26.3二次函数与一元二次方程（第1课时 二次函数与一元二次方程的关系）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“二次函数与一元二次方程的关系”第一课时，通过复习一元二次方程判别式及二次函数图象，结合情境设问具体函数求y=0时的x值，搭建从方程根到函数图象交点的学习支架，引导学生建立知识联系。 以“观察函数图象—分析交点坐标—归纳规律”为主线，突出数形结合与转化思想，例题融入小球飞行、投篮等实际情境，培养几何直观与模型意识，合作探究与易错提醒助力学生发展推理能力，提升用数学思维解决问题的能力。

26.3二次函数与一元二次方程 （第一课时 二次函数与一元二次方程的关系） （导学案） （1）理解二次函数图象与x轴交点的横坐标与对应一元二次方程根的关系；能利用根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数，能根据抛物线与x轴交点情况判断一元二次方程根的个数. （2）经历“观察函数图象—分析交点坐标—对应方程根—归纳规律”的探究过程，掌握数形结合、转化的数学思想，提升观察分析、归纳总结和代数几何转化的能力. （3）感受数学知识的关联性与统一性，体会数形结合思想的简洁性与实用性，激发数学探究兴趣，培养严谨的数学思维习惯. 重点：理解二次函数y=ax+bx+c(a≠0) 的图象与x轴交点横坐标与一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)根的对应关系.掌握利用根的判别式判断抛物线与x轴交点个数、方程根的个数的方法. 难点：深度理解函数与方程的双向转化关系，建立数形结合的思维模型.灵活运用二者关系解决基础综合问题，区分函数图象交点问题与方程根的问题. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习提问：（1）一元二次方程 ax+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式是什么？判别式的取值对应方程根的几种情况？ （2）二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象是什么形状？图象上点的横、纵坐标分别代表什么意义？ 情境设问：已知二次函数 y=x-2x-3，当 y=0 时，x的值是多少？这个x值和函数图象有什么关系？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第46-48页的内容 【学法指导】自研课本P46-48页内容 （一）探究二次函数图象与x轴的公共点 活动1.画出下列二次函数的图象，观察图象与x轴有几个交点. (1) y=x+x-2; (2) y=x²-8x+16; (3) y=x-x+1. 图象如下图： 追问1.观察以上下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少? 追问2.当x取公共点的横坐标时，函数值是多少? 追问3.由此，你能说说以上三个函数相应的方程x+x-2=0，x²-8x+16=0，x-x+1=0根的情况吗？ 追问4.由一元二次方程的根的情况，你能确定相应二次函数的图象与x轴的公共点的情况吗？ （二）探究二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交点和对应的一元二次方程ax²+bx+c=0根的关系 活动2.学生观察讨论归纳：二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交点和对应的一元二次方程ax²+bx+c=0根的关系 一般地，从二次函数y=ax²+bx+c的图象，可得如下结论: (1)如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是一元二次方程ax²+bx+c=0 的一个根. (2)二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种: 没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，分别对应着一元二次方程ax²+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 教师强调：根据二次函数与一元二次方程的联系，可以将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题来解决. （三）将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题 活动3.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)的关系近似为h=20t-5t².小球的飞行高度能否达到20m?如果能，需要多长时间? 【自研自探】 自研课本P46-48页内容 典型例题 例1.已知二次函数 y=2x²-4x-6，完成下列问题： （1）判断该抛物线与x轴的交点个数； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标； （3）直接写出一元二次方程 2x²-4x-6=0 的根。 例2．小明跳起投篮，已知球在处出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为米，当球出手后在处达到最大高度米，此时球运动的水平距离为米，设篮球运行的轨迹为如图所示的抛物线． (1)求抛物线的解析式； (2)篮圈中心距离地面米，问此球能否投中？请通过计算说明理由． 第二环节 合作探究 1.讨论如何求出跳水运动中运动员起跳后多长时间达到的最高点？ 2.讨论篱笆围成一个矩形菜园，如何围菜园的面积最大？. 拓展提升： 1．如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交于M，交x轴于N，恰有线段，求此时点P的坐标． 课本P48课堂练习. 1.（2025•白云区校级三模）如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b²﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）²+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　8　 m． 3（2025•连云港）已知二次函数y＝x²+2（a+1）x+3a2﹣2a+3，a为常数． （1）若该二次函数的图象与直线y＝2a²有两个交点，求a的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； （3）求证：该二次函数的图象不经过原点． 知识技能：（1）核心对应关系：抛物线与 、 、 三者 ；（2）核心结论：抛物线与 ，就是 ；（3）基础技能：会用 根的情况，会通过 . 思想方法：（1）数形结合思想：将 问题与 图象相互转化，以 、以 ；（2）转化思想：把 问题转化为 问题，简化 难度；（3）归纳推理思想：通过 探究，归纳出通用 . 易错提醒：（1）忽略二次函数前提：研究交点与方程根的关系时，必须保证 ，否则 ；（2）概念混淆：抛物线 是有序实数对，对应 ，二者形式不同，不可混淆；（3）判别式计算失误：代入 时，注意 问题，避免 错误；4）表述错误：方程 ，不可表述为“ ”. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3二次函数与一元二次方程 （第一课时 二次函数与一元二次方程的关系） （导学案） （1）理解二次函数图象与x轴交点的横坐标与对应一元二次方程根的关系；能利用根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数，能根据抛物线与x轴交点情况判断一元二次方程根的个数. （2）经历“观察函数图象—分析交点坐标—对应方程根—归纳规律”的探究过程，掌握数形结合、转化的数学思想，提升观察分析、归纳总结和代数几何转化的能力. （3）感受数学知识的关联性与统一性，体会数形结合思想的简洁性与实用性，激发数学探究兴趣，培养严谨的数学思维习惯. 重点：理解二次函数y=ax+bx+c(a≠0) 的图象与x轴交点横坐标与一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)根的对应关系.掌握利用根的判别式判断抛物线与x轴交点个数、方程根的个数的方法. 难点：深度理解函数与方程的双向转化关系，建立数形结合的思维模型.灵活运用二者关系解决基础综合问题，区分函数图象交点问题与方程根的问题. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习提问：（1）一元二次方程 ax+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式是什么？判别式的取值对应方程根的几种情况？ （2）二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象是什么形状？图象上点的横、纵坐标分别代表什么意义？ 情境设问：已知二次函数 y=x-2x-3，当 y=0 时，x的值是多少？这个x值和函数图象有什么关系？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第46-48页的内容 【学法指导】自研课本P46-48页内容 （一）探究二次函数图象与x轴的公共点 活动1.画出下列二次函数的图象，观察图象与x轴有几个交点. (1) y=x+x-2; (2) y=x²-8x+16; (3) y=x-x+1. 图象如下图： 追问1.观察以上下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少? (1) y=x+x-2,有两个公共点，公共点的横坐标是-2，1； (2) y=x²-8x+16，有一个公共点，公共点的横坐标是4； (3) y=x-x+1，没有公共点. 追问2.当x取公共点的横坐标时，函数值是多少? 函数值是0. 追问3.由此，你能说说以上三个函数相应的方程x+x-2=0，x²-8x+16=0，x-x+1=0根的情况吗？ 方程x+x-2=0,有两个不相等的根，是-2，1； 方程x²-8x+16=0，有两个相等的根，是4； 方程x-x+1=0，没有实数根. 追问4.由一元二次方程的根的情况，你能确定相应二次函数的图象与x轴的公共点的情况吗？ 由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与x轴的公共点的情况；即一元二次方程有两个不相等的根时，对应的二次函数与x轴有两个不同公共点；一元二次方程有两个相等的根时，对应的二次函数与x轴有一个公共点；一元二次方程没有实数根时，对应的二次函数与x轴有两个不同公共点. （二）探究二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交点和对应的一元二次方程ax²+bx+c=0根的关系 活动2.学生观察讨论归纳：二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交点和对应的一元二次方程ax²+bx+c=0根的关系 一般地，从二次函数y=ax²+bx+c的图象，可得如下结论: (1)如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是一元二次方程ax²+bx+c=0 的一个根. (2)二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种: 没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，分别对应着一元二次方程ax²+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 教师强调：根据二次函数与一元二次方程的联系，可以将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题来解决. （三）将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题 活动3.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)的关系近似为h=20t-5t².小球的飞行高度能否达到20m?如果能，需要多长时间? 分析:问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h=20t-5t²的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程 20=20t-5t²的根的问题. 解:当h=20时，由函数关系h=20t-5t²，列得方程 20=20t-5t²，即t²-4t+4=0. 解方程，得. 这说明，当自变量t=2时，二次函数h=20t一5t²的函数值为20，即当小球的飞行2s时飞行高度能否达到20m. 【自研自探】 自研课本P46-48页内容 典型例题 例1.已知二次函数 y=2x²-4x-6，完成下列问题： （1）判断该抛物线与x轴的交点个数； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标； （3）直接写出一元二次方程 2x²-4x-6=0 的根。 【分析】（1）考查判别式的应用，通过计算△的取值，判断抛物线与x轴交点个数，是本节课的基础核心考点； （2）考查函数与方程的转化思想，令y=0，将求图象交点坐标问题转化为解一元二次方程的代数问题； （3）逆向巩固规律，明确交点横坐标与方程根的等价关系，实现数形双向转化. 【详解】解：（1）由题意得：a=2，b=-4，c=-6 根的判别式：△=b²-4ac=(-4)²-4×2×(-6)=64>0 抛物线 y=2x²-4x-6 与x轴有2个不同交点. （2）求抛物线与x轴交点坐标，令 y=0，即：2x²-4x-6=0 方程两边同时除以2，化简得：x²-2x-3=0 因式分解：(x-3)(x+1)=0 解得： ∴抛物线与x轴的交点坐标为 (3,0)、(-1,0). （3）根据二次函数图象与x轴交点横坐标即为对应方程的根，可得： 方程 2x²-4x-6=0 的根为. 例2．小明跳起投篮，已知球在处出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为米，当球出手后在处达到最大高度米，此时球运动的水平距离为米，设篮球运行的轨迹为如图所示的抛物线． (1)求抛物线的解析式； (2)篮圈中心距离地面米，问此球能否投中？请通过计算说明理由． 【分析】（1）根据题意，将点、点的坐标表示出来，设抛物线解析式为，，将点代入，最终得到抛物线解析式． （2）篮圈中心坐标可以根据题意求出，只要其坐标满足解析式，就可以投中，故将篮圈中心坐标代入解析中，得到答案． 【详解】（1）解：根据题意， 点的坐标为，点坐标为， 设此抛物线对应的解析式为：，， 抛物线经过， ， ， 抛物线的解析式为：． （2）篮圈中心的坐标为， 将坐标代入解析式中，得， 当时，， 故此球能投中． 第二环节 合作探究 1.讨论如何求出跳水运动中运动员起跳后多长时间达到的最高点？ 2.讨论篱笆围成一个矩形菜园，如何围菜园的面积最大？. 拓展提升： 1．如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交于M，交x轴于N，恰有线段，求此时点P的坐标． 【分析】本题考查了二次函数与线段和差问题： （1）把点和代入，即运用待定系数法求解； （2）先运用待定系数法求出BC的解析式为，设，则，，根据，建立等式，解出值，即可作答． 【详解】（1）解：把点和代入， ，解得， ； （2）解：令，则，， 设的解析式为，，解得， ， 设，则，， ，， ，，解得或， 是线段下方抛物线上， ，， 课本P48课堂练习. 1.（2025•白云区校级三模）如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b²﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴a＞0，c＞0， ∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0）， 当x＝﹣1时y＞0， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2，b²﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0，故结论③④正确； ∴，即b＝﹣4a＜0，b+4a＝0，故结论②正确； ∴abc＜0，故结论①正确， 综上，说法正确的有4个， 故选：D． 2．（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）²+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　8　 m． 【解答】解：由题意，OA＝1.6m， 得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 得：1.6＝a（0﹣3）²+2.5， 解得：， ∴， 令y＝0，得， 解得：，， ∴OB为8m， 故答案为：8． 3（2025•连云港）已知二次函数y＝x²+2（a+1）x+3a2﹣2a+3，a为常数． （1）若该二次函数的图象与直线y＝2a²有两个交点，求a的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； （3）求证：该二次函数的图象不经过原点． 【解答】（1）解：∵二次函数y＝x²+2（a+1）x+3a²﹣2a+3中，1＞0， ∴二次函数的图象开口向上， ∵二次函数的图象与直线y＝2a²有两个交点， ∴函数的最小值小于2a²， 则， 即2a²﹣4a+2＜2a²， 解得； （2）解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴Δ＝4（a+1）²﹣4×1×（3a²﹣2a+3）＝﹣8a²+16a﹣8＝﹣8（a﹣1）²≥0， ∴8（a﹣1）²≤0， 又∵8（a﹣1）²≥0， ∴8（a﹣1）²＝0， 解得a＝1； （3）证明：∵当x＝0时，， ∴二次函数的图象不经过原点． 知识技能：（1）核心对应关系：抛物线与x轴交点个数、判别式取值、一元二次方程根的个数三者一一对应；（2）核心结论：抛物线与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根；（3）基础技能：会用判别式判断交点与根的情况，会通过解方程求抛物线与x轴交点坐标. 思想方法：（1）数形结合思想：将代数方程问题与几何函数图象相互转化，以形助数、以数释形；（2）转化思想：把求函数图象交点问题转化为解方程问题，简化几何求解难度；（3）归纳推理思想：通过特殊案例探究，归纳出通用数学规律. 易错提醒：（1）忽略二次函数前提：研究交点与方程根的关系时，必须保证 a≠0，否则不是二次函数与一元二次方程；（2）概念混淆：抛物线与x轴的交点坐标是有序实数对，对应的方程根是横坐标数值，二者形式不同，不可混淆；（3）判别式计算失误：代入a、b、c数值时，注意符号问题，避免正负号计算错误；4）表述错误：方程有两个相等实数根，不可表述为“方程只有一个根”. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $