3.4函数的应用（一）（分层作业·练知识）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习以“函数的应用（一）”为核心，通过A、B、C组及拓展分层设计，实现从单一知识点巩固到综合应用拔高的递进，适配新授课知识内化与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|一次/二次函数、分段函数、分式型函数、几何图形应用、对勾函数|基础选择填空为主，聚焦单一知识点直接应用，培养运算能力与模型意识| |B组|函数模型综合应用（利润、成本、行程问题）|多问解答题，融合多个函数模型，强化数学思维与逻辑推理| |C组|复杂情境下函数性质与最值探究|含探究性问题，需构造函数模型解决实际问题，发展创新意识| |拓展|高考真题及模拟题|对接高考题型，提升数学语言表达与综合应用能力|

分层作业 3.4函数的应用（一） 目 录 A组 巩固过关 知识点01利用一次、二次函数模型解决实际问题 知识点02 分段函数模型的应用 知识点03 分式型函数模型的应用 知识点04 几何图形中的实际应用 知识点05 集合相等 知识点06 对勾函数模型的综合应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )利用一次、二次函数模型解决实际问题 1．（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为元，则每天可卖出株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于元，则每株这种多肉植物的最低售价为（ ） A．元 B．元 C．元 D．5元 2．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（ ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 3．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 4．（25-26高一上·上海静安·阶段检测）某创业团队拟生产两种产品，根据市场预测，产品的利润与投资额成正比（如图1），产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元） (1)分别将两种产品的利润表示为投资额的函数； (2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入两种产品的生产.设投入产品万元，求：生产两种产品能获得的利润的最大值. ( 知识点0 2 )分段函数模型的应用 1（25-26高一上·陕西·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元． (1)要使生产该产品获得的利润为7200元，求． (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值． 2．（24-25高一上·广东惠州·阶段检测）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. (1)设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式 (2)哪种方案较为合理？并说明理由. 3．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元（2019年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元． (1)写出y与x之间的函数关系式，求该设备在第几年的盈利总额为30万元． (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 4．（25-26高一上·山西太原·期中）某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足.假设每日生产的蛋糕全部售完. (1)将每日利润表示为销售单价的函数； (2)当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？ (3)当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值. ( 知识点0 3 )分式型函数模型的应用 1．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）2025年江苏城市足球联赛期间，沭阳某官方授权商家销售赛事定制纪念T恤.根据销售量不同，原材料采购成本与总利润的计算方式有所差异，总利润（单位：元）与销售量（单位：件，为正整数）的函数关系为： (1)若商家某次销售100件纪念T恤，求此次总利润； (2)当销售量时，求商家销售该纪念T恤总利润最小值，并指出此时的销售量； (3)当总利润不低于1000元时，求销售量至少为多少件. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个项目，该项目可以把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不盈利，国家将给予补偿. (1)当时，判断该项目能否盈利.如果盈利，求出最大利润；如果该项目不盈利，要使该单位不亏损，则国家需要补偿资金的范围是多少元？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 3．（25-26高一上·上海·期中）国内某知名玩偶公司出售一款2025年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元．若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，若购进30万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为 (1)当购进产品数量为10万件、25万件、40万件时，利润分别是多少？ (2)该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 4．（25-26高一上·河南郑州·期中）2025年11月16日郑州将举办一场有特色的马拉松——郑州马拉松，郑州马拉松中“招募姓氏旗手、发放姓氏奖牌”的“姓氏马拉松”的口号吸引了全国各地马拉松爱好者前来参加.郑州市某文旅公司趁机准备设计和出售一款融入了“少林功夫”和“豫剧表演”等各种河南元素的姓氏奖牌产品，前期设计费和宣传费需要固定投入100万元．经调研发现当该套产品销售量不超过20万件时，进价是每套产品30元，若以50元的单价出售，销量不超过10万件；且在售价50元的基础上，每降价1元，销量在10万件的基础上增加1万件；当销售量在20万件以上时，则销售额（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当销售量为8万件时，利润是多少？ (2)求利润（万元）关于销售量（万件）的函数解析式； (3)销售量是多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ ( 知识点0 4 )几何图形中的实际应用 1．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·天津南开·期中）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细.现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位：）的解析式为__________. 3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）为了更好地美化校园，某校计划修建一个如图所示的总面积为120平方米的花园.图中阴影部分是宽度为1米的小路，中间三个矩形区域将种植鲜花.图中区域的形状､大小完全相同.设矩形花园的一条边长为米，鲜花种植的总面积为平方米. (1)用含有的代数式表示，并求出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大，并求出最大面积. 4．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）某装饰公司准备做一个如图所示的装饰板，其中，图中的两个相同的矩形构成一个十字形区域，现计划在正方形与四个空角（图中四个全等的等腰直角三角形）上用特殊的装饰材料，材料费为，在四个相同的矩形（图中的阴影部分）上用普通装饰材料，材料费为．设，整个装饰板的总费用为（单位：元）． (1)请用表示，并写出的取值范围． (2)当为何值时，总费用最小？并求出这个最小值． ( 知识点0 5 )对勾函数模型的综合应用 1．（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）（多选）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（ ） A．2 B．14 C． D． 2．（25-26高一上·湖北武汉·期中）（多选）函数称为“对勾函数”，类比研究“对勾函数”的图象和性质的方法，研究函数的图象和性质，以下关于函数的结论正确的有（ ） A．方程有唯一根 B．函数在区间单调递增 C．函数在区间的值域为 D．方程有两个不同的根 3．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）我们知道，当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数，其中若，则函数值域为__________；若最大值为，则的取值范围__________. 4．（24-25高一上·江苏苏州·期中）小明同学在学习“对勾函数”的图象与性质后，研究了函数，发现：函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增． (1)证明：是上的单调递增函数； (2)若对任意，恒成立，求实数m的最大值； (3)是否存在正实数a，b，使得函数，的值域为？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由． 1．（25-26高一上·天津·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东深圳·期中）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（ ） A．60 B．100 C．200 D．600 3．（25-26高一上·河北沧州·期末）（多选）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元)，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（ ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 4．（24-25高一上·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元.假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 5．（25-26高二下·上海·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元. (1)求关于的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） 6．（24-25高一上·福建·期中）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为180万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大利润是多少？ 7．（2026高三·全国·专题练习）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 8．（25-26高一上·山西忻州·期末）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）. (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 9．（25-26高一上·上海·期中）如图，为了开展劳动教育，某校在农庄内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为米，宽为米． (1)若所用篱笆总长为10米，求育苗区面积S关于长的函数表达式（注明定义域）； (2)若育苗区面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值，并指出此时的取值； (3)若使用的篱笆总长为12米，求的最小值． 1．（25-26高三上·安徽·阶段检测）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择，某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速，经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示： 0 20 40 80 0 2400 4400 12000 国道上该汽车每小时耗电量与速度的函数模型为：. (1)当时，求出该函数模型的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从地行驶到地，其中高速上行驶，国道上行驶，若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 2．（23-24高一上·上海·阶段检测）如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H． (1)设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域. (2)求：矩形的面积的最大值． 3．（23-24高一上·云南昆明·阶段检测）由于函数的图象形状如勾，因此我们称形如“”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在上是减函数，在上是增函数． (1)已知函数，，利用题干性质，求函数的单调区间和值域； (2)若对于，都有恒成立，求m的取值范围． 4．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段检测）阅读一：称为对勾函数，当时，单调性如下：在上单调递减，在上单调递增；称为飘带函数，当时为增函数． 阅读二：若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质．若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制． (1)设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集； (2)设为上具有性质的偶函数．若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数．若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1．（2015·北京·高考真题）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 年月日 年月日 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ） A．升 B．升 C．升 D．升 2．（2005·湖南·高考真题）某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ） A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51 3．（2011·北京·高考真题）根据统计，一名工作组装第4件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是（ ） A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16 4．（2018·浙江·高考真题）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时，___________，___________． 5．（2019·北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 6．（2018·上海·高考真题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义. 7．（2000·全国·高考真题）某蔬菜基地种黄瓜，从历年市场行情可知，从二月一日起的天内，黄瓜市场售价（单位：元/千克）与上市时间（第天）的关系可用如图所示的一条折线表示，黄瓜的种植成本（单位：元/千克）与上市时间的关系可用如图所示的抛物线表示． (1)写出图表示的市场售价与上市时间的函数关系式及图表示的种植成本与上市时间的函数关系式； (2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市能使黄瓜纯收益最大？ 8．（2011·湖北·高考真题）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式； （2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）． 9．（2013·上海·高考真题）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是元． （1）求证：生产千克该产品所获得的利润为元； （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润． 10．（2012·江苏·高考真题）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 11．（2011·湖南·高考真题）如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时． （1）写出的表达式 （2）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.4函数的应用（一） 参考答案 ( 知识点0 1 )利用一次、二次函数模型解决实际问题 1．C；2．D 3．【答案】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 4．【答案】（1）由已知设， 又函数过点， 则，解得，即 函数过点， 则，解得，即； （2）设投入产品万元，投入产品万元，， 则利润， 所以当，即时利润取最大值为， 即最大利润为4.0625万元. ( 知识点0 2 )分段函数模型的应用 1．【答案】（1）由， 得， 解得或，因为，所以； （2）生产该产品获得的利润为，． 令，则， 所以当时，利润取得最大值，最大值为730000， 故该厂以的生产速度生产时，利润有最大值，最大值为730000元． 2．【答案】(1) (2)方案二合理，理由如下： 方案一：， 当时，总盈利额取得最大值90万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：由（1）可得年平均利润额为 ， 当且仅当即时等号成立， 即当时，年平均盈利额最大为20万元，此时总盈利额万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 综上，两种方案获利都是110万元，但方案一需要5年，而方案二仅需要4年， 故方案二合理. 3．【答案】（1）， 解方程，得或， 故在第4年或16年盈利总额为30万元； （2）①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到2028年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 4．【答案】（1）由题意得，. （2）由（1）得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取得最大值700， 所以，当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元. （3）由（1）得 ， 当且仅当， 即当元时，取得最大值20元. ( 知识点0 3 )分式型函数模型的应用 1．【答案】（1）因为，所以总利润为元. （2）当时，总利润为元. 当且仅当即件，满足， 所以总利润最小值为元，此时的销售量为件； （3）当时， 总利润为，不符合题意； 当时，由题意总利润为，即， 所以，解得或（与矛盾舍去），所以； 综上，当总利润不低于1000元时，销售量至少为件. 2．【答案】（1）当时，设该项目获利为， 则， 所以当时，，因此该单位不会获利， 当时，取得最大值-5000， 当时，取得最小值-20000， 所以国家每月补贴的范围是5000元到20000元. （2）由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 ①当时，， 所以当时，取得最小值240； ②当时，， 当且仅当，即时，取得最小值200， 因为200240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 3．【答案】（1）设利润为 当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，， 所以 当， 当， 当． （2）由（1）知，当时，， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，当时， ， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是810万元． 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是810万元． 4．【答案】（1）依题意，当销售量为8万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，则销售单价元， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 则时，利润最大，最大利润是100万元； 当时，， 则时，利润最大，最大利润是125万元； 当时，， 令且， 则 , 因为，所以， 因为，则，， 则，从而， 则，即， 所以，当时单调递减，则， 因为，所以当销售量为15万件时，利润最大，最大利润为125万元. ( 知识点0 4 )几何图形中的实际应用 1．D；2． 3．【答案】（1）设矩形花园的长为米,根据题意可得，所以，，又，所以， 又阴影部分是宽度为1米的小路，可得，所以，； （2）由（1）知，，， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 4．【答案】（1）因为，， 所以正方形的面积为， 四个空角（图中四个全等的等腰直角三角形）的总面积为， 四个相同的矩形的总面积为， 则． 因为，所以． 所以，，. （2）因为，， 所以当时，y取得最小值2800， 所以，当时，总费用的最小值为2800元． ( 知识点0 5 )对勾函数模型的综合应用 1．AC；2．ABD；3．； 4．【答案】（1）函数，， ， 当时，，则，， 因此，所以是上的单调递增函数. （2）对任意，恒成立， 即，，而函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，则，解得，， 所以实数m的最大值为4. （3）由幂函数在上单调递增，得函数在上单调递增， 若存在正实数a，b，使得函数，的值域为， 则，正实数是方程，即的两个不等的正根， ，由，得，即， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上的最小值， 因此方程无实数解，即方程无实数解， 所以不存在存在正实数a，b，使得函数，的值域为. 1．C；2．B；3．BC 4．【答案】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 5．【答案】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 6．【答案】（1）当时，. 当时，. 所以. （2）当时,，当时，万元. 当时,万元. 当且仅当，即时，上式等号成立. 又，所以当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元. 7．【答案】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元. 由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时， 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 8．【答案】（1）甲产品的投入为（单位：万元），则乙产品的投入为（单位：万元）， 则乙产品的利润 当时，， 所以， 当时，， 所以， 综上所述，. （2）当时，令，则，， 则， 当时，函数有最大值， 即当时，函数有最大值. 当时， ， 当且仅当，即 因为. 所以当甲投入万元，乙投入万元时，才能使总利润最大，最大利润是万元. 9．【答案】（1）由已知，由得，所以， ， 所以函数式为； （2）由题意，篱笆总长为，当且仅当即时取等号， 所以时，所用篱笆总长取得最小值12米； （3）由已知， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以时，取得最小值． 1．【答案】（1）， 由表中数据可得， 解得， ． （2）高速路段长，所用时间为， 则所耗电量为， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， ， 国道路段，所用时间为， 则所耗电量为， ，当时，， 当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，该车从地行驶到地的总耗电量最少，最少为． 2．【答案】（1）如图，作，交于，交于， 因为，，所以，， 由得到，所以， 所以，故，解得， 所以， （2）设，由二次函数性质得当时， 在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 当时，在上单调递减，当时，， 综上当时，，当时，. 3．【答案】（1）函数，，令，则， 由对勾函数性质知，函数在上单调递减，在上单调递增， 而在上单调递增，又当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增，，， 所以函数的递减区间是，递增区间是，值域是. （2）当时，， 令，显然函数在上单调递增， 则当时，，于是当时，取得最小值5， 因为对，都有成立，则， 所以m的取值范围是. 4．【答案】（1）设，则， 由函数为奇函数，故，即， 则，， 函数为奇函数，满足题意， 则有，设，， 解得或（舍） 即，解得，故； （2）设，则，函数为偶函数， 故，故，， ，即， 设，，则， 函数在上单调递减，在上单调递增，故， ， 即，函数在上单调递减， 故，故； （3）根据（1）（2）知：， 当时，，设，则，， 函数单调递增，， 时，，设，则，单调递增， 故，函数在上的偶函数， 故， 综上所述：， ， 当时，即，即，解得； 当时，即，即，成立，则； 当时，即，即，解得； 综上所述： 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握. 1．B；2．B；3．D；4．；；5．130；15. 6．【答案】（1）根据题意，即， 当时，，不满足题意； 当时，，化简得， 即，∴或（舍），∴， 综上，当时，公交群体人均通勤时间少于自驾群体人均通勤时间； （2）由题意，， 当时，， 由一次函数图象性质可知，在时单调递减； 当时，， 由二次函数图象性质可知，当时，单调递减， 当时，单调递增； 综上，， 在上单调递减，在上单调递增， 说明当自驾群体范围小于时，人均通勤时间随自驾群体的增加而减少； 当自驾群体占比为时，人均通勤时间最少； 当自驾群体范围超过时，人均通勤时间随自驾群体的增加而增加. 7．【答案】（1）当时，设，则，解得：，； 当时，设，则，解得：，； 综上所述：； 设， ，解得：，. （2）设从二月一日起的第天的纯收益为，由题意知：， 即 当时，， 当时，在区间上取得最大值； 当时，， 当时，在区间上取得最大值； 综上可知：当时，取得最大值，最大值为， 即从二月一日开始的第天上市，能使黄瓜纯收益最大． 8．【答案】（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b 再由已知得，解得 故函数v（x）的表达式为 （2）依题并由（1）可得 当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200 当20≤x≤200时， 当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立． 所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值． 综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时． 答：（1）函数v（x）的表达式 （2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时． 9．【答案】（1）生产a千克该产品所用的时间是小时， ∵每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，∴获得的利润为100（5x+1﹣）×元． 因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元． （2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+），1≤x≤10． 设f（x）=，1≤x≤10． 则f（x）=，当且仅当x=6取得最大值． 故获得最大利润为=457500元． 考点：函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值 点评：正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键 10．【答案】（1）令y＝0，得kx－（1＋k2）x2＝0， 由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0， 故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． （2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标 ⇔存在k＞0，使3.2＝ka－（1＋k2）a2成立 ⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0 ⇔a≤6. 所以当a不超过6（千米）时，可击中目标． 考点：函数模型的选择与应用 11．【答案】（1）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为， 故. （2）由（1）知，当时， 当时， 故． (1)当时，是关于的减函数.故当时，． (2)当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，． 15 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.4函数的应用（一） 目 录 A组 巩固过关 知识点01利用一次、二次函数模型解决实际问题 知识点02 分段函数模型的应用 知识点03 分式型函数模型的应用 知识点04 几何图形中的实际应用 知识点05 集合相等 知识点06 对勾函数模型的综合应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )利用一次、二次函数模型解决实际问题 1．（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为元，则每天可卖出株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于元，则每株这种多肉植物的最低售价为（ ） A．元 B．元 C．元 D．5元 【答案】C 【分析】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】设每株多肉植物的售价为元，则每天销量为株， 每天的销售额为， ，即，解得， 每株这种多肉植物的最低售价为元，故C正确． 故选：C． 2．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（ ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【答案】D 【分析】设该款纪念品降价元，根据题意得到利润，根据二次函数的最值即可得到答案. 【详解】依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 故选：D. 3．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)元，元 (3) 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 4．（25-26高一上·上海静安·阶段检测）某创业团队拟生产两种产品，根据市场预测，产品的利润与投资额成正比（如图1），产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元） (1)分别将两种产品的利润表示为投资额的函数； (2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入两种产品的生产.设投入产品万元，求：生产两种产品能获得的利润的最大值. 【答案】(1)，； (2)最大利润为4.0625万元. 【分析】（1）根据已知条件设函数解析式，代入点坐标即可得函数解析式； （2）根据已知可得利润与产品投资额的关系式，结合二次函数性质可得最值. 【详解】（1）由已知设， 又函数过点， 则，解得，即 函数过点， 则，解得，即； （2）设投入产品万元，投入产品万元，， 则利润， 所以当，即时利润取最大值为， 即最大利润为4.0625万元. ( 知识点0 2 )分段函数模型的应用 1（25-26高一上·陕西·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元． (1)要使生产该产品获得的利润为7200元，求． (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值． 【答案】(1) (2)，最大值为730000元 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）借助二次函数性质计算即可得. 【详解】（1）由， 得， 解得或，因为，所以； （2）生产该产品获得的利润为，． 令，则， 所以当时，利润取得最大值，最大值为730000， 故该厂以的生产速度生产时，利润有最大值，最大值为730000元． 2．（24-25高一上·广东惠州·阶段检测）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. (1)设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式 (2)哪种方案较为合理？并说明理由. 【答案】(1) (2)方案二合理，理由如下： 方案一：， 当时，总盈利额取得最大值90万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：由（1）可得年平均利润额为 ， 当且仅当即时等号成立， 即当时，年平均盈利额最大为20万元，此时总盈利额万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 综上，两种方案获利都是110万元，但方案一需要5年，而方案二仅需要4年， 故方案二合理. 【分析】（1）利用已知条件即可写出与的函数关系式； （2）分别写出两种方案的总利润以及所需要的时间，即可得出结论. 【详解】（1）根据题意可得， 则方案一中与的函数关系式为：； （2）略 3．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元（2019年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元． (1)写出y与x之间的函数关系式，求该设备在第几年的盈利总额为30万元． (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 【答案】(1)，从第3年开始该设备开始全年盈利； (2)方案①比较合理，理由见解析 【分析】（1）确定，再解方程即可. （2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案. 【详解】（1）， 解方程，得或， 故在第4年或16年盈利总额为30万元； （2）①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到2028年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 4．（25-26高一上·山西太原·期中）某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足.假设每日生产的蛋糕全部售完. (1)将每日利润表示为销售单价的函数； (2)当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？ (3)当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值. 【答案】(1)， (2)当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元 (3)，最大值20 【分析】（1）由题意即可直接求解； （2）由（1）结合二次函数单调性即可求解； （3）由（1）得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，. （2）由（1）得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取得最大值700， 所以，当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元. （3）由（1）得 ， 当且仅当， 即当元时，取得最大值20元. ( 知识点0 3 )分式型函数模型的应用 1．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）2025年江苏城市足球联赛期间，沭阳某官方授权商家销售赛事定制纪念T恤.根据销售量不同，原材料采购成本与总利润的计算方式有所差异，总利润（单位：元）与销售量（单位：件，为正整数）的函数关系为： (1)若商家某次销售100件纪念T恤，求此次总利润； (2)当销售量时，求商家销售该纪念T恤总利润最小值，并指出此时的销售量； (3)当总利润不低于1000元时，求销售量至少为多少件. 【答案】(1)300元； (2)总利润最小值为元，销售量为件； (3)件. 【分析】（1）直接代入总利润函数求值即可. （2）根据基本不等式求解最值即可. （3）结合一次函数的性质以及一元二次不等式的解法解分段不等式即可. 【详解】（1）因为，所以总利润为元. （2）当时，总利润为元. 当且仅当即件，满足， 所以总利润最小值为元，此时的销售量为件； （3）当时， 总利润为，不符合题意； 当时，由题意总利润为，即， 所以，解得或（与矛盾舍去），所以； 综上，当总利润不低于1000元时，销售量至少为件. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个项目，该项目可以把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不盈利，国家将给予补偿. (1)当时，判断该项目能否盈利.如果盈利，求出最大利润；如果该项目不盈利，要使该单位不亏损，则国家需要补偿资金的范围是多少元？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【答案】(1)不盈利，5000元到20000元 (2)400吨 【分析】（1）当时，该项目获利，说明不获利；当，时，取得最大值，要使该单位不亏损，从而得国家需要补偿资金的范围； （2）分段讨论，①当时，求出的最小值；②当时，求出的最小值；比较得每月处理量为多少吨时，能使每吨的平均处理成本最低． 【详解】（1）当时，设该项目获利为， 则， 所以当时，，因此该单位不会获利， 当时，取得最大值-5000， 当时，取得最小值-20000， 所以国家每月补贴的范围是5000元到20000元. （2）由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 ①当时，， 所以当时，取得最小值240； ②当时，， 当且仅当，即时，取得最小值200， 因为200240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 3．（25-26高一上·上海·期中）国内某知名玩偶公司出售一款2025年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元．若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，若购进30万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为 (1)当购进产品数量为10万件、25万件、40万件时，利润分别是多少？ (2)该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)万元，万元，万元 (2)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是810万元 【分析】（1）根据给定条件，按、、分段求出函数关系即可； （2）由（1）分段，结合函数单调性、二次函数及基本不等式求出最大值并比较大小即得． 【详解】（1）设利润为 当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，， 所以 当， 当， 当． （2）由（1）知，当时，， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，当时， ， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是810万元． 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是810万元． 4．（25-26高一上·河南郑州·期中）2025年11月16日郑州将举办一场有特色的马拉松——郑州马拉松，郑州马拉松中“招募姓氏旗手、发放姓氏奖牌”的“姓氏马拉松”的口号吸引了全国各地马拉松爱好者前来参加.郑州市某文旅公司趁机准备设计和出售一款融入了“少林功夫”和“豫剧表演”等各种河南元素的姓氏奖牌产品，前期设计费和宣传费需要固定投入100万元．经调研发现当该套产品销售量不超过20万件时，进价是每套产品30元，若以50元的单价出售，销量不超过10万件；且在售价50元的基础上，每降价1元，销量在10万件的基础上增加1万件；当销售量在20万件以上时，则销售额（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当销售量为8万件时，利润是多少？ (2)求利润（万元）关于销售量（万件）的函数解析式； (3)销售量是多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)60万元 (2) (3)销售量为15万件，最大利润为125万元 【分析】（1）依题意，直接列式计算即可； （2）分为，，三种情况求解； （3）分段讨论，结合函数的单调性，求解最大值. 【详解】（1）依题意，当销售量为8万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，则销售单价元， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 则时，利润最大，最大利润是100万元； 当时，， 则时，利润最大，最大利润是125万元； 当时，， 令且， 则 , 因为，所以， 因为，则，， 则，从而， 则，即， 所以，当时单调递减，则， 因为，所以当销售量为15万件时，利润最大，最大利润为125万元. ( 知识点0 4 )几何图形中的实际应用 1．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，矩形的面积为．取的中点，连接，交于．由等腰三角形求得，由三角形相似表示出，从而得到，然后得到，通过配方法求得其最大值. 【详解】设，矩形的面积为． 取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 故选： 2．（25-26高一上·天津南开·期中）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细.现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位：）的解析式为__________. 【答案】 【分析】设，则可表示出矩形的面积，再结合分类讨论即可得. 【详解】设，则， 由题意可得且，故， 当时，由，可取，则得； 当时，不可取，又，则； 综上，可得. 故答案为：. 3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）为了更好地美化校园，某校计划修建一个如图所示的总面积为120平方米的花园.图中阴影部分是宽度为1米的小路，中间三个矩形区域将种植鲜花.图中区域的形状､大小完全相同.设矩形花园的一条边长为米，鲜花种植的总面积为平方米. (1)用含有的代数式表示，并求出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大，并求出最大面积. 【答案】(1)，； (2)，最大面积为. 【分析】 （1）设矩形花园的长为米，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为米,根据题意可得，所以，，又，所以， 又阴影部分是宽度为1米的小路，可得，所以，； （2）由（1）知，，， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 4．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）某装饰公司准备做一个如图所示的装饰板，其中，图中的两个相同的矩形构成一个十字形区域，现计划在正方形与四个空角（图中四个全等的等腰直角三角形）上用特殊的装饰材料，材料费为，在四个相同的矩形（图中的阴影部分）上用普通装饰材料，材料费为．设，整个装饰板的总费用为（单位：元）． (1)请用表示，并写出的取值范围． (2)当为何值时，总费用最小？并求出这个最小值． 【答案】(1)， (2)当时，取得最小值2800 【分析】（1）由题知，进而计算对应面积，再结合对应面积的材料费求解即可； （2）结合（1），根据二次函数最值求解即可. 【详解】（1）解：（1）因为，， 所以正方形的面积为， 四个空角（图中四个全等的等腰直角三角形）的总面积为， 四个相同的矩形的总面积为， 则． 因为，所以． 所以，，. （2）解：因为，， 所以当时，y取得最小值2800， 所以，当时，总费用的最小值为2800元． ( 知识点0 5 )对勾函数模型的综合应用 1．（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）（多选）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（ ） A．2 B．14 C． D． 【答案】AC 【分析】根据题设“对勾函数”的性质讨论参数a的范围，结合最值之差列方程求参数，即可得答案. 【详解】由题意，若时，有，可得，满足； 若时，有： ，则，可得，不满足； ，则，可得（舍）或， 所以，此时，满足； 若时，有，可得，不满足； 综上，或. 故选：AC 2．（25-26高一上·湖北武汉·期中）（多选）函数称为“对勾函数”，类比研究“对勾函数”的图象和性质的方法，研究函数的图象和性质，以下关于函数的结论正确的有（ ） A．方程有唯一根 B．函数在区间单调递增 C．函数在区间的值域为 D．方程有两个不同的根 【答案】ABD 【分析】先分析函数性质，根据函数性质及零点存在性定理可判断A；根据函数性质可判断B，根据函数单调性求解可判断C，由化简可得，计算可判断D. 【详解】函数的定义域为， 当时，单调递减，单调递减， 所以函数在区间上单调递减； 当时，设， 则， 当时，，则，， 所以函数在区间上单调递减； 当，，则，， 所以函数在区间单调递增； 综上，函数在区间上单调递减，在区间上单调递减，在区间单调递增； 对于A，当时，因为，， 所以函数在区间上有唯一零点， 当时，，所以函数在区间没有零点， 综上，方程有唯一根，故A正确； 对于B，由函数性质可知函数在区间单调递增，故B正确； 对于C，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，， 所以函数在区间的值域为，故C错误； 对于D，方程，即，有， 即，， 化简得，即方程有两个不同的根，故D正确. 故选：ABD 3．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）我们知道，当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数，其中若，则函数值域为__________；若最大值为，则的取值范围__________. 【答案】； 【分析】应用对勾函数的单调性得出函数的值域，再应用绝对值不等式得出，最后应用对勾函数的最小值计算求解. 【详解】若，函数， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即得，则函数， 当时，当或时， 则函数值域为； ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即. 故答案为：，； 4．（24-25高一上·江苏苏州·期中）小明同学在学习“对勾函数”的图象与性质后，研究了函数，发现：函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增． (1)证明：是上的单调递增函数； (2)若对任意，恒成立，求实数m的最大值； (3)是否存在正实数a，b，使得函数，的值域为？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)4； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）利用增函数的定义推理证明. （2）根据给定条件，分离参数，利用函数的单调性求出最小值即可. （3）假定存在，构造方程，借助函数在上的最小值推理判断即得. 【详解】（1）函数，， ， 当时，，则，， 因此，所以是上的单调递增函数. （2）对任意，恒成立， 即，，而函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，则，解得，， 所以实数m的最大值为4. （3）由幂函数在上单调递增，得函数在上单调递增， 若存在正实数a，b，使得函数，的值域为， 则，正实数是方程，即的两个不等的正根， ，由，得，即， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上的最小值， 因此方程无实数解，即方程无实数解， 所以不存在存在正实数a，b，使得函数，的值域为. 1．（25-26高一上·天津·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得到销售收入且，再由求范围. 【详解】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，. 故选：C 2．（24-25高一上·广东深圳·期中）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（ ） A．60 B．100 C．200 D．600 【答案】B 【分析】首先求得分段函数的解析式，然后分类讨论求解不等式即可确定车流密度的取值． 【详解】解：当时，设，则，解得 于是 设车流量为q，则 当时，,此时，函数在区间上是增函数，恒有； 当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数， 因此恒有，等号成立当且仅当； 综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆． 故选：B． 3．（25-26高一上·河北沧州·期末）（多选）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元)，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（ ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【分析】根据题意列出分段函数解析式判断A，分段函数分段求最值再比较判断B，令，解分段函数不等式即可判断CD. 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 4．（24-25高一上·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元.假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 5．（25-26高二下·上海·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元. (1)求关于的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） 【答案】(1) (2)使用7年后年平均盈利额最大，最大值为22万元 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 6．（24-25高一上·福建·期中）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为180万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1). (2)当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元. 【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）分段分别利用二次函数配方、基本不等式求最值，比较大小即可得解. 【详解】（1）当时，. 当时，. 所以. （2）当时,，当时，万元. 当时,万元. 当且仅当，即时，上式等号成立. 又，所以当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元. 7．（2026高三·全国·专题练习）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 【答案】(1)， (2)（i）万元；（ii）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元 【分析】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，，所获利润分别为万元、万元，可设，.过点，将此点代入函数得到，从而得到的表达式，过点，将此点代入函数得到，从而得到的解析式； （2）（ⅰ）根据和的解析式求出，，从而得到总利润的值； （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元.则，.令，，从而得到关于的二次函数，利用二次函数的图像和性质得到该企业获得的最大利润. 【详解】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元. 由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时， 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 8．（25-26高一上·山西忻州·期末）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）. (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)甲投入万元，乙投入万元时，利润最大是万元 【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可； （2）分情况求出各段的最大值，利用换元法结合二次函数的性质、基本不等式计算最值并比较即可. 【详解】（1）甲产品的投入为（单位：万元），则乙产品的投入为（单位：万元）， 则乙产品的利润 当时，， 所以， 当时，， 所以， 综上所述，. （2）当时，令，则，， 则， 当时，函数有最大值， 即当时，函数有最大值. 当时， ， 当且仅当，即 因为. 所以当甲投入万元，乙投入万元时，才能使总利润最大，最大利润是万元. 9．（25-26高一上·上海·期中）如图，为了开展劳动教育，某校在农庄内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为米，宽为米． (1)若所用篱笆总长为10米，求育苗区面积S关于长的函数表达式（注明定义域）； (2)若育苗区面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值，并指出此时的取值； (3)若使用的篱笆总长为12米，求的最小值． 【答案】(1)； (2)时，所用篱笆总长取得最小值12米； (3)． 【分析】（1）用表示出，再计算面积，并由边长为正得定义域； （2）利用基本不等式求最小值； （3）结合“1”的代换，利用基本不等式求最小值． 【详解】（1）由已知，由得，所以， ， 所以函数式为； （2）由题意，篱笆总长为，当且仅当即时取等号， 所以时，所用篱笆总长取得最小值12米； （3）由已知， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以时，取得最小值． 1．（25-26高三上·安徽·阶段检测）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择，某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速，经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示： 0 20 40 80 0 2400 4400 12000 国道上该汽车每小时耗电量与速度的函数模型为：. (1)当时，求出该函数模型的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从地行驶到地，其中高速上行驶，国道上行驶，若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1) (2)在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为，总耗电量最少，最少为 【分析】（1）代入表格中数据，通过解方程即可求出对应函数表达式； （2）对高速路段和国道路段分别求出耗电量和速度的关系式，结合对勾函数和二次函数的性质分别求出最小值即可． 【详解】（1）， 由表中数据可得， 解得， ． （2）高速路段长，所用时间为， 则所耗电量为， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， ， 国道路段，所用时间为， 则所耗电量为， ，当时，， 当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，该车从地行驶到地的总耗电量最少，最少为． 2．（23-24高一上·上海·阶段检测）如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H． (1)设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域. (2)求：矩形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)当时，，当时， 【分析】（1）利用相似得到矩形边长，再求解面积解析式即可. （2）利用二次函数性质分析解析式，求解最值即可. 【详解】（1）如图，作，交于，交于， 因为，，所以，， 由得到，所以， 所以，故，解得， 所以， （2）设，由二次函数性质得当时， 在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 当时，在上单调递减，当时，， 综上当时，，当时，. 3．（23-24高一上·云南昆明·阶段检测）由于函数的图象形状如勾，因此我们称形如“”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在上是减函数，在上是增函数． (1)已知函数，，利用题干性质，求函数的单调区间和值域； (2)若对于，都有恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)递减区间是，递增区间是，值域是； (2). 【分析】（1）换元并利用对勾函数的单调性求解即得. （2）变形函数式，再利用对勾函数单调性求出最小值即得. 【详解】（1）函数，，令，则， 由对勾函数性质知，函数在上单调递减，在上单调递增， 而在上单调递增，又当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增，，， 所以函数的递减区间是，递增区间是，值域是. （2）当时，， 令，显然函数在上单调递增， 则当时，，于是当时，取得最小值5， 因为对，都有成立，则， 所以m的取值范围是. 4．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段检测）阅读一：称为对勾函数，当时，单调性如下：在上单调递减，在上单调递增；称为飘带函数，当时为增函数． 阅读二：若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质．若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制． (1)设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集； (2)设为上具有性质的偶函数．若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数．若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据奇函数确定，再解不等式即可； （2）设，根据函数为偶函数，得到，不等式转化为，根据函数的值域和单调性计算最值得到答案； （3）确定函数的解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为，再考虑，，三种情况，分别计算综合得到答案. 【详解】（1）设，则， 由函数为奇函数，故，即， 则，， 函数为奇函数，满足题意， 则有，设，， 解得或（舍） 即，解得，故； （2）设，则，函数为偶函数， 故，故，， ，即， 设，，则， 函数在上单调递减，在上单调递增，故， ， 即，函数在上单调递减， 故，故； （3）根据（1）（2）知：， 当时，，设，则，， 函数单调递增，， 时，，设，则，单调递增， 故，函数在上的偶函数， 故， 综上所述：， ， 当时，即，即，解得； 当时，即，即，成立，则； 当时，即，即，解得； 综上所述： 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握. 1．（2015·北京·高考真题）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 年月日 年月日 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【详解】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升.而这段时间内行驶的里程数千米.所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B. 考点：平均变化率. 2．（2005·湖南·高考真题）某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ） A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51 【答案】B 【详解】主要考查构建函数模型，利用导数解决生活中的优化问题． 解：设甲地销售辆，依题意L1+L2=5.06－0.15+2（15－）==，所以当取整数10时，最大利润为45.6，故选B． 3．（2011·北京·高考真题）根据统计，一名工作组装第4件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是（ ） A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16 【答案】D 【详解】由条件可知，时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即，，选D． 4．（2018·浙江·高考真题）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时，___________，___________． 【答案】； 【分析】将代入解方程组可得、值. 【详解】 【点睛】实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口． 5．（2019·北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 【答案】130；15. 【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值. 【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元, 元时,李明得到的金额为,符合要求. 元时,有恒成立,即,即元. 所以的最大值为. 【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 6．（2018·上海·高考真题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】比较不同通勤方式的人均通勤时间来确定范围，再根据加权平均数求得人均通勤时间的表达式，最后分析其单调性. 【详解】（1）根据题意，即， 当时，，不满足题意； 当时，，化简得， 即，∴或（舍），∴， 综上，当时，公交群体人均通勤时间少于自驾群体人均通勤时间； （2）由题意，， 当时，， 由一次函数图象性质可知，在时单调递减； 当时，， 由二次函数图象性质可知，当时，单调递减， 当时，单调递增； 综上，， 在上单调递减，在上单调递增， 说明当自驾群体范围小于时，人均通勤时间随自驾群体的增加而减少； 当自驾群体占比为时，人均通勤时间最少； 当自驾群体范围超过时，人均通勤时间随自驾群体的增加而增加. 7．（2000·全国·高考真题）某蔬菜基地种黄瓜，从历年市场行情可知，从二月一日起的天内，黄瓜市场售价（单位：元/千克）与上市时间（第天）的关系可用如图所示的一条折线表示，黄瓜的种植成本（单位：元/千克）与上市时间的关系可用如图所示的抛物线表示． (1)写出图表示的市场售价与上市时间的函数关系式及图表示的种植成本与上市时间的函数关系式； (2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市能使黄瓜纯收益最大？ 【答案】(1)， (2)从二月一日开始的第天上市，能使黄瓜纯收益最大 【分析】（1）采用待定系数法假设一次函数和二次函数解析式，代入已知点即可求得结果； （2）收益为，结合二次函数最值可求得结果. 【详解】（1）当时，设，则，解得：，； 当时，设，则，解得：，； 综上所述：； 设， ，解得：，. （2）设从二月一日起的第天的纯收益为，由题意知：， 即 当时，， 当时，在区间上取得最大值； 当时，， 当时，在区间上取得最大值； 综上可知：当时，取得最大值，最大值为， 即从二月一日开始的第天上市，能使黄瓜纯收益最大． 8．（2011·湖北·高考真题）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式； （2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）． 【答案】（1） （2）3333辆/小时 【详解】（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b 再由已知得，解得 故函数v（x）的表达式为 （2）依题并由（1）可得 当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200 当20≤x≤200时， 当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立． 所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值． 综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时． 答：（1）函数v（x）的表达式 （2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时． 9．（2013·上海·高考真题）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是元． （1）求证：生产千克该产品所获得的利润为元； （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润． 【答案】（1）见解析（2）甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元 【详解】试题分析：1）生产a千克该产品所用的时间是小时， ∵每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，∴获得的利润为100（5x+1﹣）×元． 因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元． （2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+），1≤x≤10． 设f（x）=，1≤x≤10． 则f（x）=，当且仅当x=6取得最大值． 故获得最大利润为=457500元． 考点：函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值 点评：正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键 10．（2012·江苏·高考真题）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 【答案】（1）炮的最大射程是10千米． （2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标． 【详解】试题分析：（1）求炮的最大射程即求（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解 试题解析：（1）令y＝0，得kx－（1＋k2）x2＝0， 由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0， 故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． （2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标 ⇔存在k＞0，使3.2＝ka－（1＋k2）a2成立 ⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0 ⇔a≤6. 所以当a不超过6（千米）时，可击中目标． 考点：函数模型的选择与应用 11．（2011·湖南·高考真题）如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时． （1）写出的表达式 （2）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少． 【答案】（1） （2）当时， 【详解】（1）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为， 故. （2）由（1）知，当时， 当时， 故． (1)当时，是关于的减函数.故当时，． (2)当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，． 37 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $