26.3 二次函数与一元二次方程 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“二次函数与一元二次方程的关系”，通过“温故知新”环节，先回顾一次函数与一元一次方程的关系作为学习支架，引导学生自主探究二次函数图像与x轴交点和一元二次方程根的联系，梳理知识脉络。 资料亮点在于设计表格对比抛物线与x轴交点个数和方程根的情况，搭配基础自测题巩固理解，融入高斯数学史拓展。通过自主预习和问题解决，培养学生的抽象能力、推理意识与模型意识，助力构建数形结合思维，提升学习效率。

26.3二次函数与一元二次方程 任务型 导学案 1.回顾一次函数与一元一次方程的关系，结合新课内容，探究二次函数与一元二 习 次方程的关系； 提 2.阅读课本P46—P49内容，自主探究二次函数与一元二次方程小节基础知识内 要 容，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 任务一温故知新·基础填空 温故一一课前知识链接 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为 的形式，所以 解一元一次方程， 从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=+b的函数值为0时，求 的值； 从函数的图象考虑，相当于己知直线y=x+b,求它与x轴的交点的 知新一一课本研习梳理 二次函数y=ar+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系： 抛物线y=ar2+bx+c(a0) 元二次方程ax2+bx+c=0 与x轴的公共点的个数 (0)的根的情况 b2-4ac>0 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 有两个相等的实数根 b2-4ac<0 没有实数根 任务二基础过关·课前自测 1.已知二次函数'=a+r+c(a≠0)的图像经过点(-5,0），(3,0)，则关于x的方程 ax2+bx+c=0 的根是() A=-5为2=3 B.=0x2=-5 C=5x=-3 D.=0X=3 2,抛物线”=X-r+1与x轴有唯一的一个交点时，6的值是() A.0 B.2 C.-2 D.±2 3,如图，抛物线”=r+x+c的对称轴为直线，且与x轴相交于点0），则方程 ax2+bx+c=0 的根为() A.=152=-3 B.=1x2=-1 C=-362=-1 D.=为=1 4.已知抛物线'=a+r+C上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 0.56 0.25 -0.04 -0.31 -0.56 则根据以上信息可判断，关于x的一元二次方程㎡+bx+c=0的一个根的取值范围是() A.-2.6<x<-2.5 B.2.5<x<-2.4 C-2.4<<-2.3 D.2.3<<-2.2 5.二次函数y=ar-3x+2 的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是() A.0 B.1 C.2 D.3 任务三课外扩展·预习反思 高斯一一方程与函数统一性的奠基者 德国数学家高斯最早严格证明：任意多项式方程的根的个数，与多项式次数对应，同时建立 了多项式方程与多项式函数的一一对应关系。 在高斯之前，人们只知道“解方程求数”；高斯首次提出：每一个二次方程，都对应一条抛 物线；每一条抛物线，都对应一个二次方程。他统一了方程的代数属性与函数的几何属性， 奠定了“数形结合、方程函数互通”的理论基础。我们现在所学的根、交点、判别式对应关 系，全部源自高斯的多项式统一理论。 把预习中发现的问题记录一下吧… 问题栏 答案及解析 温故知新·基础填空 温故一一课前知识链接 ax+b=0(a≠0)；自变量x;横坐标 知新一一课本研习梳理 2:1:0 基础过关·课前自测 1.答案：A 解析：：二次函数”=ar+hx+c(a≠0)的图像经过点(-5,0），(3,0)， “关于x的方程+r+c=0的根是=-5，名=3 故选：A. 2.答案：D 解析：“抛物线)=？-b伽+l与x轴有唯一交点， “方程”-x+1=0的判别武△=0， 即(-b)}°-4x1x1=2-4=0 .b2=4 ∴.b=+2 故选：D. 3.答案：A 解析：·抛物线的对称轴为直线=-1，与x轴的一个交点为，0)， 心抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)， ∴方程ar+br+c=0的解为x=1,5=-3 故选：A. 4答案：B 解析：x=-2.5时，y=0.25,x=-2.4时，y=-0.04, “关于x的一元二次方程ar+r+C=0的一个根的取值范围是25<x<-24 故选：B 5.答案：B 解析：根据题意，△=(-3-4ax2>0,且a≠0， 9 a< 解得，“8且a≠0， 故选：B