精品解析：广东惠州大亚湾经济技术开发区第一中学2026届高三第二学期第六次月考数学试题

大亚湾一中2025-2026学年第二学期第六次月考 高三数学试卷 2026年5月 本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，，再结合交集的定义，即可求解. 【详解】集合，， 所以， 故选：A. 2. 已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由纯虚数的概念，列得方程组，从而可求出的值. 【详解】因为复数（）是纯虚数， 所以， 由，得或， 由，得， 所以. 故选：D. 3. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设投影向量是，利用解出即可得出答案. 【详解】设投影向量是，则，所以， 即在上的投影向量是． 故选：D. 4. 记数列的前项和为，若，，则等于（ ） A. 33 B. 46 C. 49 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式，结合前项和与第项的关系求出通项公式，进而求出目标值. 【详解】数列中，，，当时，， 当时，，则，， 因此当时，数列是以为首项，公比为3的等比数列，， 数列的通项公式为：，，， 所以. 故选：A 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数换底公式以及运算性质，利用作商法结合对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可知，. 则，所以. 则，所以. 所以. 故选：D. 6. 的展开式中，的系数为（ ） A. 60 B. 120 C. 240 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】根据展开式中每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【详解】要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取， 即这一项为. 故的系数为. 故选：B 7. 某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的平均数和方差公式即可算出答案. 【详解】， 故选：D 8. 已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得结果. 【详解】如图所示，分别为上下底面的外心，则外接球球心在线段上， 连接并延长交于，连接并延长交AB于D， 设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式， ∴，， 设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式， ∴，C=CD=，则， 设正三棱台的外接球的半径, 得，解得，即. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值是 B. 在上单调递增 C. D. 在上有两个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角函数的性质及诱导公式逐一判断即可求得结论. 【详解】对于A，由于，且，所以的最大值是，故A正确； 对于B，因为，所以在上不是单调递增的，故B错误； 对于C，由于，故 ，故C正确； 对于D，若，则，即，可得，，解得，，所以在上恰有个零点，故D错误. 故选：AC. 10. 点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆上的点到直线距离的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简圆的方程为圆的标准方程，求得圆心坐标可判定A；求得圆心到直线的距离，结合圆的性质可判定B；根据圆的切线长公式可判定C，连接，设，和，结合正弦的倍角公式，以及基本不等式可判定D. 【详解】A，由圆，可化为，所以圆的圆心为，正确； B，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线最大距离为，正确； C，由切线长公式，可得，所以的最小值为，错误； D，如图所示，连接，则，设，则 在直角中，设，则，且， 因为， 令，则，则， 又因为，当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以，即的最大值为，正确. 故选：ABD 11. 已知数列满足，则（ ） A. 数列为递增数列 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项：构造函数，求导判断其单调递增．由算出，得．假设，可推出，再构造，求导判断其单调性，得出，所以数列递增． 对于B选项：由A选项分析知，所以不存在使． 对于C选项：要证，构造，多次求导判断单调性，得出，从而证明不等式成立． 对于D选项：由C，取倒数后构造数列，再用累加法求和计算证明即可. 【详解】设，对其求导可得． 因为恒成立，所以在上单调递增． 已知，则，依次有，, ，设，，对求导得． 当时，，所以，在上单调递减． 则，即，所以为递增数列，A选项正确．  由上述分析可知，所以不存在，使得，B选项错误．  要证，即证． 设，，对求导得． 令，求导得，当时，， 所以在上单调递减．则， 所以在上单调递增． 所以，即， 所以，，C选项正确. 由选项C知，移项可得， 两边同时乘以得. 两边同时取倒数得，移项可得. 因为，所以，即. 利用累加法： . 已知，则，所以，两边同时取倒数得， 移项可得，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 若随机变量，且，则_____. 【答案】0.4 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】由可得，即， 因为随机变量，且， 故. 故答案为：. 13. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即． 【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义． 【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为． 14. 已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且. 若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【详解】设在轴上方，由双曲线的对称性可知，又因为即为直角三角形，所以， 又根据直线的斜率为得到，所以为正三角形，有， 连接与左焦点，由可得为直角三角形且， 由双曲线定义可知，， 所以双曲线的离心率为. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 15. 如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点. （1）证明：平面； （2）设点Q在棱上，求平面与平面所成角的余弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正四棱锥的性质，结合中点条件，通过等腰三角形三线合一证明与，与垂直，进而证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角的余弦值，设点的坐标参数，进而表示出平面的法向量，结合平面的法向量，计算两个法向量夹角的余弦值，再根据参数范围求最大值. 【小问1详解】 因为的所有棱长相等，点是棱的中点， 所以，， 又因为，平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，以过点且垂直于底面的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，， 设，由（1）知平面， 则为平面的法向量. 则，， 设平面的法向量为， 则，可取， 记平面与平面所成角为，则. 当时，取到最大值. 16. 设抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． （1）求抛物线的标准方程； （2）已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴．证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）依题意，设直线的方程为，， 由消去得，则，， 直线的斜率，直线的方程，由，得， 由轴，得，则，因此，解得， 所以直线：过定点. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用抛物线的定义，建立方程组，即可求解. （2）设直线，，联立直线与抛物线方程，再结合题设条件和根与系数间的关系即可求解. 【小问1详解】 由抛物线上的一点到焦点的距离为，得，解得， 所以抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 略 17. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，结合正弦定理可求得结果； （2）由平面向量的减法可得出，利用平面向量数量积的运算性质结合与余弦定理可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 由及正弦定理可得， 即， 即， 即， 因为为锐角，故，可得，由正弦定理得，故. 【小问2详解】 因为，则，故， 所以， 即，即①， 由余弦定理可得，即②， 联立①②可得，，故， 因此，. 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）求证：当时，. 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）应用导数研究函数的区间单调性即可； （2）应用导数探讨时，恒成立有，再判断所得范围的充分性，即可得； （3）根据（2）结论，令，得，即可证. 【小问1详解】 由题设，则且， 当，，即在上单调递增， 当，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递增； 【小问2详解】 由题设，令，则， 对时，恒成立，且，只需，即， 另一方面，时，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，满足题设， 综上，； 【小问3详解】 由（2）取，在上， 令，，则，即， 所以，则，得证. 19. 某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中校和校各4名，校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号. （1）若来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的2名毕业生的面试序号分别为，，且. （i）求概率； （ii）记随机变量，求的均值. （2）经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者.如果以新规则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一､二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） ①第一种情况，录用了面试得分第一的人. 若面试得分第一的人在第位，要使得其被录用，则在他前面的个人中的最高分必然在前3位， 其他个人可以任意排列，在得分第一后面的个人任意排列，这种情况的概率为： . ②第二种情况，录用了面试得分第二的人. 若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第10位，其他人任意排列， 这种情况的概率为. 若面试得分第一的人不在前二位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第位， 同样在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列， 在得分第二后面的（含第一）个人任意排列，这种情况的概率为： 综上，面试得分第一､二的两名毕业生之一被录用的概率为： 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接求解即可；先求得的取值，再根据期望计算公式，直接计算即可； （2）分别计算录用面试第一名，和第二名的概率，即可证明. 【小问1详解】 （i）， （ii）的可能取值为，则， 所以 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大亚湾一中2025-2026学年第二学期第六次月考 高三数学试卷 2026年5月 本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则（ ） A. 或 B. C. D. 3. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 记数列的前项和为，若，，则等于（ ） A. 33 B. 46 C. 49 D. 42 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中，的系数为（ ） A. 60 B. 120 C. 240 D. 360 7. 某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（ ） A. B. C. D. 8. 已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值是 B. 在上单调递增 C. D. 在上有两个零点 10. 点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆上的点到直线距离的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最大值为1 11. 已知数列满足，则（ ） A. 数列为递增数列 B. C. D. 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 若随机变量，且，则_____. 13. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________． 14. 已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且. 若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 15. 如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点. （1）证明：平面； （2）设点Q在棱上，求平面与平面所成角的余弦值的最大值. 16. 设抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． （1）求抛物线的标准方程； （2）已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴．证明：直线过定点． 17. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，，，求的面积． 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）求证：当时，. 19. 某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中校和校各4名，校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号. （1）若来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的2名毕业生的面试序号分别为，，且. （i）求概率； （ii）记随机变量，求的均值. （2）经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者.如果以新规则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一､二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $