2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（课件）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元二次函数、方程与不等式的关系及应用，从二次函数图像与方程根的关系切入，通过基础解法、集合运算到综合应用题组，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是分层设计题组，融入刹车距离、商品营业额等实际案例及错中求解创新题型，培养学生用数学眼光观察现实问题，用数学思维推理，用数学语言表达模型。如刹车距离问题通过函数关系转化为不等式求解，提升应用意识，助力学生夯实基础与提升能力，为教师提供系统教学资源。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.3　二次函数与一元二次方程、 不等式 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　一元二次不等式的解法 1.[2026山东省实验中学月考]不等式x2-x-2>0的解集为 ( ) A.{x|-1<x<2}　    B.{x|-2<x<1} C.{x|x<-1或x>2}　    D.{x|x<-2或x>1}     C     解析　由x2-x-2>0得(x+1)(x-2)>0,解得x<-1或x>2,所以不等式x2-x-2>0的解集为{x|x<-1或x>2}. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026黑龙江哈尔滨三中期末]设x∈R,则“x(2+x)>0”是“0<x<1”的 ( ) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　    D.既不充分也不必要条件     B     解析    由不等式x(2+x)>0,解得x<-2或x>0,即不等式的解集为{x|x<-2或x>0}, 因为{x|0<x<1}是集合{x|x<-2或x>0}的真子集, 所以“x(2+x)>0”是“0<x<1”的必要不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[教材习题改编][2026广东佛山质检]M={x|5+4x-x2≥0},N={x|x>2},则M∩(∁RN)=( ) A.{x|-1≤x<2}　    B.{x|-1≤x≤2}　     C.{x|2<x≤5}　    D.{x|-5≤x≤1}     B     解析    M={x|5+4x-x2≥0}={x|x2-4x-5≤0}={x|(x-5)(x+1)≤0}={x|-1≤x≤5},∁RN={x|x≤2}, 所以M∩(∁RN)={x|-1≤x≤2}. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026湖南衡阳期末]不等式 ≥2的解集为 ( ) A.{x|-1≤x≤2}　    B.{x|x≤-1}　     C.{x|-1≤x<2}　    D.{x|x>2}     C     解析　由 ≥2,得 -2= ≥0,即 ≤0,则 解得-1≤x<2,则原不等式的解集为 {x|-1≤x<2}. 易错警示　解分式不等式,若右侧不为零,则要移项、通分,然后将分式不等式转化为整式不等式,需要 注意分母不能为零. 第1讲　描述运动的基本概念 5.解关于x的不等式:x2-ax+1<0(a∈R). 思路点拨　不等式左侧不能因式分解,相应一元二次方程解的情况不确定,因此需要分别研究Δ<0,Δ=0, Δ>0时不等式的解集. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于一元二次方程x2-ax+1=0,Δ=a2-4. 当Δ≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1<0的解集为⌀; 当Δ>0,即a<-2或a>2时,方程x2-ax+1=0的两根分别为x1= ,x2= ,且x1<x2, 所以不等式x2-ax+1<0的解集为 x  <x<  . 综上,当-2≤a≤2时,不等式的解集为⌀,当a<-2或a>2时,不等式的解集为 x  <x<  . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026河南焦作一中月考]已知a∈R,集合A= x  ≤0 ,B={x|x2+(3-a)x-3a<0}. (1)当a= 时,求A和B; (2)已知A∪B=A,求实数a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由 ≤0, 得  即 解得x<-1或x≥2,则A={x|x<-1或x≥2}, B={x|x2+(3-a)x-3a<0}={x|(x+3)(x-a)<0}, 当a= 时,B= x (x+3) <0 = x -3<x<  . (2)由A∪B=A,得B⊆A,由(1)知B={x|(x+3)(x-a)<0},A={x|x<-1或x≥2}. ①当B=⌀时,a=-3(对应方程两根相等),符合题意. ②当B≠⌀时,若a>-3,则B={x|-3<x<a},由B⊆A,可得a≤-1,此时-3<a≤-1; 若a<-3,则B={x|a<x<-3},此时B⊆A恒成立,故a<-3符合题意. 综上,实数a的取值范围为{a|a≤-1}. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　三个“二次”之间的关系 7.[2026河北承德开学考试]若抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点,则k的取值范围是 ( ) A.k≤ 且k≠1　    B.k≤ 　     C.k< 且k≠1　    D.k<      A     解析　由抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点,得关于x的方程(k-1)x2-x+1=0有实数根,且k-1≠0,则Δ=(-1)2-4 (k-1)≥0,且k≠1,解得k≤ 且k≠1,所以k的取值范围是k≤ 且k≠1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江西南昌中学期中]若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|-3<x<1},则不等式cx2-bx+a>0的解 集为 ( ) A. x - <x<1 　    B. x -1<x<   C. x x<- 或x>1 　    D. x x<-1或x>       B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|-3<x<1}, ∴-3和1是方程ax2+bx+c=0的两个根,且a>0, ∴ 得 ∴不等式cx2-bx+a>0转化为-3ax2-2ax+a>0, ∵a>0,∴3x2+2x-1<0,即(x+1)(3x-1)<0,得-1<x< ,∴不等式cx2-bx+a>0的解集为 x -1<x<  . 规律总结　一元二次不等式大于0的解集取两边,则二次项系数为正,大于0的解集取中间,则二次项系 数为负;一元二次不等式小于0的解集取两边,则二次项系数为负,小于0的解集取中间,则二次项系数为 正. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[多选题][2026云南昆明一中月考]已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|-3≤x≤4},则下列说法 正确的有 ( ) A.a<0 B.不等式cx2-bx+a<0的解集为 x - <x<   C.a+b+c<0 D.9a-3b+c>0     AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|-3≤x≤4},所以a<0,故A正确. 由题意可知-3和4是方程ax2+bx+c=0的两根,可得 解得 则cx2-bx+a<0即为-12ax2+ax+ a<0,所以12x2-x-1<0,解得- <x< ,所以不等式的解集为 x - <x<  ,故B正确. a+b+c=a-a-12a=-12a>0,故C错误. 当x=-3时,a·(-3)2+b·(-3)+c=9a-3b+c=0,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026陕西汉中部分学校月考]若关于x的不等式2kx2+kx+ ≤0的解集为空集,则实数k的取值范围是 _____________.     0≤k<1     解析　当k=0时,不等式为 ≤0,解集为空集,符合题意; 当k≠0时,若不等式的解集为空集,只需 解得0<k<1. 综上所述,k的取值范围是0≤k<1. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026安徽阜阳质检]已知关于x的不等式ax2+bx-12≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4},求a,b的值和不等式 bx2+ax+6≥0的解集. 解析　因为关于x的不等式ax2+bx-12≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4}, 所以-3,4是方程ax2+bx-12=0的两根,且a>0, 所以 解得  所以不等式bx2+ax+6≥0即-x2+x+6≥0,即x2-x-6≤0,即(x-3)(x+2)≤0,解得-2≤x≤3, 所以不等式bx2+ax+6≥0的解集为{x|-2≤x≤3}. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　一元二次不等式的恒(能)成立问题 12.[2026北京平谷中学月考]若关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,则实数m的取值范围是( ) A.m≤-2或m≥2　    B.-2≤m≤2 C.m<-2或m>2　    D.-2<m<2     A     解析　不等式-x2+mx-1≥0有解等价于方程-x2+mx-1=0有根,所以Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026山东淄博淄川中学月考]若不等式kx2-6kx+k+8≥0的解集为R,则实数k的取值范围是 ( ) A.0≤k≤1　    B.0<k≤1 C.k<0或k>1　    D.k≤0或k≥1     A     解析　若k=0,则不等式为8≥0,显然恒成立,满足条件; 若k≠0,要使不等式恒成立, 只需满足  即 解得0<k≤1. 综上,实数k的取值范围为0≤k≤1. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026山西太原期中]若∃x∈R,使得不等式kx2-kx-1>0成立,则实数k的取值范围是 ( ) A.{k|k<-4}　    B.{k|k>0}　     C.{k|-4<k<0}　    D.{k|k<-4或k>0}     D     解析　若k=0,则不等式为-1>0,显然不成立; 若k≠0,则由已知得k>0或 得k>0或k<-4. 综上,实数k的取值范围是{k|k<-4或k>0}. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026重庆江北调研]若命题“∃x∈R,x2+(a+1)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围为 ( ) A.1≤a≤3　    B.-1≤a≤1　     C.-3≤a≤3　    D.-3≤a≤1     D     解析　因为命题“∃x∈R,x2+(a+1)x+1<0”是假命题, 所以命题“∀x∈R,x2+(a+1)x+1≥0”是真命题, 对于方程x2+(a+1)x+1=0,只需Δ=(a+1)2-4≤0,解得-3≤a≤1. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　一元二次不等式的实际应用 16.[2026江苏镇江期中]汽车在行驶过程中,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距 离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素.在一个限速为80 km/h的桥梁上, 甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了,事后现场勘查测得甲车的刹车距离 小于42 m,乙车的刹车距离略超过36 m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位:m)与车速x(单位:km/h) 的关系分别为s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.则 ( ) A.甲、乙两车均超过规定限速 B.甲车未超过规定限速,乙车超过规定限速 C.甲车超过规定限速,乙车未超过规定限速 D.甲、乙两车均未超过规定限速     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为甲车的刹车距离小于42 m且s甲=0.1x+0.01x2,所以0.1x+0.01x2<42,又x>0,所以0<x<60, 因为乙车的刹车距离略超过36 m且s乙=0.05x+0.005x2,所以0.05x+0.005x2>36,又x>0,所以x>80, 所以甲车未超过规定限速,乙车超过规定限速. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2026福建漳州期中]某商品的成本价为80元/件,售价为100元/件,每天售出100件,若售价降低x成(1成 =10%),售出商品的数量就增加 x成,要求售价不能低于成本价. (1)设该商品一天的营业额为y元,试求出y与x之间的函数关系式; (2)若要求该商品一天的营业额至少为10 260元,求x的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得,当售价降低x成时,商品售价为100 =10(10-x)元/件,售出商品的数量为100  =4(25+4x)件, 所以y=10(10-x)·4(25+4x)=40(10-x)(25+4x), 因为售价不能低于成本价,所以10(10-x)-80≥0,解得x≤2, 所以y=40(10-x)(25+4x)(0≤x≤2). (2)由(1)可知商品一天的营业额(单位:元)为y=40(10-x)(25+4x)(0≤x≤2), 令40(10-x)(25+4x)≥10 260, 化简得8x2-30x+13≤0, 解得 ≤x≤ ,又0≤x≤2,所以x的取值范围为 x  ≤x≤2 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.3　二次函数与一元二次方程、 不等式 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　一元二次不等式的解法 1.[2026湖南衡阳一中月考]若不等式x2-(m+1)x+m<0的解集中恰有三个整数,则实数m的取值范围为  ( ) A.{m|-3≤m≤5} B.{m|-2≤m<-1或4<m≤5} C.{m|-3<m<1或4<m<5} D.{m|-3≤m<-2或4<m≤5}     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析    x2-(m+1)x+m<0⇔(x-1)(x-m)<0. ①当m=1时,不等式为(x-1)2<0,解集为空集,不符合题意; ②当m>1时,不等式的解集为{x|1<x<m}, 因为不等式的解集中恰有三个整数,所以整数为2,3,4,故4<m≤5; ③当m<1时,不等式的解集为{x|m<x<1}, 因为不等式的解集中恰有三个整数,所以整数为0,-1,-2,故-3≤m<-2. 综上,实数m的取值范围为{m|-3≤m<-2或4<m≤5}. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026山东枣庄滕州二中月考]已知关于x的一元二次不等式(x-2)[(a-1)x+(2-a)]>0,当0<a<1时,该 不等式的解集为 ( ) A. 　    B.  C. 　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由0<a<1,得a-1<0,则不等式(x-2)[(a-1)x+(2-a)]>0可化为(x-2)· <0, 易知方程(x-2) =0的两个根分别为2, , 因为2- = <0,所以2< , 所以原不等式的解集为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026湖南长沙南雅中学月考]不等式x+ ≤10的解集是 ( ) A.{x|3≤x≤7}　    B.{x|x<0或3≤x≤7}　     C.{x|-7≤x≤-3}　    D.{x|x<0}     B     解析    移项并通分得 ≤0,即 ≤0,所以 或 解得3≤x ≤7或x<0. 第1讲　描述运动的基本概念 一题多解　移项并通分得 ≤0,即 ≤0,变形得x(x-3)(x-7)≤0且x≠0,(将分式不等式 等价转化为高次不等式,注意分母不为0) 利用穿针引线法,如图,   解得x<0或3≤x≤7. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江苏常州期中]设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,如:[1.2]=1,[-1.2] =-2.则不等式2[x]2-7[x]+3≤0的解集为_________________.     {x|1≤x<4}     解析　由2[x]2-7[x]+3≤0,得(2[x]-1)([x]-3)≤0, 解得 ≤[x]≤3,根据高斯函数的定义可得1≤x<4, 所以不等式2[x]2-7[x]+3≤0的解集为{x|1≤x<4}. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026山东潍坊中学月考]解关于x的不等式mx2+(1-m)x+m-2<m-1. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    mx2+(1-m)x+m-2<m-1可化为mx2+(1-m)x-1<0,即(mx+1)(x-1)<0. ①当m=0时,不等式为x-1<0,可得x<1,故不等式的解集为{x|x<1}. ②当m<0时,有 (x-1)>0, 当- >1,即-1<m<0时,可得x>- 或x<1,解集为 x x<1或x>-  ; 当- =1,即m=-1时,可得x≠1,解集为{x|x≠1}; 当- <1,即m<-1时,可得x>1或x<- ,解集为 x x<- 或x>1 . ③当m>0时,有 (x-1)<0,可得- <x<1,解集为 x - <x<1 . 综上,当m=0时,解集为{x|x<1};当-1<m<0时,解集为 x x<1或x>-  ; 当m=-1时,解集为{x|x≠1};当m<-1时,解集为 x x<- 或x>1 ;当m>0时,解集为 x - <x<1 . 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板　解二次项系数含参的不等式,在进行分类讨论时要全面,包括二次项系数是不是0,图象的开 口方向和根的大小关系. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　三个“二次”的综合应用 6.[多选题][2026福建厦门外国语学校月考]若不等式a(x-1)(x-3)+2>0的解集为{x|x<x1或x>x2},其中x1<x2, 则下列结论中正确的是( ) A.x1+x2=4 B.|x1-x2|>2 C.3<x1x2<4 D.(3a+2)x2-4ax+a<0的解集为 x  <x<       ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,因为不等式a(x-1)(x-3)+2>0的解集为{x|x<x1或x>x2},其中x1<x2, 所以方程a(x-1)(x-3)+2=0即ax2-4ax+3a+2=0的两个根分别为x1,x2,且a>0, 所以  即 所以A正确; 对于B,|x1-x2|= = = , 因为a>2,所以0< < ,所以0< <4,所以0<4- <4, 第1讲　描述运动的基本概念 所以0< <2,所以0<|x1-x2|<2,所以B错误; 对于C,由B中分析得3<3+ <4,所以3<x1x2<4,所以C正确; 对于D,因为 所以  所以由(3a+2)x2-4ax+a<0,得ax1x2x2-a(x1+x2)x+a<0,所以x1x2x2-(x1+x2)x+1<0,得(x1x-1)(x2x-1)<0, 因为0<x1<x2,所以0< < ,所以不等式(x1x-1)(x2x-1)<0的解集为 x  <x<  ,即不等式(3a+2)x2-4ax+a< 0的解集为 x  <x<  ,所以D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2026辽宁大连八中月考]已知关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>0的解集为A={x|m<x<n} (其中m<n),关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>-2的解集为B={x|p<x<q},则( ) A.A∩B=B　     B.A∪B⊆B C.m+n=p+q　     D.当b<-2时, + 的最小值为3     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>0的解集为A={x|m<x<n}(其中m<n),所以a<0,且二次函数 y=ax2-2ax+b的图象与x轴有两个交点,交点坐标分别为(m,0),(n,0)(m<n), 因为关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>-2的解集为B={x|p<x<q},所以二次函数y=ax2-2ax+b的图象与直 线y=-2有两个交点,交点坐标分别为(p,-2),(q,-2)(p<q), 画出y=ax2-2ax+b=a(x-1)2-a+b(a<0)的图象,如图所示:   由图可得p<m<1<n<q,则A⊆B,所以A∩B=A,A∪B=B,所以A∪B⊆B,故A错误,B正确; 第1讲　描述运动的基本概念 又m+n=2,p+q=2,所以m+n=p+q,故C正确; 易得pq= , 又b<-2,所以b+2<0,所以pq= >0, 又p+q=2,所以p>0,q>0, 所以 + = + = + +1≥2 +1=3,当且仅当 = ,即p=q=1时取等号, 因为p<q,所以 + >3,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 8.若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集为{x|-1≤x≤3},则a的取值范围为_______________. 解析　若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集为{x|-1≤x≤3},则x=-1和x=3是ax2+bx+c=2(a>0)的 两根,且当x=1时,y=ax2+bx+c≥0,即a+b+c≥0. 由根与系数的关系可知 所以 ① 将①代入a+b+c≥0,得a-2a+2-3a≥0,解得a≤ . 又a>0,所以a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　一元二次不等式的恒(能)成立问题 9.[2026广东深圳高级中学期中]若命题“∀x∈{x|1≤x≤4},不等式x2-mx-m+15>0恒成立”为假命题,则 实数m的取值范围为_______________.     {m|m≥6}     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题得命题的否定“∃x∈{x|1≤x≤4},不等式x2-mx-m+15≤0有解”为真命题,所以m(x+1)≥x2+ 15,即m≥ 在1≤x≤4时有解,故m≥ . 令t=x+1,2≤t≤5,则x=t-1, 所以 = = =t+ -2≥2 -2=6,当且仅当t= ,即t=4,x=3时取等号,所以m≥6. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026上海川沙中学期中]若|x-5|+|x+4|≥m2-8m对一切x∈R都成立,则m的取值范围是______________.     {m|-1≤m≤9} 解析　|x-5|+|x+4|≥|x-5-x-4|=9, 要使不等式|x-5|+|x+4|≥m2-8m对一切x∈R都成立,则需满足9≥m2-8m,即(m+1)(m-9)≤0,解得-1≤m≤9. 方法技巧　若|x-m|+|x-n|≥c恒成立,可利用绝对值的几何意义或三角不等式|a|+|b|≥|a±b|求解. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026天津中学月考]已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}. (1)求a,b的值; (2)当x>0,y>0且 + =1时,2x+y≥k2-k+2恒成立,求实数k的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题可知a>0,且x=1和x=b是方程ax2-3x+2=0的两个根, 所以 解得  (2)因为2x+y≥k2-k+2恒成立,所以k2-k+2≤(2x+y)min. 由(1)得 + =1, 所以2x+y=(2x+y) =4+ + ≥4+2 =8,当且仅当 = ,即2x=y=4时等号成立,所以2x+y的最 小值为8,所以k2-k+2≤8,即k2-k-6≤0,即(k+2)(k-3)≤0,解得-2≤k≤3. 所以满足题意的实数k的取值范围为{k|-2≤k≤3}. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026辽宁抚顺期末]已知y=kx2-(3k+1)x+3. (1)若不等式y<0的解集为{x|1<x<3},求y的表达式; (2)若k>0,解关于x的不等式y+kx-1<0; (3)若不等式y+kx-1>0对任意的-1≤k≤1恒成立,求实数x的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题知kx2-(3k+1)x+3<0的解集为{x|1<x<3}, 则方程kx2-(3k+1)x+3=0的两个根分别为1,3,且k>0, 由根与系数的关系可得 解得k=1,则y=x2-4x+3. (2)y+kx-1<0即kx2-(2k+1)x+2<0,得(kx-1)(x-2)<0,又k>0,所以 (x-2)<0. 当 >2,即0<k< 时,解得2<x< ,则不等式的解集为 x 2<x<  ; 当 =2,即k= 时,不等式为(x-2)2<0,解集为⌀; 当 <2,即k> 时,解得 <x<2,则不等式的解集为 x  <x<2 . 综上,当0<k< 时,不等式的解集为 x 2<x<  ;当k= 时,不等式的解集为⌀;当k> 时,不等式的解集为  第1讲　描述运动的基本概念 x  <x<2 . (3)不等式y+kx-1>0对任意的-1≤k≤1恒成立,即kx2-(2k+1)x+2>0对任意的-1≤k≤1恒成立, 令y1=kx2-(2k+1)x+2=(x2-2x)k+2-x, 若x2-2x=0,则x=0或x=2, 当x=0时,y1=2>0,满足; 当x=2时,y1=0,不满足. 若x2-2x≠0,即x≠0且x≠2,则需满足 解得-1<x<1,且x≠0. 综上,实数x的取值范围为{x|-1<x<1}. 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧    更换主元法 一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,即把变量与参数交换位置,构造以参 数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　一元二次不等式的应用 13.[2026北京第二十中学月考]若使集合A={x|(kx-k2-8)(x-1)>0,x∈Z}中的元素个数最少,则实数k的取值 范围是___________________.     {k|-4≤k≤-2}     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题可知, ①当k=0时,A={x|-8(x-1)>0,x∈Z}={x|x<1,x∈Z},此时集合A中的元素有无限个,故舍去. ②当k>0时,不等式为 (x-1)>0, 因为k+ ≥2 =4 >1,当且仅当k= ,即k=2 时取等号, 所以解不等式得x>k+ 或x<1, 则A= x x>k+ 或x<1,x∈Z ,此时集合A中的元素有无限个,故舍去. ③当k<0时,不等式为 x-  ·(x-1)<0, 因为k+ <1,所以解不等式得k+ <x<1,则A= x k+ <x<1,x∈Z . 第1讲　描述运动的基本概念 此时集合A中的元素有有限个,并且k+ 的值越大,集合A中的元素就越少. 因为k<0,所以k+ =- ≤-2 =-4 ,当且仅当-k=- ,即k=-2 时取等号,又-6<-4 <-5, 所以当-6≤k+ <0 点拨:当k+ =-6时,A中元素仍为-5,-4,…,0 ,即-4≤k≤-2时,集合A中的元素个数最 少. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026四川成都实验外国语学校月考]如图所示,将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求M在射线AB上,N在射线AD上,且对角线MN过点C,已知AB=4米,AD=3米,设AN=x米. (1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米,则AN的长应在什么范围内? (2)现要在扩建部分铺上大理石,则当AN的长度是多少时,用料最省?   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知得x>3. 由DC∥AM,可得 = ,则 = ,则AM= ,则花坛AMPN的面积(单位:平方米)为AM·AN= . 由已知得 >54,所以2x2-27x+81>0,即(2x-9)(x-9)>0,又x>3,所以3<x< 或x>9, 故AN的长(单位:米)的取值范围是 x 3<x< 或x>9 . (2)根据题意,可得扩建部分的面积(单位:平方米)为 -12,x>3. 令t=x-3,则t>0, -12= -12=4t+ +12≥2 +12=36,当且仅当t=3时,等号成立,故AN=6米时, 用料最省. 第1讲　描述运动的基本概念 创新点　一元二次方程错中求解的新考法 创新题型 15.[2026陕西榆林联考]甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集为{x|1<x< 6};乙写错了常数c,得到的解集为{x|-1<x<6}.若甲、乙两人除写错常数外,其余求解过程都正确,则原不 等式的解集为 ( ) A.{x|-1<x<6}　    B.{x|0<x<5}　     C.{x|-3<x<2}　    D.{x|2<x<3}     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为甲写错了常数b,得到的解集为{x|1<x<6},所以根据根与系数的关系,得c=1×6=6. 因为乙写错了常数c,得到的解集为{x|-1<x<6},所以根据根与系数的关系,得-b=-1+6,即b=-5. 所以原不等式为x2-5x+6<0,解得2<x<3. 第1讲　描述运动的基本概念 $