1.2 集合间的基本关系（课件）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

该高中数学课件聚焦“集合间的基本关系”，承接集合概念，通过基础过关练与能力提升练搭建学习支架，涵盖子集、真子集、空集的判断及含参集合关系、子集个数计算等应用。 其亮点在于分层题组设计与易错警示，结合数学思维与创新意识，如含参集合分类讨论培养推理能力，子集个数转化法提升解题效率，“伙伴关系”新题型激发探究兴趣。学生能巩固基础提升能力，教师可依托资源实现分层教学。

第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.2　集合间的基本关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　子集、真子集和空集 1.[2026山东济宁第一中学月考]有下列关系式:①{a,b}={b,a};②{a,b}⊆{b,a};③⌀={⌀};④{0}=⌀; ⑤⌀⊆{0};⑥0∈{0}.其中不正确的是 ( ) A.①③④    B.②④⑤    C.②⑤⑥    D.③④     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于①,由集合中元素的无序性可知①正确; 对于②,由①知{a,b}={b,a},根据任何一个集合是它本身的子集可知②正确; 对于③④,⌀是不含有任何元素的集合,而{⌀}是以空集为元素的一个集合,{0}是只有一个元素0的集 合,故③④错误; 对于⑤,空集是任何集合的子集,故⑤正确; 对于⑥,0是{0}的一个元素,所以⑥正确. 综上,不正确的有③④. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[教材习题改编]在平面直角坐标系中,集合C={(x,y)|y=x}表示直线y=x上的所有点,从这个角度看,若集 合D= (x,y)   ,则集合C、D之间的关系是 ( ) A.C⊆D　    B.D⊆C　    C.C∈D　    D.D∈C     B     解析　易得D= (x,y)   ={(1,1),(-2,-2)},因为C={(x,y)|y=x},所以D⊆C. 小题速解　集合C表示直线y=x上的所有点,集合D表示直线y=x与曲线x2+y=2的交点,所以D⊆C. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026福建莆田第五中学期中]集合A={x∈N|-5<2x-1<5}的子集个数为 ( ) A.3　    B.4　    C.5　    D.8     D     解析　因为A={x∈N|-5<2x-1<5}={x∈N|-2<x<3}={0,1,2},所以集合A的子集有23=8个. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026重庆凤鸣山中学月考]已知集合A={x|kx2+8x-16=0,x∈R}. (1)若k=8,写出集合A的所有子集; (2)若A中只有一个元素,求实数k的值,并用列举法表示集合A; (3)若A有且只有四个子集,求实数k的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当k=8时,方程为8x2+8x-16=0,即x2+x-2=0,解得x=-2或x=1, 所以A={1,-2},则A的所有子集为⌀,{1},{-2},{1,-2}. (2)当k=0时,方程为8x-16=0,得x=2,此时A={2},符合题意; 当k≠0时,由题意得一元二次方程kx2+8x-16=0有两个相等的实数根,则Δ=82-4k×(-16)=0,解得k=-1, 此时方程为-x2+8x-16=0,即x2-8x+16=0,所以x=4,则A={4},符合题意. 综上,k=0时,A={2};k=-1时,A={4}. (3)若A有且只有四个子集,则A有两个元素(点拨:由2n=4=22得n=2),即方程kx2+8x-16=0有两个不等实数 根, 所以 解得k>-1且k≠0. 故实数k的取值范围为{k|k>-1且k≠0}. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　集合间的关系及其应用 5.[2026江苏苏州大学附属中学月考]设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a= ( ) A.2　    B.1　    C. 　    D.1或2     B     解析　由A⊆B,得0∈B,若a-2=0,则a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B,不合题意;若2a-2=0,则a=1, 此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足A⊆B. 综上,a=1. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026辽宁沈阳重点高中联考]若集合A= x x= (2k+1),k∈Z ,B= x x= k± ,k∈Z ,则集合A,B之间 的关系表示最准确的为( ) A.A⊆B　    B.B⊆A　     C.A=B　    D.A与B互不包含     C     解析　对于集合A,当k=2n(n∈Z)时,A= x x= n+ ,n∈Z ,当k=2n-1(n∈Z)时,A= x x= n- ,n∈Z ,所 以A=B. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[易错题][2026天津中学月考]已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B为A的子集,则m的取 值范围是 ( ) A.{m|m<2}　    B.{m|2≤m<3} C.{m|m≤3}　    D.{m|2<m≤3}     C     解析　当B=⌀时,满足B⊆A,此时m+1>2m-1,可得m<2; 当B≠⌀时,由B⊆A得  解得2≤m≤3. 综上,m的取值范围是{m|m≤3}. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　含有参数的集合B为A的子集,解题时要考虑B=⌀的情况. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026湖北武汉育才高级中学月考]已知集合A={x|x2+4x-a=0}. (1)若a=5,请写出集合A的所有子集; (2)若集合B={x|x2+2x=0},且A⊆B,求a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a=5时,A={x|x2+4x-5=0}={-5,1},所以集合A的子集有⌀,{-5},{1},{-5,1}. (2)易得B={x|x2+2x=0}={-2,0}. ①当A=⌀时,满足A⊆B,此时方程x2+4x-a=0无解,故Δ=16+4a<0,解得a<-4; ②当集合A只有一个元素时,方程x2+4x-a=0有两个相等的实根,故Δ=16+4a=0,可得a=-4,此时A={x|x2+4x+ 4=0}={-2},满足A⊆B; ③当集合A有两个元素时,因为A⊆B,所以A=B,即A={-2,0},即关于x的方程x2+4x-a=0的两根分别为-2,0, 所以 无解. 综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-4}. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.2　集合间的基本关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　集合的子集个数问题 1.[2026山东淄博淄川中学月考]已知集合A={1,2},B={x|-1<x<5,x∈N},则满足A⊆C⫋B的集合C的个数 为 ( ) A.4　    B.7　    C.8　    D.15     B     解析　因为集合A={1,2},B={x|-1<x<5,x∈N}={0,1,2,3,4},A⊆C⫋B, 所以集合C可以为{1,2},{0,1,2},{1,2,3},{1,2,4},{0,1,2,3},{0,1,2,4},{1,2,3,4},共7个. 一题多解　因为A={1,2},B={x|-1<x<5,x∈N}={0,1,2,3,4},且A⊆C⫋B,所以C中一定含有元素1,2,可能含 有元素0,3,4中的部分(不是全部),所以C的个数即为集合{0,3,4}的真子集个数(将集合的个数转化为真 子集的个数问题),为23-1=7. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026安徽六安毛坦厂中学期中]设集合A= ,则A的真子集的个数为 ( ) A.7　    B.8　    C.15　    D.16     C     解析　由 =1+ ∈N*(分离常数)和x∈Z,可得4+x=1,2,3,6, 所以x=-3,-2,-1,2, 可得A={-3,-2,-1,2}, 所以集合A的真子集的个数为24-1=15. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026吉林长春外国语学校月考]已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子 集,则a的取值可以为 ( ) A.-2　    B.-1　    C.0　    D.1     BCD     解析　∵集合A有且仅有2个子集, ∴A中有且仅有1个元素. 当a=0时,集合A={0},符合题意. 当a≠0时,Δ=4-4a2=0,解得a=±1, 当a=1时,A={-1},符合题意; 当a=-1时,A={1},符合题意. 故a的取值可以为-1,0,1. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026上海行知中学月考]若集合M⫋{1,2,3,4,5,6,7,8},且M中至少含有两个奇数,则满足条件的集合M 的个数是___________.     175     解析　从反面入手,考虑集合M中不含有奇数、只含有1个奇数两种情况. 若M中不含有奇数,则集合M的个数等于集合{2,4,6,8}的子集的个数,为24=16; 若M中只含有1个奇数,则这个奇数有4种可能,故集合M的个数等于集合{2,4,6,8}的子集的个数的4倍,为 24×4=64. 易得{1,2,3,4,5,6,7,8}的真子集的个数为28-1=255, 所以当M中至少含有两个奇数时,满足条件的集合M的个数为255-16-64=175. 第1讲　描述运动的基本概念 5.设集合S={a1,a2,a3,a4,a5},若集合S的所有非空真子集的元素之和是300,则a1+a2+a3+a4+a5=__________.     20     思路分析　根据给定条件,求出含每个元素的集合个数,再进行求和即可. 解析　集合S的所有非空真子集中含有a1的有24-1=15个(即{a2,a3,a4,a5}的真子集的个数),同理,集合S的 所有非空真子集中含有a2,a3,a4,a5的均各有15个, 由15(a1+a2+a3+a4+a5)=300,得a1+a2+a3+a4+a5=20. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　含参的集合间的关系 6.[多选题][2026河南南阳期中联考]已知集合A满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5},且A={1,a2-2a+2,a2+1},则a的 可能取值为 ( ) A.2　    B.0　    C.-1　    D.1     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可知,1∈A,2∈A. 当a2-2a+2=2时,解得a=0或a=2. 当a=0时,a2+1=1,不满足集合中元素的互异性,舍去; 当a=2时,A={1,2,5},满足题意. 当a2+1=2时,解得a=-1或a=1, 当a=-1时,A={1,2,5},满足题意; 当a=1时,a2-2a+2=1,不满足集合中元素的互异性,舍去. 综上,a=2或a=-1. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2026河北承德高新一中月考]已知集合A={0,1},B={x|ax2+x-1=0},若A⊇B,则实数a的取值可 以是 ( ) A.0　    B.1　     C.-1　    D.      AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当a=0时,B={1},满足条件; 当a≠0时,由A⊇B,可得B={1}或B={0}或B={0,1}或B=⌀. 若B={1},则 无解; 若B={0},则 无解; 若B={0,1},则 无解; 若B=⌀,则Δ=1+4a<0,得a<- . 综上,a的取值范围是 a a<-  ∪{0}. 结合选项知a的值可以为0或-1. 第1讲　描述运动的基本概念 考场速决　可把a的值逐个代入检验,易知a=0,a=-1符合. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026广东茂名期中]若A={x|x2+2x=3},B={x|ax=1},且B⊆A,则实数a的值为______________.     0或1或-      解析　由x2+2x=3得x=1或x=-3,即A={1,-3}, 当B=⌀,即a=0时,符合题意; 当B={1},即a=1时,符合题意; 当B={-3},即a=- 时,符合题意. 综上所述,实数a的值为0或1或- . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026河南郑州外国语学校月考]设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1<x<2m+1}. (1)当x∈Z时,求A的所有子集中的元素之和; (2)若A⊇B,求m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当x∈Z时,A={x∈Z|-2≤x≤5}={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 对于集合A中的每个元素,除该元素外还有7个元素,每个元素有选或不选两种可能,故包含该元素的子 集的个数为27, 故A的所有子集中的元素之和为(-2-1+0+1+2+3+4+5)×27=12×128=1 536. (2)当B=⌀时,满足B⊆A,此时m-1≥2m+1,可得m≤-2; 当B≠⌀时,由B⊆A得  可得-1≤m≤2. 综上,m的取值范围是{m|m≤-2或-1≤m≤2}. 解后反思　解决与不等式相关的集合问题,常画出数轴,利用数轴时要注意考虑端点值,确定端点 “等”还是“不等”. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026山西临汾一中月考]已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}. (1)判断5,12,14是否属于A,并说明理由; (2)集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:B⊆A; (3)写出集合A中的所有偶数. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵5=32-22,12=42-22, ∴5∈A,12∈A. 假设14=m2-n2,m,n∈Z, 则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=14,且|m|+|n|>|m|-|n|>0, ∵14=1×14=2×7, ∴ 或 均无整数解, ∴14∉A. (2)证明:∵集合B={x|x=2k+1,k∈Z},且2k+1=(k+1)2-k2,k∈Z, ∴2k+1∈A,k∈Z,∴B⊆A. (3)易知m2-n2=(m-n)(m+n), 第1讲　描述运动的基本概念 当m,n同奇或同偶时,m+n,m-n均为偶数,则(m-n)(m+n)为4的倍数, 当m,n一奇一偶时,m+n,m-n均为奇数,则(m-n)(m+n)为奇数. ∵4p=(p+1)2-(p-1)2,p∈Z,∴4p∈A, ∴集合A中的所有偶数为4p,p∈Z. 第1讲　描述运动的基本概念 创新点　通过新定义“伙伴关系”考查子集 创新题型 11.若x∈A, ∈A,就称A是具有伙伴关系的集合,集合M= 的所有非空子集中,具有伙伴关 系的集合的个数为 ( ) A.1　    B.3　    C.5　    D.7     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由集合M= 及新定义可知当x=0时, 无意义;当x= , ,2时, ∉M;当x=-1,1时, ∈M, 因此x可取-1和1. 所以符合题意的集合为{-1},{1},{-1,1},所以具有伙伴关系的集合的个数为3. 第1讲　描述运动的基本概念 $