为向量a=(1,3),=(3,4),则a-邓=(1-3入，3-4)，又d-而1，所以@-而万= 3(1-3刃+43-40)=15-251=0，解得1=号故答案为： 13.【答案是4 【解析】【详解】试题分析： 当a=2时，sin(3x-3)=sin(3x-号+2m=sin(3x+),(,c)=(3,),又sin3x-)=simr-3x- 爱】=sim(-3x+智)，，g)=(-3,智)，注意到c∈[0,2，所以只有2组：(2,3，受)，2，-3，绶)满足题 意：当a=-2时，同理可得出满足题意的(4，，c)也有2组：（-2，-3，爱)，（-23，贺)，故共有4组。 14.【答案】(6，+∞) 【解答】 解：由题意，f(x)存在5个“准奇点”，原点是一个，其余还有两对， 即函数y=6x-x3(x≤0)关于原点对称的图象与函数y=16-ax(x>0)至少有两个交点， 而函数y=6x-x3(≤0)关于原点对称的函数为y=6x-x(x≥0)， 即16一0x=6x一x3至少有两个正根， 10=2+9-6c>0至少有两个正根， 令)=2+-66x>0,则n'闭=2x-=2, 当0<x<2时，h'(x)<0,当x>2时，h′)>0， ·h(x)在(0,2)上单调递减；在(2，+∞)上单调递增， 第4页，共8页 则当x=2时，h(x)mtm=4+8-6=6, 且当x→0和x→+o时，f(x)→+∞， 实数a的取值范围为(6，+o), 故答案为(6，+∞)、 15.【答案】解：()由品-品根据正弦定理得品-会化简得Q=26, 因为C=c=5,所以a2+b2=c2=25,即462+b2=25,解得b=V5,-a=2b=2W5: ②根据ab=20,G=5,由余弦定理得c0s6=4%2-六（c2+2-2)2茹〔Qab-2)= 2ab 当且仅当a=b时，等号成立. 所以cos2C≥品即1-sin2C≥品可得sinC≤器结合snc>0,解得stnc≤- 8 因为△ABC的面积S=2 absinC=10sinC≤10X宽=5V厨 8 所以当a=b=2V5时，△ABC的面积取得最大值要 16。【答案】解：()因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天730之前到校的概率均为污， 故K8B,3。 从而P0-c·（③2，k01,23. 则P0X07P=1号，P0K2÷PX3 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 y 3 2 4 8 27 可 27 则随机变量X的数学期塑心灯3×子2： (2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为X, 则B3,3,且M作(K=3,=1)U(K2,Y-0, 由题意知事件(X=3,=1)与(X=2,=0)互斥，且事件(X=3)与=1)，事件X=2)与Y=0)均相互独立， 从而由(1)知：P00=P(=3,Y=1)U(K=2,Y=0) 第5页，共8项 =P({X=3,y=l)+P({X=2,Y=0) =P(X=3)P({Y=1)+P({X=2)P(Y=0) ×翁×易架 17.【答案】(I)证明：因为PB⊥平面ABCD,ACc平面ABCD,所以PB⊥AC,因为四边形ABCD为菱形，所 以BD⊥AC,又因为PB,BDC平面PBD,PBn BD=B, 所以AC⊥平面PBD,又因为ACc平面PAC,所以平面PAC1平面PBD; (2)解：设AC∩BD=E,取PD的中点F,连接EF,因为四边形ABCD为菱形，所以E为AC,BD的中点，因 为F为PD的中点，所以EF为△PBD的中位线，所以EF//PB,因为PB⊥平面ABCD,AC,BDC平面ABCD, 所以PB⊥AC,PB⊥BD,所以EF 1 AC,EF⊥BD,(I)已证，BD⊥AC, 以EB,EC,E为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oyz,因为PB⊥平面ABCD,AB,BCc平面 ABCD,所以PB⊥AC,PB⊥BC, 由题意得LABC=120,设菱形ABCD的边长为1，则E0.0,0,BC20,0,D(-0,0,c0,0,A(0,- 90 设P(经0，c>0,则a=(号，，=(，-罗由PA1PC,得证.P=2-音=0，解得t= (-受舍)， 所以P(吃.0，学，市=（经-，）.又D丽=(10,0，设C与B0所成角为0， 6 厕cos0=os<丽，D丽>上是疆61所以PC与BD所成角的余弦值为Y5 6 18.【答案】(I)解：由e-x-a≥0恒成立，得a≤e-x对vx∈R恒成立， 第6页，共8页 令g(x)=e*-x,g'(x)=e*-1, 当x>0,9'(x)>0,g(x)单调递增， 当x<0,g'(x)<0,gx)单调递减， g(x)nmn=g(0)=1, 故所求实数a的取值范围为（一∞，1刂； (2)证明：由(1)得e*≥x+1, 欲证cosx+tanx≤e,只需证cosx+tanx≤x+1即可， h(x)=cosx tanx-x-1, hsinsir(in cos2x cos2x 令F(x)=sinx+sin2x-1, 则易知Fx)在[0，]上单调递增，且F(O)<0,F(军)>0， 故存在x0∈(0，军)，使得Fo)=0, 当x∈[0，xo)时，F(x)<0,h'(x)≤0，h(x)单调递减 当xE(o,军]时，F)>0,h'()>0,h(幻单调递增， 又hO=0,h(原)=受-<0,0Wx=h0=0, 即当x∈[0，到时，h)≤0， 故当x∈[0，军时，cosx+tanx≤e. a=5 19.【答案】解：(1)由题意 + -1解得5 b=41 所以箱圆G的标准方程为号+花-1。 ②设P,),Q2,线段PQ的中点Goo),则x=5 @当x1=2,yh=一y2时，PQ的中垂线为x轴，过点A向中垂线作垂线；垂足M为点A(-5,0): ②当1≠时，直线PQ的斜案k=安受则k·碧=一碧 一2 所以k:%=-号 将x=代入椭圆方程得：y=土8 第7页，共8页 所以，-8<%<8，从而k<>罗， 线段PQ的中垂线方程为y+品=-c-苟)，即y=-关+是=一-)， 故线段PQ的中垂线过定点(1,0) 故垂足M轨迹是在以(-2,0)为圆心，半径为3的圆弧，其方程为(x+2)2+y2=9过点A与y=-(x-1) 垂直的直线为y=k(化+5)， 联拉方程组1少消去得w=器因为2>号 y=k(x+5) 所以w=-5+年(-5，-) 综上①， ②所得xME[-5,-), 所以垂足M轨迹方程是x+2)2+y2=9,且xE[-5,-) 第8页，共8页