广东惠州大亚湾经济技术开发区第一中学2026届高三第二学期第六次月考数学试题

大亚湾一中2025-2026学年第二学期第六次月考 高三数学试卷 2026年5月 本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数（ ）是纯虚数，则（ ） A. 或 B. C. D. 3. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 记数列的前 项和为，若，，则等于（ ） A. 33 B. 46 C. 49 D. 42 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中，的系数为（ ） A. 60 B. 120 C. 240 D. 360 7. 某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（ ） A. B. C. D. 8. 已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值是 B. 在 上单调递增 C. D. 在 上有两个零点 10. 点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆上的点到直线距离的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最大值为1 11. 已知数列满足，则（ ） A. 数列为递增数列 B. C. D. 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 若随机变量，且，则_____. 13. 已知为偶函数，当时，，则曲线 在点处的切线方程是__________． 14. 已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且. 若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 15. 如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点. （1）证明：平面 ； （2）设点Q在棱 上，求平面 与平面 所成角的余弦值的最大值. 16. 设抛物线 的焦点为为坐标原点，抛物线 上的一点到焦点的距离为 ． （1）求抛物线 的标准方程； （2）已知直线交抛物线 于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴．证明：直线过定点． 17. 在锐角 中，内角 、 、 的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若 ，，，求 的面积． 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）求证：当时，. 19. 某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中 校和 校各4名， 校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号. （1）若来自 校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自 校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自 校的2名毕业生的面试序号分别为，，且. （i）求概率； （ii）记随机变量，求的均值. （2）经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者.如果以新规则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一､二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59. 大亚湾一中2025-2026学年第二学期第六次月考 高三数学试卷 2026年5月 本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 【12题答案】 【答案】0.4 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）因为的所有棱长相等，点是棱的中点， 所以 ， ， 又因为 ， 平面 ， 所以 平面 . （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）依题意，设直线的方程为， ， 由消去得 ，则，， 直线的斜率，直线的方程，由 ，得， 由轴，得，则 ，因此，解得， 所以直线： 过定点. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 当，在上单调递增， 当，在上单调递减， 当，在上单调递增； （2）； （3） 由（2）取，在上， 令，，则，即， 所以，则，得证. 【19题答案】 【答案】（1）（i）；（ii） （2） ①第一种情况，录用了面试得分第一的人. 若面试得分第一的人在第位，要使得其被录用，则在他前面的 个人中的最高分必然在前3位， 其他个人可以任意排列，在得分第一后面的 个人任意排列，这种情况的概率为： . ②第二种情况，录用了面试得分第二的人. 若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第10位，其他人任意排列， 这种情况的概率为. 若面试得分第一的人不在前二位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第位， 同样在他前面的 个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列， 在得分第二后面的 （含第一）个人任意排列，这种情况的概率为： 综上，面试得分第一､二的两名毕业生之一被录用的概率为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $