第四章 指数函数与对数函数 B卷 高考水平提升卷-【金卷1号】2026-2027学年高中数学必修第一册单元检测AB卷（人教A版）

第四章； 指数函数与对数函数 B卷高考水平提升卷 超 (时间：120分钟满分：150分) 授 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.函数f=1n(e-2》+1)'定义域为 √/2-x A.(1,2) B.(ln2,2) C.(1n2,1)U(1,2) D.[ln2,1)U(1,2] 2.已知函数f(x)=lg(√+1+x),正实数a,b满足f(2a-2)十f(b)=0,则2a+的最小 ab 部 值为 棒 A.2 B.4 C.6 D.8 3.已知方程：3+2x一10=0的解在(k,k十1)(k∈Z)内，则k= A.0 空 B.1 C.2 D.3 4.已知函数f(x)=log3(W3+3.x+√5x)-3,若f(a)=-1,则f(-a)= A.-7 B.-6 C.-5 D.-4 恝 5.设x,y,之为正数，且2=3=5，则 A.3y<2x<5x B.2x<3y<5z 南 C.3y<5x<2x D.5x<2x<3y 6.已知函数f(x)=一2x,若2=1og2b=c,则 $1 A.f(b)<f(c)<f(a) B.f(a)<f(b)<f(c) 荪 C.f(a)<f(c)<f(b) D.f(c)<f(b)<f(a) 7.方程x+lgx=3的解所在的一个区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) g(-x),x<0, 8.已知函数f(x)= x2-6x+1,x≥0. 若函数g(x)=f(x)十a有四个不同的零点x1,x2, ☒ x3,x4,且工1<x2<x3<x4,则下列结论中正确的是 呐 A.-1<,<-10 B.-1≤a<0 C.x1x2=10 D.x3十x4=3 41 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.函数y=1og2|1一x|的部分图象可以是 0 012 10.设函数f()=lnx2+1(x>0),则函数y=f(x) A.在区间(0,1)内有零点 B.在区间(0,1)内无零点 C.在区间(1,2)内有零点 D.在区间(1,2)内无零点 2--4,x≤1 11.已知函数f(x) 且f(a)=一3，则f(4-a)等于 -log2(x+1),x>1 1 A.一16 3 B.- 16 C.-2 D.- 12.将甲桶中的α升水缓慢注入大小、形状都相同的空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量 符合指数衰减曲线y=ae.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶 中的水不超过8升，则m的值为 ( A.8 B.9 C.10 D.11 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 1l0g2x,x>0 13.已知函数f(x)= 。,则ff1)+fog)的值为 3x+1,x≤0 14.若不等式lg1+2+1a)3≥(x-1)1g3对任意的x∈（一0,1]恒成立，则a的取值 3 范围是 15.已知函数f(x)=a2x+2a-1(a>1,且a为常数)在区间[-1,1]上的最大值为14.则 f(x)的表达式是f(x)= 16.给出下列结论：①W(-2)=±2；②y=x2+1,x∈[-1,2]，y的值域是[2,5]；③幂函数 图象一定不过第四象限；④函数f(.x)=a+1一2(a>0,a≠1)的图象过定点(-1，一1)； ⑤若lna<1成立，则a的取值范围是（一∞，e).其中正确的序号是 42 四、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.(10分)已知函数f(x)=1+,1 (x十2)21 (1)请说明该函数图象是由函数y=x的图象经过怎样的平移得到的； (2)已知函数g(x)=f(x)一m的一个零点为3，求函数g(x)的另一个零点. 18.(12分)已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递减： (1)请利用函数单调性的定义，证明：函数f(x)在区间（一∞，0）上单调递增； (2)若f(一1)>f(1gx),求x的范围. 19.(12分)已知函数f(x)=1og2(4+1)+kx为偶函数. (1)求实数k的值； (2)解关于m的不等式f(2m+1)>f(m-1)； (3)设g(x)=log2(a·2r+a)(a≠0)，若函数h(x)=f(x)-g(x)有2个零点，求实数a 的取值范围. 43 20.(12分)设a>0,f(x)=g+为偶函数. (1)求a的值； (2)判断f(x)在区间(0，十∞)上的单调性，并给予证明. 21.12分)记知函数f(x)=log(a>0且a≠1)， (1)求函数f(x)的奇偶性； (2)若关于x的方程f(x)=log。(x一m)有实数解，求实数m的取值范围. 22.(12分)设f(x)=2十a·2x,其中a∈R. (1)若函数y=f(x)是奇函数，求a的值； (2)若函数y=f(x)在（一o∞，2]上是严格减函数，求a的取值范围. 44因为y=log5t在t∈(0，十o∞)上为增函数， 1=2x+1在（子+∞）上为增高数 >0 即a'+1 >0,则a2>1. 所以函数y=log5(2x十1)的单调增区间： 2(ax-1) 为(-+∞)门 又x>0,.a>1, ∴.当a∈(1，+o∞)时，f(x)>0. 16.(-2,-1][当x∈(-o∞，1]时，x-1≤0， 20.[解](1)依题意f(2)=a2=9,a=3(负根舍去)， 0<3x-1≤1，-2<f(x)≤-1： y=3-4x+3,x∈R, 当x∈(1，+o∞)时，1-x<0,0<31-2<1, y=3”在R上递增，y=x2-4x十3在区间(-∞，2]上 -2<f(x)<-1,所以f(x)的值域为(-2，-1].] 递减，在区间[2，十∞)上递增， 17.[解](1)原式=lg2(1g2+1g50)+2lg5+e-2=2lg2 根据复合函数单调性同增异减可知，函数y +2lg5+e-2=2+e-2=e. a一4x+3的单调递减区间是（一o∞，2]. (2)因为a-a1=2, (2)y=32x-4·3+3=(3x-2)2-1,0≤x≤1， 所以a2+a2-2=4, 3∈[1,3]，3-2∈[-1,1]，(3-2)2∈[0,1]， 即a2+a2=6, (3x-2)2-1∈[-1,0]. 所以(a+a1)-2=a2+a2+2=8, 因为a>0,所以a十a1=2√2， 21.[解])A={z<2<8 所以a2-a2=(a十a1)(a-a1)=4√2. ={x2-2<2x-“≤23)={.xa-2<x≤a+3}, 18.[解](1)当a=0时， 即A=(a-2,a+3]. 0=24r名 由1og(3x-2)≥0，得0<3x-2<1,解得号<x<1, 二次函数f(x)的图像开口向上，对称轴为x=2, 即B=（ 学 ∴.函数f(x)在[-1,2]上单调递减；在[2,6]上单调： 递增. 当a=2时A=051.uB=(-o0,号1U1,+o0）. 又2-(-1)<6-2， (BnA-(o,号]u1.. 函数f(x)的最小值为f(2)=一 9 ，函数f(x)的最 (2)由x∈B是x∈A的充分不必要条件，可知集合B 大催为6)登 是集合A的真子集. 2 .当a=0,x∈[-1,6]时， 所以 a-2≤3'解得-2≤u≤3： 8 画纸x)的值域为[-号婴] 9237 a+3≥1， 经检验符合集合B是集合A的真子集，所以Q的取值 (2)-1和1是函数g(x)的零点， g(-1)=g(1)=0. 范国类[-2] i.logs[(+0. 22.解] (1)因为1为函数f(x)的零点，所以f(1)= c-1 =0,即c=1: “fD十号-1，即1十(2a-0=1,即a=2(经检验 符合题意) (2)证明：设0≤1<x≤2，则f(x)-f(x1)=2司 x2+1 .a的值为2. x1-1 2(x2-x1) 19.[解](1)证明：由于a2-1≠0，则a≠1，得x≠0， x1+1(x2+1)(x1+1)' ∴.函数f(x)的定义域为{xx≠0}关于原点对称」 因为0≤x1<x2≤2，所以x2-x1>0,x2+1>0,x1十 1>0, 又f-)-(。十号)水- 所以f(x2)>f(x1),即函数f(x)在0,2]上是单调增 函数. -(122+)-)3=（-1-w与+z）水-x) 第四章指数函数与对数函数 -(十)r=f B卷高考水平提升卷 函数f(x)为偶函数， 1.C[因为f(x)-ln(e-2)+r1)” (2)由(1)知f(x)为偶函数，.只需讨论x>0时的！ √2-x 情况 (ex-2>0 当>0时，要使f)>0,只(十号)>0， 所以x-1≠0，解得ln2<x<2且x≠1， 2-x>0 88 所以函数的定义域为(ln2,1)U(1,2): f(3)=3+lg3-3=lg3>0, 故选：C.] ∴.方程x十1gx=3的解所在一个区间是(2,3) 2.B[f(x)=lg(√2+1+x),函数定义域为R,关于原： 故选：C.] 点对称， 8.B[函数g(x)=f(x)十a的四个不同的零点x1,x2, :f(-x)=lg[-x)+1+(-x)] x3,x4,就是函数y=f(x)与y=一a两个图象四个交 =g屋+i-x)=g/年+x 1 点的横坐标， 作出函数y=f(x)的图象， =-lg(√x2+1+x)=-f(x), =fx)训 所以f(x)=lg(√2+1+x)为奇函数， 有f(-x)十f(x)=0,由解析式可以看出f(x)单调递 1-12x 增，由f(2a-2)+f(b)=0,得2a-2+b=0, 即2a十b=2,a,b为正实数，则有2a十b=2≥2√2ab, 当里仅当2a=6即a=合6=1时等号成主， 则有>b,片以≥282由-品4 f(0)=1,当-1<x<0时，f(x)=-lg(-x), ab 当且仅当a= 6=1时等号成立， 1 令)=1，解得x=0: 则2a+b的最小值为4.故选：B.] 结合图象可知-1<<一0故A错误： ab ! 结合图象可知0<一a≤1，解得一1≤a<0,故B正确： 3.B[f(x)在定义域内至多有一个零点， |lg(-x1)|=|lg(-x2)|, .f(1)=3+2-10=-5<0,f(2)=9+4-10=3>0, 且lg(-x2)<0,lg(-x1)>0, .f(x)仅在(1,2)内存在零点，即方程3r+2x一10=0 所以lg(-x1)=-lg(-x2), 的解仅在(1,2)内，故k=1.故选：B.] 即lg(-x1)+lg(-x2)=lg(x1x2)=0, 4.D[对任意的x∈R,则√3+3x>5x≥-√5x,即 所以x1x2=1,故C错误；根据二次函数的性质和图象 √3+3x7+√5x>0,所以，函数f(x)的定义域为R, 所以，f(a)+f(-a) 得出4=3，所以3十14=6，故D错误； 2 =log3(√/3+3a+√/5a)+log3(√3+3a-√3a)-6 故选：B.] =1og3(3+3a2-3a2)-6=-5, 9.BD[函数y=log21-x|可由下列变换得到： 又因为f(a)=-1,则f(-a)=-4. y=log2x→y=log2x|→y=log2x-1|→y= 故选：D.] 1og21-x.] 5.A[令2x=3'=5=k(k>1), 10.AC 则x=log2k,y=l1og3k,之=log5k, f(日）=h。号×(）+1=200. 等-装·最器1：利2> f1)=ln1-2+1>0,f2)=ln2-2+1<0,故 货-微·恩器1制r<5 选AC.] 11.BC[若a≤1，f(a)=2a-1-4=-3,2m-1=1, 故选：A.] 解得a=1 6.A[f(x)=-2x在R上单调递减， 若a>1,fa)=-log2(a十1)=-3，解得a=7. 在同一坐标系中作y=c,y=22,y=log2x,y=x的图 所以当a=1时，f(4-a)=f(3)=-log24=-2; 像，如图： Y=X 当a=7时f0-a)=f(-3)=21-1=61 y=logx V=C ] ;12.CD[令 a=ae,即=e, 8 由已知得子=e”且n<0,故 1 所以a<c<b,故f(b)<f(c)<f(a), =el5n, 故选：A.] 7.C[令f(x)=x十lgx-3,则f(x)单调递增， 要俊e<名 由f(2)=2+lg2-3=1g2-1<0, 比较知t≥15，m≥15-5=10.] 89 13.5[.1>0,∴.f(1)=log21=0, 又x1<x2,则-x1>一x2>0, ff)=f0=3+1=2.log2<0. 结合f(x)在区间[0，+o∞)上单调递减， 则f(-x1)<f-x2),即fx1)<f(x2), ∴f(log2)=33+1=33,2+1=2+1=3. 故函数f(x)在区间（一∞，0）上单调递增： (2)由(1)知函数f(x)在区间（一∞，0）上单调递增，在 ∴ff1)+f(og2)=2+3=5.] 区间[0，十∞)上单调递减， 14.(-0,1][不等式1g1+2+1-a3≥(x-1lg3可 由f(-1)>f(lgx)可得|-1|<lg.x|, 3 变为1g1+2+0-a3≥1g3,即1+2+1-a3 即1g<-1或1gr>1,解得0<<0或>10， 3 3 :19.[解](1)易知函数f(x)的定义域为R, ≥31，整理得a≤（号）广+（号）广 ,函数f(x)=log2(4+1)十kx为偶函数. 因为y=(付）厂广+（号）厂在x(-0,1上是减画 ∴.f(-x)=f(x), 即log2(4”+1)-kx=log2(4x+1)十kx, 鼓所以2（合）+（层）'1. 4+1 2kx=1og2(4x+1)-log2(4+1)=log24+1 42 故若不等式1g1+2+1-)3≥（红一1Dlg3对任意 3 log24*=-2x 的x∈(-o∞，1]恒成立，则a≤1.] .k=-1. 15.32x+2×3w-1[令t=a>0,:x∈[-1,1]，a>1, (2)f(x)=log2(4+1)-x=log2 4+1 re[2a]唧Et fx)=y=t2+2t-1=(t+1)2-2, 1og(2r+2), 故当t=a时，函数y取得最大值为a2+2a-1=14, 求得a=3或a=-5(舍去)， 设x2>x1≥0， .f(x)=32+2×32-1.] -1=(25+22)=(24+)=(2-2*)+ 16.③④[①W√(-2)=2，因此不正确；②y=x2+1, x∈[-1,2]，y的值域是[1,5]，因此不正确；③幂函数 （(.2）-2-22225-山 2x22 图象一定不过第四象限，正确：④当x=一1时， x2>x1≥0， f(-1)=a0-2=-1,函数f(x)=a2+1-2(a>0, a≠1)的图象过定点(-1，一1)，正确：⑤若lna<1成 ∴22>21≥1,222-2>0,2223>1，y2-y1>0, 立，则a的取值范围是(0，e),因此不正确.综上可得，： 所以当x≥0时y=2十单调递增， 只有③④正确.] f(x)在[0，十∞)上单调递增， 17.[解】1y=子向左年移2个单位得到 又函，数f(x)为偶函数，所以函数f(x)在[0，十∞)上 1 单调递增，在（一∞，0]上单调递减： y=(x+2)2 .f(2m+1)>f(m-1), 再向上平移1个单位得到f代x)=1十r十2) 1 .|2m+1|>m-1|,解得m<-2或m>0, 所以不等式的解集为（一∞，一2）U(0,十∞) (2)g(x)=fx)-m= x+2)2+1-m, 1 (3)函数f(x)与g(x)图象有2个公共，点， ∴.g(x)=log2(a·2r+a)=f(x)=log2(4x+1)-x= 因为函数g(x)的一个零，点为3， 所以云十1一m=0,解得m-器 1og:(2)有两个解。 1 1 所以g(x)= 即a·22+a= （x+2)225' =2+有两个解， 1 1 令gx)=x十225=0，解得1=-7 设1=2>0，则u十a=1计} 所以函数g(x)的另一个零点为一7. 即(a-1)t2+at-1=0, 18.[解](1)因f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x). 又t=2x在R上单调递增， 证明：任意x1,x2∈（一∞，0)，x1<x2, 所以方程(a一1)t2+at一1=0有两个不等的正根： 则f(x1)-f(x2)=f(-x1)-f(-x2). 从而a必须满足： 90 a-1≠0 =241-22_Q(22-2x2) △=a2-4(a-1)×(-1)>0 21·222 4>0 =(24-2)(1-24 24+>0, >0 2x2<22,.1 2<0,即a>2,+3, 解得2√2-2<a<1, :x1十x2<4,∴.2+2<24=16，∴a≥16，即a的取 所以实数a的取值范围是（2√2-2,1). 值范围为[16，十o∞). 20.[解](1)：f(x)为偶函数， 滚动卷三（第三一四章） ∴.f(-x)=fx), 即f(-x)=e 11.A[.f(x十1)为奇函数，.f(-x+1)=-f(x+1), a +。a+ae=f)=g+ a 又f(x)为偶函数，.f(-x十1)=f(x-1), ,脚（日-a)e=(日-a)e,对任意x∈R恒成 ∴.f(x-1)=-f(x+1), 即f(x)=-f(x+2), 立，所以a=1: .f(x十4)=一f(x十2)=f(x),所以函数f(x)的周 所以fu)=e+是 期为4，由f(-x+1)=-f(x+1),令x=0, 易得f(1)=0,f(3)=f(-1)=f(1)=0,.f(0)=4, (2)f(x)在区间(0，十o∞)上单调递增.理由如下： 任取x1、x2∈(0，十∞)，当x1<x2时， :f0)=k+a=4 f1)=3k+a=0 解得k=一2，a=6, f)-fn)=e函+-(e+)=-+ ∴.当x∈[0,1]时，f(x)=-2·3r+6, f(l0g32)=-2×3og,2+6=-2×2+6=2.故选：A.] 若--c0-e》 2.A[由题意可得a=31ogs3=3X1og23 10g228=1og23>1, 由于0长<，所以e-<01>0, b=- 1×log3l16 1og34>1, 所以f(x1)-f(x2)<0,故f(x)<f(x2), 1g16= 21og33 1 所以f(x)在区间(0，十∞)上单调递增. 0<c=log43<1, 21.[解]1时于画数/，有号号>0，则号<0，解 1g21g3 得一2<x<2,所以函数f(x)的定义域为（一2,2）， 又bs8-log1-景特-24， 由于lg2>0,lg4>0,lg2≠1g4, f(-x)=loga ,2-工=-f(x), 2十=-loga2+x ∴.lg21g4<（ 2生)-0g<g. 故函数f(x)为奇函数. 2一x 故log23-log34>0,∴.a>b, (2)由fx)=log(x-m)可得x一m=2+x 综合可得a>b>c, 则m=x+一2 故选：A.] 去x十之生十1一一 x+2 令g)=+142其中-2<2。 .Bf)=2”'+8a>0,a≠1. y=a与y=一ax单调性相同， 因为画级y=工十1，y=一2在(-2,2)上为增离 ∴.f(x)在区间[a,b],区间[-b,-a]上均为单调函数， 数，故函数g(x)在（一2,2）上为增函数， 又g(x)=a-4二（a>0,a≠1D. 2 当-2K<2时g)=十1-2∈(-0,2. 满足g(-x)=一g(x),即g(x)为奇函数， 因此，实数m的取值范围是（一o∞，2）. 1 :fx)=a,4+8(a>0,a≠1)在区间[a,b]上的最 2 22.[解](1)f(x)为奇函数，.f(-x)十f(x)=2x 小值为一10， +a·22+2x+a·2x=(a+1)(2x+2r)=0, 又2x+2x>0,∴.a十1=0，解得：a=-1. ..g(x)=a*-a-x 2一(a>0,a≠1)在区间[a,b]上的最小 (2)设x1<x2≤2， 值为一10一8=-18， ,f(x)在（一∞，2]上为严格减函数， .g(x)在区间[-b,一a]上的最大值为18， ∴.f(x1)-f(x2)>0恒成立， .函数f(x)在区间[一b,一a]上的最大值为 即23十a·2-x1-2r2-a·2x2 18+8=26.故选：B.] 91