第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 解不含参的一元二次不等式 题型2 解含参一元二次不等式 题型3 三个“二次”关系的应用 题型4 一元二次不等式三种恒成立问题 题型5 一元二次不等式的有解问题（能成立问题） 题型6 一元二次不等式的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式 1. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； 2. 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系； 3. 掌握一元二次不等式的实际应用； 4. 会解一元二次不等式中的恒成立问题. 学习重点：1.二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系； 2.一元二次不等式的解法. 学习难点：1.理解二次函数图像与一元二次不等式解集之间的对应关系； 2.含参数的一元二次不等式的初步处理（简单参数情况）. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次不等式 1、定义 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2、一般形式 ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）． 3、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形． 知识点02 三个”二次“的关系 1、三个“二次”：①二次函数，②一元二次方程，③一元二次不等式. 2、二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点． 3、三个“二次”之间的关系 对于一元二次方程的两根为且， 设，它的解按照，，可分三种情况， 相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况. 因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 知识点03 一元二次方程的解法 1、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 2、含参一元二次不等式的讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 即时即练 不等式的解集为：______________________ 【答案】或 【详解】已知，方程的两个根为7和12，所以不等式的解集为. 【易错提醒】 不等式的解集一定要用区间或者集合表示. 题型1 解不含参的一元二次不等式 【例1】（1）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）不等式，可化为，方程的解为或， 作函数的图象可得， 观察图象可得不等式的解集为，所以不等式的解集为； （2）不等式，可化为，方程的解为或， 作函数的图象可得， 观察图象可得不等式的解集为，所以不等式的解集为； （3）不等式，可化为，方程的解为或， 作函数的图象可得， 观察图象可得不等式的解集为，所以不等式的解集为. 【方法总结】 图象法解不含参的一元二次不等式的方法： 第一步：不等式改成等式，求对应二次方程的根； 第二步：画对应二次函数的图象，尤其注意根据二次项系数的正负判断开口方向； 第三步：观察图象，即可直接得出解集. 【变式 1-1】不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【详解】令，解方程得：， 作函数的图象可得， 观察图象可得不等式的解集为，所以原不等式的解集为. 题型2 解含参一元二次不等式 【例2】（1）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则，作函数的图象得： 观察图象可得，不等式的解集是. （2）解关于的不等式： 【答案】答案见解析 【详解】（1）当时，原不等式的解集为； 当时， 令，解方程得，， 当时，作函数的图象得： 观察图象可得，当时，原不等式的解集为或. 当且时，即，作函数的图象得： 观察图象可得，当时，原不等式的解集为. 当且时，即，作函数的图象得： 观察图象可得，当时，原不等式的解集为. 当且时，即，作函数的图象得： 观察图象可得，当时，原不等式的解集为； 所以综上可得，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解. （3）解关于的不等式： 【答案】答案见解析 【详解】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 所以当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 综上：时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 【方法总结】 解含参的一元二次不等式的技巧总结： 在解含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类 “不重不漏”，讨论需从以下三个方面进行考虑： (1) 关于不等式类型的讨论：二次项系数 ， 和 ； （2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两个不相等的实数根（），两个相等的实数根（），没有实数根（）; （3）关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：，，. 注意：对参数分类讨论的每一种情况下，所求出的一元二次不等式的解集是相互独立的，不能合并. 【变式 2-1】若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以（两个等号不能同时成立），解得， 所以实数的取值范围是. 题型3 三个“二次”关系的应用 【例3】关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】D 【详解】对于A选项，由题意得关于的不等式的解集为，则，故A错误； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为， 即，解得或， 因此不等式的解集为或，故B错误； 对于C选项，由题意得，故C错误； 对于D选项，不等式即为，即，解得， 因此不等式的解集为，故D正确. 【方法总结】 三个“二次”关系的应用的技巧总结： 已知一元二次不等式 或 的解集，则可以确定 的政府性和方程 的两根，再由根与系数的关系（韦达定理），可得到之间的关系（等量关系），若求其他不等式的解集或判断其他代数式，则可将 用 表示出来并代入求解. 【变式 3-1】（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ABD 【详解】由关于的不等式的解集为， 得，且是方程的两根， 则，，解得． 对于A，，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，结合B，有，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，故D正确． 题型4 一元二次不等式三种恒成立问题 角度1：一元二次不等式在R上恒成立 【例4】（1）不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】①当时，成立， ②当时，只需，解得， 综上可得，即实数的取值范围为. 【方法总结】 解决一元二次不等式在R上恒成立问题的技巧总结： (1) 不等式在R上恒成立 (2) 不等式在R上恒成立 注意：若题目中未强调是一元二次不等式，则一定要讨论二次项系数是否为 0； 若已知不等式中含等号，则也可取等号. 【变式 4-1】若关于的不等式对任意的实数恒成立,求实数的取值范围； 【答案】 【详解】当时，不等式化为，不符合题意； 当时，要使对任意的实数恒成立， 则，解得； 所以实数的取值范围为 角度2：一元二次不等式在指定区间D上恒成立 【例4】（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； 【答案】； 【详解】设，依题意可知只需要的最大值小于0即可， 由题意可得，在上的最大值只能在或时取到，所以 ，解得； 所以实数的取值范围为 【方法总结】 解决一元二次不等式在指定区间D上恒成立问题的技巧总结： (1) 对于不等式 （或）在某个指定范围内的恒成立问题，只需令相应函数在该范围内的最小值大于 0（或最大值小于 0）即可，若不等式中的参数易分离，也可采用分离参数法求解，。将恒成立问题转化为新函数的最值问题 (2) 某些特殊条件下的恒成立问题，可简化处理，比如： 常见结论 ① 当时在上恒成立 ② 当 时，在 上恒成立 【变式 4-2】若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】要使在上恒成立， 即，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. 角度3：一元二次不等式在参数指定范围D上恒成立 【例4】（3）若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】设 则是关于的一次函数，且一次项系数为， 所以在上单调递增． 所以等价于，解得， 故实数的取值范围为. 【方法总结】 解决一元二次不等式在参数指定范围D上恒成立问题的技巧总结： 解决恒成立问题一定要清楚谁是主元，谁是参数：一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数，即构造 “以参数为变量” 的函数，根据 “变量” 的取值范围列式求解, 若构造出来为一次函数，能判断一次函数的单调性就利用单调性直接求最值，若不确定单调性则直接将所给范围的两个端点值代入，化简求解即可. 【变式 4-3】当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以恒成立，整理得恒成立， 令，则， 解得，则的取值范围为，故C正确. 题型5 一元二次不等式的有解问题（能成立问题） 【例5】若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若关于的不等式有解,则，解得. 【方法总结】 解决一元二次不等式简单的有解问题（能成立问题）的技巧总结： (1) 根据题意得出的取值范围，比如： ① 当时有解 ② 当 时，有解 (2) 另一常见思路为先参变量分离，转化为求新函数最值问题，比如： 常见题型及结论 ① 若存在 ，使 有解 ； ② 若存在 ，使 有解. 【变式5-1】若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把不等式化为，求出在区间[1，4]内的最大值，即可得出的取值范围． 【详解】不等式在内有解等价于时，. 当时，，所以. 题型6 一元二次不等式的实际应用 【例6】某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______（元）. 【答案】120或130 【详解】解：设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住， 所以，旅馆每晚的收入为元， 因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元， 所以，，即，解得， 因为是10的整数倍， 所以，每个床位的定价应为120或130元. 【方法总结】 利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1) 选取合适的字母表示题目中的未知数； (2) 由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3) 求解所列出的不等式(组)； (4) 结合题目的实际意义确定答案. 【变式 6-1】（多选）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】AB 【详解】设销售价定为每件x元，利润为y元，则， 依题意有，即， 解得， 所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元， 一、单选题 1．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，解得， 所以不等式的解集为. 2．若不等式的解集为，则（ ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为的解集为， 故且和3为方程的解， 故，解得，，故. 3．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两个实数根， 所以， 故不等式可化为， 解得， 所以不等式的解集为. 4．若，则不等式的解集为（    ） A． B．{或} C．{或} D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即， 由，得到， 5．对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】当时，即，则原不等式为恒成立，所以符合题意； 当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 6．某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可入验证当时，此时，则BCD均错误. 二、多选题 7．下列四个不等式，其中解集不为R的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为，即， 且，所以解集不为R，故A正确； 对于选项B：因为，所以解集不为R，故B正确； 对于选项C：因为，所以解集为R，故C错误； 对于选项D：因为，即， 且，所以不等式的解集为，故D正确； 8．若不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ） A．且 B． C． D．不等式的解集是 【答案】ACD 【详解】不等式的解集是， 则对应的方程的两根为和， ，且， 故，且， 故，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，， 即的解集是，故D正确. 9．设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为，A正确. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为，B正确； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为，D正确. 三、填空题 10．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】解：因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 令在区间上递减， 所以， 所以， 11．对于任意实数，不等式恒成立． （1）则的取值范围是___________． （2）在（1）的条件下，使恒成立，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】当时，不等式为恒成立； 当时，结合二次函数的性质可得，解得； 的取值范围是. 设， 因为，所以一次函数为递增函数， 则当时，， 解得， 所以的取值范围为. 12．某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度 的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为， 由题意知，，， 所以， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或， 所以． 当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 四、解答题 13．已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数；(2) 【详解】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，得到， 所以，不存在实数，使不等式对恒成立． （2）设，当时，恒成立． 即成立，即， 由，得到， 由，得到或， 所以，所以实数的取值范围是． 14．已知函数. (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若，讨论不等式的解集； (3)若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【详解】（1）由可得， 故是方程的两个实数根， 故且，解得，故， （2）若不等式，即， ①当时，不等式，解得，该不等式的解集为； ②当时，因式分解可得，不等式的解集为或； 当时，不等式可变为， 由于，故，此时不等式的解集为； 综上所述：当时，该不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或；. （3）对于，恒成立， 化简得在上恒成立， 设，该函数是开口向上的二次函数，对称轴， 所以在上单调递增，，所以， 则的取值范围为 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 解不含参的一元二次不等式 题型2 解含参一元二次不等式 题型3 三个“二次”关系的应用 题型4 一元二次不等式三种恒成立问题 题型5 一元二次不等式的有解问题（能成立问题） 题型6 一元二次不等式的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式 1. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； 2. 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系； 3. 掌握一元二次不等式的实际应用； 4. 会解一元二次不等式中的恒成立问题. 学习重点：1.二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系； 2.一元二次不等式的解法. 学习难点：1.理解二次函数图像与一元二次不等式解集之间的对应关系； 2.含参数的一元二次不等式的初步处理（简单参数情况）. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次不等式 1、定义 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2、一般形式 ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）． 3、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形． 知识点02 三个”二次“的关系 1、三个“二次”：①二次函数，②一元二次方程，③一元二次不等式. 2、二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点． 3、三个“二次”之间的关系 对于一元二次方程的两根为且， 设，它的解按照，，可分三种情况， 相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况. 因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 知识点03 一元二次方程的解法 1、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 2、含参一元二次不等式的讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 即时即练 不等式的解集为：______________________ 【易错提醒】 不等式的解集一定要用区间或者集合表示. 题型1 解不含参的一元二次不等式 【例1】（1）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【方法总结】 图象法解不含参的一元二次不等式的方法： 第一步：不等式改成等式，求对应二次方程的根； 第二步：画对应二次函数的图象，尤其注意根据二次项系数的正负判断开口方向； 第三步：观察图象，即可直接得出解集. 【变式 1-1】不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 题型2 解含参一元二次不等式 【例2】（1）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． （2）解关于的不等式： （3）解关于的不等式： 【方法总结】 解含参的一元二次不等式的技巧总结： 在解含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类 “不重不漏”，讨论需从以下三个方面进行考虑： (1) 关于不等式类型的讨论：二次项系数 ， 和 ； （2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两个不相等的实数根（），两个相等的实数根（），没有实数根（）; （3）关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：，，. 注意：对参数分类讨论的每一种情况下，所求出的一元二次不等式的解集是相互独立的，不能合并. 【变式 2-1】若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 题型3 三个“二次”关系的应用 【例3】关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【方法总结】 三个“二次”关系的应用的技巧总结： 已知一元二次不等式 或 的解集，则可以确定 的政府性和方程 的两根，再由根与系数的关系（韦达定理），可得到之间的关系（等量关系），若求其他不等式的解集或判断其他代数式，则可将 用 表示出来并代入求解. 【变式 3-1】（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 题型4 一元二次不等式三种恒成立问题 角度1：一元二次不等式在R上恒成立 【例4】（1）不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 解决一元二次不等式在R上恒成立问题的技巧总结： (1) 不等式在R上恒成立 (2) 不等式在R上恒成立 注意：若题目中未强调是一元二次不等式，则一定要讨论二次项系数是否为 0； 若已知不等式中含等号，则也可取等号. 【变式 4-1】若关于的不等式对任意的实数恒成立,求实数的取值范围； 角度2：一元二次不等式在指定区间D上恒成立 【例4】（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； 【方法总结】 解决一元二次不等式在指定区间D上恒成立问题的技巧总结： (1) 对于不等式 （或）在某个指定范围内的恒成立问题，只需令相应函数在该范围内的最小值大于 0（或最大值小于 0）即可，若不等式中的参数易分离，也可采用分离参数法求解，。将恒成立问题转化为新函数的最值问题 (2) 某些特殊条件下的恒成立问题，可简化处理，比如： 常见结论 ① 当时在上恒成立 ② 当 时，在 上恒成立 【变式 4-2】若对于，恒成立，求实数的取值范围. 角度3：一元二次不等式在参数指定范围D上恒成立 【例4】（3）若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【方法总结】 解决一元二次不等式在参数指定范围D上恒成立问题的技巧总结： 解决恒成立问题一定要清楚谁是主元，谁是参数：一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数，即构造 “以参数为变量” 的函数，根据 “变量” 的取值范围列式求解, 若构造出来为一次函数，能判断一次函数的单调性就利用单调性直接求最值，若不确定单调性则直接将所给范围的两个端点值代入，化简求解即可. 【变式 4-3】当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型5 一元二次不等式的有解问题（能成立问题） 【例5】若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 解决一元二次不等式简单的有解问题（能成立问题）的技巧总结： (1) 根据题意得出的取值范围，比如： ① 当时有解 ② 当 时，有解 (2) 另一常见思路为先参变量分离，转化为求新函数最值问题，比如： 常见题型及结论 ① 若存在 ，使 有解 ； ② 若存在 ，使 有解. 【变式5-1】若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型6 一元二次不等式的实际应用 【例6】某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______（元）. 【方法总结】 利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1) 选取合适的字母表示题目中的未知数； (2) 由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3) 求解所列出的不等式(组)； (4) 结合题目的实际意义确定答案. 【变式 6-1】（多选）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 一、单选题 1．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．若不等式的解集为，则（ ） A．3 B．1 C． D． 3．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．若，则不等式的解集为（    ） A． B．{或} C．{或} D． 5．对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 6．某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列四个不等式，其中解集不为R的是（　　） A． B． C． D． 8．若不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ） A．且 B． C． D．不等式的解集是 9．设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为______. 11．对于任意实数，不等式恒成立． （1）则的取值范围是___________． （2）在（1）的条件下，使恒成立，则的取值范围为___________． 12．某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度 的取值范围是________. 四、解答题 13．已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 14．已知函数. (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若，讨论不等式的解集； (3)若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $