1.1 集合的概念（同步练习）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

**基本信息** 高中数学第一章“集合的概念”同步练，新授课场景。以“基础巩固+能力提升”分层设计，通过概念辨析、元素关系、表示方法的梯度训练，培养数学抽象与逻辑推理，适配课时目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|集合概念、元素特性、元素与集合关系、集合表示方法|含教材改编题（题3）、易错题（题9），通过选择、填空、解答题夯实基础，体现数学抽象| |能力提升练|集合元素互异性深化、元素关系综合应用、新定义“双J集合”|设置参数问题（题4、8）、跨情境新定义题（题9），通过分类讨论、逻辑推理培养数学思维与模型意识|

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 基础过关练 题组一　集合的概念与元素的特性 1.(2026湖南株洲南方中学月考)下列说法正确的是(　　) A.由1,2,3,1,4构成的集合是{1,2,3,1,4} B.满足-2≤x<1的x构成的集合是{-2≤x<1} C.全体实数构成的集合是{x|x是实数} D.抛物线y=-x2+1上的所有点的坐标构成的集合是{y|y=-x2+1} 2.(2026江苏无锡太湖高级中学月考)若集合A={1,x}(x>0)中的元素是△ABC的两条边的长,则(　　) A.△ABC一定不是等腰三角形 B.△ABC一定不是直角三角形 C.△ABC一定不是等边三角形 D.△ABC一定不是钝角三角形 题组二　元素与集合的关系 3.(教材习题改编)给出下列关系:①π∈R;②∈Q;③-3∉Z;④|-3|∉N;⑤0∉Q.其中正确的个数为(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 4.(2026吉林东北师范大学附属中学月考)已知关于x的不等式3ax-2≤0的解集为A,若1∈A且2∉A,则(　　) A.<a<　　B.a<0 C.<a≤　　D.a> 5.(2026福建龙岩第一中学入学考试)若2∈{1,a2+1,a+1},则a=　　　　.  题组三　集合的表示方法 6.(2025四川成都第七中学期中)用列举法可将集合{x∈N|3x<25-2x}表示为(　　) A.{1,2,3,4}　　B.{1,2,3,4,5}　　 C.{0,1,2,3,4}　　D.{0,1,2,3,4,5} 7.(2026湖南岳阳第一中学入学考试)一次函数y=x+2与y=2x-1的图象交点组成的集合是(　　) A.{3,5}　　B.{x=3,y=5}　　 C.{(3,5)}　　D.{(5,3)} 8.(多选题)(2026四川南充嘉陵一中月考)下列各组中,M,P表示不同集合的是(　　) A.M={3,-1},P={(3,-1)} B.M={(3,1)},P={(1,3)} C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R} D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R} 9.(易错题)(2026重庆实验外国语学校月考)用列举法表示集合=　　　　.  10.(2026河南郑州第十八中学月考)表示下列集合: (1)请用列举法表示方程+|2y+1|=0的所有实数根组成的集合; (2)请用描述法表示平面直角坐标系中所有第一、三象限内的点组成的集合; (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合; (4)请用描述法表示二次函数y=x2+2x-10的图象上所有点的纵坐标组成的集合. 能力提升练 题组一　集合的概念与元素的特性 1.(2026河北部分高中联合测评)若集合A={a,|a|},则实数a的取值范围为(　　) A.{a|a>0}　　B.{a|a<0}　　 C.{a|a≤0}　　D.{a|a≥0} 2.(2026黑龙江鸡西第一中学月考)已知a∈R,b∈R,若集合={a2,a+b,0},则a2 026+b2 026的值为(　　) A.-2　　B.1　　C.-1　　D.2 3.对于集合A,B,定义A※B={z|z=x(x-y),x∈A,y∈B},设集合 A={1,2},B={2,3},则集合 A※B 的所有元素之和为(　　) A.-2　　B.-3　　 C.-5　　D.5 题组二　元素与集合的关系 4.(2025四川成都外国语学校月考)若a∈{1,2,a3},则a的所有可能的取值构成的集合为(　　) A.{0}　　B.{0,-1}　　 C.{0,2}　　D.{0,-1,2} 5.(多选题)(2025江西上饶玉山一中月考)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},B={x|x=3k+1,k∈Z},C={x|x=3k,k∈Z},且a∈A,b∈B,c∈C,则(　　) A.2a∈B　　B.2b∈A C.b+c∈A　　D.a+b∈C 6.(2025广东广州培英中学月考)已知集合A={1,2,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合B中的元素个数为　　　　.  7.(2026湖北孝感高级中学诊断)设集合A=2,3,a2-3a,a++7,B={|a-2|,3},已知4∈A且4∉B,则a的取值构成的集合为　　　　.  8.(2026福建三明北附实验学校月考)已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}. (1)若A中只有一个元素,求a的值; (2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围; (3)若A中至少有一个元素,求a的取值范围. 创新点　借助“双J集合”考查元素与集合的关系 9.(2026上海建平中学质检)若由有限个正整数组成的集合A中至少有两个元素,且对于任意的x,y∈A(x>y),都有∈A,则称A为“双J集合”. (1)判断{1,2,4}是不是“双J集合”,说明理由; (2)若双元素集合M为“双J集合”,且2∈M,求所有满足条件的集合M; (3)求所有满足条件的“双J集合”. 答案与分层梯度式解析 第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 基础过关练 1.C 2.C 3.A 4.C 6.C 7.C 8.ABD 1.C　对于A,根据集合中的元素满足互异性,可知构成的集合为{1,2,3,4},故A错误; 对于B,满足-2≤x<1的x构成的集合是{x|-2≤x<1},故B错误; C显然正确; 对于D,抛物线y=-x2+1上的所有点的坐标构成的集合是{(x,y)|y=-x2+1},故D错误. 2.C　由集合中元素的互异性可得x≠1,故△ABC一定不是等边三角形,故C正确. 3.A　易知仅有π∈R正确. 4.C　由1∈A且2∉A可得 解得<a≤. 5.答案　-1 解析　因为2∈{1,a2+1,a+1},所以a2+1=2或a+1=2. 若a2+1=2,则a=1或a=-1, 当a=1时,a2+1=a+1=2,不满足集合中元素的互异性; 当a=-1时,a+1=0,此时{1,a2+1,a+1}={1,2,0},符合题意. 若a+1=2,则a=1,由上述分析可知,不满足集合中元素的互异性. 综上可知,a=-1. 6.C　由题可知{x∈N|3x<25-2x}={x∈N|x<5}={0,1,2,3,4}. 7.C　由方程组解得 所以两函数图象交点组成的集合为{(3,5)}. 8.ABD　选项A,集合M的元素为3,-1,集合P的元素为点(3,-1),所以A符合题意; 选项B,集合M的元素为点(3,1),集合P的元素为点(1,3),所以B符合题意; 选项C,易知集合M,P为同一集合,所以C不符合题意; 选项D,集合M的元素为实数y,集合P的元素为点(x,y),所以D符合题意. 9.答案　{-2,2,1} 解析　由于x∈N,所以可对x分类如下: 当x=0时,=-2,符合题意; 当x=1时,分母为0,不符合题意; 当x=2时,=2,符合题意; 当x=3时,=1,符合题意; 当x≥4时,0<<1,不符合题意. 综上,={-2,2,1}.易错点:集合中的元素为,并不是x 10.解析　(1)由+|2y+1|=0得2x-1=0,且2y+1=0,解得x=,y=-, 所以方程的所有实数根组成的集合为. (2)平面直角坐标系中第一、三象限内的点满足横、纵坐标的符号相同,所以这些点组成的集合为{(x,y)|xy>0}. (3)用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为{x|x=5n+3,n∈N}(也可以表示成{x∈N*|x=5n+3,n∈Z}). (4)用描述法表示二次函数y=x2+2x-10的图象上所有点的纵坐标组成的集合为{y|y=x2+2x-10}. 能力提升练 1.B 2.B 3.B 4.D 5.ABD 1.B　当a≥0时,a=|a|,不满足集合中元素的互异性; 当a<0时,a≠|a|,符合题意. 故实数a的取值范围为{a|a<0}. 2.B　根据两集合元素相同的条件及分式有意义可知a≠0,=0,则b=0,代入集合得{a,0,1}={a2,a,0},则得a=-1,因此a2 026+b2 026=(-1)2 026+02 026=1. 3.B　当x=1,y=2时,z=1×(1-2)=-1; 当x=1,y=3时,z=1×(1-3)=-2; 当x=2,y=2时,z=2×(2-2)=0; 当x=2,y=3时,z=2×(2-3)=-2. 所以集合A※B={-2,-1,0},元素之和为-3(易错提醒:求元素之和时,只加一次“-2”). 4.D　若a=1,则a3=1,此时不满足集合中元素的互异性. 若a=2,则a3=8,此时集合为{1,2,8},满足题意. 若a=a3,则a=0或a=-1或a=1(舍去), 当a=0时,集合为{0,1,2},满足题意; 当a=-1时,集合为{-1,1,2},满足题意. 综上,a的取值集合为{0,-1,2}. 解题模板 由集合中元素的特性求参数的值的步骤: 5.ABD　因为a∈A,b∈B,c∈C,所以设a=3k0-1,k0∈Z,b=3k1+1,k1∈Z,c=3k2,k2∈Z. 对于A,2a=2(3k0-1)=6k0-2=6k0-3+1=3(2k0-1)+1,2k0-1∈Z,则2a∈B,故A正确; 对于B,2b=2(3k1+1)=6k1+2=6k1+3-1=3(2k1+1)-1,2k1+1∈Z,则2b∈A,故B正确; 对于C,b+c=3k1+1+3k2=3(k1+k2)+1,k1+k2∈Z,则b+c∈B,故C错误; 对于D,a+b=3k0-1+3k1+1=3(k0+k1),k0+k1∈Z,则a+b∈C,故D正确. 考场速决 A={x|x=3k-1=3(k-1)+2,k∈Z},即a表示被3除余2的数,同理b表示被3除余1的数,c表示被3整除的数, 被3除余2的两个数的和,除以3的余数恒为1,故A正确; 被3除余1的两个数的和,除以3的余数恒为2,故B正确; 被3除余1和被3整除的两个数的和,除以3的余数恒为1,故C错误; 被3除余2和被3除余1的两个数的和,被3整除,故D正确. 6.答案　2 解析　当x=1,y=1,2,4时,x-y=0,-1,-3,均不满足x-y∈A; 当x=2,y=1时,x-y=1∈A; 当x=2,y=2,4时,x-y=0,-2,均不满足x-y∈A; 当x=4,y=2时,x-y=2∈A; 当x=4,y=1,4时,x-y=3,0,均不满足x-y∈A. 所以B={(2,1),(4,2)},故集合B中的元素有2个. 考场速决 结合下表可知答案为2. y x 1 2 4 1 0 ① 3 2 -1 0 ② 4 -3 -2 0 7.答案　{4} 解析　∵4∈A, ∴a2-3a=4或a++7=4. 当a2-3a=4时,解得a=-1或a=4, 当a=-1时,a++7=4,不满足集合中元素的互异性,舍去; 当a=4时,A=2,3,4,,B={2,3},满足题意. 当a++7=4时,解得a=-1(舍去)或a=-2, 当a=-2时,B={4,3},不满足题意,舍去. 综上所述,a的取值构成的集合为{4}. 8.解析　(1)当a=0时,原方程变为2x+1=0,解得x=-,此时A=,符合题意; 当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,若集合A中只有一个元素,则该方程有两个相等的实数根, 则Δ=4-4a=0,得a=1, 则原方程为x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1,此时A={-1},符合题意. 综上,若A中只有一个元素,则a=0或a=1. (2)A中至多有一个元素,即A中有一个元素或没有元素(从正面入手,进行分类讨论). 由(1)可知,当A中只有一个元素时,a=0或a=1. 当A中没有元素时,Δ=4-4a<0,即a>1. 综上,若A中至多有一个元素,则a的取值范围为{a|a=0或a≥1}. (3)A中至少有一个元素,即A中有一个或两个元素(从正面入手,进行分类讨论), 当a=0时,由(1)知符合题意; 当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,由题意得Δ=4-4a≥0,解得a≤1,故a≤1且a≠0. 综上,若A中至少有一个元素,则a的取值范围为{a|a≤1}. 一题多解 从对立面进行分析. 第(2)问:A中至多有一个元素的对立面为A中最少有两个元素, 故a≠0,且方程ax2+2x+1=0满足Δ=4-4a>0,解得a<1且a≠0, 所以A中至多有一个元素时,a的取值范围为{a|a=0或a≥1}. 第(3)问:A中至少有一个元素的对立面为A中一个元素也没有, 故a≠0,且方程ax2+2x+1=0满足Δ=4-4a<0,解得a>1, 所以A中至少有一个元素时,a的取值范围为{a|a≤1}. 9.解析　(1)假设x=4,y=1,则=∉{1,2,4},故{1,2,4}不是“双J集合”. (2)设M={x,y},x>y,x,y∈N*. 因为2∈M,所以x=2或y=2. 当x=2时,若=2,则y=-1±,不符合题意; 若=y,则y=1或y=0(舍去),此时M={1,2}. 当y=2时,若=x,则x=1±,不符合题意; 若=2,则x=4,此时M={2,4}. 综上,M={1,2}或M={2,4}. (3)若满足条件的“双J集合”只有两个元素,由(2)可得符合题意的“双J集合”为{k,2k}(k∈N*). 当“双J集合”有两个以上的元素时,设最大的元素为a,其次为n,最小的元素为b,a,n,b∈N*, 可得,是“双J集合”中的元素, 所以≥b(b是集合中最小的元素),解得a≤2b, 若≤n,解得a≥2n,由2n≤a≤2b得n≤b,与假设矛盾, 故=a小于或等于n不成立,则等于最大的元素, 解得n=a,此时a与n不可能同时为正整数,故假设不成立, 所以“双J集合”不可能有两个以上的元素, 故所有满足条件的“双J集合”为{k,2k}(k∈N*). 主编点评 遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决. 7 学科网（北京）股份有限公司 $